Đề thi chọn học sinh giỏi huyện môn Toán Lớp 8 - Năm học 2018-2019 - Phòng GD và ĐT Lâm Thao (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi huyện môn Toán Lớp 8 - Năm học 2018-2019 - Phòng GD và ĐT Lâm Thao (Có đáp án)

1. PHÒNG GD & ĐT LÂM THAO THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2018-2019 Đề chính thức Môn: TOÁN LỚP 8 Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề (Đề thi có 02 trang) Đề 36: A. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8 điểm) Hãy chọn phương án trả lời đúng: Câu 1. Cho x + y = 3. Giá trị của biểu thức A x2 2xy y2 4x 4y 1 bằng: A. -2 B. 2 C. 3 D. -1 Câu 2. Cho f (x) 10x2 7x a chia hết 2x- 3. Giá trị của a bằng: A. 10 B. -12 C. 12 D. -10 x2 2x 2020 Câu 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B với x 0 . x2 2019 2018 A. 1 B. –1 C. . D. 2020 2019 x2 2xy Câu 4. Cho 3x - y = 3z và 2x + y = 7z. Tính giá trị biểu thức: A (x 0, y 0 .) x2 y2 5 3 8 A. -2. B. C. D. 3 2 13 1 5x Câu 5. Tìm các giá trị của x để phân thức sau: 1 . x 1 1 1 5 A. x 1 B. x 1 C. x D. x hoặc x 1 3 5 3 a b 4 Câu 6. Tìm các giá trị của a, b để đẳng thức sau: đúng (x 2; x 2 ) x 2 x 2 x2 4 A. a 1;b 1 B. a 2;b 3 C. a 2;b 3 D. a 2;b 3 Câu 7. Số nghiệm của phương trình: x 3 3 x 1 3 36 là: A. 1 B. 4 C. 2 D. 3 2020 2019 Câu 8. Số nghiệm của phương trình :x 2019 x 2020 1 là: A. .3 B. 2 C. 1 D. Vô số nghiệm 2 Câu 9. Tìm giá trị của m để phương trình sau có nghiệm âm. 4 m (x 1) x 1 A.4 m 6 B.4 m 6 C. 4 m 6 D. m = 4 hoặc m = 6 Câu 10. Một người đi một nửa quãng đường AB với vận tốc 20 km/h và đi phần còn lại với vận tốc 30km/h. Tính vận tốc trung bình của người đó trên toàn bộ quãng đường. A. 25 B. 26 C. 27 D. 24 Câu 11. Cho tam giác ABC có µA 1200 , AB = 3cm, AC = 6cm. Độ dài đường phân giác AD bằng: A. 2 cm B .4 cm C. 3cm D. 5 cm Câu 12. Một hình thang cân có đường chéo vuông góc với cạnh bên, biết đáy nhỏ bằng 14cm đáy lớn bằng 50cm. Tính diện tích hình thang. A. 766 cm2 B. 756 cm2 C. 758cm2 D. 768cm2 Câu 13. Một đa giác lồi có n cạnh, số đường chéo là n 150 . Số cạnh của đa giác đó là: A. n 21 B. n 17 C.n 20 D. n 16 1
2. Câu 14. Cho tam giác ABC có AB= 6cm, AC= 8cm. Các đường trung tuyến BD và CE vuông góc với nhau. Tính độ dài BC: 3 5 5 A. B.2 5 C. D. 2 2 3 Câu 15. Cho tam giác ABC vuông tại A; đường cao AH  BC, H BC . Biết HB = 9cm, HC = 16 cm. Độ dài cạnh AB, AC là: A. 15cm và 20cm B. 12 cm và 23cm C. 14cm và 21cm D. 18cm và 17cm Câu 16. Một quả bóng đá được khâu từ 32 miếng da. Mỗi miếng ngũ giác màu đen khâu với 5 miếng màu trắng, và mỗi miếng lục giác màu trắng khâu với 3 miếng màu đen, như hình vẽ. Số miếng màu trắng là: A. 22 B. 24 C. 20 D. 18 B. PHẦN TỰ LUẬN (12 điểm) Câu 1. (3,0 điểm). a) Chứng minh rằng tổng các bình phương của năm số nguyên liên tiếp không là số chính phương. b). Tìm số nguyên tố a, b, c biết: abc a b c 200 Câu 2.(4,0 điểm). a) Cho 4a 2 15ab 3b 2 0;b 4a . Tính giá trị của biểu thức: 5a b 3b 2a T 4a b 4a b 2x x 5 b) Giải phương trình: x2 x 1 x2 x 1 3 Câu 3. (4,0 điểm). 1. Cho hình vuông ABCD cạnh a, điểm E thuộc cạnh BC, điểm F thuộc cạnh AD sao cho CE = AF. Các đường thẳng AE, BF cắt đường thẳng CD theo thứ tự ở N, M. a) Chứng minh rằng CN. DM = a2. b) Gọi K là giao điểm của MA và NB. Chứng minh rằng:M· KN 900 c) Tìm vị trí của E và F để MN nhỏ nhất. 2. Cho tam giác ABC (AB < AC) Trên AB, AC có hai điểm M, N di động sao cho BM = CN. Chứng minh rằng trọng tâm G của tam giác AMN di động trên một đường cố định. Câu 4. (1,0 điểm). Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: x + y +z =1. x4 y4 z4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q x2 y2 x y z2 y2 z y z2 x2 x z HẾT Họ và tên thí sinh: SBD: 2
3. PHÒNG GD & ĐT LÂM THAO THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2018-2019 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 8 I. Một số chú ý khi chấm bài - Đáp án chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách. Khi chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic và có thể chia nhỏ đến 0,25 điểm. - Thí sinh làm bài theo cách khác với đáp mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với thang điểm của đáp án. - Điểm bài thi là tổng điểm các câu không làm tròn số. II. Đáp án – thang điểm 1. Phần trắc nghiệm khách quan( 8 điểm) Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Đáp án A B C D B A C B A D A D C B A C đúng Điểm 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 2. Phần tự luận ( 12 điểm) Đáp án Điểm Câu 1 (3,0 điểm) a) (1,5 điểm) Chứng minh rằng tổng các bình phương của năm số nguyên liên tiếp không 1,5 là số chính phương. Ta có: (a 2) 2 (a 1) 2 a 2 (a 1) 2 (a 2) 2 5(a 2 2) 0,5 Do a 2 không có tận cùng là 3 và 8 nên a 2 2 không chia hết cho 5 0,5 Vậy 5(a 2 2) Không là số chính phương. 0,5 b) (1,5 điểm) Tìm số nguyên tố a, b, c biết. abc a b c 200 Vì a, b, c có vai trò như nhau. Giả sử a b c abc a b c 200 abc a b c 200 c(ab 1) (ab 1) ab a b 1 202 0,5 (ab 1)(c 1) (b 1)(a 1) 202 Nếu cả ba số đều là nguyên tố lẻ thì vế trái chia hết cho 4. vế phải không chia hết cho 4 (loại).Suy ra tồn tại một số bằng 2 suy ra c=2 2ab a b 204 (2a 1)(2b 1) 405 (2a 1)(2b 1) 5.34 vi 3 (2b 1) 2a 1 9 (2b 1)2 (2a 1)(2b 1) 405 Ta có 0,5 3 2b 1 20 2b 1 3;5;9;15. b 2;3;5;8(loai)  Nếu b = 2 thì a = 68 (loại). Nếu b= 3 thì a= 41 0,25 Nếu b= 5 thì a= 23 3
4. Đáp án Điểm Vậy a,b,c (2;5;23);(2;3;41) va hoan vi  0,25 Câu 2. (4 điểm) a) Cho 4a 2 15ab 3b 2 0;b 4a . Tính giá trị của biểu thức. 5a b 3b 2a T 4a b 4a b 5a b 3b 2a (5a b)(4a b) (4a b)(3b 2a) T = 4a b 4a b (4a b)(4a b) 0,5 12a 2 15ab 4b 2 16a 2 b 2 0,5 2 2 Thay 15ab 4a 3b vào T ta được 0,5 16a 2 b 2 T 1 16a 2 b 2 O,5 2x x 5 b) Giải phương trình. x2 x 1 x2 x 1 3 Ta có . 2 2 1 3 1 2 3 0,25 x x 1 x x (x ) f 0 x 4 4 2 4 1 3 1 3 x2 x 1 x2 x (x )2 f 0 x 4 4 2 4 Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình suy ra x 0 . Chia cả tử và mẫu cho x ta có. 2x x 5 2 1 5 0,25 2 2 1 1 x x 1 x x 1 3 x 1 x 1 3 x x 1 Đặt x y ta có . x 2 1 5 5y2 3y 14 0 y 1 y 1 3 y 2 (y 2)(5y 7) 0 5 y 0,5 7 1 2 Nếu y=2 x 2 x 1 0 x 1 x 2 7 1 7 7 51 0,75 Nếu y x x 0 (vô nghiệm ) 5 x 5 10 100 Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1 0,25 .Câu 3. (4,0 điểm). Cho hình vuông ABCD cạnh a, điểm E thuộc cạnh BC, điểm F 4
5. Đáp án Điểm thuộc cạnh AD sao cho CE = AF. Các đường thẳng AE, BF cắt đường thẳng CD theo thứ tự ở N, M a)Chứng minh rằng CN. DM = a2 b)Gọi K là giao điểm của NB và MA. Chứng minh rằng. M· KN 900 c)Tìm vị trí của E và F để MN nhỏ nhất. K A B 0,25 F E M D C N 1. CN CE FA AB 2 0,75 a)AB//CD suy ra . CN.DM a AB BE FD DM CN DA b) Ta có từ câu a) BCN đồng dạng MDA (c.g.c) C·NB D·AM BC DM 1 K·MN K·NM 900 . Vậy M· KN 900 c) Ta có MN MD CD CN CD 2 MD.NC a 2a 3a (Áp dụng bất đẳng thức cosi). Vây min MN = 3a khi CN = DM thi E, F là trung điểm BC, AD 1 2. Cho tam giác ABC (AB < AC) Trên AB, AC có hai điểm M, N di động sao cho BM = CN. Chứng minh rằng trọng tâm G của tam giác AMN di động trên một đường cố định. 5
6. Đáp án Điểm P A Q L x G M I 0,25 K N F B E C Gọi I, F, E là trung điểm MN, BN, BC và IE cắt AC, AB tại L, P. Ta có IF, FE là đường trung bình của tam giác BNM, BNC 1 IF / /BM , FI BM 2 0,5 1 va FE / /NC,EF NC 2 Vì BM = CN suy ra tam giác EFI cân . F· IE F· EI ·APL ·ALP ALP cân. Gọi Ax là tia phân giác góc BAC Ax//PL . Gọi K là trọng tâm tam giác ABC ta có G là trọng tâm tam giác AK AG 2 AMN KG / /IE KG / Ax 0,25 AE AI 3 Vậy khi M, N di động trên AB, AC thi G di động đông trên KQ cố định x4 y4 z4 Câu 4. (1,0 điểm). Q x2 y2 x y z2 y2 z y z2 x2 x z 2 2 2 a b 2 Ta có a b 0 a b dấu (=) xảy ra khi a= b 2 Ta có . x4 y4 0,25 x y x2 y2 x y x2 y2 x y y4 z4 y z z2 y2 z y z2 y2 z y z4 x4 z x 2 2 2 2 0,25 z x z x z x z x 6
7. Đáp án Điểm x4 y4 z4 Q x2 y2 x y z2 y2 z y z2 x2 x z 1 x4 y4 y4 z4 x4 z4 2 x2 y2 x y z2 y2 z y z2 x2 x z 1 (x2 y2 )2 (y2 z2 )2 (x2 z2 )2 0,25 4 x2 y2 x y z2 y2 z y z2 x2 x z 1 (x2 y2 ) (y2 z2 ) (x2 z2 ) 4 x y z y z x 1 (x y)2 (y z)2 (x z)2 1 1 x y z 8 x y z y x z 4 4 1 1 Vậy min Q khi x y z 4 3 0,25 .Hết 7
8. a ) Cho 3 số a, b, c thỏa mãn b c, a b c và c2 2(ac bc ab) . a2 (a c)2 a c Chứng minh rằng : b2 (b c)2 b c a)(1,5 điểm a) Cho a, b, c là ba số nguyên thỏa mãn (a b)(b c)(c a) a b c . Chứng minh rằng. a b cM27 Nếu có hai số chia cho 3 có cùng số dư thì vế trái chia hết cho 3 còn vế phải không chia hết cho 3 (loại ) Nếu có ba số chia cho 3 có số dư khác nhau thì vế phải chia hết cho 3, vế trái không chia hết cho 3 (loại) Suy ra cả ba số chia cho 3 có cùng số dư vế phải chia hết cho 27. vậy a b cM27 a)Cho 3 số a, b, c thỏa mãn b c, a b c và c2 2(ac bc ab) . a2 (a c)2 a c Chứng minh rằng : b2 (b c)2 b c Ta có c2 2(ac bc ab) c2 2ac 2bc 2ab 0 (1) Thay (1) vào tử số ta có a2 (a c)2 a2 (a c)2 0 a2 a2 2ac c2 c2 2ac 2bc 2ab 2(a c)2 2b(a c) 2(a c)(a b c) Tương tự ta có mẫu số b2 (b c)2 2(b c)(a b c) a2 (a c)2 2(a c)(a b c) (a c) Vậy b2 (b c)2 2(b c)(a b c) (b c) 8