Một số chủ đề ôn tập dành cho học sinh ôn thi vào Lớp 10 môn Toán

Nội dung text: Một số chủ đề ôn tập dành cho học sinh ôn thi vào Lớp 10 môn Toán

1. MỘT SỐ CHỦ ĐỀ ÔN TẬP DÀNH CHO HỌC SINH ÔN THI VÀO LỚP 10. PHẦN ĐỀ BÀI. Chủ đề 1. Các bài toán liên quan đến rút gon biếu thức 2x 6 Câu 1.Tìm GTLN của P . x 2 x 1 Câu 2. Cho A so sánh A với A2 . x 2 x Câu 3. Cho A .Tìm x để AA . x 2 x 2 x 2 Câu 4. Cho A .Tìm GTNN của A . x 1 x 1 Câu 5. Cho A .Tìm GTLN của A . x 2 x 2 x Câu 6. Cho A khi x 1 . Tìm GTNN của A . x 1 5 x Câu 7. Tìm x để A là số nguyên. x 4 2x 1 Câu 8. Tìm x để A là số nguyên. x 1 x 4 Câu 9. Tìm x Z để A là số nguyên. x 1 3 Câu 10. Tìm x để P là số nguyên. x 1 Chủ đề 2: Giải phương trình tìm x, y .
2. 1 1 1 1. x2 x 2 x 2 x 3 x 2 2 x 1 . 4 4 2 2. x2 4 x 7 x 4 x 2 7 . 23 2 3 1 1 3. x y y x 2 x 2 y x, y 0 . 4 4 2 2 x2 y 2 4. 8 biết x, y 1 . y 1 x 1 5. (x2 4) 2 x 4 3 x 2 6 x 4 . 6. x3 6 x 2 2 x 3 (5 x 1) x 3 3 0 . 7. 8x3 11 x 2 5 x 2 23 x 2 5 x 1 . 8. x2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 2 . 9. x 2019 2019 x . 10. x2 x 5 5 . 11. 3 x2 1 x x 3 2 . 12. 5x2 24 x 28 x 2 x 20 5 x 2 . 64x3 4 x 13. 5x2 6 x 5 . 5x2 6 x 6 14. x3 3 x 2 9 x 7 10 x 4 x . 15. x3 2 x 3 x2 6 x 4 . 16. 2x 5 7 2 x x4 4 x 3 2 x 2 12 x 11. 17. x 1 3 x x4 4 x 3 7 x 2 12 x 14 . 18. x3 3 x 2 5 x 3 x 2 3 x 2 1 . 19. x 1 1 x 5 2 x 1 2 x 1 2 x 1 . 20. 3 7x 1 3 x2 8 x 1 2 3 x 2 x 8 . Chủ đề 3. Bất đẳng thức , GTLN, GTNN. 1. Cho các số thực x, y thỏa mãn: 3x2 2 y 2 yz z 2 3 . Tìm GTLN, GTNN của P x y z . 2. Cho các số thực dương x, y sao cho x3 y 3 6 xy 8 . Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 1 P . x y
3. 3. Cho các số thực x, y 0 thỏa mãn: x y 6 . Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 4 P x y 6 . x y 28 1 4. Cho các số thực x, y 0 và x y 3 .Tìm giá trị nhỏ nhất P 2 x2 y 2 . x y 5. Cho 4 x , y , z 6 và x 2 y z 24 .Tìm GTLN của P xyz . 1 1 6. Cho x, y 0 và x y 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P 4 xy . x2 y 2 xy 3 3 1 1 7. Cho x, y 0 và x y 1 .Tìm GTNN của P x 1 y 1 . y x 2 4 8. Cho x, y 0 và 2x2 2 xy y 2 2 x 8 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P 2 x 3 y . x y 9. Cho các số thực x, y , z 0 thỏa mãn: 3x2 2 y 2 yz z 2 9 . Tìm GTLN, GTNN của 1 1 1 P x y z 2 . x y z 10. Cho các số thực dương x, y sao cho x3 y 3 6 xy 8 . Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 3 P xy . x2 y 2 xy 11. Cho các số thực dương x, y sao cho x2 y 2 x y . Tìm giá trị nhỏ nhất của 32 P x4 y 4 . x y 2 12. Cho các số thực không âm x,, y z thỏa mãn: x y z 1 . a. Tìm GTLN,GTNN của P 5 x 4 5 y 4 5 z 4 . b. Tìm GTLN,GTNN của P x y y z z x . c. Tìm GTLN của P 2 x2 3 x 4 2 y 2 3 y 4 2 z 2 3 z 4 . 13. Cho các số thực không âm x,, y z thỏa mãn: x y z 3 . Tìm GTLN,GTNN của P x y y z z x . 14. Cho các số thực dương x,, y z sao cho xy yz zx 5 .Tìm GTNN của P 3 x2 y 2 z 2 . 2 15. Cho các số thực dương x,, y z sao cho x4 y 2 1 z 4 3 . Tìm GTLN của 1 P 2 y x z . x2 y 2 z 2
4. 1 1 4 16. Cho các số thực x, y , z 0 và xyz 1.Tìm GTNN của P . x 1 2 y 1 2 3 z 1 3 8x2 y 17. Cho các số thực x, y sao cho x y 1, x 0 .Tìm GTNN của P y2 . 4x 18. Cho các số thực dương x, y sao cho x y 3 .Tìm GTNN của 4x 3 y P 6 x2 4 y 2 10 xy 38 . y x x2 3 y 2 19. Cho các số thực dương x, y sao cho x y 2 .Tìm GTNN của P . 2xy x2 y 3 20. Cho x, y , z 0 và x3 y 3 z 3 3 . + Chứng minh: x y z 3 . + Tìm GTLN P 3 xy yz zx xyz . x3 y 3 z 21. Cho x, y , z 0 và x y z 3 .Tìm GTNN của P . y 3 z 3 x 3 1 1 1 22. Cho x, y , z 0, xyz 1 . Tìm GTLN P 2 x y z 2 2 2 . x y z 23. Cho x, y , z 0 và x2 y 2 z 2 1 .Tìm GTLN của P 1 2 x 1 2 yz . x2 y 2 z 2 24. Cho x, y , z 0 và x y z 1 . Chứng minh: 3 x2 y 2 z 2 . y z x 25. Cho x,, y z thỏa mãn: x2 y 2 z 2 2 .Chứng minh: x y z xyz 2 . 26. Cho x, y , z 0 và xy yz zx 1 .Tìm GTNN của P x2 2 y 2 3 z 2 .
5. HƯỚNG DẪN VẮN TẮT Chủ đề 1 Các bài toán liên quan đến rút gon biếu thức 2x 6 Câu 1.Tìm GTLN của P . x 2 2 x 2 2 2 2 2 Hướng dẫn: P 2 vì x 0 x 2 2 1 P 3 x 2 x 2 x 2 2 Dấu ‘’=’’ xảy ra khi và chỉ khi x 0 x 1 Câu 2. Cho A so sánh A với A2 . x 2 Hướng dẫn: Điều kiện: x 0, x 4 . x 1 x 1 x 1 3 3 x 1 Xét AAAA 2 1 1 với x 0, x 4 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 3x 1 2 thì 2 0 . Vậy AA với x 0, x 4. x 2 x Câu 3. Cho A .Tìm x để AA . x 2 Hướng dẫn: Điều kiện x 0, x 4 . Nếu 0 x 4 thì x 2 x 2 0 dẫn đến A 0 còn A 0 suy ra AA , dấu đẳng thức xảy ra tại x 0 . Vậy 0 x 4 thì AA . x x Nếu x 4 thì x 2 x 2 0 x 2 x 2 A A . x 2 x 2
6. Kết luận: 0 x 4 thì AA . x 2 x 2 Câu 4. Cho A .Tìm GTNN của A . x 1 Hướng dẫn:Điều kiện x 0 khi đó x 0, x 1 0 . Ta viết lại A thành: 2 x 1 1 1 1 A x 1 2 x 1 . 2 (Theo bất đẳng thức AM-GM). x 1 x 1 x 1 1 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x 1 x 1 1 x 0 . x 1 x 1 Câu 5. Cho A .Tìm GTLN của A . x 2 x 2 Hướng dẫn: Nếu 0 x 1 thì A 0 . 1x 2 x 2 1 Nếu x 1thì A 0 ta có: x 1 2 . Dấu đẳng thức xảy ra khi A x 1 x 1 1 và chỉ khi x 1 x 1 1 x 4 . x 1 1 1 Suy ra A . Vậy GTLN của A là tại x 4 . 2 2 x Câu 6. Cho A khi x 1 . Tìm GTNN của A . x 1 Hướng dẫn: x x 1 1 1 1 Ta có: A x1 x 1 2 2 2 4 . Dấu đẳng thức x 1 x 1 x 1 x 1 1 xảy ra khi và chỉ khi x 1 x 1 1 x 4 . x 1 Vậy GTNN của A là 4 tại x 4 .
7. 5 x Câu 7. Tìm x để A là số nguyên. x 4 Hướng dẫn: Nếu : x 0 thì A 0 thỏa mãn. 5 4 5 Nếu x 0 ta có: A .Lại có x 4 (TheoAM-GM). Suy ra 0 A , vì A 4 x x 4 x 5 x x 1 nguyên suy ra A 1 hay 1 x 5 x 4 0 x 1 x 4 0 . x 4 x 16 Vậy x 0;1;16 thì AZ . 2x 1 Câu 8. Tìm x để A là số nguyên. x 1 Hướng dẫn: Điều kiện x 0 . 1 Ta có A 2 2 , dễ thấy A 0 suy ra 0 A 2 , vì A nguyên nên A 1 dẫn đến x 1 2x 1 x 0 1 x 2 x 0 x x 2 0 . x 1 x 4 Vậy x 0;4 thì AZ . x 4 Câu 9. Tìm x Z để A là số nguyên. x 1 Hướng dẫn: x 1 5 5 Điều kiện x 0 , từ giả thiết suy ra A x 1 . Để A là số nguyên thì x 1 x 1 x Z suy ra x 1  1;5 x  0;4 x  0;16 . 5 x 1 Kết luận: x 0;16
8. 3 Câu 10. Tìm x để P là số nguyên. x 1 Hướng dẫn: Điều kiện x 0 . 3 3 Ta thấy P 0 , x 0 x 1 1 P 3 0 P 3 . Do PZ nên x 1 1 P 1;2;3 x 1  1;2;3 x  0;1;2 x  0;1;4. Chủ đề 2: Giải phương trình tìm x, y . 1 1 1 1. x2 x 2 x 2 x 3 x 2 2 x 1 . 4 4 2 Hướng dẫn: 2 21 1 1 2 1 x x x 1 2 x 1 . Điều kiện x suy ra phương trình có dạng: 4 2 2 2 2 21 1 1 2 1 1 2 1 1 2 x x x 1 2 x 1 x x 1 2 x 1 x x 1 2 x 1 4 2 2 2 2 2 2 Hay 2x 1 x2 0 . 2. x2 4 x 7 x 4 x 2 7 . Hướng dẫn: Ta viết lại phương trình thành: 281424x2 x x x 2 7 x 2 7 x 2 81624 x x x 2 79 2 Hay x2 7 x 4 9 .Học sinh tự giải tiếp. 23 2 3 1 1 3. x y y x 2 x 2 y x, y 0 . 4 4 2 2 Hướng dẫn:
9. 2 23 2 1 1 1 1 Chú ý rằng: x y x x dẫn đến VT x y .Lại có 4 4 2 2 2 2 1 1 2x 2 x 2 2 2 1 1 VP x y . Dấu đẳng thức xảy ra tại x y . 4 2 2 x2 y 2 4. 8 biết x, y 1 . y 1 x 1 Hướng dẫn. x2 1 1 1 1 Chú ý rằng: x 1 x 1 2 2 2 4 suy ra VT 8 , dấu đẳng x 1 x 1 x 1 thức xảy ra khi và chỉ khi x y 4 . 5. (x2 4) 2 x 4 3 x 2 6 x 4 . Hướng dẫn: x2 4 2 x 4 4 x 2 6 x x 2 4 hay x2 4 2 x 4 1 2 x 2 x 3 hay 2 x2 42412 x xx 241 xxx 2 42241 xxxx 2 224240 2 hay x 2 x 4 0 . 6. x3 6 x 2 2 x 3 (5 x 1) x 3 3 0 . Hướng dẫn: Đặt t x3 3 0 .Phương trình trở thành: txtxx2 51620 2 txtxx 2 512310 txtx 2 310 . (Cần chú ý 5x 1 2 x 3 x 1 để dựa vào định lý Viet đảo và phân tích nhân tử, hoặc có thể tính theo x ). 7. 8x3 11 x 2 5 x 2 23 x 2 5 x 1 . Hướng dẫn:
10. 8x3 11 x 2 5 x 2 2 y Đặt y 3 x2 5 x 1 ta có hệ sau: cộng hai phương trình: 2 3 x 5 x 1 y 8x3 12 x 2 10 x 3 y 3 2 y 2 x 1 3 2 2 x 1 y 3 2 y 2x 1 y 2 x 12 2 x 1 y y2 2 0 y 2 x 1 học sinh tự giải tiếp. 8. x2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 2 . Hướng dẫn giải: x2 x 1 1 x 2 x 1 1 Sử dụng BĐT AM-GM ta có: x2 x 1 .1 ; x 2 x 1 .1 suy 2 2 2 2 x x x x 2 2 ra VT x 1 .Lại cóVP x 1 x 1 0 . Dấu đẳng thức xảy ra tại 2 2 x2 x 1 1 x2 x 1 1 x 1 . 2 x 1 0 9. x 2019 2019 x . y2 x 2019 Đặt 2019 x y 0 trừ 2 phương trình cho nhau ta thu được: x y 2019 y x y2 x x y 0 y x y x 1 0 học sinh tự giải tiếp. y 1 x 10. x2 x 5 5 . x2 y 5 Đặt y x5 0 x2 y 2 y x x y x y 1 0 . Học sinh tự giải 2 y x 5 tiếp. 11. 3 x2 1 x x 3 2 . Hướng dẫn : Điều kiện x 3 2 .
11. Viết lại phương trình thành: x2 9 x 3 27 3 x2 1 2 x 3 x 3 2 5 x 3 0 hay 2 3 3x2 1 2 3 x 2 1 4 x 2 5 x 3 x2 3 x 9 x 3 1 0 . 2 3 3x2 1 2 3 x 2 1 4 x 2 5 x 3 x2 3 x 9 Ta sẽ chứng minh: 1 và 2 3x2 1 2 3 x 2 1 4 x3 2 5 Thật vậy: x 3 2 + Ta xét 1 3 x2 1 23 x 2 1 x 1. Đặt 3 x2 1 t 0 2 3 x2 1 23 x 2 1 4 x t3 1 . Bất phương trình tương đương với t2 2 t 1 t 3 1 t4 3 t 3 6 t 2 4 t 0 . Điều này là hiển nhiên đúng. x2 3 x 9 + Ta xét: 2x2 3 x 1 2 x 3 2 x 4 2 x 3 7 x 2 6 x 9 0 x3 2 5 x 0 . Điều này luôn đúng. Từ đó suy ra phương trình có nghiệm duy nhất: x 3 12. 5x2 24 x 28 x 2 x 20 5 x 2 . Hướng dẫn: Viết lại pt thành: 5x2 24 x 28 5 x 2 x 2 x 20 . Bình phương 2 vế ta được: 2 2 5x 24 x 28 25 x 2 x x 20 10 x 2 x 4 x 5 2xx2 15 xxx 2 28 502 xx 2 283(5)5 x xxx 2 28 50 . Chú ý rằng với điều kiện x 4 ta có thế phân tích phương trình thành: 2x2 2 x 8 3 x 5 x 2 2 x 8 x 5 0 .Học sinh tự giải tiếp. 64x3 4 x 13. 5x2 6 x 5 . 5x2 6 x 6 Hướng dẫn:
12. Ta viết lại phương trình thành: 5x2 6 x 6 5 x 2 6 x 5 4 x 3 4 x đặt 5x2 6 x 5 a thì phương trình đã cho có dạng: a3 a 4 x 3 4 x a 4 x .Học sinh tự giải tiếp. 14. x3 3 x 2 9 x 7 10 x 4 x . Hướng dẫn: Ta viết lại phương trình thành: 3 x 16164 3 x x 4 x x 1614 3 x x 64 x 15. x3 2 x 3 x2 6 x 4 . Hướng dẫn giải: Điều kiện 3 2x 0 , hơn nữa 3x2 6 x 4 3 x 1 2 1 0 x 0 . x2 3 2 x Ta có: x3 2 x x2 3 2 x ,lại có: 2 2 2 x 3 2 x 5 x 2 x 1 5 2 3x2 6 x 4 x 1 0 nên dấu ‘’=’’ xảy ra khi x 1 2 2 2 Học sinh tự giải tiếp. Cách khác:Viết lại phương trình thành: 2 3 2 2x 3 2 x 1 2 2x 3 x 1 2 x3 2 x 1 3 x 1 x 1 x 1 .Do x3 2 x 1 x 3 2 x 1 2x3 3 x 2 1 x 1 2 2 x 1 0 nên VT VP . Dấu đẳng thức xảy ra tại x 1. 16. 2x 5 7 2 x x4 4 x 3 2 x 2 12 x 11. Hướng dẫn giải: 5 7 Điều kiện x 2 2 2 Áp dụng bất đẳng thức ax by x2 y 2 a 2 b 2 ta có: 2 2572x x 112572 x x 4 25722 x x .Lại có:
13. xxxx4 4212112 3 2 xxxxxxxx 4 42129 3 2 2 69 2 21 xx 3 2 10 2 Học sinh tự làm tiếp để tìm được x 3 17. x 1 3 x x4 4 x 3 7 x 2 12 x 14 . Hướng dẫn:Làm như bài 16 tìm được x 2 . 18. x3 3 x 2 5 x 3 x 2 3 x 2 1 . Hướng dẫn: 3 Viết lại phương trình thành: x 1 3 2 x 1 x2 1 3 x 2 1 19. x 1 1 x 5 2 x 1 2 x 1 2 x 1 . Hướng dẫn: Đặt x 1 1 a a2 x 2 2 x 1 , b 2 x 1 thì b2 2 x 1 ta thu được: a a2 3 b b 2 3 , phần còn lại học sinh tự giải. 20. 3 7x 1 3 x2 8 x 1 2 3 x 2 x 8 . Hướng dẫn: Ta viết lại phương trình thành: 3 7x 1 3 x2 8 x 1 3 x 2 x 8 2 . Đặt 3 7x 1 a ;3 x2 8 x 1 b ; 3 x 2 x 8 c thì a3 b 3 c 3 8 a b c 3 Chú ý rằng: abc 3 abc3 3 3 3 abbcca từ đó suy ra a b b c c a 0.Học sinh tự giải tiếp. Chủ đề 4. Bất đẳng thức , GTLN, GTNN. 1. Cho các số thực x, y thỏa mãn: 3x2 2 y 2 yz z 2 3 . Tìm GTLN, GTNN của P x y z . Hướng dẫn: Ta viết lại giả thiết thành: x2 y 2 z 2 x 2 y 2 x 2 z 2 2 yz 3 . Vì x2 y 2 2 xy , x 2 z 2 xz nên
14. 3 xyzxyxz2 2 2 2 2 2 2 2 yzxyz 2 2 2 2 xy 2 yz 2 zxxyz 2 . Suy ra 3 x y z 3 . Cách khác: Ta viết lại giả thiết bài toán thành: xyz2 2 22 xyyzzx 2 2 x 2 2 xyy 2 x 2 2 xzz 2 3 xyz 2 xy 2 yz 2 3 Từ đó suy ra x y z  3 . Chú ý rằng: Do tính đối xứng của y, z ta sẽ dự đoán dấu đẳng thức xảy ra tại y z thì giả thiết bài toán có thể viết thành 3x2 6 y 2 3 x 2 y 2 y 2 1, P x y y , P x 2 y điều này cho phép ta dự đoán dấu đẳng thức sẽ xảy ra tại x y dẫn tới x y z và có phân tích trên. 2. Cho các số thực dương x, y sao cho x3 y 3 6 xy 8 . Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 1 P . x y Hướng dẫn: Giả thiết bài toán được viết lại thành: xy 33 xyxy 6 xy 8 0 xy 3 8 3 xyxy 2 0 hay xy 2 xy 2 2 xy 4 3 xy 0 xy 2 xxyyxy2 2 2 2 4 0 từ đó 1 1 2 2 4 suy ra x y 2 . Áp dụng AM-GM ta có: 2 x yxy x y x y 2 3. Cho các số thực x, y 0 thỏa mãn: x y 6 . Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 4 P x y 6 . x y Hướng dẫn: Ta thêm vào một lượng 6m2 x y với mục đích để có thể vận dụng AM-GM theo dạng 12 4 2 1 4 m x 2 m , m y 4 my qua đó làm triệt tiêu lượng 6 x y x y
15. Ta viết lại 1 42 2 1 2 4 2 2 P 6 mxy 1 6 mxy 6 mx my 1 6 mxy x y x y 6 2m 4 m 1 6 m2 x y . x y 6 3 1 Dự đoán dấu đẳng thức xảy ra khi 1 2 6 m x 2, y 4 . x , y m 2 m m Từ đó ta có lời giải như sau: 1x 4 y 1 P 6 6 x y 6 12 3 15 . Học sinh tự hoàn thiện. x4 y 4 2 28 1 4. Cho các số thực x, y 0 và x y 3 .Tìm giá trị nhỏ nhất P 2 x2 y 2 . x y Hướng dẫn: 28 1 28 1 Ta xử lý phần: bằng cách thêm vào 7m2 x n 2 y . Ta có 7m2 x 28 m , n 2 y 2 n x y x y 2 1 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x , y . m n 4 1 Lúc này ta có x2 , y 2 nên ta sẽ phân tích P như sau: m2 n 2 24 2 1 28 2 1 2 2 2 8 1 Px 2 2 y 2 7 mx nymxny 7 2 2 m n x y m n 8x 2 y 2 2 8 1 82 2 2 8 1 28m 2 n 7 m x n y 2 2 x 7 m n y 28 m 2 n 2 2 . m n m n m n m n 82 2 2 2 1 Ta mong muốn: 7m : n 1:1 để tận dụng giả thiết x y 3 và 3. m n m n 82 2 2 7m : n 1:1 m n Giải hệ: m n 1 x 2, y 1. 1 2 3 m n
16. Từ đó ta có: 2 2 28 1 Px 24 y 1 7 x yxyxy 7 9822827 xyxy 9 2124 x y Học sinh tự hoàn thiện lời giải. Chú ý: Có thể sử dụng máy tính cầm tay để dấu bằng. Cách làm trên sẽ giúp hs có cách xử lý bài toán bài bản. 5. Cho 4 x , y , z 6 và x 2 y z 24 .Tìm GTLN của P xyz . Hướng dẫn: Ta đặt x 2 t thì giả thiết được viết lại thành: y z t 12 và P 2 yzt . Với 2 t 3, 4 y , z 6 . y z 2 12 t 2 t 12 t 2 Ta có yz nên P 4 4 2 Ta tìm GTLN của Q t 12 t 2 t3 24 t 2 144 t với 2 t 3 . Do 2 t 3 t 2 t 3 0 t2 5 t 6 . Suy ra Q t 5 t 6 24 t2 144 t 19 t 2 138 t 193 t t 81 t 243 . Dấu đẳng thức xảy ra tại t 3 9 khi đó y z . 2 243 9 Vậy P ,dấu đẳng thức xảy ra tại x 6, y z . 2 2 1 1 6. Cho x, y 0 và x y 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P 4 xy . x2 y 2 xy Hướng dẫn: Viết lại 1 1 1 2 1 2 1 P 2 2 4 xy 4 xy 2 2 4 xy x y2 xy 2 xy x2 y 2 .2 xy 2 xyx y 2 xy 2 xy 2 2 4 1 x y 1 Hay P 4 xy . Chú ý xy .Học sinh tự hoàn thiện. x y 2 2xy 4 4
17. 3 3 1 1 7. Cho x, y 0 và x y 1 .Tìm GTNN của P x 1 y 1 . y x Hướng dẫn: 3 3 3 3 a b 1 1 1 Chứng minh: a b suy ra P x y 2 . 4 4 x y 1 Dễ dàng dự doán dấu đẳng thức xảy ra tại x y nên ta có: 2 1 1 1 1 x y2 4 x 4 y 3 x y 2 4 4 3 2 7 .Học sinh tự giải tiếp. x y x y 2 4 8. Cho x, y 0 và 2x2 2 xy y 2 2 x 8 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P 2 x 3 y . x y Hướng dẫn: Viết lại giả thiết thành: x 1 2 x y 2 9 x y 3 giải tiếp như bài 3. 9. Cho các số thực x, y , z 0 thỏa mãn: 3x2 2 y 2 yz z 2 9 . Tìm GTLN, GTNN của 1 1 1 P x y z 2 . x y z Hướng dẫn: Viết lại giả thiết thành: xyzxyxz 2 2 2 9 xyz 2 9 0 xyz 3 . Dự đoán dấu đẳng thức xảy ra tại x y z 1 . Ta có: 1 1 1 P 2 x y z x y z .Học sinh tự hoàn thiện. x y z 10. Cho các số thực dương x, y sao cho x3 y 3 6 xy 8 . Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 3 P xy . x2 y 2 xy Hướng dẫn: Xem bài 2+ 6.
18. 11. Cho các số thực dương x, y sao cho x2 y 2 x y . Tìm giá trị nhỏ nhất của 32 P x4 y 4 . x y 2 2 4 4 41 2 2 2 1 1 2 x y Hướng dẫn: Ta có x y x y x y . 2 2 2 8 Từ giả thiết ta cũng có: 2 xy 2 2 xyxyxy 4 2 xy 2 2 xy 0 0 xy 2 . Dự đoán dấu đẳng thức xảy ra tại x y 1 . Nên ta phân tích và xử lý như sau. 4 32 x y 32 2 16 16 P x4 y 4 2 2 P x y 2 . x y 28 x y 2 x y 2 x y 2 2 16 16 Hay P 2 x 2 . 2 10 .Học sinh tự hoàn thiện lời giải. x 2 2 4 12. Cho các số thực không âm x,, y z thỏa mãn: x y z 1 . d. Tìm GTLN,GTNN của P 5 x 4 5 y 4 5 z 4 . Hướng dẫn: Từ giả thiết ta suy ra 0 x , y , z 1 x x2 , y y 2 , z z 2 dẫn đến. 2 5x 4 x 4 x 4 x2 4 x 4 x 2 x 2 , Áp dụng bất đẳng thức 2 quen thuộc x y z 3 x2 y 2 z 2 (học sinh tự chứng minh). Dẫn đến x 2 y 2 z 2 P 111545454 x y z 7 P 51 . e. Tìm GTLN,GTNN của P x y y z z x . Hướng dẫn: Từ giả thiết ta suy ra 0 xyyzzx , , 1 xyxyyz 2 , yzzxzx 2 , 2 2 Kết hợp với bất đẳng thức quen thuộc ABCABC 3 2 2 2 ta có: xyyzzxP 1 1 1 xyyzzx suy ra 2 P 6
19. f. Tìm GTLN của P 2 x2 3 x 4 2 y 2 3 y 4 2 z 2 3 z 4 . Hướng dẫn: Ta có 2x2 3 x 4 x 2 x 2 3 x 4 x 2 x 3 x 4 x 2 2 dẫn đến P x 2 y 2 z 2 7 . Đẳng thức xảy ra khi x;; y z là hoán vị của bộ số 1;0;0 . 13. Cho các số thực không âm x,, y z thỏa mãn: x y z 3 . Tìm GTLN,GTNN của P x y y z z x . Hướng dẫn: P x y y z z x x y y z z x Viết lại , đặt a ,, b c thì 0 a , b , c 1 3 3 3 3 3 3 3 và a b c 2 . 2 2 2 P x y y z z x 2 x y z Dẫn đến 2 suy ra P 2 3 . Dấu 3 3 3 3 3 đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x;; y z là hoán vị của bộ số 3;0;0 . Phần tìm GTLN làm như bài 12. 14. Cho các số thực dương x,, y z sao cho xy yz zx 5 .Tìm GTNN của P 3 x2 y 2 z 2 . Hướng dẫn. Ta dự đoán dấu đẳng thức xảy ra khi x y mz . x2 y 2 2 xy 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Ta có y m z 2 myz từ đó suy ra mx y y mz x mz 2 mxyyzzx 2 2 2 x m z 2 mxz Hay m 1 x2 m 1 y 2 2 mz 2 2 2 mxyyzzx (*).Bây giờ ta cần chọn m để vế trái (*) có phần hệ số của x2,, y 2 z 2 tỷ lệ với hệ số x2,, y 2 z 2 trong P . m 1 1 Tức là: 3:1 6m2 m 1 0 m . Học sinh tự giải tiếp. 2m2 2 Cách khác:
20. z z2 P 3 xyz222 mx 22 my 22222 3 mxy 2 mxz 2 myz 2 3 mxy 2 2 2 2m 2 với m2 3 .Ta muốn: 1 2 3 m2 m 2 2 m 4 13 m 2 18 0 m 2 2 . 2 3 m2 z2 z 2 Từ đó suy ra P 2 x2 2 yxy 2 2 2 2 xyyzzx 10 . 2 2 2 15. Cho các số thực dương x,, y z sao cho x4 y 2 1 z 4 3 . Tìm GTLN của 1 P 2 y x z . x2 y 2 z 2 1 Hướng dẫn giải: 2x2 y 2 2 z 2 y 2 1 Để ý rằng; 2xy 2 zy x2 y 2 z 2 nên P x2 y 2 z 2 2 2 x2 y 2 z 2 Từ giả thiết bài toán ta cũng có: 21 2 2 xy42 1 zxyz 4222 1 xyz 222 1 9 xyz 222 4 . 3 1 Đặt t x2 y 2 z 2 1,1 t 4 thì P t 1 , ta chứng minh: t 13 1 17 P t4 t2 17 t 4 0 t 4 4 t 1 0 . Bất đẳng thức cuối cùng đúng 4t 4 1 1 4 16. Cho các số thực x, y , z 0 và xyz 1.Tìm GTNN của P . x 1 2 y 1 2 3 z 1 3 Hướng dẫn: 2 2 xy. x x x y Ta có: x 1 1 xy 1 1 xy 1 . y y y Từ đó suy ra 1 1x y 4 1 4 z 4 x 1 2 y 1 2 xyxyxyxy 1 1 3 z 1 3 xy 1 3 z 1 3 z 1 3 z 1 3 Ta chứn minh: z 4 2 2 3 2 31421z z z z3 320 z z 1 z 20 . z 13 z 1 3 3
21. Nhận xét: Đây là bài toán khó. 8x2 y 17. Cho các số thực x, y sao cho x y 1, x 0 .Tìm GTNN của P y2 . 4x Hướng dẫn: y 1 x nên 2 8x 1 x 2 1 5 1 5 1 1 1 P 1 x 2 x x2 2 x x 2 x 2 1 x 1 2 . 4x 4 x 4 4 x 4 4 4 x 4 x 1 1 1 1 1 3 Chú ý: Ta phân tích được như trên bởi : x x2 33 x 2 . . , dấu ‘=’ xảy 4x 8 x 8 x 8 x 8 x 4 1 1 ra tại x2 x . ( Đối với hs thi điều kiện không được dùng AM-GM cho 3 số). 8x 2 18. Cho các số thực dương x, y sao cho x y 3 .Tìm GTNN của 4x 3 y P 6 x2 4 y 2 10 xy 38 . y x Hướng dẫn: 3 4 3 4 Ta có P x y 6 x 4 y x y 45 3 6 x 4 y 45 . Phần việc còn lại x y x y làm như bài 3,8. x2 3 y 2 19. Cho các số thực dương x, y sao cho x y 2 .Tìm GTNN của P . 2xy x2 y 3 Hướng dẫn: Từ giả thiết suy ra 0 xy 1 nên 2xy2 x 2 y 3 xy 2 2 xy 0 . Ta có x2 3 yxy 2 2 2 2 y 2 2 xyy 2 2 2 yxy nên 2y x y 2 x y 4 P . Theo bất đẳng thức AM-GM ta có: xy2 2 xy xy 2 xy xy 2 xy xy 2 xy 2 xy 2 xy 1 suy ra P 4 . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y 1 . 4 20. Cho x, y , z 0 và x3 y 3 z 3 3 . + Chứng minh: x y z 3 . + Tìm GTLN P 3 xy yz zx xyz .
22. Hướng dẫn: 2 Ta có x 10 x 210 x x2 21200 x x   x x 3 3200 x x Hay x3 3 x 2 suy ra x3 y 3 z 3 3 x y z 6 x y z 3 . Ta có x3 y 3 z 33 xyz xyzx 2 y 2 z 2 xyyzzx 3 x 2 y 2 z 2 xyyzzx Hay 3 3xyz xyzx 2 y 2 z 2 xyyzzx 3 x 2 y 2 z 2 xyyzzx dẫn đến 1 xyz x2 y 2 z 2 xy yz zx hay xyz x2 y 2 z 2 xy yz zx 1 suy ra P 3 xyyzzx x2 y 2 z 2 xyyzzx 1 xyz 2 1 8 .Khi x y z 1 thì P 8 . x3 y 3 z 21. Cho x, y , z 0 và x y z 3 .Tìm GTNN của P . y 3 z 3 x 3 x3 y 3 z x 2 y 2 z 2 Hướng dẫn: P .Chú ý rằng: y 3 z 3 x 3 x y 3 y z 3 z x 3 4x y 3 4x y 3 x2 y 2 z 2 x y 3 nên P 4 2 4 4x y 3 4 y z 3 4 z x 3 x24 x y 3 x 2 4 x y 3 x Lại có: 2 . .Từ đó học sinh làm tiếp. 4x y 3 64 4 x y 3 64 4 1 1 1 22. Cho x, y , z 0, xyz 1 . Tìm GTLN P 2 x y z 2 2 2 . x y z Hướng dẫn: Ta có xyyzzx 111111 xyz 1 2 1 2  10,, 2 xyz suy ra trong 3 số x 1 y 1 , y 1 z 1 , z 1 x 1 tồn tại ít nhất 1 số không âm. Không mất tính tổng quát ta giả sử: x 1 y 1 0 xy 1 xy 2 xy 1 z 2 xyz . 1 1 1 1 1 2 2 Vậy P 2 xy z 1 2 2 2 lại có 2 2 2z nên suy ra x y z x y xy 1 z
23. 2 1 1 2 1 1 P 2 xy z 1 2 z2 2 xy 2 2 2 2 3 1 3 . Dấu đẳng thức xảy ra z z z z z tại x y z 1 . 23. Cho x, y , z 0 và x2 y 2 z 2 1 .Tìm GTLN của P 1 2 x 1 2 yz . Hướng dẫn. Do yz đối xứng. Ta dự đoán dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi y z nên có 2yz y2 z 2 . x2 Ta dự dấu’=’ xảy ra khi x m . Nên x2 m 2 2 xm 2 x m m Ta có 2 x 2 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 P m1 1 yz xmmyz 1 . xmmyz 1 m m m 4 1 2 Hay P m2 m 2 . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 4m x2 m 2 m 1 y 2 z 2 y z 2 m2 m 1 2 y 2 2 2m2 m 1 1 m 2 3 m m 2 0 m 2 2 2 2 2 x y z 1 m 2 y 1 3 x m Học sinh tự hoàn thiện lời giải. x2 y 2 z 2 24. Cho x, y , z 0 và x y z 1 . Chứng minh: 3 x2 y 2 z 2 . y z x Hướng dẫn giải: 2 2 2 3 2 3 2 3 2 xyz 2 2 2 xxzyyxzzy Ta có: x y z x y z .Lại c y z x y y z z x x x3 y 2 x x 2 z y3 y 2 x z 2 y x2 z z 3 z 2 y 3x2 , 3y2 , 3z2 theo AM-GM y z y z z x y x x x3 x 2 z y 3 y 2 x z 3 z 2 y Suy ra 2 x2 y 2 z 2 suy ra đpcm. y y z z x x Có thể xử lý theo cách dùng Cauchy- Schwarz.
24. 25. Cho x,, y z thỏa mãn: x2 y 2 z 2 2 .Chứng minh: x y z xyz 2 . Hướng dẫn: Ta viết lại: 2 xyzxyz 2 yzx1 yz yz2 x2 1 1 yz 2 2 2 yz 2 2 yzyz 2 2   Học sinh làm tiếp. 26. Cho x, y , z 0 và xy yz zx 1 .Tìm GTNN của P x2 2 y 2 3 z 2 . Hướng dẫn: Ta xử lý theo cách: x2 x 2 my2 2 2 mxy , nz 2 2 2 nxz , 2 my 2 2 3 nz 2 2 2 2 m 2 3 nyz 2 với 2 2 m2 2, n 2 3 . Suy ra x2 2 y 2 3 z 2 2 mxy 2 nxz 2 2 m 2 3 n 2 yz . Bây giờ ta chọn m, n để : 2m 1 m n 2n 2 3 2m 2 m4 5 m 2 6 m 2 2 m 4 11 m 2 12 0 m 2 2m 4 2 1 2 m2 3 m 2 2 2 m2 3 n 2 Từ đó ta có: x23 x 2 3 1 3 P y2 z 2 y 2 z 2 3 xyyzxz 3 . Học sinh tự hoàn thiện. 2 2 2 2 2 2