Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2014-2015 - Phòng giáo dục và đào tạo huyện Hằng Hóa (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2014-2015 - Phòng giáo dục và đào tạo huyện Hằng Hóa (Có đáp án)

1. PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 HUYỆN HOẰNG HOÁ NĂM HỌC 2014-2015 MÔN THI: TOÁN Ngày thi: 21/10/2014 Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) (Đề thi này có 5 bài, gồm 01 trang) Bài 1: (4,0 điểm) x2 x 2x x 2 x 1 Cho biểu thức: P . x x 1 x x 1 a. Rút gọn P. b. Tìm giá trị nhỏ nhất của P. 2 x c. Xét biểu thức: Q , chứng tỏ 0 1, y > 1 sao cho (3x+1) M y đồng thời (3y + 1) M x. Bài 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn với các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. a. Chứng minh rằng: S Tam giác AEF đồng dạng với tam giácABC ; AEF cos2 A. SABC 2 2 2 b. Chứng minh rằng : SDEF 1 cos A cos B cos C .SABC c. Cho biết AH = k.HD. Chứng minh rằng: tanB.tanC = k + 1. HA HB HC d. Chứng minh rằng: 3 . BC AC AB Bài 5: (1,5 điểm) Cho x, y là các số tự nhiên khác 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A 36x 5y . Hết Họ tên thí sinh: Chữ kí của giám thị:1: Số báo danh: Chữ kí của giám thị 2: Giám thị không giải thích gì thêm
2. PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 HUYỆN HOẰNG HOÁ NĂM HỌC 2014-2015 MÔN : TOÁN Hướng dẫn chấm này có 03 trang I. Yêu cầu chung: 1. Học sinh giải bằng cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa tương ứng. 2. Bài hình học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai cơ bản thì không cho điểm. II. Yêu cầu cụ thể: Bài Nội dung cần đạt Điểm 1 a.(2,0đ) Đk : x 0; x 1. 0,25 x x x 1 x 2 x 1 2 x 1 x 1 P 0,5 x x 1 x x 1 x x 1 2 x 1 2 x 1 0,5 x x 1 0,5 Vậy P x x 1 , với x 0; x 1. 0,25 2 1 3 3 0,25 b. (1,0đ) P x x 1 x 2 4 4 dấu bằng xảy ra khi x = ¼, thỏa mãn đk. 0,5 3 1 0,25 Vậy GTNN của P là khi x . 4 4 2 x c. (1,0đ).Với x 0; x 1 thì Q = > 0. (1) x x 1 0,25 2 2 x 2 x 1 Xét 2 0 0,25 x x 1 x x 1 Dấu bằng không xảy ra vì điều kiện x 1 . 0,25 suy ra Q 2014 2015 . 2015 2014 0,25 b. Phân tích được thành (2x - y)2 + (y – z + 1)2 + ( z - 3)2 0 (1) 0,75 Vì (2x - y)2 0 ; (y – z + 1)2 0 ; ( z - 3)2 0 với mọi x, y, z nên từ 0,75 (1) suy ra x = 1; y = 2; z = 3. c. Đk: x > - 3. 0,25 Khi đó phương trình đã cho tương đương với
3. 1 5 2 2 0 x 3 x 4 1 5 4 4 4x 11 4x 11 x 3 x 4 0 0 1 5 1 5 2 2 x 3 2 x 4 2 0,5 x 3 x 4 x 3 x 4 1 1 Vì x > - 3 nên 0 0,25 1 5 x 3 2 x 4 2 x 3 x 4 11 0,25 Do đó 4x + 11 = 0 x = thỏa mãn điều kiện. 4 11 0,25 Vậy tập nghiệm của phương trình là: S  . 4  3 3 3 5 2 5 2 5 2 5 2 1 a. Ta có x . 1,25 5 (3 5)2 5 3 5 3 Do đó B = - 1. 0,75 b. Dễ thấy x y . Không mất tính tổng quát, giả sử x > y. 0,25 Từ (3y + 1) M x 3y 1 p.x p N * . 0,25 Vì x > y nên 3x > 3y + 1 = p.x. p 1 nên y 2;4 + Với y = 2 thì x = 7. 0,25 + Với y = 4 thì x = 13. 0,25 Với p = 2: 2x = 3y + 1 6x = 9y + 3 2(3x + 1) = 9y + 5 Vì 3x + 1M y nên 9y + 5M y suy ra 5M y , mà y > 1 nên y = 5, 0,25 suy ra x = 8. 0,25 Tương tự với y > x ta cũng được các giá trị tương ứng. Vậy các cặp (x; y) cần tìm là: (7;2);(2;7);(8;5);(5;8);(4;13);(13;4); 0,25 4 a. A E F H B C D Tam giác ABE vuông tại E nên cosA = AE 0,25 AB 0,25
4. Tam giác ACF vuông tại F nên cosA = AF . AC 0,25 AE AF Suy ra = AEF : ABC(c.g.c) AB AC 2 SAEF AE 2 0,75 * Từ AEF : ABC suy ra cos A SABC AB S S b. Tương tự câu a, BDF cos2 B, CDE cos2 C. 0,5 SABC SABC Từ đó suy ra S S S S S 0,75 DEF ABC AEF BDF CDE 1 cos2 A cos2 B cos2 C SABC SABC 2 2 2 0,25 Suy ra SDEF 1 cos A cos B cos C .SABC 2 c. Ta có: tanB = AD ,tanC = AD . Suy ra tanB.tanC =AD BD CD BD.CD 0,25 Vì AH = k.HD AD AH HD k 1 .HD 2 2 2 0,25 nênAD k 1 .HD (1) HD2 k 1 2 Do đó tanB.tanC = (2) 0,25 BD.CD DB HD Lại có DHB : DCA(g.g) nên DB.DC HD.AD (3) 0,25 AD DC Từ (1), (2), (3) suy ra: HD2 k 1 2 HD k 1 2 HD k 1 2 0,5 tanB.tanC = k 1. AD.HD AD HD k 1 HC CE HC.HB CE.HB S d. Từ AFC : HEC HBC AC CF AC.AB CF.AB SABC 0,25 HB.HA S HA.HC S Tương tự: HAB ; HAC . Do đó: AC.BC SABC AB.BC SABC 0,25 HC.HB HB.HA HA.HC SHBC SHCA SHAB + + = 1 0,25 AC.AB AC.BC AB.BC SABC Ta chứng minh được: (x + y + z)2 3(xy + yz + zx) (*) Áp dụng (*) ta có: 0,25 2 HA HB HC HA.HB HB.HC HC.HA 3. 3.1 3 0,25 BC AC AB BC.BA CA.CB AB.AC HA HB HC Suy ra 3 . 0,25 BC AC AB 5 Với x, y N * thì 36x có chữ số tận cùng là 6, 5y có chữ số tận cùng 0,25 là 5 nên : A có chữ số tận cùng là 1 ( nếu 36x > 5y) hoặc 9 ( nếu 36x < 5y) 0,25 TH1: A = 1. khi đó 36x - 5y =1 36x - 1 = 5y . Điều này không xảy ra vì (36x – 1) M 35 nên (36x – 1) M 7, còn 5y không chia hết 0,25 cho 7. TH2: A = 9. Khi đó 5y - 36x = 9 5y = 9 + 36x điều này không 0,25 xảy ra vì (9 + 36x) M 9 còn còn 5y không chia hết cho 9. TH3: A = 11. Khi đó 36x - 5y =11. Thấy x = 1, y = 2 thỏa mãn. 0,25
5. Vậy GTNN của A bằng 11, khi x = 1, y = 2. 0,25 Hết Người làm đáp án: Người thẩm định: 1. 2. Người duyệt: