Đề thi Học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 - Năm học 2021-2022 - Sở giáo dục và đào tạo Bắc Giang

Nội dung text: Đề thi Học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 - Năm học 2021-2022 - Sở giáo dục và đào tạo Bắc Giang

1. SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH BẮC GIANG THI VMO NĂM HỌC 2021-2022 MÔN TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút Ngày thi 12/09/2021 Thời gian làm bài :180 phút Tên : Trương Quang An .Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi.Điện thoại : 0708127776 Bài 1. (2,5 điểm)Cho tập S={1,2,3, 2020,2021}.Hỏi có bao nhiêu tập con T của S sao cho T không chứa hai phần tử a,b mà a-b=1010 Bài 2. (3,5 điểm)Với mỗi số n nguyên dương phân biệt đặt 1 1 1 an với di là các ước dương phân biệt của n.Chứng minh d12 1 d 1 dk 1 n ln n a12 a an n Bài 3. (4,0 điểm)Cho dãy số ()an thỏa 12 a1 1, a 2 1, an 2 a n 1 1 a n 1,  n *chứng minh tồn tại vô số số nguyên 3 n dương n sao cho 2021ann 12 9 Bài 4. (4,0 điểm)Tìm tất cả các hàm số f : thỏa f() m n4 chia hết chom f() n với mọi số nguyên dương m,n Bài 5. (6,0 điểm)Cho tam giác ABC nhọn AB<AC,các đường cao AD,BE,CF và trực tâm H.(I) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC.Đường thẳng AI cắt EF,BC lần lượt tại U,V, đường thẳng EF cắt BC tại T. a.Chứng minh đường tròn ngoại tiếp các tam giác TUV,BHC,AEF đồng qui tại 1 điểm gọi là P b.Gọi K là giao điểm thứ hai khác điểm P của đường tròn ngoại tiếp tam giác AIP và đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC.Chứng minh rằng trung điểm của đoạn thẳng AK thuộc đường tròn (I).