Đề thi olympic môn Toán Lớp 10 - Năm học 2018-2019 - Trường THPT Kim Liên (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi olympic môn Toán Lớp 10 - Năm học 2018-2019 - Trường THPT Kim Liên (Có đáp án)

1. 8 - 2019 Câu 1 ( ). x3 6 x 18 3 x x2 m , (1) , m a) i (1) khi m 3. b) m . Câu 2 (5 x4 x2 y 2 x 3 y 1 a) . x3 y xy x2 1 b) ây truy là Parabol ACB u, cu i c c g m A , B trên m i tr c AA và BB v cao 30 m . Chi n A B trên n n c u b ng 200 m . cao ng n nh t c a dây truy n trên c u là CC ' 5 m. G i Q , P , , C’, I , J , K n thành các ph n b ng nhau. Các thanh th ng n i n n c u v n: QQ , PP , HH , CC ' , II , JJ , KK g i là các dây cáp treo. Tính t dài c a các dây cáp treo? Câu 3 (4 Cho tam giác ABC M BC a, CA b,. AB c a) Ch minh r b2 c2 cos A a c.cos C b .cos B . b) Tìm t p h p các i M sao cho MB2 MC2 MA 2. Câu 4 Tr Oxy, cho A(3;1),B ( 1;2) . a) N Ox AN b) M d : y x MA P và MB Q PQ Câu 5 Cho x, y, z : x2 y2 z 2 4 xyz. x y z2 xyz.
2. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN LỚP 10 Năm học 2018 - 2019 Câu Đáp án Điểm a) Đặt txx=36 ++ − Đk :3≤≤t 32. 1.0 2 tl= −1( ) Phương trình có dạng: tt−2 −=⇔ 30   t = 3 1.0 Giải ra nghiệm x=-3 và x=6 1.0 b) (1) có nghiệm khi có phương trình tt2 −=−2 92 m có nghiệm t ∈ 3; 3 2 1,0 6,0  2  Xét hàm số ft()= t − 2 t với t ∈ 3; 3 2 , sử dụng bảng biến thiên ta có ĐK 1.0 Câu 1 −+9 62 phương trình có nghiệm 3≤− 9 2m ≤ 18 − 6 2 ⇔ ≤≤m 3. 1.0 2 a) Ta có: x4+ x 22 y =−+( x 2 xy )2. 2 x 3 y Đặt ax=−=23xy; bx y. 1,0 2 ab+=1 2 a =1. Ta có hệ phương trình:  . Suy ra, aa−−=⇔20  −+ab =−1 a = −2. 2 x−= xy11 x =±  ⇔ 3 xy= 0 y = 0 1,0    3  x2 +=−2 Khi đó:   2  2  x x− xy =−⇔2  (vn ).  −   3 y = 3   x  3 xy= −2 1,0 Câu 2 (xy ; )∈−{( 1; 0) ,( 1; 0)} . 5,0 y B A Q K P J H C I y3 30m y2 5m y1 ′ Q′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ x B P H O I J K A 200m 1,0 Giả sử Parabol có dạng: y= ax2 ++ bx c , a ≠ 0 . Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ, khi đó parabol đi qua điểm A(100; 30) , và có đỉnh 30= 10000a ++ 100 bc  −b 1 2 C (0;5). Suy ra:  = 0 ⇒=+(Py) :5 x . Đoạn AB chia 2a 400 5 = c
3. làm 8 phần, mỗi phần 25m . Khi đó, tổng độ dài của các dây cáp treo bằng OC+++222 y y y 1,0 123 111222    =+5 2 .25 ++ 5  2 .50 ++ 5  2 .75 + 5 = 78,75( m) 400 400 400  abc222+− acb 222 +−()() bc 44 − − abc 222 − VP= a  c −=b. = 1,0 22ab ac 2bc a)  (b2− cb 22 )( +− c 2 a 2 ) = =(bc22 − ).cos A . 2bc 1,0     b) Gọi D là đi xác định bởi hệ thức: DB+−= DC DA 0. Ta có: 2+ 2 −= 2 22 ++−= 22 Câu 3 MB MC MA MD DB DC DA 4,0 2 22 2  2 1,0 =MD ++ DB DC −+ DB DC ==− MD 2AB.AC.cosA. ( ) Nếu A tù, tập hợp các điểm M là tập ∅ . 1,0 Nếu A vuông, tập hợp các điểm M là {D}. . Nếu A nhọn, tập hợp các điểm M là đường tròn (D; 2 AB . AC .cos A) . a) N ∈Ox sao cho AN nhỏ nhất khi N là hình chiếu của A lên Ox khi N là hình 2.0 chiếu của A lên Ox.Vậy N(3;0) b) M∈=⇒ d: y x M (;) mm Đường thẳng AM có phương trình (m−−−= 1) x my 2 m 0 2m AM cắt trục hoành tại P( ;0) 1,0 − m 1 Câu 4 Đường thẳng MB có phương trình: (m−−++= 2) xm ( 1) y 3 m 0 4,0 3m MB cắt trục tung tại Q(0; ) m +1 mm−+11 Phương trình PQ: x+ ym =1( ≠± 1; m ≠ 0) 23mm PQ đi qua Ix(; y )cố định ⇔(326)320xy + − mxy − + = ∀ m ≠± 1;0 00 00 00 1,0  32xy+= 6 3 ⇔⇔ 00 I(1; ) −+32xy00 = 0 2 Áp dụng BDDT Cauchy cho 6 số dương: x2, y 22 , z ,,, xyz ta được: 2 2 2 6 3 33 2 22 x+ y + z +++≥ xyz6 xyz = 6. xyz Vì x++= y z4 xyz nên ta có: 0,5 x++≥ y z2. xyz Dấu bằng xảy ra ⇔x2 = y 22 = z ===⇒=== xyz xyz1 . Câu 5 2++= 22 Trái với giả thiết: x y z4 xyz . 0,5 1,0 Vậy x++> y z2. xyz Ghi chú: Học sinh làm theo các cách khác vẫn được chấm điểm theo từng bước có lời giải đúng.