Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 9

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 9

1. Câu 1: (4 điểm) Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn xy yz xz 1 2 a) Chứng minh: 1 x (x y)(x z) (1 y2 )(1 z2 ) (1 z2 )(1 x2 ) (1 x2 )(1 y2 ) b) Tính P x y z 1 x2 1 y2 1 z2 Câu 2: (4 điểm) 64 a) Cho a 3 2 3 3 2 3 . Chứng minh rằng 3a là một số nguyên. (a2 3)3 b) Cho đường thẳng (d): y = x + 2m – 3. Gọi A, B lần lượt là giao điểm của (d) với Ox và Oy. Xác định m để diện tích ABO bằng 2. Câu 3: (4 điểm) a) Tìm các chữ số a, b để a56b chia hết cho 45. 2 2 x b) Giải phương trình: 2x x 6 x x 2 x 4 Câu 4: (6 điểm) Cho hai đường tròn (O) và (O') ở ngoài nhau. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài AB và tiếp tuyến chung trong EF (A, E (O), B, D (O′)). Gọi M là giao điểm của AB và EF. a) Chứng minh rằng △AOM và △BMO′ đồng dạng. b) Chứng minh rằng AE vuông góc với BF. c) Gọi N là giao điểm của AE và BF. Chứng minh rằng ba điểm O, N, O' thẳng hàng. Câu 5: (2 điểm) x2 y2 x y Tính GTNN của biểu thức M = 4( ) 1 với x, y ≠ 0, xy > 0. y2 x2 y x