Đề thi giao lưu học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 - Năm học 2011-2012 - Phòng giáo dục và đào tạo huyện Vĩnh Tường (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi giao lưu học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 - Năm học 2011-2012 - Phòng giáo dục và đào tạo huyện Vĩnh Tường (Có đáp án)

1. PHÒNG GD&ĐT ĐỀ THI GIAO LƯU HSG NĂM HỌC 2011 – 2012 VĨNH TƯỜNG Môn: Toán lớp 6 Thời gian làm bài: 120 phút I.Trắc nghiệm: (2đ) Hãy chọn chữ cái đứng trước câu trả lời đúng: Câu 1: Kết quả của phép nhân A 33 3.99 9 là : 50CS 50CS A) 33 3266 67 B) 33 3266 67 C) 33 366 67 D) 33 3266 67 50CS 49CS 49CS 49CS 49CS 49CS 49CS 50CS 10 10 Câu 2: Giá trị của biểu thức: 3 .11 3 .5 là: 39.24 A) 3 B) 310 C) 6 D) 12 Câu 3: Khi đánh số trang một cuốn sách dày 284 trang bằng dãy số chẵn 2; 4; 6; 8 Thì số chữ số ta phải dùng là: A) 369 B) 373 C) 375 D) 378 Câu 4: Cho đoạn thẳng AB và trung điểm M của nó. Trên tia đối của tia BA lấy điểm O (O B ) ta có: OA OB OA OB OA OB OA 2OB A) OM B) OM C) OM D) OM 2 2 2 2 II. Tự luận: Câu 5: (3đ) a) Khi chia số tự nhiên a cho 54, ta được số dư là 38. Chia số a cho 18, ta được thương là 14 và còn dư. Tìm số a. b) Tìm số nguyên tố p, sao cho p 2 và p 4 cũng là các số nguyên tố. c) Tìm chữ số tận cùng của số: B 8102 2102 Câu 6: (1,5đ) Trên đường thẳng xy lấy điểm O và hai điểm M, N sao cho OM 2cm ; ON 3cm . Vẽ các điểm A và B trên đường thẳng xy sao cho M là trung điểm của OA; N là trung điểm của OB. Tính độ dài AB. Câu 7: (3,5đ) a) Tìm các số tự nhiên x; y; z thỏa mãn đẳng thức: 2006x 2005y 2004z b) Tìm các số tự nhiên x có hai chữ số sao cho nếu x có tổng các chữ số là m thì các số 2x2 ;3x3 có tổng các chữ số lần lượt là 2m2 ;3m3 . c) Cho a là một hợp số, khi phân tích ra thừa số nguyên tố chỉ chứa hai thừa số 3 2 nguyên tố khác nhau là p1 và p2 . Biết a có tất cả 40 ước hỏi a có bao nhiêu ước. d) Tìm số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện sau: Một phần hai số đó là số chính phương, một phần ba số đó là lũy thừa bậc ba của một số nguyên, một phần năm số đó là lũy thừa bậc năm của một số nguyên.
2. PHÒNG GD&ĐT ĐÁP ÁN CHẤM ĐỀ THI GIAO LƯU HSG NĂM HỌC 2011 – 2012 VĨNH TƯỜNG Môn: Toán lớp 6 I.Trắc nghiệm: (2 điểm mỗi câu đúng cho 0,5 đ) Câu 1 2 3 4 Đáp án B Không có đáp B C án đúng II. Tự luận: (8 điểm) Câu Phần Nội dung cần trình bày Điểm 5 a Từ phép chia thứ nhất ta có a = 54x + 38 (1); 0,25 (3đ) (1đ) Từ phép chia thứ 2 ta có a = 18.14 + r (2); 0,25 Trong đó x,r N;0 r 18 . Từ (1) ta có 0,25 a 54x 38 18.3x 18.2 2 18.(3x 2) 2 , như vậy r = 2 và a = 18.14 + 2 = 254; Vậy số a = 254 0,25 b Số p có một trong ba dạng: 3k; 3k + 1; 3k + 2 với k N * 0,25 (1đ) - Nếu p = 3k thì p = 3 khi đó p + 2 = 5; p + 4 = 7 đều là các 0,25 số nguyên tố; - Nếu p = 3k + 1 thì p + 2 = 3k + 3 chia hết cho 3 và lớn hơn 0,25 3 nên p = 2 là hợp số (trái với đề bài); - Nếu p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 6 chia hết cho 3 và lớn hơn 0,25 3 nên p + 4 là hợp số (trái với đề bài); Vậy p = 3 là số nguyên tố duy nhất thỏa mãn đề bài. 25 c Ta có: 8102 84 .82 6 25 .64 6 .64 4 (1) 0,25 (1đ) 102 4 25 2 25 2 2 .2 16 .4 6 .4 4 (2) 0,25 Từ (1) và (2) ta có B 8102 2102 có tận cùng là 0. 0,5 6 *TH1 (0,75đ): Nếu M, N cùng nằm trên một tia gốc O (1,5đ) x y 0,25 O M N A B Ta có OA = 4; OB = 6 vì OA 4 + AB = 6 => AB = 2 cm; *TH2 (0,75đ): Nếu M, N nằm trên hai tia đối nhau gốc O x y 0,25 A M O N B Vì OM = 2 => OA = 4 cm; ON = 3 => OB = 6 0,25 Vì A, B nằm trên hai tia đối nhau gốc O nên O nằm giữa A và B => OA + OB = AB => 4 + 6 = AB => AB = 10 cm 0,25 Vậy AB = 10 cm 7 a Vì x, y, z là các số tự nhiên và 2006x là số chẵn (vì luôn có (3,5đ) (1đ) tận cùng bằng 6); Suy ra 2005y 2004z là số chẵn (1) 0,25 Vì 2005y là số lẻ (luôn có tận cùng là 5) (2) Từ (1) và (2) => 2004z là số lẻ z 0 0,25 khi đó ta có 2006x 2005y 1 , ta thấy 2005y 1 chia 4 dư 2 với 0,25 mọi số tự nhiên y => 2006x chia 4 dư 2 => x = 1
3. thay vào tính ta được y = 1; 0,25 Vậy x = y = 1; z = 0 (thỏa mãn đề bài) b Giả sử x ab với 0 a 9;b 9;a,b N (1đ) Ta có x 102 3x3 3.106 do đó 3x3 có nhiều nhất là 7 chữ số, tổng các chữ số của nó thỏa mãn: 3m3 7.9 m3 21 m 3, vì m là số nguyên dương nên m = 1 hoặc m = 2; -Nếu m = 1 thì a + b = 1 suy ra a = 1; b = 0 => x = 10 => 2x2 = 200 và 3x3 = 3000 có tổng các chữ số lần lượt là 2, 3 (thỏa mãn đề bài) a 1 a 2 - Nếu m = 2 thì a + b = 2 suy ra: hoặc b 1 b 0 m n 3 3m 3n 3 c Ta có: a p1 .p2 a p1 .p2 số ước của a là 0,25 (0,75 3m 1 3n 1 40 suy ra m = 1; n = 3 hoặc m = 3; n = 1. 0,25 đ) Số a2 p2m.p2n có số ước là 2m 1 2n 1 3.7 21 1 2 0,25 Vậy số a2 có 21 ước d Gọi số cần tìm là n theo đề bài n là số nguyên dương chia (0,75đ hết cho 2; 3 và 5 nên có dạng 2x.3y.5z.m trong đó x; y; z; m 0,25 ) đều là các số nguyên dương và m không chia hết cho 2; 3 và 5.Theo đề bài ta có: n 2x 1.3y.5z.m a2 2 n 2x.3y 1.5z.m b3 0,25 3 n 2x.3y.5z 1.m c5 5 x 12; x3; x5 x 15 Suy ra: y2; y 13; y5 y 10 z2; z3; z 15 z 6 0,25 Vì vậy n 215.310.56 vì 215.310.56 thỏa mãn đề bài nên số cần tìm là 215.310.56