Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2019-2020 - Sở giáo dục và đào tạo Hà Nam (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2019-2020 - Sở giáo dục và đào tạo Hà Nam (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS TẠO NĂM HỌC 2019-2020 HÀ NAM Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài 150 phút ĐỀ CHÍNH THỨC Tên : Trƣơng Quang An .Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tƣ Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi.Điện thoại : 0708127776.Nguồn gốc : SƢU TẦM 10x 4 5 x 8 5 x 5 x Câu 1(4,0 điểm) Cho biểu thức P 1 với 5x 5 x 8 5 x 2 5 x 4 2 5 x 4 xx 0, . 5 a)Rút gọn biểu thức P. b)Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên. Câu 2(2,0điểm) Cho hai đƣờng thẳng 1 1 1 2018 2019 2020 dy:3 và d : y x ( m là tham số). Tìm điều m 1 m m 1 m 1 m m 1 kiện của tham số m để hai đƣờng thẳng dd, cắt nhau. Gọi A là giao điểm của hai đƣờng thẳng d và d , tìm để độ dài đoạn thẳng OA bằng 5. Câu 3(4,0 điểm) 2xx2 a)Giải phƣơng trình 2 2xx2 4. 2xx2 10 x y 2 21 xy xy b)Giải hệ phƣơng trình 22 x y 1 xy 2 x y . Câu 4(1,5 điểm) Cho hai số nguyên dƣơng m và n thỏa mãn m là ƣớc của 2.n2 Chứng minh rằng nm2 không là số chính phƣơng. Câu 5(7,0 điểm) 1)Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đƣờng tròn OR;, các đƣờng cao AD,, BE CF của tam giác ABC cắt nhau tại H . Đƣờng thẳng AD cắt OR; tại điểm thứ hai là M. Đƣờng thẳng qua H và vuông góc với OA cắt BC tại K. a)Chứng minh BAH OAC. b)Chứng minh đƣờng thẳng KM là tiếp tuyến của OR;.
2. c)Giả sử điểm A cố định, các điểm B, C thay đổi trên đƣờng tròn OR; thỏa mãn AB. AC 3 R2 . Khi tam giác ABC có diện tích lớn nhất, tính độ dài đoạn thẳng OF. 2)Cho tam giác đều ABC nội tiếp đƣờng tròn OR; , M là một điểm bất kì trên cung nhỏ BC (M không trùng với B và C). Đƣờng tròn OR ; (với RR ) tiếp xúc trong với đƣờng tròn tại điểm M. Các đoạn thẳng MA,, MB MC lần lƣợt cắt đƣờng tròn OR'; tại điểm thứ hai là DEF,,.Từ ABC,, kẻ các tiếp tuyến AI,, BJ CK với đƣờng tròn OR ; , trong đó IJK,, là các tiếp điểm. Chứng minh rằng DE song song với AB và AI BJ CK. Câu 6(1,5 điểm) Cho các số dƣơng x,, y z thỏa mãn xyz 1. Chứng minh rằng x2 y 2 y 2 z 2 z 2 x 2 1 2 222 2 222 2 222 . 2x 3 xyy 2 y 3 yzz 2 z 3 zxx 2 Lời giải 10x 4 5 x 8 5 x 5 x Câu 1(4,0 điểm) Cho biểu thức P 1 với 5x 5 x 8 5 x 2 5 x 4 2 5 x 4 xx 0, . 5 a)Rút gọn biểu thức P. b)Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên. Lời giải a2 2a 3 5x 2 5x 3 a.Đặt aa 5x 0; 2 ta đƣợc P a 2 5x 2 b.Ta có a2 2a 3 5x 2 5x 3 5x 1 P  2;5x 1 0 x ;5 x 1 ; P 5 x 2 . a 2 5x 2 5x 2 3 5x 2 1 Lại có P 5x 5 x 2 U (3) x 5. 5x 2 5x 2 3 Câu 2(2,0điểm) Cho hai đƣờng thẳng 1 1 1 2018 2019 2020 dy:3 và d : y x ( m là tham số). Tìm điều m 1 m m 1 m 1 m m 1 kiện của tham số m để hai đƣờng thẳng dd, cắt nhau. Gọi A là giao điểm của hai đƣờng thẳng d và d , tìm để độ dài đoạn thẳng OA bằng 5.
3. Lời giải 1 1 1 3 Ta có mm 0; 1.Để d cắt d’ thì 0 m .Vậy m 1 m m 1 3 3 ; m thì d cắt d’.Hoành độ điểm A là nghiệm của phƣơng trình 3 1 1 1 2018 2019 2020 1 1 1 x 3 ( x 2019 m ). 0 x m 2019 m 1 m m 1 m 1 m m 1 m 1 m m 1 22 m 2023 .Vậy A(2019-x;3).Ta có AO 5 ( m 2019) 3 5 (thỏa). m 2015 Câu 3(4,0 điểm) 2xx2 a)Giải phƣơng trình 2 2xx2 4. 2xx2 10 x y 2 21 xy xy b)Giải hệ phƣơng trình 22 x y 1 xy 2 x y . Lời giải a.Ta có 2 2 2x xx 4 0  2x x 2 2 ; 2 2x x 4 2x xx 10 0  2x2 x 10 2x2 x 0 2 11 (2x x ) 0 11. 22 2x xx 10 2x 4 2 0 2x22 xx 10 2x 4 2 x 0 2 Với 2x x 0 1 . x 2 Với 11 0 2x2 xx 42 2x 2 10 (2x1) 2 4x 2 140 2x22 xx 10 2x 4 2 (vô nghiệm).
4. (x y )2 2x y ( xy 1) x 2 y 2 2x 2 y 2 b.Ta có 2 2 2 2 (1) .Ta thấy x=y=0 là 1 (xy )(1 xy ) 2( xy ) ( xy )(1 xy ) 4 xy nghiệm của hệ phƣơng trình (1).Với x,y khác 0 ta có 1 1 1 1 11 2 2 (2) 2 2 2 2 2 x y x y xy (1) xy 1. 1 1 1 1 1 2 1 1 4 2 8 (3) 1 x y xy x y xy xy Câu 4(1,5 điểm) Cho hai số nguyên dƣơng m và n thỏa mãn m là ƣớc của 2.n2 Chứng minh rằng nm2 không là số chính phƣơng. Lời giải: Giả sử n2 + m là số chính phƣơng. Đặt n2 + m = k2 (1) (với k nguyên dƣơng) Theo bài ta có 2n2 = mp (p nguyên dƣơng) m 2: n2 p , thay vào (1) ta có: 2 2n 2 2 n2 k 2 np 2 2 22 pnpk 2 2 2 np 2 2 p pk . Do n2, pk chính phƣơng, nên p pp2 2 phải chính phƣơng.Mặt khác p22 p 21 p p 2 , tức không chính phƣơng. Nên giả sử sai. Vậy n2 + m không chính phƣơng Câu 5(7,0 điểm) 1)Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đƣờng tròn OR;, các đƣờng cao AD,, BE CF của tam giác ABC cắt nhau tại H . Đƣờng thẳng AD cắt OR; tại điểm thứ hai là M. Đƣờng thẳng qua H và vuông góc với OA cắt BC tại K. a)Chứng minh BAH OAC. b)Chứng minh đƣờng thẳng KM là tiếp tuyến của OR;. c)Giả sử điểm A cố định, các điểm B, C thay đổi trên đƣờng tròn OR; thỏa mãn AB. AC 3 R2 . Khi tam giác ABC có diện tích lớn nhất, tính độ dài đoạn thẳng OF. 2)Cho tam giác đều ABC nội tiếp đƣờng tròn OR; , M là một điểm bất kì trên cung nhỏ BC (M không trùng với B và C). Đƣờng tròn OR ; (với RR ) tiếp xúc trong với đƣờng tròn tại điểm M. Các đoạn thẳng MA,, MB MC lần lƣợt cắt đƣờng tròn OR'; tại điểm thứ hai là DEF,,.Từ ABC,, kẻ các tiếp tuyến AI,, BJ CK với đƣờng tròn OR ; , trong đó IJK,, là các tiếp điểm. Chứng minh rằng DE song song với AB và AI BJ CK.
5. A E F H N O K D B C P M I A D I K O C O' F E M J B x Lời giải: a.Kẻ đƣờng kính AI của (O) ta có ACI 900 ; AB D AIC AB Dđồng dạng AIC HAB OAC b.Gọi N là giao điểm của HK và OA.Ta có MBC MAC;;D CHB MAC MBC CBH B  MH hayBC là trung trực cuả HM.Ta có K thuộc BC hay KM=KH hay tam giác KMH cân tại K hay KMH KHM AHN(1); OMA OAM(2) KMH OMA AHN OAM 900 ( HN  OA ) hay KN là tiếp tuyến của (O). c.Kẻ AB AI3R 3R. CB OP BC( P BC ); AB D AIC A D.2R 3R2 A D ; S .Ta AD AC 2ABC 4 có SABC lớn nhất khi BC lớn nhất hay OP nhỏ nhất.Mà ta có RR OP OA AP AD OP A D-AO= OP BOC 1200 và O,P,A thẳng hàng 22min
6. và P trùng D.Lúc đó tam giác ABC cân tại A và BAC 600 hay tam giác ABC đều R hay OF 2 2.Kẻ tiếp tuyến chung Mx của (O);(O’) .Ta có BE BM MAB xMB; MDE xMB MAB MDE DE / / AB (1); AD AM BJ22 BM BJ BM CK CM BJ CK BM CM AI22 AD. AM ; BJ BE . BM (2); (3) AI22 AM AI AM AI AM AI AM BJ CK BM CM .Ta chứng minh đƣợc MA=MB+MC.Do vậy 1 AI BJ CK AI AM Câu 6(1,5 điểm) Cho các số dƣơng x,, y z thỏa mãn xyz 1. Chứng minh rằng x2 y 2 y 2 z 2 z 2 x 2 1 2 222 2 222 2 222 . 2x 3 xyy 2 y 3 yzz 2 z 3 zxx 2 Lời giải Ta có 1 1 1 1 1 1 1 (*);a 0; b 0; c 0; abc 1.Khi đó ta có 2 1 2 1 2 1 3 3 3 2 x y z y2 x 2 z 2 y 2 x 2 z 2 1 1 1 1 (*) tƣơng đƣơng .Ta có a2 2 b 2 3 b 2 2 c 2 3 c 2 2 a 2 3 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 .Dấu bằng ab 2323232 bc ca abb 1 aca 1 bcc 12 xảy ra khi a=b=c=1 hay x=y=z=1.
7. CHUYÊN GIA VỀ TOÁN HÀNG ĐẦU TẠI QUẢNG NGÃI ,NHƯNG MÀ GIÁO DỤC XÃ HỘI KHÔNG CẦN TOÁN CAO CẤP ,TOÁN NÂNG CAO ,BỒI DƯỠNG HSG TỈNH HUYỆN ,CASIO SỐ MỘT TẢI QUẢNG NGÃI – VÙNG ĐẤT NGHÈO NHẤT VIỆT NAM Ngày 15-11-2016 tạp chí toán tuổi thơ mời mình ra Hà Nội ,Lại một lần nữa mình không ra dƣợc vì không có tiền mua vé tàu .Tại sao cuộc đời lại bất công với tôi nhƣ thế .Mình sống trên núi cao quá ,mọi thứ đều khó khăn Trên chuyến tàu của toán học luôn thiếu mình .Một lời giải mà mình giải không ra .Đó là Tiền ,tại sau toi lại bần cùng đến nhƣ vậy hả trời .Buồn cho xã hội không tận dụng nhân tài .Tuyển dụng công chức là để tìm ngƣời nhà và tiền .Kẻ nhƣ tôi thì không có : THÂN THẾ TIỀN và nhƣ thế bị vứt ra đƣờng trong chuyến tàu tốc hành của giáo dục Việt Nam .Tại sao ngƣời ta có thể mua một kg nho Nhật Bản với giá 1,3 triệu -1,5 triệu để ăn mà mình lại mua một vé tàu đi về Quảng Ngãi –Hà Nội giá 700 trăm nghìn không đƣợc ,bài toán giải mãi mà chẳng xong .Ngƣời bần cùng ,kẻ thì mua kg nho Nhật Bản 2 triệu cho đứa con 4 tuổi để ăn
8. ,mua hàng mà phải đặt tiền cọc trƣớc .Nho này hiếm mà có kg nào nhập về là dân Việt Nam giới thƣợng lƣu mua hết trong một giời đồng hồ .Thật sự sốc ,trái cây Việt Nam rẻ nhƣ bèo mà “cho không lấy ,thấy không xin nói gì tới việc mua bán nữa “Tôi tên là :Trƣơng Quang An Vừa rồi ngày 4-1-2016 tôi có nhận đƣợc 1 giấy mời ra Hà Nội nhân diệp tạp chí toán tuổi thơ 15 năm tuổi .Bản thân tôi và gia đình rất vui và thấy đây là một vinh dự nhƣng hoàn cảnh gia đình quá khó khăn .Tôi đi làm lƣơng quá thấp ,dạy hợp đồng ,vợ tôi đi làm công nhân ở xa .sáng đi 5h sáng ,chiều 8h mới về nhà .Vợ tôi làm thì tháng nào có sản phẩm thì có lƣơng ,không có sản phẩm làm thì tháng đó không có lƣơng ,một tháng đƣợc 2 triệu /tháng .Hai vợ chồng làm không đủ trang trải cho cuộc sống hằng ngày .Tôi học toán-tin và chỉ dạy tin học .Thời gian làm thêm phụ gia đình nhiều để có tiền trang trải cuộc sống .Cha tôi ngày xƣa làm phụ hồ ,làm thuê làm mƣớn cho ngƣời ta ,mẹ tôi đi rửa chén thuê cho các nhà quán ăn .Tôi đam mê toán học khi là học sinh cấp 1 .Tôi rất nghèo nhƣng niềm đam mê toán học trong tôi rất lớn dù tôi có hoạt đông bên lĩnh vực khác .Tôi xin chân thành cảm ơn tạp chí đã có thƣ mời tôi ra Hà Nội nhé .Tiền tàu xe đi và về ,ăn ở bản thân tôi lo không nổi nên không thể ra dự với tạp chí .Năm ngoái tôi không ra Đà Nẵng dự hội thảo đƣợc ,năm nay lại thất hứa .Xin lỗi tạp chí TOÁN TUỔI THƠ ,tuy nhiên tôi xin chúc tạp chí luôn phát triển mạnh mẽ và có nhiều ngƣời đam mê toán học nhé .Tôi xin hứa là sẽ thƣờng xuyên viết bài và gởi bài cho tạp chí toán tuổi thơ và tạp chí toán học& tuổi trẻ Tôi rất buồn .Xin chân thành ghi nhận tấm lòng của tạp chí Tên : Trƣơng Quang An
9. Ngày sinh :20-5-1987 Tốt nghiệp cao đẳng sƣ phạm toán quảng Ngãi năm 2009 Ra trƣờng đi xin việc khắp mọi nơi vào cuối năm 2011 mới xin hợp đồng làm việc giảng dạy toán cho 1 trƣờng cấp 2 Nhà hiện nay ở Thành Phố Quảng Ngãi Thành tích lúc đi học : Lớp 8 : Học sinh đạt giải nhì học sinh giỏi toán cấp thị xã Quảng Ngãi Lớp 9 : Học sinh đạt giải ba học sinh giỏi toán cấp thị xã Quảng Ngãi Lên cấp 3 học Trƣờng Cấp 3 Chuyên Lê Khiết Năm 2005 thi đại học sƣ phạm Quy Nhơn đạt 28 điểm , tôi phải xa giảng đƣờng đại học vì mẹ tôi đau quá nặng ,gánh nặng cơm áo gạo tiền mà tôi phai chia tay đại học .Sau đó tôi về quê nhà học cao đẳng sƣ phạm Quảng Ngãi 3 năm học tại đây tôi là sinh viên giỏi nhất khoa về Toán học .Các Thành tích : - Giải nhất toán lý sơ cấp 3 năm học 2006,2007,2008 -Ba năm giải nhất môn giải tích trong kỳ thi ÔLIMPIC TOÁN SINH VIÊN cấp trƣờng Cao Đẳng Sƣ Phạm Quảng Ngãi năm học 2006 ,2007,2008 -Trong 3 lần đại diện cho trƣờng thi ÔLIMPIC TOÁN SINH VIÊN Toàn quốc thì 1 lần đạt giải ba ,1 lần giải khuyến khích . -Ba năm liền đạt giải nhất trong kỳ thi sinh viên giải toán trên máy tính casio cấp trƣờng . -Sinh viên đầu tiên của trƣờng cao đẳng sƣ phạm đƣợc đăng đề trong mục đề ra kỳ này của tạp chí toán học tuổi trẻ -Sinh viên đầu tiên của trƣờng cao đẳng sƣ phạm đƣợc đăng bài trong mục chuyên đề của đặc san tạp chí toán học tuổi trẻ -Giáo viên đầu tiên của tỉnh Quảng Ngãi đƣợc đăng bài trên đặc san tạp chí toán học và tuổi trẻ -Hiện nay sáng dạy ở trƣờng vì đồng lƣơng quá thấp nên đi dạy kém khắp nơi đề kiếm thêm tiền để trang trải cuộc sống hằng ngày và phụ giúp cha mẹ nghèo ở quê Quảng Ngãi -Bản thân là ngƣời rất đam mê môn toán từ khi tôi còn là học sinh lớp 7 , hiện nay tôi thƣờng giải các bài tập khó và dạy kèm cho các học sinh có nhu cầu vào chuyên toán -Hiện nay bản thân muốn học lên đại học nhƣng có lẻ ƣớc mơ đó của tôi không thành hiện thức vì chuyện tiền bạc va gia đình hoàn cảnh -Những giáo viên yêu toán nếu có nhu cầu giải các bài toán khó và giao lƣu học hỏi -Xóm tôi bình thƣờng lắm ,bọn nhỏ ngây thơ ,ngộ nghĩnh đáng yêu .Hằng ngày bọn trẻ xóm tôi thƣờng nhờ tôi giúp các bài toán khó .Tôi đến với tạp chí toán học tuổi trẻ khi tôi còn là một học sinh lớp 7 .Mƣời sáu năm qua tôi đã coi tạp chí
10. nhƣ một ngƣời bạn quen thuộc mà tôi mong đợi vào ngày 15 hằng tháng .Ban đầu tôi thích thú tò mò tìm thêm tài liệu ,sau nay cố gắng giải các bài tập trong chuyên mục đề ra kỳ này .Trong 16 năm qua tạp chí đã cho tôi đƣợc tiếp xúc với các bài toán rất hay ,chuyên đề hay .Ba năm học cao đẳng là thời gian đẹp nhất cuộc đời tôi .Tôi bƣớc vào sƣ phạm toán với nền tảng kiến thức vô cùng tốt .Ngay tôi đƣợc tạp chí đăng 1 bài trên chuyên mục đề ra kỳ này tôi rất vui sƣớng ,không tả nỗi .Đó là thời điểm năm 2008 ,khi đó tôi chỉ là 1 sinh viên nghèo của trƣờng ,điều kiện học tập không có ,sinh viên cao đẳng nhƣ tôi viết bài cho 1 tạp chí toán học là điều viễn vông ,đó là sƣ thật .Nhƣng tôi không nản lòng và cuối cùng tôi cũng đạt đƣợc ƣớc mơ của tôi .Những ngày đó thật khó khăn ,tôi chỉ ghi bài giải trên giấy A4 rồi đem thƣ ra bƣu điện gởi .Cách đây 1 năm thì có chị họ làm quán PHÔ T Ô COPPY bán lại một chiếc máy tính đề bàn cũ ,tôi mua với giá 500 ngàn ,vui lắm các bạn ,thế là từ nay có thể đánh vi tinh các bài toán mà minh suy nghĩ và sƣu tầm ,sau khi hoàn thiện tôi chạy ra quán PHÔ T Ô COPPY để gởi vì nhà không có mạng INTERNET .Có lẽ tôi sẽ gục ngã trƣớc cuộc sống nghèo khổ và thiếu tiền bạc nếu nhƣ tôi không có niềm đam mê toán học .Tôi nhớ mãi năm 2008khi cầm trên tay tờ báo có đăng bài của minh tôi đã vui run luôn ,tôi ra bƣu điện mua báo toán ,trên kệ báo còn đúng 1 tờ ,đọc và thấy tên mình và tôi đã lên xe đạp cà tàng của sinh viên đạp nhanh nhanh về nhà ,thật nhanh ,tôi không biết tôi đã qua mấy ngã tƣ nữa ,chỉ biết đạp thật nhanh .Mấy tháng sau có thƣ nhận tiên nhuận bút 120.000 ,đối với 1 đứa sinh viên nghèo nhƣ tôi đó là số tiền 1 tháng đề ăn sáng đi học ,vui lắm các bạn ak .Sinh viên qua nhanh ,ra trƣơng vì hoàn cảnh cha mẹ đau và không có tiền,không nơi nào nhận mình vào dạy học ,mình đã đi chạy bàn cà phê,chạy bàn đám cƣới cho nhà hàng ,mình đi dạy kèm khắp nơi ,có khi phải đi chạy xe ôm nhƣng khi rảnh mình thƣờng lấy tạp chí toán học ra xem .Tạp chí nhƣ một phần trong cơ thể mình ,rồi sau 4 năm chạy việc khắp nơi tôi cũng xin đƣợc hợp đồng cho 1 trƣờng cấp 2 để dạy toán . Nhà tôi hiện nay sách toán rất nhiều ,16 năm qua tôi đã có trong tay khoảng 451 số báo toán học ,mua có ,tôi mƣợn báo để phô tô cũng có .Hồi xƣa khi tới ngày 15 hằng tháng tôi thƣờng ra bƣu điện đề mua ,từ nhà đạp xe đạp ra ,tới nơi mệt nhƣng khi mua đƣợc báo là tôi vui lắm .Vào năm 2014 thì đi làm cuộc sống cũng đỡ khó khăn thì tôi mạnh dạn dành tiên lên bƣu điện đặt báo để nhân viên giao tận nhà luôn .Qua thời gian tôi cung mua đƣợc chiếc xe máy cũ đề đi làm .Qua nhũng tâm sự này tôi muốn các bạn yêu toán mà có điều kiện hơn tôi hãy cố gắng lên nhé ,hãy đặt mua tạp chí toán học ,hãy viết bài cho tạp chí .Tiền trong cuộc sống không là gì ,nếu chúng ta cố gắng và có ý chí thì chúng ta sẽ thành công .Tôi hiện nay có 2 ƣớc mơ ,thứ nhất đƣợc ra thăm toán chí toán học tuổi trẻ 1 lần cho biết ,năm ngoái đƣợc tạp chí toán học tuổi thơ mời ra dự buổi hội thảo toán học ở Đà Nẵng nhƣng do công việc và cha mẹ đau nặng tôi đã không ra .Thứ 2 mong đƣợc học lên đại học hệ chính quy .Mặc dù ở quê tôi có dạy hệ tại chức ,nhƣng tôi thích học chính quy hơn ,ƣớc mơ đó có thể với mọi ngƣời rất đơn
11. giản nhung với mình khó vì gia đình ,cha mẹ ,tiền bạc phải mƣu sinh vì cuộc sống hằng ngày . Trên toàn quốc ,nếu trƣờng nào cần giáo viên nhƣ tôi thì liên hệ số điện thoại 01208127776 .Không biết tạp chí toán học có tuyển một cộng tác viên trình độ cao đẳng nhƣ tôi không .Lƣơng hợp đồng 15.000đ/tiết quá thấp ,tôi không sống đƣợc bằng nghề sƣ phạm , Một người đam mê Toán và tạp chí toán học và tuổi trẻ , tạp chí toán tuổi thơ Nghĩa Thắng ,Tư Nghĩa ,Quảng Ngãi Trương Quang An