Kiểm định chất lượng học sinh giỏi Lớp 6 môn Toán - Năm học 2018-2019 - Phòng giáo dục và đào tạo Triệu Sơn (Có đáp án)

Nội dung text: Kiểm định chất lượng học sinh giỏi Lớp 6 môn Toán - Năm học 2018-2019 - Phòng giáo dục và đào tạo Triệu Sơn (Có đáp án)

1. PHÒ NG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KIỂM ĐỊNH CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI LỚP 6 TRIỆU SƠN NĂM HỌC 2018 – 2019 Trường PT Triệu Sơn Môn : Toán Thời gian : 150 phút (không kể thời gian chép đề ) S ố báo danh ( Đề có 01 Trang , gồm 05 câu ) Câu 1 : (5,0 điểm ) 1. Tính giá trị của biểu thức : 2013 15 2013 3 2013 5 1 1 1 1 a) = . − . − . b) = + + + ⋯ + 2014 4 2 2014 2014 4 1.3 3.5 5.7 2017.2019 2. Tìm hai số biết tỉ số của chúng bằng 5 : 8 và tích của chúng bằng 360 Câu 2 : (5,0 điểm) 1. Tìm x,y nguyên sao cho xy + 2x + y + 11 = 0 2. Tính tổng S = 1 – 2 + 22 – 23 + 24 – 25 + 26 - - 22018 + 22019 3 3 3 3 3 2015 3. Tìm số nguyên x thõa mãn + + + + ⋯ + = 1 3 6 10 ( +1);2 2016 Câu 3 : (4,0 điểm) 1. Một số tự nhiên a chia cho 54 còn dư 38. Chia số tự nhiên đó cho 18 được thương 14 còn dư. Tìm số tự nhiên a. 2. Tìm tất cả số tự nhiên n sao cho 28 + 211 + 2n là số chính phương Câu 4 : ( 5,0 điểm ) 1. Cho góc xOy có số đo bằng có Oz là tia phân giác của góc đó , Ot là tia phân giác của góc xOz. a) Tính số đo góc xOt b) Gọi Om là phân giác góc yOt. Tính số đo góc zOm 0 2. Cho 푂 ̂ = 90 , vẽ Ox1 là phân giác của góc xOy, vẽ Ox2 là phân giác của góc xOx1, vẻ Ox3 là phân giác của góc xOx2, , vẻ Ox2019 là phân giác của góc xOx2018 . Tính số đo góc xOx2019. Câu 5 : (1,0 điểm ) Chứng minh rằng nếu b là số nguyên tố lớn hơn 3 thì số = 3푛 + 2 + 1993 2 là hợp số với mọi 푛 ∈ Thầy giáo : LÊ CÔ NG MINH (Nhận đào tạo HSG toán hóa cấp 2 ) SĐT : 0961462275
2. Hướng Dẫn Câu 1 : 1. HS tự giải 5 2. Theo gt thì ta có = mà( 5;8 ) = 1 nên ta có a = 5t và b = 8t mặt khác ta 8 có tích của a và b bằng 360 nên 5t.8t = 360 suy ra t2 = 9 =(±3)2 suy ra t = 3 hoặc t = - 3. Với t = 3 thì a = 15 và b = 24 Với t = -3 thì a = - 15 và b = - 24 Câu 2 : 9 1. Theo bài ra ta có x(y+2) = - y – 2 – 9 suy ra = −1 − vậy để x nguyên +2 thì y + 2 là ước của 9 , Ư(9) = ±9; ±3; ±1 sau đó các bạn giải tìm y 2. Từ giả thiết ta có: 푆 = (1 + 22 + 24 + 26 + ⋯ + 22018) − (2 + 23 + 25 + ⋯ + 22017) Đặt = 1 + 22 + 24 + 26 + ⋯ + 22018 → 22 = 22 + 24 + 26 + ⋯ + 22020−1 22018 + 22020 suy ra 3 = 22020 − 1 → = (1) Làm tương tự với 3 22019−2 1 B ta có = (2) Thay (1),(2) vào 푆 = (22019 + 1) 3 3 3 1 1 3. Ta nhận thấy rằng = 6 ( − ) thay n =1; 2; 3; ; x ta có : 푛(푛+1):2 푛 푛+1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2015 6 (1 − ) + 6 ( − ) + 6 ( − ) + 6 ( − ) + ⋯ + 6 ( − ) = 2 2 3 3 4 4 5 +1 336 1 2015 1 2015 6 (1 − ) = ↔ 1 − = ↔ = 2015 + 1 336 + 1 2016 Câu 3: 1. Vì a chia cho 54 còn dư 38 nên a = 54.q + 38(1) mặt khác a chia cho 18 được thương 14 còn dư nên a = 18.14 + x (2) ( x là số dư, 1 ≤ < 18 ) từ (1) và (2) ta có 54.q + 38 = 18.14 + x suy ra 54.q = 214 + x (*) vì 54 chia hết cho 6 nên Thầy giáo : LÊ CÔ NG MINH (Nhận đào tạo HSG toán hóa cấp 2 ) SĐT : 0961462275
3. 214 + x phải chia hết cho 6 hay là số chẳn chia hết cho 3 suy ra x chẳn. mặt khác 214 chia 3 dư 1 nên x chia 3 dư 2 suy ra x = 2 , 8 , 14 Thay x = 2 vào (*) suy ra q = 4 (thõa mãn) suy ra a = 254 Thay x = 8, 14 vào (*) suy ra q lẻ (loại) Vậy a = 254 là số cần tìm 2. Theo bài ra ta có 482 + 2푛(∗) phải là số chính phương đặt 482 + 2푛 = 푡2 → 2푛 = 푡2 − 482 = (푡 + 48)(푡 − 48) gọi n = a + b khi đó ta có 2 + = 2 . 2 = (푡 + 48)(푡 − 48) hay 2 = 푡 + 48 푣à 2 = 푡 − 48 = 5 = 5 Suy ra 2 − 2 = 96 ↔ 2 (2 − − 1) = 25. 3 → { → { → − = 2 = 7 푛 = + = 12 vậy với n = 12 thì(∗) là số chính phương Câu 4 : 1. ( HS tự giải ) 푂 ̂ 900 2. Vì Ox là phân giác của góc xOy nên góc xOx = 1 1 2 = 2 푂 ̂ 900 Ox2 là phân giác của góc xOx1 nên góc xOx2 = = 22 22 푂 ̂ 900 Ox3 là phân giác của góc xOx2 nên góc xOx3 = = 23 23 푂 ̂ 900 Và cứ như vậy cho tới góc xOx2019 = = 22019 22019 Từ bài toán trên ta có thể cho ra bài toán mang tính tổng quát và mở rộng như sau : Cho đoạn thẳng AB = a (cm) trên AB lấy trung điểm M1, trên AM1 lấy trung điểm M2 , trên AM2 lấy trung điểm M3 trên AMn-1 lấy trung điểm Mn . Hãy tính số đo tổng sau : S = AB + A1B + A2B + A3B + + AnB ( Các bạn tự giải nhé ) Câu 5 : Đối với bài này ta có 2 cách giải Cách 1 : ( sử dụng đồng dư thức ) Vì b là số nguyên tố lớn hơn 3 nên ta xét hai trường hợp Thầy giáo : LÊ CÔ NG MINH (Nhận đào tạo HSG toán hóa cấp 2 ) SĐT : 0961462275
4. TH1 : ≡ 1 ( 표 3) → 2 ≡ 1( 표 3) à 1990 ≡ 1( 표 3) → 1990 2 ≡ 1( 표 3) 푡 푙ạ𝑖 ó 3푛 + 2 ≡ 2( 표 3) → 3푛 + 2 + 1990 2 ≡ 3( 표 3) ≡ 0( 표 3) suy ra 3푛 + 2 + 1990 2 푙à ℎợ 푠ố TH2 : ≡ 2( 표 3) → 2 ≡ 4( 표 3) ≡ 1( 표 3) Sau đó chứng minh như trường hợp 1 sẻ ra kết quả là 3푛 + 2 + 1990 2 푙à ℎợ 푠ố Vậy suy ra điều phải chứng minh Cách 2 : sử dụng hằng đẳng thức với b là số nguyên tố lớn hơn 3 nên có hai dạng 3k + 1 và 3k + 2 ( Các bạn tự giải ) Đối với bài toán trên ta có bài toán tổng quat hơn: Cho n,m là các số tự nhiên bất kỳ khác 0 chứng minh rằng : 3n + 2 + (3m+1)b2 là hợp số ( với b là số nguyên tố lớn hơn 3) (Để rành cho các bạn tự giải ) Thầy giáo : LÊ CÔ NG MINH (Nhận đào tạo HSG toán hóa cấp 2 ) SĐT : 0961462275