Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 10 - Năm học 2018-2019 - Trường THPT Đan Phượng (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 10 - Năm học 2018-2019 - Trường THPT Đan Phượng (Có đáp án)

1. SỞ GD&ĐT HÀ NỘI KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THPT ĐAN PHƯỢNG MÔN: TOÁN Năm học: 2018-2019 Đề chính thức Thời gian làm bài: 120 phút (Đề thi có 1 trang) (Không kể thời gian giao đề) Câu I (6 điểm) 1) Cho parabol (P) : y 2x2 6x 1 ; Tìm giá trị của k để đường thẳng : y (k 6)x 1 cắt parabol P tại hai điểm phân biệt M , N sao 3 cho trung điểm của đoạn thẳng MN nằm trên đường thẳng d : y 2x 2 2) Giả sử phương trình bậc hai ẩn x (m là tham số): x2 2(m 1)x m3 (m 1)2 0 có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện x1 x2 4 . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức sau: 3 3 P x1 x2 x1x2 3x1 3x2 8 Câu II (5điểm): 1) Giải bất phương trình: (x 1)(x 4) 5 x2 5x 28 (x R) 2 2 x y 2y 6 2 2y 3 0 2) Giải hệ phương trình : (x; y R) 2 2 2 2 (x y) x xy y 3 3 x y 2 2018 2019 Câu III (2 điểm). Cho x 0, y 0 là những số thay đổi thỏa mãn 1 . Tìm giá trị nhỏ x y nhất của biểu thức P x y Câu IV(4 điểm) 1) Cho tam giác ABC có BC a, AC b diện tích bằng S . 1 Tính số đo các góc của tam giác này biết S a2 b2 4 2) Cho tam giác ABC là tam giác đều có độ dài cạnh bằng a . Trên các cạnh BC,CA, AB lần lượt lấy a 2a các điểm N, M , P sao cho BN ,CM , AP x 0 x a . 3 3 Tìm giá trị của x theo a để đường thẳng AN vuông góc với đường thẳng PM Câu IV(3 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thang ABCD với hai đáy là AB và CD . Biết 1 diện tích hình thang bằng 14 ( đơn vị diện tích), đỉnh A 1;1 và trung điểm cạnh BC là H ;0 . 2 Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB biết đỉnh D có hoành độ dương và D nằm trên đường thẳng d :5x y 1 0 . Hết Trang 1
2. ĐÁP ÁN Câu I: Câu I Nội dung Điểm 6 điểm Tìm m với parabol y 2x2 6x 1 Để đường thẳng cắt Parabol tại hai điểm phân biệt thì phương trình 2x2 6x 1 4x 6x 1 có hai nghiệm phân biệt x ; x hay phương trình : 1 2 0.75 2 2 2x kx 2 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 có k 16 0 Khi đó giao điểm M x1;(k 6)x1 1 , N x2 ;(k 6)x2 1 nên trung điểm của 0.75 x1 x2 (x 6)x1 1 (x 6)x2 1 đoạn thẳng MN là I ; 2 2 1 2 2 3k k k k 2 Theo định lý Viet ta có x1 x2 nên I ; 0.75 2 4 2 3 Do I thuộc đường thẳng y 2x nên k 2 8k 2 0 hay k 4 3 2 thì 2 0.75 thỏa mãn bài toán. 2. Giả sử phương trình bậc hai ẩn x ( m là tham số); 3 điểm 2 3 2 x 2(m 1)x m (m 1) 0 (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện x1 x2 4 . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức sau: 3 3 P x1 x2 x1x2 3x1 3x2 8 Phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện x1 x2 4 khi (m 1)2 m3 (m 1)2 0 m3 4m 0 2 m 0 0.75 (*) . x1 x2 2(m 1) 4 m 3 2 m 3 Với m thỏa mãn điều kiện (*), áp dụng Viet ta có : 0.75 Trang 2
3. x1 x2 2(m 1) 3 2 x1  x2 m (m 1) 3 3 3 Nên P x1 x2 x1x2 3x1 3x2 8 x1 x2 8x1x2 8(m 1)3 8 m3 (m 1)2 2 2 2 2 0.75 8 3m 3m 1 m 2m 1 8 2m 5m 16m 40m Ta có bảng biến thiên hàm số trên miền điều kiện Ta có giá trị lớn nhất của P là 16 khi m 2 0.75 Giá trị nhỏ nhất của P là -144 khi m 2 Câu II Câu II Nội dung Điểm 1. Đk: x ¡ 0.5 2 điểm Ta có (1) x2 5x 28 24 5 x2 5x 28 0 Đặt t x2 5x 28(t 0) 0.5 Bất phương trình trở thành t 2 5t 24 0 3 t 8 So sánh điều kiện ta được 0 t 8 0.5 Với 0 t 8 x2 5x 28 64 9 x 4 0.5 KL đúng 2. (3 điểm) ĐKXĐ: y 1,5 0.5 (2) x3 y3 3x 3y 3 x2 y2 2 (x 1)3 (y 1)3 x 1 y 1 y x 2 0.5 Trang 3
4. Thay vào phương trình thứ nhất ta được; 2 2 2 1 1 2x 1 1 x x 3x 1 2x 1 x 2x 1 (Có 1.0 2 2 2x 1 x thể bình phương được phương trình: (x 1)2 x2 4x 2 0) Giải hai pt này ta được x 1, x 2 2 . Thử lại nghiệm 1.0 KL: Hệ phương trình có hai nghiệm là (x; y) (1; 1),(2 2, 2) Câu III Câu III Nội dung Điểm 1. 2018 2019 P (x y) x y 2 điểm Có 0.5 2018y 2019x 2018 2019 x y 2018y 2019x Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số đương và ta được x y 2018y 2019x 2 2018.2019 0.5 x y Suy ra P ( 2018 2019)2 x 0; y 0 2 2018 2019 GTNN của P là ( 2018 2019) khi 10.5 0.5 x y 2018y 2019x x y x 2018( 2018 2019) 0,5 y 2019( 2019 2018) Trang 4
5. Câu IV Câu IV Nội dung Điểm 1. 1 1 Ta có S a2 b2 absin C 0,5 4 2 2 điểm a2 b2 2absin C 0,5 (a b)2 2ab(1 sin C) 0 (1) Hai số hạng của tổng (1) đều không âm nên a b 0 a b 0 0,5 1 sin C 0 sin C 1 A B 45  C 90 0,5 KL đúng 1.     1   2  1  0,5 Ta có AN AB BN AB (AC AB) AB AC 3 3 3 2 điểm    1  x  Ta lại có PM PA AM AC AB 0,5 3 a   2  1  1  x  AN  PM AN  PM 0 AB AC  AC AB 0 3 3 3 a 0.5 2   2x  2 x   1  2 AB  AC AB AB  AC AC 0 9 3a 3a 9 5x 2 4a x . KL đúng 0.5 6a 9 15 Trang 5
6. Câu V Câu V Nội dung Điểm Gọi E AH  DC 3 điểm 0.5 Dễ thấy HAB HEC SADE SABCD 14 13 AH , AE 2AH 13 , phương trình tổng quát của đường thẳng AE: 2 0.5 2x 3y 1 0 D d D(d;5d 1),d 0 d 2 1 28 0.5 SADE AE d(D, AE) 14 d(D, AE)  30 2 13 d (L) 13 Suy ra D(2;11) 0.5 + H là trung điểm AE E( 2; 1) Phương trình tổng quát của CD: 3x y 5 0 0.5 Đường thẳng AB đi qua A và song song với CD PT tổng quát của AB : 3x y 2 0 0.5 Trang 6