Đề thi học sinh giỏi cấp trường môn Toán Lớp 7 - Năm học 2018-2019 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp trường môn Toán Lớp 7 - Năm học 2018-2019 (Có đáp án)

1. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2018-2019 MÔN TOÁN - LỚP 7 (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1. (4,0 điểm) 1 2 3 4 99 100 Cho biểu thức : C 3 32 33 34 399 3100 3 Chứng minh rằng : C < 16 Bài 2. (5,0 điểm) Câu 1: Tìm x, y, z biết : 3x = 4y = 5z – 3x - 4y và 2x + y = z - 38 a 2 + b2 ab Câu 2: Cho tỉ lệ thức = với a, b, c, d ≠ 0 và c ≠ - d c2 + d2 cd a c a d Chứng minh rằng : = hoặc = b d b c Bài 3. (3,0 điểm) Câu 1 : Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta luôn có 4n + 3 + 4n + 2 - 4n + 1 - 4n chia hết cho 300 27 - 2x Câu 2 : Cho Q = . Tìm các số nguyên x để Q có giá trị nguyên ? 12 - x Bài 4. (3,0 điểm). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau 2 2 H = 3x - 2y - 4y - 6x - xy - 24 Bài 5. (5,0 điểm). Cho Δ ABC nhọn.Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C dựng đoạn thẳng AD vuông góc với AB và AD = AB.Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B dựng đoạn thẳng AE vuông góc với AC và AE = AC. 1) Chứng minh rằng BE = CD . 2) Gọi M là trung điểm của DE, tia MA cắt BC tại H.Chứng minh MA  BC 3) Nếu AB = c, AC = b, BC = a. Hãy tính độ dài đoạn thẳng HC theo a, b, c ? Hết
2. HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG MÔN TOÁN - LỚP 7 NĂM HỌC 2018-2019 1 2 3 4 99 100 Bài 1. (4,0 điểm) Cho biểu thức : C 3 32 33 34 399 3100 3 Chứng minh rằng : C < 16 Đáp án Điểm 1 2 3 4 99 100 2 3 4 99 100 Biến đổi: 3C 3. 2 3 4 99 100 1 2 3 98 99 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 0,25 Ta có 2 3 4 99 100 1 2 3 4 99 100 3C C 1 2 3 98 99 2 3 4 99 100 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 3 4 99 100 1 2 3 4 99 100 4C 1 3 32 33 398 399 3 32 33 34 399 3100 0,25 2 1 3 2 4 3 100 99 100 0,25 4C 1 2 2 3 3 99 99 100 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 100 0,25 4C 1 3 32 33 399 3100 1 1 1 1 Đặt D 1 3 32 33 399 1 1 1 1 1 1 1 0,25 Ta có: 3D 3. 1 2 3 99 3 1 2 98 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 Khi đó: 3D D 3 1 2 98 1 2 3 99 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 4D 3 1 1 3 32 398 3 32 33 399 0,25 1 1 1 1 1 1 1 4D 3 1 1 2 2 98 98 99 3 3 3 3 3 3 3 0,25 1 4D 3 399 0,25 1 1 Suy ra D = . 3 - 99 4 3 0,25 3 1 D = - 4 4.399 0,25 3 1 100 Nên ta có 4C 99 100 4 4.3 3 0,25 3 1 100 4C 4 4.399 3100 0,25
3. 1 3 1 100 C . 99 100 4 4 4.3 3 0,25 3 1 25 C 16 42.399 3100 0,25 3 1 25 C - 2 99 + 100 16 4 .3 3 0,25 1 25 3 1 25 3 3 Ta có 2 99 100 > 0 nên 2 99 100 < . Vậy C < 0,25 4 .3 3 16 4 .3 3 16 16 Bài 2. (5,0 điểm) Câu 1: (2,5 điểm) Tìm x, y, z biết : 3x = 4y = 5z – 3x - 4y và 2x + y = z – 38 Đáp án Điểm Ta có : 2x + y = z – 38 nên 2x + y – z = – 38 0,25 + Vì 3x = 4y = 5z – 3x – 4y nên 3x = 5z – 3x – 3x 0,25 3x = 5z – 6x 9x = 5z x z x z = = (1) 0,25 5 9 20 36 x y x y + Vì 3x = 4y = = (2) 0,25 4 3 20 15 x y z Từ (1) và (2) suy ra = 0,25 20 15 36 Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có : x y z 2x + y - z -38 0,25 = = = - 2 20 15 36 2.20 + 15 - 36 19 x Do đó : = - 2 x = (-2) . 20 = - 40 0,25 20 y = - 2 y = (-2) . 15 = - 30 0,25 15 z = - 2 z = (-2) . 36 = - 72 0,25 36 Vậy x = -40 ; y = -30 ; z = - 72 0,25
4. Câu 2: (2,5 điểm) a 2 b 2 ab a c a d Cho với a, b, c, d 0; c - d . Chứng minh rằng hoặc c 2 d 2 cd b d b c Đáp án Điểm a 2 + b2 ab a 2 + b2 2ab Ta có: = nên = c2 + d2 cd c2 + d2 2cd Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có 0,25 a 2 + b2 2ab a 2 + b2 + 2ab a 2 + b2 - 2ab = = c2 + d2 2cd c2 + d2 + 2cd c2 + d2 - 2cd a 2 + ab + b2 + ab a 2 - ab + b2 - ab a + b 2 a - b 2 = = 0,25 c2 + cd + d2 + cd c2 - cd + d2 - cd c + d 2 c - d 2 2 2 a + b a - b a + b a - b a + b b - a Suy ra hoặc 0,25 c + d c - d c + d c - d c + d c - d a + b a - b + Với thì a + b . c - d = a - b . c + d 0,25 c + d c - d ac - ad +bc – bd = ac + ad –bc - bd 0,25 a c ad = bc = 0,25 b d a + b b - a + Với thì a + b . c - d = b - a . c + d 0,25 c + d c - d ac - ad +bc – bd = bc + bd –ac - ad 0,25 a d ac = bd = 0,25 b c a 2 + b2 ab a c a d Vậy nếu = với a, b, c, d 0; c - d thì = hoặc = 0,25 c2 + d2 cd b d b c Bài 3. (3,0 điểm) Câu 1: (1,0 điểm) Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta luôn có 4n + 3 + 4n + 2 - 4n + 1 - 4n chia hết cho 300 Đáp án Điểm Với mọi n nguyên dương, ta có 4n + 3 + 4n + 2 - 4n + 1 - 4n = 4n .(43 + 42 - 4 - 1) 0,25 = 4n .(64 + 16 - 4 - 1) = 4n .75 0,25 = 4n - 1. 4 . 75 = 300 . 4n - 1 0,25 Mà 300 . 4n - 1 chia hết cho 300 ( với mọi n nguyên dương ) 0,25 Nên 4n + 3 + 4n + 2 - 4n + 1 - 4n chia hết cho 300 ( với mọi n nguyên dương )
5. 27 - 2x Câu 2: (2,0 điểm) Cho Q = . Tìm các số nguyên x để Q có giá trị nguyên ? 12 - x Đáp án Điểm Điều kiện : x Z ; x ≠ 12 27 - 2x 2.(12 - x) + 3 3 0,25 Biến đổi Q = = = 2 + 12 - x 12 - x 12 - x Ta có 2 Z ; x Z ; x ≠ 12 3 nên Q có giá trị nguyên khi và chỉ khi có giá trị nguyên 0,25 12 x 3 Mà có giá trị nguyên khi và chỉ khi 12 x Ư(3) 12 x 0,25 Ư(3) = -3; -1; 1; 3 + Nếu 12 - x = - 3 thì x = 15 (thỏa mãn điều kiện) 0,25 + Nếu 12 - x = -1 thì x = 13 (thỏa mãn điều kiện) 0,25 + Nếu 12 - x = 1 thì x = 11 (thỏa mãn điều kiện) 0,25 + Nếu 12 - x = 3 thì x = 9 (thỏa mãn điều kiện) 0,25 Vậy Q có giá trị nguyên khi và chỉ khi x 9; 11; 13; 15 0,25 Bài 4. (3,0 điểm). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau : 2 2 H = 3x - 2y - 4y - 6x - xy - 24 . Đáp án Điểm Ta có H = 3x - 2y 2 - 4y - 6x 2 - xy - 24 2 2 2 2 = 3x - 2y - 4. 2y - 3x - xy - 24 3x - 2y - 4. 3x - 2y - xy - 24 0,25 2 = - 3. 3x - 2y 2 - xy - 24 = - 3. 3x - 2y + xy - 24 Ta có 3. 3x - 2y 2 0 với mọi giá trị của x, y 0,25 xy - 24 0 với mọi giá trị của x, y 2 Do đó 3. 3x - 2y + xy - 24 0 với mọi giá trị của x, y 0,25 Nên - 3. 3x - 2y 2 + xy - 24 0 với mọi giá trị của x, y 0,25 Hay H ≤ 0 với mọi giá trị của x, y Dấu ‘‘ = ’’ xảy ra khi và chỉ khi 3x - 2y 0 0,25 và xy - 24 0 (1) x y + Với 3x - 2y = 0 thì 3x = 2y = 0,25 2 3 x y 0,25 Đặt = = k . Khi đó x = 2k ; y = 3k 2 3
6. Thay x = 2k và y = 3k vào (1) ta được 2k . 3k - 24 = 0 0,25 6k2 = 24 k2 = 4 k = 2 hoặc k = -2 0,25 + Với k = 2 thì x = 2.2 = 4 0,25 y = 3.2 = 6 + Với k = - 2 thì x = 2.(-2) = - 4 0,25 y = 3.(-2) = - 6 Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức H là 0 khi và chỉ khi x = 4; y = 6 0,25 hoặc x = - 4; y = - 6 Bài 5. (5,0 điểm). N E M D F - Nếu hình vẽ sai thì không chấm cả bài hình - Nếu câu trước làm sai thì HS vẫn có thể sử A dụng kết quả câu trước để làm câu sau. I K C B H 1) (1,5 điểm ). Chứng minh : BE = CD . + Ta có D·AC D·AB B·AC ( Vì tia AB nằm giữa 2 tia AD và AC ) 0,25 Mà B·AD 900 (Vì AB  AD tại A ) Nên D·AC 900 B·AC (1) + Ta có B·AE C·AE B·AC ( Vì tia AC nằm giữa 2 tia AB và AE ) 0 0,25 Mà C·AE 90 (Vì AE  AC tại A ) Nên B·AE 900 B·AC (2) Từ (1) và (2) suy ra B·AE D·AC 0,25 Xét ∆ ABE và ∆ ADC có : AB = AD (GT) 0,50 B·AE D·AC (chứng minh trên) AE = AC (GT) Do đó ∆ABE = ∆ ADC (c – g - c) BE = CD ( vì là hai cạnh tương ứng) 0,25 2) (2,5 điểm). Chứng minh: MA  BC + Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho M là trung điểm của AN
7. Từ D kẻ DF vuông góc với MA tại F Xét ∆ MAE và ∆ MDN có : MN = MA (Vì M là trung điểm của AN ) 0,25 A·ME D·MN (chứng minh trên) ME = MD (Vì M là trung điểm của DE ) Do đó ∆ MAE = ∆ MND (c – g - c) Suy ra AE = DN ( vì là hai cạnh tương ứng ) 0,25 và N·DM M· EA ( vì là hai góc tương ứng ) Mà N·DM và ởM· vịEA trí so le trong của hai đường thẳng AE và DN Nên AE // DN ( dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song ) 0,25 Suy ra A·DN D· AE 1800 (Vì là hai góc trong cùng phía ) (3) + Ta lại có D· AE +D·AB + ·BAC + E·AC = 3600 0,25 Hay D· AE + B·AC = 1800 (Vì D·AB E·AC 900 ) (4) Từ (3) và (4) A·DN = ·BAC + Ta có AE = DN (chứng minh trên) và AE = AC (GT) Nên AC = DN 0,25 Xét ∆ ABC và ∆ DAN có : AB = AD (GT ) A·DN = ·BAC (chứng minh trên) AC = DN (chứng minh trên) 0,25 Do đó ∆ ABC = ∆ DAN (c – g - c) Suy ra D·NA = A·CB ( vì là hai góc tương ứng ) hay D·NF = A·CB Ta có D· AF + B·AD + ·BAH = 1800 (Vì ba điểm F, A, H thẳng hàng) Hay D· AF + ·BAH = 900 ( Vì B·AD 900 ) (5) 0,25 Trong ∆ ADF vuông tại F có : F·DA + ·DAF = 900 ( Vì là hai góc phụ nhau ) (6) Từ (5) và (6) F·DA = ·BAH + Ta có A·DN = N· DF + ·FDA ( Vì tia DF nằm giữa 2 tia DA và DN ) B·AC = H·AC + B·AH ( Vì tia AH nằm giữa 2 tia AB và AC ) 0,25 Mà A·DN = B·AC và F·DA = ·BAH (chứng minh trên) Nên N·DF = H·AC Xét ∆ AHC và ∆ DFN có : N·DF = H·AC (chứng minh trên) AC = DN (chứng minh trên) 0,25 D·(chứngNF = A ·minhCB trên) Do đó ∆ AHC = ∆ DFN (g - c - g) Suy ra D· FN = A·HC ( vì là hai góc tương ứng ) · 0 · 0 Mà DFN = 90 (Vì DE  MA tại F ) nên AHC 90 0,25 Suy ra MtạiA H B (đpcm)C 3).(1,0 điểm). Nếu AB = c, AC = b, BC = a. Hãy tính độ dài đoạn thẳng HC theo a, b, c + MtạiA H B (chứngC minh trên) nên ∆ AHB vuông tại H 0,25 ∆ AHC vuông tại H Đặt HC = x HB = a - x ( Vì H nằm giữa B và C )
8. + Áp dụng định lý Py-ta-go cho 2 tam giác vuông AHB và AHC ta có: 0,25 AH2 = AB2 - BH2 và AH2 = AC2 - CH2 2 2 2 2 2 2 2 2 AB - BH = AC - CH c - (a - x) = b - x 0,25 a2 b2 c2 Từ đó tìm được HC = x = 0,25 2a Chú ý: Học sinh giải theo cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tương ứng với từng câu, từng bài theo hướng dẫn trên./. Hết