Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 11 THPT - Đề số 1 - Năm học 2018-2019 - Sở giáo dục và đào tạo Thanh Hóa (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 11 THPT - Đề số 1 - Năm học 2018-2019 - Sở giáo dục và đào tạo Thanh Hóa (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Kè THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THANH HểA Năm học: 2018 - 2019 ĐỀ THI THỬ SỐ 1 Mụn thi: TOÁN - Lớp 11 THPT Số bỏo danh Thời gian: 180 phỳt (khụng kể thời gian giao đề) Đề thi cú 01 trang, gồm 05 cõu Cõu I (4,0 điểm) 1. Cho hàm số y x 2 2 m x 3 m (*). Lập bảng biến thiờn và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi m 1. Tỡm m để đường thẳng ycắt đồ 2 thịx cỏc3 hàm số (*) tại hai điểm phõn biệt cựng nằm bờn phải trục tung. (2x 1) x 2. Giải bất phương trỡnh 1 . 2 x (2 x) 1 x 1 x Cõu II (4,0 điểm) 3 cos x sin x 1 1. Giải phương trỡnh 3tan 2x 2sin 2x 2 2 cos x sin x cos2x 1 1 x y 2 2. Giải hệ phương trỡnh x 3y y 3x 2 x 2y 9 4 x 3 19 3y Cõu III (4,0 điểm) 1. Cho a,b,c là cỏc số thực dương thoả món abc 1 . Chứng minh bất đẳng thức 3 3 3 ab bc ca 9 a b c 2 2 2 2 2 2 . a b b c c a 2 2 2 f 1 3 f 2n 1 2. Chof n n n 1 1 . Xột dóy số un : un . Tớnh lim n un . f 2 f 4 f 2n Cõu IV (4,0 điểm) 1. Từ tập A 0;1;2;3;4;5;6 cú bao nhiờu số tự nhiờn cú năm chữ số chia hết cho 9 . 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tứ giỏc MNPQ nội tiếp đường trũn (C ) cú tõm ã ã ã 0 I ,MQP > MNP,MIP = 90 . Tiếp tuyến của đường trũn (C ) tại Q cắt cỏc tiếp tuyến tại M ,P lần lượt tại ổ ử ỗ 11ữ E,F. Phương trỡnh đường thẳng IF : x - 7y + 8 = 0, N (- 2;4), E ỗ1; ữ. Tỡm tọa độ giao điểm A của cỏc ốỗ 3 ứữ tiếp tuyến với đường trũn (C )tại M và tại P. Cõu V (4,0 điểm) 1. Cho hỡnh chúp S.ABC cú AB BC CA a , SA SB SC a 3 , M là điểm bất kỡ trong khụng gian. Gọi d là tổng khoảng cỏch từ M đến tất cả cỏc đường thẳng AB , BC , CA , SA , SB , SC . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của d 2. Cho hỡnh chúp tam giỏc đều S.ABC cạnh đỏy a , đường cao SO 2a . Gọi M là điểm thuộc đường cao AA' của tam giỏc ABC . Xột mặt phẳng P đi qua M và vuụng gúc với AA' . Đặt AM x a 3 a 3 x . Tỡm x để thiết diện của hỡnh chúp khi cắt bởi mặt phẳng P cú diện tớch lớn nhất. 3 2 Hết .
2. ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM Cõu NỘI DUNG Điểm I 1. Cho hàm số y x2 2mx 3m (*) 2.0 Lập bảng biến thiờn và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi m 1. Tỡm m để đường thẳng y 2x 3 cắt đồ thị cỏc hàm số (*) tại hai điểm phõn biệt cựng nằm bờn phải trục tung. 4,0 Lập bảng biến thiờn 0.50 điểm Vẽ đồ thị 0.50 Yờu cầu bài toỏn Phương trỡnh sau cú hai nghiệm dương phõn biệt x2 2mx 3m 2x 3 x2 2(m 1)x 3m 3 0 ' 0 0.50 3(m 1) 0 2(m 1) 0 m 1 ' 0 0.50 m 4 Kết hợp nghiệm, kết luận m 4 (2x 1) x 2.0 2. Giải bất phương trỡnh 1 . 2 x (2 x) 1 x 1 x Điều kiện: 0 x 1. Ta cú: 2 x (2 x) 1 x 1 x 2 x 2 1 x x. 1 x ( 1 x)2 0.50 2( x 1 x) 1 x( x 1 x) ( x 1 x)(2 1 x) 0, x 0;1 . ( ) (2x 1)  x ( x 1 x) (2 1 x) 0.50 2 2   ( x) ( 1 x) x ( x 1 x) (2 1 x) ( x 1 x) ( x 1 x)  x ( x 1 x) (2 1 x) 0.50 ( x 1 x) x 2 1 x, do : x 1 x 0, x 0;1 x x(1 x) 2 1 x x 2 1 x(1 x) : luụn đỳng x 0;1 . 0.50 Kết luận: Tập nghiệm cần tỡm của bất phương trỡnh là x 0;1 . II 3 cos x sin x 1 2.0 1. Giải phương trỡnh 3tan 2x 2sin 2x 2 2 cos x sin x cos2x 4,0 Điều kiện: cos2x 0 x k k  (*). điểm 4 2 Với điều kiện trờn phương trỡnh đó cho tương đương với: 0.50 sin 2x 2 cos x sin x 1 2 3 2 cos2x 3sin 2x 2 cos2 2x 2 cos x sin x 1 cos2x cos x sin x cos2x sin 2x 1 2 2 0.50 3sin 2x 2 1 sin 2x 2 1 sin 2x 1 2sin 2x sin 2x 1 0 1 sin 2x 2
3. Với sin 2x 1 x k 4 0.50 x k 1 Với sin 2x 12 k  2 5 x k 0.50 12 Kết hợp với điều kiện (*) ta được nghiệm của phương trỡnh đó cho là: x k và 12 5 x k k  12 1 1 x y 2 2.0 2. Giải hệ phương trỡnh x 3y y 3x 2 x 2y 9 4 x 3 19 3y 19 x 0, y 0 Điều kiện 3 x y 0 Từ 1 : sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta cú 0.50 x x x y 1 x x y  và x 3y x y x 3y 2 x y x 3y y 1 2y 1 1 2y  , cộng hai kết quả trờn ta được x 3y 2 x 3y 2 2 x 3y x y 1 x 3 x y 1 y 3 , tương tự ta cũng cú , 2 x y 2 2 x y 2 x 3y y 3x 1 1 1 x y 0.50 suy ra VT 1 x y 3 2 VP 1 x 3y y 3x 2 x y Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi x y 3 Thế vào phương trỡnh 2 ta được pt: x2 2x 9 4 x 3 19 3x 4 2 Giải pt 4 3 x x 2 4 3 x 3 x 5 3 19 3x 13 x 2 2 0.50 x x 2 x x 2 3 x2 x 2 4 9 3 x 3 x 5 3 19 3x 13 x 4 9 x2 x 2 3 0 . 3 x 3 x 5 3 19 3x 13 x 0.50 x2 x 2 0 x 1 x 2 (Loại) Khi x 1 3 y x 1 . Thử lại x; y 1;1 thỏa món hệ phương trỡnh Vậy hệ phương trỡnh cú nghiệm duy nhất x; y 1;1 . III 1. Cho a,b,c là cỏc số thực dương thoả món abc 1 . Chứng minh bất đẳng thức 2.0 3 3 3 ab bc ca 9 a b c 2 2 2 2 2 2 . a b b c c a 2
4. 4,0 0 a b 4 a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4 a4 b4 2a2b2 4ab a2 ab b2 0.50 điểm 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a ab b a b ab 1 a b a b 4ab a ab b 2 2 1 2 2 a b 4ab a b 4 b a bc 1 b c ca 1 c a 0.50 Tương tự cú 1 2 2 ; 1 2 2 . b c 4 c b c a 4 a c Do đú, cộng theo vế cỏc bất đẳng thức trờn và sử dụng bất đẳng thức Schur cựng giả thiết abc 1 ta được ab bc ca 1 b c c a a b 3 2 2 2 2 2 2 a b b c c a 4 a b c bc b c ca c a ab a b 1 1 a3 b3 c3 3abc a3 b3 c3 3 4abc 4 4 3 3 3 ab bc ca 0.50 Hay a b c 4 2 2 2 2 2 2 9 1 a b b c c a Mặt khỏc 3 a3 b3 c3 3.33 abc 3 9 2 ab bc ca 0.50 Từ 1 và 2 suy ra 4 a3 b3 c3 18 a2 b2 b2 c2 c2 a2 ab bc ca 9 Do vậy a3 b3 c3 a2 b2 b2 c2 c2 a2 2 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 1 . 2.0 2 2 f 1 3 f 2n 1 2. Cho f n n n 1 1. Xột dóy số un : un . Tớnh f 2 f 4 f 2n lim n un . 2 Ta cú: f n n2 n 1 1 n2 1 n 1 2 1 n N* . 0.50 12 1 22 1 32 1 42 1 2n 1 2 1 2n 2 1 0.50 un 22 1 32 1 42 1 52 1 2n 2 1 2n 1 2 1 1 0.50 2n2 2n 1 n 1 1 0.50 lim n u lim lim . n 2 2 1 2 2n 2n 1 2 n n2 IV 1. Từ tập A 0;1;2;3;4;5;6 cú bao nhiờu số tự nhiờn cú năm chữ số chia hết cho 9 . 2.0 4,0 0.50 Gọi số phải tỡm cú dạng a1a2a3a4a5 , ai A , i 1, 5 . Kết hợp với đề bài ta cú: điểm a1 a2 a3 a4 a5 9 ; a1 a2 a3 a4 a5 18 ; a1 a2 a3 a4 a5 27 . Ta xột trường hợp 1: a1 a2 a3 a4 a5 9 , với 1 a1 6 , 0 ai 6 với i 2,3,4,5 a1 x2 x3 x4 x5 13 1 Đặt xi ai 1 , với i 2,3,4,5 , khi đú ta cú: 1 a1 6 . 1 x 7 i 4 Số nghiệm nguyờn dương bất kỳ của 1 là C12 .
5. Nếu a1 7 , ta cú 1 x2 x3 x4 x5 6 xi 7 , nờn khụng trựng với cỏc trường 4 hợp xi 8 . Phương trỡnh này cú C6 nghiệm. Nếu xi 8 , ta cú 1 a1  x j 5 a1, x j 6 nờn khụng trựng với cỏc trường họp j i 4 4 nào ở trờn, phương trỡnh này cú C5 nghiệm nờn với 4 vị trớ xi cú 4C5 nghiệm. 4 4 4 Vậy trong trường hợp này cú C12 C6 4C5 số thỏa món. Ta xột trường hợp 2: a1 a2 a3 a4 a5 18 , với 1 a1 6 , 0 ai 6 với 0.50 i 2,3,4,5 x1 x2 x3 x4 x5 17 2 Đặt xi 7 ai , với i 2,3,4,5 , khi đú ta cú: 1 x1 6 . 1 x 7, i 2,3,4,5 i 4 Số nghiệm nguyờn dương bất kỳ của 2 là C16 . Nếu x1 7 , ta cú 1 x2 x3 x4 x5 10 xi 7 , nờn khụng trựng với cỏc trường 4 hợp x1 8 . Phương trỡnh này cú C10 nghiệm. Nếu xi 8 , i 2,3,4,5 ta cú 2 a1  x j 9 x j 7 nờn khụng trựng với cỏc j i 4 trường họp nào ở trờn, phương trỡnh này cú C9 nghiệm nờn với 4 vị trớ xi cú 4 4C5 nghiệm. 4 4 4 Vậy trong trường hợp này cú C16 C10 4C9 số thỏa món. Ta xột trường hợp 3: a1 a2 a3 a4 a5 27 , với 1 a1 6 , 0 ai 6 với 0.50 i 2,3,4,5 x1 x2 x3 x4 x5 8 3 Đặt xi 7 ai , với i 1,2,3,4,5 , khi đú ta cú: 1 x1 6 . 1 x 7, i 2,3,4,5 i Từ 2 và xi 1 xi 6 nờn tập nghiệm của 3 khụng vượt khỏi miền xỏc định của 4 xi . Phương trỡnh này cú C7 nghiệm. 4 0.50 Vậy trong trường hợp này cú C7 số thỏa món. 4 4 4 4 4 4 4 Như vậy tất cả cú C12 C16 C7 C6 C10 4C5 4C9 1601 số 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tứ giỏc MNPQ nội tiếp đường trũn (C ) cú 2.0 ã ã ã 0 tõm I ,MQP > MNP,MIP = 90 . Tiếp tuyến của đường trũn (C ) tại Q cắt cỏc tiếp tuyến tại M ,P lần lượt tại E,F. Phương trỡnh đường thẳng ổ ử ỗ 11ữ IF : x - 7y + 8 = 0, N (- 2;4), E ỗ1; ữ.Tỡm tọa độ giao điểm A của cỏc tiếp tuyến ốỗ 3 ứữ với đường trũn (C )tại M và tại P.
6. M 0.50 E A Q I F P N Do MãQP > MãNP nờn Q nằm trờn cung nhỏ MP. Vỡ AMIP là hỡnh vuụng, IE là ã 1 ã 0 phõn giỏc gúc Mã IQ,IF là phõn giỏc gúc PãIQ nờn EIF = MIP = 45 . 2 0.50 uur ổ ử ỗ 11ữ Gọi I (7a - 8;a) ị EI ỗ7a - 9;a - ữ Khi đú, ốỗ 3 ứữ 11 uur uur 7(7a - 9)+ a - 1 ã 3 1 = cosEIF = cos EI ;u = = ( IF ) 2 ổ ử2 2 2 ỗ 11ữ 50 (7a - 9) + ỗa - ữ ốỗ 3 ứữ ộ ổ ử2 ổ ử ờa = 1 ỗ 200ữ ỗ 2 400 850ữ 2 Û ỗ50a - ữ = 25ỗ50a - a + ữÛ 3a - 8a + 5 = 0 Û ờ 5 ốỗ 3 ứữ ốỗ 3 9 ứữ ờa = ởờ 3 ổ ử 5 ỗ11 5ữ 136 338 a = ị I ỗ ; ữị IE = < IN = , khụng thỏa món. 3 ốỗ 3 3ứữ 3 3 a = 1 ị I (- 1;1), thỏa món. ur 2 2 0.50 Gọi n (c;d)(c + d ạ 0) là vtpt của MA. Khi đú, phương trỡnh ổ ử ỗ 11ữ MA : c(x - 1)+ d ỗy - ữ= 0 Û 3c(x - 1)+ d (3y - 11) = 0 ốỗ 3 ứữ Vỡ MA là tiếp tuyến của (C ) nờn - 6c - 8d d (I ;MA) = IN Û = 10 Û 36c2 + 96cd + 64d2 = 90c2 + 90d2 9c2 + 9d2 ộ9c = 13d Û 27c2 - 48cd + 13d2 = 0 Û ờ ờ3c = d ởờ Nếu d = 3c chọn c = 1 ị d = 3 ị Phương trỡnh MA : x + 3y - 12 = 0 Nếu 13d = 9c chọn c = 13 ị d = 9 ị Phương trỡnh MA : 13x + 9y - 46 = 0 Với phương trỡnh MA : x + 3y - 12 = 0 thỡ PT QE : 13x + 9y - 46 = 0 . ta tỡm được 0.50
7. ổ ử ỗ8 14ữ tọa độ điểm M (0;4), Q ỗ ; ữgọi tọa độ điểm A(12 - 3b;b) ta cú ốỗ5 5 ứữ 2 2 ộb = 3 AI = 2AM ị 13 - 3b + b - 1 = 20 Û 10b2 - 80b + 150 = 0 Û ờ ( ) ( ) ờb = 5 ởờ b = 3 ị A(3;3) ị P (2;0), thỏa món do MãQP > MãNP . b = 5 ị A(- 3;5) ị P (- 4;2), khụng thỏa món do MãQP < MãNP . Với phương trỡnh MA : 13x + 9y - 46 = 0 thỡ PTQE : x + 3y - 12 = 0 . ta tỡm được ổ ử ỗ8 14ữ ã ã tọa độ điểm M ỗ ; ữ, Q (0;4) loại do MIP < MIQ. Vậy A(3;3) . ốỗ5 5 ữứ Chỳ ý: Nếu học sinh thừa nghiệm hỡnh thỡ trừ 0,25 điểm V Cho hỡnh chúp S.ABC cú AB BC CA a , SA SB SC a 3 , M là điểm bất kỡ 2.0 trong khụng gian. Gọi d là tổng khoảng cỏch từ M đến tất cả cỏc đường thẳng AB , BC , CA , SA , SB , SC . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của d 4,0 S 0.50 điểm I J O K A C F G E D B Ta cú khối chúp S.ABC là khối chúp tam giỏc đều. Gọi G là trọng tõm tam giỏc ABC . Khi đú SG là chiều cao của khối chúp S.ABC . Gọi D , E , F lần lượt là trung điểm của BC , AB ,CA và I , J , K lần lượt là hỡnh chiếu của D , E , F trờn SA , SC , SB . Khi đú DI , EJ , FK tương ứng là cỏc đường vuụng gúc chung của cỏc cặp cạnh SA và BC , SC và AB , SB và CA . Ta cú DI EJ FK . Do đú SID SJE nờn SI SJ . Suy ra ED ∥IJ (cựng song song với AC ). Do đú bốn điểm D , E , I , J đồng phẳng. 0.50 Tương tự ta cú bộ bốn điểm D , F , I , K và E , F , J , K đồng phẳng. Ba mặt phẳng DEIJ , DFIK , EFJK đụi một cắt nhau theo ba giao tuyến DI , EJ , FK . Suy ra DI , EJ , FK đồng quy tại điểm O thuộc SG . Xột điểm M bất kỡ trong khụng gian. 0.50
8. d M , SA d M , BC DI Ta cú d M , SC d M , AB EJ d DI EJ FK . d M , SB d M , AC FK Do đú d nhỏ nhất bằng DI EJ FK 3DI khi M  O . a 3 2 a 3 2a 6 0.50 Ta cú AD , AG AD , SG SA2 AG2 , 2 3 3 3 SG 2 2 a 3 2 2 a 6 sin Sã AG .Suy ra DI AD.sin Sã AD . . SA 3 2 3 3 a 6 Vậy giỏ trị nhỏ nhất cần tỡm là 3DI 3 a 6 . 3 2. Cho hỡnh chúp tam giỏc đều S.ABC cạnh đỏy a , đường cao SO 2a . Gọi M là 2.0 điểm thuộc đường cao AA' của tam giỏc ABC . Xột mặt phẳng P đi qua M và ' a 3 a 3 vuụng gúc với AA . Đặt AM x x . Tỡm x để thiết diện của hỡnh 3 2 chúp khi cắt bởi mặt phẳng P cú diện tớch lớn nhất. S 0.50 G N H A C F O M A' E B Theo giả thiết M thuộc OA’. Ta cú SO  (ABC) SO  AA’, tam giỏc ABC đều nờn BC  AA’. Vậy (P) qua M song song với SO và BC. Xột (P) và (ABC) cú M chung. Do (P) // BC nờn kẻ qua M đường thẳng song song với BC cắt AB, AC tại E, F. Tương tự kẻ qua M đường thẳng song song với SO cắt SA’ tại N, qua N kẻ đường 0.50 thẳng song song với BC cắt SB, SC tại H, Q. Ta cú thiết diện là tứ giỏc EFGH. Ta cú EF // BC // GH, M, N là trung điểm EF, GH nờn EFGH là hỡnh thang cõn 1 a 3 a 3 đỏy HG, EF. Khi đú: S (EF GH ).MN . Ta cú AA' , AO nờn EFGH 2 2 3 2x 3 EF = 3
9. HG SN OM MN MA' 0.50 HG 2 x 3 a . MN 2 3a 2x 3 BC SA' OA' SO OA' 1 2 S = (EF + GH).MN = 4x 3 3a 3a 2x 3 EFGH 2 3 2 1 1 3a 3a2 0.50 SEFGH = 4x 3 3a 6a 4x 3 . (theoCosi) 3 3 2 4 3a2 3a 3 S đạt giỏ trị lớn nhất bằng khi và chỉ khi x . EFGH 4 8 3a2 3a 3 Vậy giỏ trị lớn nhất của diện tớch thiết diện bằng khi x . 4 8 Hết