Sáng kiến kinh nghiệm: Hình thành hệ thống bài toán từ một công thức tính diện tích của tam giác và một đẳng thức - Trần Ngọc Duy

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm: Hình thành hệ thống bài toán từ một công thức tính diện tích của tam giác và một đẳng thức - Trần Ngọc Duy

1. SKKN: “Hình thành hệ thống bài toán từ một công thức tính diện tích của tam giác và một đẳng thức” MỞ ĐẦU Tất cả học sinh lớp 9 đều biết công thức tính diện tích của một tam giác nhưng để vận dụng công thức đó vào giải các bài toán khác là một vấn đề chúng ta cần quan tâm tìm hiểu, có những bài toán khó về diện tích khi học sinh gặp phải thì rất là bỡ ngỡ và lúng túng. Vì trong chương trình Toán THCS SGK chưa đề cập nhiều về các công thức tính diện tích tam giác. Do đó, nhiều học sinh chưa có được phương pháp giải những bài toán dạng như thế này, mà dạng toán này chúng ta đều thấy ở các đề thi học sinh giỏi, đề thi tuyển sinh vào lớp 10, . Vì thế trong quá trình dạy học (dạy học tự chọn, dạy BDHSG, ) . Chúng ta cần phải trang bị cho học sinh nắm được một số ứng dụng của công thức tính diện tích tam giác thường gặp nhất trong chương trình Toán THCS. Để từ đó, mỗi học sinh tự mình giải được các bài toán dạng này một cách chủ động và sáng tạo. Đôi khi trong quá trình giải toán có những đẳng thức khá đẹp và nếu chúng ta chịu khó suy luận và tìm tòi khai thác nó sâu hơn, qua đó mà ta có thể hình thành được nhiều bài toán mới hoặc vận dụng để giải được nhiều bài toán khác. Đứng trước thực trạng trên, với tinh thần yêu thích bộ môn, muốn được đóng góp phần nào để gỡ rối cho học sinh. Tôi xin đưa ra sáng kiến kinh nghiệm “ Hình thành hệ thống bài toán từ một công thức tính diện tích của tam giác và một đẳng thức” . Qua đó học sinh nắm được phương pháp học tập một cách có hiệu quả hơn. Người viết: Trần Ngọc Duy – GV trường THCS Nguyễn Trãi – ĐT: 0974267203 1
2. SKKN: “Hình thành hệ thống bài toán từ một công thức tính diện tích của tam giác và một đẳng thức” NỘI DUNG Chúng ta cùng xuất phát từ một bài toán mở đầu sau: Cho tam giác nhọn ABC, biết AC = b, AB = c; BAC . a) Tính diện tích tam giác ABC theo b, c và . b) Chứng minh BC2 = b2 + c2 - 2bc.cosA Lời giải. a) Kẻ đường cao BH nên BH = AB.sinA (1) A 1 1 H Ta có S AC. BH nên S AC.AB.sinA ABC 2 ABC 2 1 Hay SABC b.c.sin . 2 B C b) Ta có HC = AC – AH mà AH = AB.cosA nên HC = AC - AB.cosA.(2) Ta có tam giác BHC vuông tại H nên BC2 = BH2 + HC2 (3) Từ (1), (2), (3) suy ra BC2 = (AB.sinA)2 + (AC - AB.cosA)2 = (AB.sinA)2 + AC2 – AC.AB.cosA + (AB.cosA)2 = (AB.sinA)2 + (AB.cosA)2 + AC2 – AC.AB.cosA = AB2(sin2A +cos2B) + AC2 – AC.AB.cosA = AB2 + AC2 – 2AC.AB.cosA Hay BC2 = b2 + c2 - 2bc.cosA (đpcm) Với kết quả bài toán này mà ta có thể ứng dụng vào giải các bài toán khác. Người viết: Trần Ngọc Duy – GV trường THCS Nguyễn Trãi – ĐT: 0974267203 2
3. SKKN: “Hình thành hệ thống bài toán từ một công thức tính diện tích của tam giác và một đẳng thức” Bài toán 1. (vận dụng bài toán mở đầu) Cho tam giác nhọn ABC, biết BC = a, AC = b, AB = c. Gọi S, p, lần lượt là diện tích, nửa chu vi của tam giác ABC, phân giác AD. Chứng minh rằng: a b c a) sinABC sin sin A 2bc cos b) AD = 2 ; (với sin2 = 2 sin .cos ) bc A c) S = p( p a )( p b )( p c ) c b B Lời giải. H D a C 1 1 1 a) Áp dụng bài toán mở đầu, ta có S bc.sinA ac.sinB ab.sinC nên ABC 2 2 2 suy ra (đpcm) b) Ta có SSSABC ABD ADC 1 1AA 1 AB. AC .sinA AB . AD .sin AD . AC .sin 2 2 2 2 2 A AB. AC .sinA AD .sin . AB AC 2 AAA AB. AC .2sin .cos AD .sin . AB AC 2 2 2 A AB. AC .2cos AD AB AC 2 A 2AB . AC cos AD 2 AB AC Người viết: Trần Ngọc Duy – GV trường THCS Nguyễn Trãi – ĐT: 0974267203 3
4. SKKN: “Hình thành hệ thống bài toán từ một công thức tính diện tích của tam giác và một đẳng thức” A 2b c.cos AD 2 (đpcm) bc 1 1 1 c) Cách 1. Ta có S = bcsinA S2 b 2 c 2 sin 2 A S 2 b 2 c 2 (1 c os 2 A ) 2 4 4 1 b2 c 2 a 2 S2 b 2 c 2 (1 c os A )(1 c os A ) mà cos A 4 2bc 2 2 2 2 2 2 21 2 2 b c a b c a Nên S b c 11 4 2bc 2 bc 1 (b c )2 a 2 a 2 (b c) 2 16 1 (b c a )( b c a )( a b c )(a b c) 16 (b c a )( b c a )( a b c )(acb) 2 2 2 2 p.( p a )( p b )( p c ) Suy ra S = p( p a )( p b )( p c ) Cách 2. abcbcaacbabc Ta có p( p a )( p b )( p c ) . . . 2 2 2 2 bcabcaa () bcabc 2 2 2 2 ()()b c2 a 2 a 2 b c 2 . 44 (b c )22 b2 c 2 + 2 bc . cosA b 2 c2 2 bc . cosA ( b c ) . 44 bc(1 cosA ) bc(1 cosA ) . 2 2 b22 c(1 cos2 A ) b 2 c 2s in 2 A S 2 S 44 Người viết: Trần Ngọc Duy – GV trường THCS Nguyễn Trãi – ĐT: 0974267203 4
5. SKKN: “Hình thành hệ thống bài toán từ một công thức tính diện tích của tam giác và một đẳng thức” Cách 3. Kẻ đường cao AH Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông, ta có: AB2- BH2 = AC2 – HC2 AB2- (BC –CH)2 = AC2 – HC2 AB2- (BC2 – 2BC.CH + CH2) = AC2 – HC2 AC2 BC 2 AB 2 b 2 a 2 c 2 CH = 22BC a 2 2 2 2 2 b a c CH = 2a AH2 = b2 - 2 2 2 2 2 2 2AH.1 BC 2 b a c 2 SABC b a 4 2a 4 4a2 b 2 ( b 2 a 2 c 2 ) 2 . a 2 16a2 (2ab b2 a 2 c 2 )(2 ab b 2 a 2 c 2 ) 16 (abcabccabcab )( )( )( ) 16 2(2p p 2)(2 a p 2)(2 b p 2) c 16 = p( p a )( p b )( p c ) SABC p( p a )( p b )( p c ) Người viết: Trần Ngọc Duy – GV trường THCS Nguyễn Trãi – ĐT: 0974267203 5
6. SKKN: “Hình thành hệ thống bài toán từ một công thức tính diện tích của tam giác và một đẳng thức” Bài toán 2. (áp dụng bài toán mở đầu) Cho tam giác nhọn ABC, ba đường cao AD, BE, CF. Chứng minh rằng: S A a) AEF cAos2 S ABC E S b) DEF sin2A c os 2 B c os 2 C F SABC Lời giải. B D C 1 AE.AF.sinA S AE.AF AE AF a) Ta có AEF 2 . c osA. c osA cos2 A (đpcm) (1) S1 AB. AC AB AC ABC AB. AC .sin A 2 S S b) Chứng minh tương tự câu a ta cũng có BDF cos2 B ; CDE cos2C (2) SABC SABC SSSSSSSS Ta có DEF ABC AEF BDF CDE 1 AEF BDF CDE (3) SSSSSABC ABC ABC ABC ABC S Từ (1), (2), (3) suy ra DEF 1 c os222 A c os B c os C SABC S hay DEF sin2A c os 2 B c os 2 C (đpcm) SABC Bài toán 3. (áp dụng bài toán 2) 2 Cho tam giác nhọn ABC có S ABC 75,1954 cm và các đường cao AD, BE, CF. 2 Xác định số đo góc A của ABC để S AEF 30,41975 cm Lời giải. A S Ta có AEF cAos2 S ABC E SS AEF-1 AEF 0 ’ ’’ F cos A A c os = 50 30 11.1 SS ABC ABC B Bài toán 4. (áp dụng bài toán 2) D C Cho tam giác ABC có AB = 19,5cm, AC = 27,7cm BAC 550 và các đường cao AD, BE, CF. Tính diện tích DEF Người viết: Trần Ngọc Duy – GV trường THCS Nguyễn Trãi – ĐT: 0974267203 6
7. SKKN: “Hình thành hệ thống bài toán từ một công thức tính diện tích của tam giác và một đẳng thức” A Lời giải. 1 2 Ta có SABC = AB. AC .sin A 221,23 (cm ) 2 E BC2 = AB2 + AC2 – 2AB.AC.cosA F nên BC = AB22 AC – 2 AB . AC . cosA 22,976 (cm) B D C BC AC AC.sin A 10 AC .sin A Ta có sinBB sin 80 57'50,25'' sinA sin B BC BC C 440 2'9,75'' S Ta có DEF sin2A c os 2 B c os 2 C S ABC 2 2 2 2 SDEF SABC (sin A c os B c os C ) 28,654( cm ) Bài toán 5. (vận dụng bài toán mở đầu) Cho hình bình hành ABCD , biết AB = a, AD = b và A . B C a) Tính diện tích hình bình hành ABCD theo a, b và 0 b) Chứng minh rằng : sin sin(180 ) a Lời giải. α A b D 0 1 a) – Nếu 90 ta có SABCD = 2SABD = 2.a . b .sin ab sin , 2 Nên SABCD absin (1) 00 – Nếu 90 180 , ta kẻ AH vuông góc với BC nên SABCD = AH.BC B Mà tam giác AHB vuông tại H nên AH = AB.sinB. H C 1800-α 0 Do đó SABCD = AB.sinB.BC = ab. .sin(180 ) a (2) α b)Từ (1) và (2) suy ra A b D Người viết: Trần Ngọc Duy – GV trường THCS Nguyễn Trãi – ĐT: 0974267203 7
8. SKKN: “Hình thành hệ thống bài toán từ một công thức tính diện tích của tam giác và một đẳng thức” Bài toán 6. (áp dụng bài toán mở đầu) Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O. Cho biết AOB ; BD= m, AC = n. a) Tính diện tích của tứ giác ABCD theo m, n và . b) Áp dụng. Tính diện tích tứ giác ABCD với m = 26,31931 cm ; n = 30,41975 và = 80020’11’’ Lời giải. B Kẻ BK và DH vuông góc với AC A H α α O K C Ta có SABCD = SABC + SADC 11 AC BK AC DH 22 D 1 AC( OB OD ).sin 2 1 AC. BD .sin 2 1 Vậy: SABCD mn. .sin 2 2 b) SABCD 394,63308 (cm ) Bài toán 7. (vận dụng bài toán 6) Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC, BD cắt nhau tạo thành góc và AC = a, BD = b. Trên tia đối của các tia BA, CB, DC, AD lần lượt lấy các điểm E, F, G, H sao cho BE = BA, CF = CB, DG = DC và AH = AD. a) Lập công thức tính diện tích tứ giác EFGH theo a, b và . b) Áp dụng: Tính góc , biết a = 25,081911(cm) ; b = 41,02013(cm) và 2 SEFGH = 2488,325971 (cm ) E F C Lời giải. B Ta có BA là đường trung tuyến của HBD nên SSBAH BAD H A D HB là đường trung tuyến của AHE nên SSHBA HBE Do đó SSSAHE 22 BAD DAB G Người viết: Trần Ngọc Duy – GV trường THCS Nguyễn Trãi – ĐT: 0974267203 8
9. SKKN: “Hình thành hệ thống bài toán từ một công thức tính diện tích của tam giác và một đẳng thức” Chứng minh tương tự, ta có SSBEF 2 ABC SSCFG 2 BCD SSDGH 2 CDA Mà SSSSSSEFGH AHE B EF CFG DGH ABCD ()()SSSSSAHE CFG BEF DGH ABCD 2(SSSSSDAB BCD ) 2( ABC CDA ) ABCD 2SSSSABCD 2 ABCD ABCD 5 ABCD Suy ra SSEFGH 5 ABCD 1 Mặt khác: S absin (tứ giác có 2 đường chéo vuông góc) ABCD 2 5 Do đó S absin EFGH 2 5 b) Áp dụng: S absin 750 19'54'' EFGH 2 Bài toán 8.(áp dụng kết quả bài toán 5) Cho hình bình hành ABCD có AB = a, BC = b và B . Gọi R, S, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Vẽ AP cắt BQ, DS lần lượt tại H, M. Vẽ CR cắt BQ, DS lần lượt tại K, N. a) Lập công thức tính diện tích tứ giác HKNM theo a, b và . b) Áp dụng : Tính số đo các góc của hình bình hành ABCD, biết a = 22,121944 (cm), b = 30,041975 và diện tích tứ giác HKNM là 128,5765873 (cm2) Lời giải. a) Nối A với C ta có AP là đường trung tuyến của ACD 11 A R nên SSSSADP APC ADC ABCD B 24 K 11 H Tương tự SSSCRA CBA ABCD Q S 24 N 1 M Do đó SSSSAPC CRA ARCP ABCD 2 D P C Dễ dàng chứng minh được tứ giác HKNM là hình bình hành Nên SSSSSSKHA KHB MNK MNC AKB CMD Người viết: Trần Ngọc Duy – GV trường THCS Nguyễn Trãi – ĐT: 0974267203 9
10. SKKN: “Hình thành hệ thống bài toán từ một công thức tính diện tích của tam giác và một đẳng thức” 1 Mà SS (đáy gấp đôi, chung đường cao) AKR2 AKB 1 tương tự: SS CMP2 CMD 1 Suy ra: SSSSSSS KHA KHB MNK MNC AKR CMP 5 ARCP 1 Mà SS ARCP 2 ABCD 2 SSS HKM MKN 5 ARCP 2 1 1 Hay SSS . HKNM5 2 ABCD 5 ABCD SABCD absin 11 Do đó S S absin HKNM55 ABCD 1 Vậy: S absin HKNM 5 b)Áp dụng: = 75019’0,54’’ Vậy AC 1040 4059,4 ' '' , BD 750 190,54 ' '' Bài toán 9. (áp dụng bài toán mở đầu) Cho tam giác ABC . Tính độ dài trung tuyến AM, biết BC = a, AC = b, AB = c. Lời giải. A BC 2 Ta có AM22 BA AB. BC .cosB (tam giác ABM) (1) 4 BC 2 AM22 CA AC. BC .cosC (tam giác ACM) (2) C 4 B M BC 2 Từ (1) và (2) suy ra: 2AM2 AC 2 BA 2 ( AB . BC .cosB+AC.BC.cos C ) (3) 2 BA2 BC 2 AC 2 CA2 BC 2 AB 2 Mà cosB= ; cosC= (4) 2.BA BC 2.CA BC Người viết: Trần Ngọc Duy – GV trường THCS Nguyễn Trãi – ĐT: 0974267203 10
11. SKKN: “Hình thành hệ thống bài toán từ một công thức tính diện tích của tam giác và một đẳng thức” BC 2 Từ (3) và (4) suy ra 2AM2 AB 2 AC 2 2 AB2 AC 2 BC 2 Do đó AM 2 2 4 Bài toán 10. (áp dụng bài toán mở đầu) Cho tam giác nhọn ABC, biết AC = b, AB = c; BAC . đường trung tuyến AM, đường phân giác của góc A cắt cạnh BC tại D (M, D thuộc cạnh BC) .Tính diện tích tam giác ADM theo b, c và . Lời giải. Giả sử ABC có AB < AC (1). AB DB Vì AD là phân giác của góc A nên (2). A AC DC Từ (1), (2) suy ra DB < DC 2BD < DC + BD. C M BC B H D BD BM . Do đó điểm D nằm giữa B và M 2 BC DM = BM – BD = BD . 2 AB.() DC AB BC BD AB BC AB BD Từ (2) suy ra BD AC AC AC BD.AC = AB.BC – AB.BD BD(AB + AC) = AB.BC AB. BC BD AB AC BC AB. BC BC ( AB AC ) 2 AB . BC DM . 2AB AC 2( AB AC ) S AH. DM DM BC ( AB AC ) 2 AB . BC 1 AC AB Ta có ADM . SABC AH. BC BC 2( AB AC ). BC 2 AB AC Vì dạng tổng quát: AB có thể lớn hơn, nhỏ hơn hoặc bằng AC. Người viết: Trần Ngọc Duy – GV trường THCS Nguyễn Trãi – ĐT: 0974267203 11
12. SKKN: “Hình thành hệ thống bài toán từ một công thức tính diện tích của tam giác và một đẳng thức” SADM 11AB AC b c Nên ta có: SADM b. c .sin . SABC 24 AB AC b c Từ kết quả này cho ta bài toán 11 Bài toán 11. Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM, đường phân giác của góc A cắt cạnh BC tại D (M, D thuộc cạnh BC) với AB = 10 cm. Xác định độ dài cạnh AC của ABC để SADM = 25%SABC. Lời giải. Áp dụng kết quả bài toán 10 AB AC 1 10 S 11AB AC AB AC 1 AB AC 2 AC Ta có ADM 3 . SABC 24 AB AC AB AC 2 AB AC 1 AC 30 AB AC 2 10 Vậy AC = 30 (cm) hoặc AC = (cm) thì SADM = 25% SABC. 3 Từ kết quả của bài toán 10 ta cũng có bài toán sau: Bài toán 12. Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM, đường phân giác của góc A cắt cạnh BC tại D (M, D thuộc cạnh BC). S 1AB AC 1 sin B sin C Chứng minh rằng: ADM SABC 2 AB AC 2 sin B sin C Lời giải. Giả sử ABC có AB < AC (1) A AB DB Vì AD là phân giác của góc A nên (2) AC DC C M Từ (1), (2) suy ra DB < DC 2BD < DC + BD B H D BC BD BM .Do đó điểm D nằm giữa B và M 2 BC DM = BM – BD = BD 2 AB.() DC AB BC BD AB BC AB BD Từ (2) suy ra BD AC AC AC Người viết: Trần Ngọc Duy – GV trường THCS Nguyễn Trãi – ĐT: 0974267203 12
13. SKKN: “Hình thành hệ thống bài toán từ một công thức tính diện tích của tam giác và một đẳng thức” BD.AC = AB.BC – AB.BD BD(AB + AC) = AB.BC AB. BC BD AB AC BC AB. BC BC ( AB AC ) 2 AB . BC DM 2AB AC 2( AB AC ) S AH. DM DM BC ( AB AC ) 2 AB . BC 1 AC AB Ta có ADM . SABC AH. BC BC 2( AB AC ). BC 2 AB AC Vì dạng tổng quát: AB có thể lớn hơn, nhỏ hơn hoặc bằng AC S 1 AB AC Nên ta có: ADM (a) SABC 2 AB AC AH AH Ta có AB và AC (trong ABH vuông tại H, ACH vuông tại H) sin B sinC AH AH 11 S 1 1 1 sinCB sin 1 sinBC sin ADM sinBCBC sin sin sin (b) SBC2AH AH 211 2 sin sin 2 sinBC sin ABC sinBCBC sin sin sin S 1AB AC 1 sin B sin C Từ (a) và (b) suy ra: ADM . (đpcm). SABC 2 AB AC 2 sin B sin C Bài toán 13. Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I, bán kính r, biết abc BC = a, AC = b, AB = c và p . 2 A a) Tính diện tích tam giác ABC theo p và r. ABC b) Chứng minh: r ( p a ) tan ( p b ) tan ( p c ) tan 2 2 2 E r F r Lời giải. I r 1 1 1 B S ABC S IAB S IBC S IAC ABr BCr ACr D a) Ta có 2 2 2 C 1 abc = .() r AB BC CA r p r 22 Người viết: Trần Ngọc Duy – GV trường THCS Nguyễn Trãi – ĐT: 0974267203 13
14. SKKN: “Hình thành hệ thống bài toán từ một công thức tính diện tích của tam giác và một đẳng thức” A b) Ta có AFI vuông tại F r = FI = AF.tan FAI =AF.tan (1) 2 AB AC BC 2 BC AB AC BC Mà pa 22 AF BF AE CE BD DC2 AF =AF (2) 22 A Từ (1), (2) suy ra r ( p a ) tan (3) 2 B C Chứng minh tương tự ta cũng có r ( p b ) tan ;r ( p c ) tan (4) 2 2 ABC Từ (3) và (4) suy ra r ( p a ) tan ( p b ) tan ( p c ) tan 2 2 2 Bài toán 14. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O,R) . Hai đường cao BM, CN cắt nhau tai H. a) Chứng minh AMN ABC . b) Chứng minh rằng: OA vuông góc với MN và AB = 2R.sinC AB AC BC c) Chứng minh: S ABC 4R 3 d) Xác định số đo BAC để diện tích tứ giác BNMC bằng diện tích tam giác 4 ABC. e) Tìm điều kiện của tam giác ABC để cosA + cosB + cosC đạt giá trị lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó. A Lời giải. x AM AN a) Ta có cosA nên AMN ABC (c.g.c) 1 AB AC O 2 M Suy ra N b) Lấy D đối xứng với A qua O. Khi đó ta có ABD vuông 1 tại B H 2 B P C Suy ra BAD BDA 900 (1) Ta có OBC cân tại O và OAC cân tại O. D AOx BOx AOB AOB Nên ACB và ADB (góc ngoài tam giác) 2 2 2 2 Suy ra ADB ACB (2) Mặt khác ta có AMN ABC (c.g.c). Người viết: Trần Ngọc Duy – GV trường THCS Nguyễn Trãi – ĐT: 0974267203 14
15. SKKN: “Hình thành hệ thống bài toán từ một công thức tính diện tích của tam giác và một đẳng thức” Suy ra ANM ACB (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra ANM BAD 900 Do đó AD  MN hay OA MN (đpcm) AB AB Từ (2) suy ra sinC = sinD mà sin D AD2 R Suy ra AB = 2R.sinC (4) CB. CA .sin C c) Ta có S (5) ABC 2 AB AC BC Từ (4) và (5) suy ra S ABC 4R 2 SAMN AM d) Ta có AMN ABC nên SABC AB S Suy ra AMN cAos2 SABC SSSS Mà BNMC ABC AMN 1 AMN 1 cos22AA sin SSSABC ABC ABC S 33 Do đó sinA BNMC A 600 SABC 42 3 Vậy: BAC 600 thì diện tích tứ giác BNMC bằng diện tích tam giác ABC. 4 e) Kẻ AH cắt BC tại P SAMN AM.AN 1 AN AM Ta có cAos (BĐT Cô-si) (6) SABC AB.2 AC AB AC SBNC BN.BP 1 BN BP Tương tự : cosB (7) SABC BC.2 AB AB BC SCPM CP.CM 1 CP CM cosC (8) SABC AC.2 BC BC AC 3 Từ (6), (7) và (8) suy ra cosA c os B c os C . 2 AN AM BN BP CP CM Dấu ‘=’ xảy ra khi ; ; AB AC AB BC BC AC Người viết: Trần Ngọc Duy – GV trường THCS Nguyễn Trãi – ĐT: 0974267203 15
16. SKKN: “Hình thành hệ thống bài toán từ một công thức tính diện tích của tam giác và một đẳng thức” AM AN BP BN CM CP Ta lại có ; ; nên AB = BC = AC. AB AC AB BC BC AC 3 Do đó cosA c os B c os C đạt giá trị lớn nhất là khi tam giác ABC là tam giác đều. 2 Bài toán tổng quát: Cho tam giác ABC, biết BC = a, AC = b, AB = c. Gọi S, p, r, R lần lượt là diện tích, nửa chu vi, bán kính đường tròn nội tiếp, bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC, phân giác AD, trung tuyến AM. Chứng minh rằng: a b c a) 2R sinABC sin sin 1 abc b) S = bcsin Apr ppapbpc ( )( )( ) 24R c) a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA A 2bc cos d) AD = 2 bc BC 2 e) 2AM2 AB 2 AC 2 2 S 1AB AC 1 sin B sin C f) ADM SABC 2 AB AC 2 sin B sin C Lời giải. Kẻ các đường cao AH, BK, CL của ABC (H BC, K AC, L AB) I là tâm đường tròn nội tiếp , O là tâm đường tròn ngoại tiếp . Kéo dài OA cắt đường tròn (O) tại N A K c b r O L I R B H D M a C N Người viết: Trần Ngọc Duy – GV trường THCS Nguyễn Trãi – ĐT: 0974267203 16
17. SKKN: “Hình thành hệ thống bài toán từ một công thức tính diện tích của tam giác và một đẳng thức” a a ab b b ab ab a)Ta có ; (1) sin ACL CL sin BCL CL sinAB sin b a a a ac c c ac ac ; (2) sin ABK BK sin CBK BK sinAC sin c a a b c Từ (1) và (2) suy ra (3) sinABC sin sin Ta có : ABNC là tứ giác nội tiếp đường tròn (O;R) ANB ACB C Ba điểm A, O, N thẳng hàng; A và N thuộc đường tròn (O;R) AN là đường kính của đường tròn (O;R) ANB 900 và AN = 2R c c c Ta có AN 2 R (4) ( ABN vuông tại B) sin C sin ABN c AN a b c Từ (3) và (4) suy ra 2R (đpcm) sinABC sin sin 1 1 1 b)Ta có: S cCL. cbsA . in bc sin A (*) ABC 2 2 2 1 1 1 S S S S ABr BCr ACr ABC IAB IBC IAC 2 2 2 1 abc = .() r AB BC CA r p r ( ) 22 Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông, ta có: AB2- BH2 = AC2 – HC2 AB2- (BC –CH)2 = AC2 – HC2 AB2- (BC2 – 2BC.CH + CH2) = AC2 – HC2 Người viết: Trần Ngọc Duy – GV trường THCS Nguyễn Trãi – ĐT: 0974267203 17
18. SKKN: “Hình thành hệ thống bài toán từ một công thức tính diện tích của tam giác và một đẳng thức” AC2 BC 2 AB 2 b 2 a 2 c 2 CH = 22BC a 2 2 2 2 2 b a c CH = 2a AH2 = b2 - 2 2 2 2 2 2 2AH.1 BC 2 b a c 2 SABC b a 4 2a 4 4a2 b 2 ( b 2 a 2 c 2 ) 2 . a 2 16a2 (2ab b2 a 2 c 2 )(2 ab b 2 a 2 c 2 ) 16 (abcabccabcab )( )( )( ) 16 2(2p p 2)(2 a p 2)(2 b p 2) c 16 = p( p a )( p b )( p c ) SABC p( p a )( p b )( p c ) ( ) a CL Từ câu a) 2R a 2 R sin A 2 R . sin Ab ab = 2R.CL abc = 2R.CL.c = 2R.2SABC abc abc 4. R S S ( ) ABC ABC 4R Từ (*),( ), ( ),( ), ta có 1 abc S = bcsin A pr ppapbpc ( ) )( ) (đpcm) 24R Người viết: Trần Ngọc Duy – GV trường THCS Nguyễn Trãi – ĐT: 0974267203 18
19. SKKN: “Hình thành hệ thống bài toán từ một công thức tính diện tích của tam giác và một đẳng thức” c) Ta có b2 + c2 - 2bc.cosA = AK2 + KC2 + 2AK.KC + AB2 – 2AB.AC. AK AB = AK2 + KC2 + 2AK.KC + (AK2 +BK2) – 2AC.AK = 2AK2 + KC2 + 2AK.KC + BK2 – 2(AK + KC)AK = 2AK2 + KC2 + 2AK.KC + BK2 – 2(AK + KC)AK = 2AK2 + KC2 + 2AK.KC + BK2 – 2AK2 - 2AK.KC = KC2 + BK2 = BC2 = a2 Vậy: a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA (đpcm) d) Ta có SSSABC ABD ADC 1 1AA 1 AB. AC .sinA AB . AD .sin AD . AC .sin 2 2 2 2 2 A AB. AC .sinA AD .sin AB AC 2 AAA AB. AC .2sin .cos AD .sin AB AC 2 2 2 A AB. AC .2cos AD AB AC 2 A 2AB . AC cos AD 2 AB AC A 2b c.cos AD 2 (đpcm) bc e) Ta có AB2 = AH2 + BH2 AC2 = AH2 + CH2 AB2 + AC2 = 2AH2 + BH2 + CH2 Người viết: Trần Ngọc Duy – GV trường THCS Nguyễn Trãi – ĐT: 0974267203 19
20. SKKN: “Hình thành hệ thống bài toán từ một công thức tính diện tích của tam giác và một đẳng thức” 22 2 2 2 BC BC AB + AC = 2AH + HM HM 22 BC22 BC 2AH2 HM 2 BC . HM HM 2 BC . HM 44 BC 2 22AH22 HM 2 BC 2 AB2 AC 2 2 AH 2 2 HM 2 2( AH 2 2 HM 2 ) 2AM 2 2 BC 2 Vậy: 2AM2 AB 2 AC 2 (đpcm) 2 f) Giả sử ABC có AB < AC (1) AB DB Vì AD là phân giác của góc A nên (2) AC DC Từ (1), (2) suy ra DB < DC 2BD < DC + BD BC BD BM .Do đó điểm D nằm giữa B và M 2 S DB AB Ta có ADB SADC DC AC SADB AB SADB AB SABC . AB hay suy ra SADB (3) SADC S ADB AC AB SABC AC AB AC AB S ABC Vì AM là trung tuyến nên SABM = SACM = (4) 2 Do đó SADM = SABM - SADB (5) SABC AC AB Từ (3), (4), (5) suy ra SADM = . 2 AB AC S 1 AC AB Hay ADM SABC 2 AB AC Người viết: Trần Ngọc Duy – GV trường THCS Nguyễn Trãi – ĐT: 0974267203 20
21. SKKN: “Hình thành hệ thống bài toán từ một công thức tính diện tích của tam giác và một đẳng thức” S 1 AB AC Vậy ADM .(a) SABC 2 AB AC Theo định lí hàm sin , ta có: a b c 2R sinABC sin sin b c sinB = , sinC = 2R 2R 1 sinB sin C 1 AB AC Nên . (b) 2 sinB sin C 2 AB AC S 1AB AC 1 sin B sin C Từ (a) và (b) suy ra: ADM . (đpcm). SABC 2 AB AC 2 sin B sin C BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1. Cho tam giác ABC, AB = 8,91 cm, AC = 10,32 cm, BAC 720 . Tính chính xác 3 chữ số thập phân. a) Diện tích tam giác ABC. b) Độ dài cạnh BC, số đo góc B, C của tam giác ABC. c) Độ dài phân giác AD d) Độ dài đường trung tuyến AM e) Diện tích tam giác ADM (D, M thuộc cạnh BC) f) Bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác ABC. Bài 2. Cho tam giác ABC, AB = 9 cm, AC = 11 cm, BC =12 cm. Tính chính xác 3 chữ số thập phân. a) Diện tích tam giác ABC. b) Số đo góc A, B, C của tam giác ABC. c) Độ dài phân giác AD d) Độ dài đường trung tuyến AM e) Diện tích tam giác ADM (D, M thuộc cạnh BC) f) Bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác ABC. Người viết: Trần Ngọc Duy – GV trường THCS Nguyễn Trãi – ĐT: 0974267203 21
22. SKKN: “Hình thành hệ thống bài toán từ một công thức tính diện tích của tam giác và một đẳng thức” Bài 3. Cho tam giác ABC có chu vi là 107 cm, ABC 300 15' , ACB 540 25' . Tính chính xác 3 chữ số thập phân. a) Diện tích tam giác ABC. b) Độ dài phân giác AD c) Độ dài đường trung tuyến AM d) Diện tích tam giác ADM (D, M thuộc cạnh BC) e) Bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác ABC. Bài 4. Cho tam giác ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp là 22,121944 cm, ABC 670 22'12'' , ACB 210 12' . Tính chính xác 3 chữ số thập phân. a) Diện tích tam giác ABC. b) Độ dài phân giác AD c) Độ dài đường trung tuyến AM d) Diện tích tam giác ADM (D, M thuộc cạnh BC) e) Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Bài 5. Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c. Tính theo a, b, c: a) Độ dài ba đường phân giác trong AD, BE, CF của tam giác. b) Diện tích tam giác DEF. Bài 6. Cho tam giác ABC có BAC 750 19'54'', AB = 25,81911 cm, AC = 41,02013 cm . Tính chính xác 4 chữ số thập phân. a) Độ dài ba trung tuyến AD, BE, CF của tam giác. b) Diện tích tam giác DEF. Bài 7. Cho hình chữ nhật ABCD, có BC = a, AB = b. Kẻ CK vuông góc với BD tại K. Tính diện tích tam giác ABK theo a,b. Bài 8. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O, R) và ngoại tiếp đường tròn (I, r). Tính khoảng cách giữa hai tâm của đường tròn theo R, r. Người viết: Trần Ngọc Duy – GV trường THCS Nguyễn Trãi – ĐT: 0974267203 22
23. SKKN: “Hình thành hệ thống bài toán từ một công thức tính diện tích của tam giác và một đẳng thức” HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM + Kết quả: Dạy bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán các cấp: Năm học Cấp huyện Cấp tỉnh 2011-2012 - Lớp 8: Đạt 6/7 (1 giải Nhất, Lớp 9: Đạt 18/20 (1 giải 4 giải Nhì, 1giải Ba) Nhất, 5 giải Nhì, 6 giải Ba, 6 giải KK). 2012-2013 - Lớp 9: Đạt 6/7 (1 Nhất, 2 Lớp 9: Đạt 11/20 (2 giải Nhì, Nhì, 2 Ba, 1KK) 4 giải Ba, 5 giải KK). -Lớp 8: Đạt 4/7 (2 giải Nhì, 1giải Ba, 1giải KK). 2013-2014 -Lớp 8: Đạt 10/10 (2 giải Nhì, Đạt 17/20 (4 giải Nhì, 4 giải 4 giải Ba, 4 giải KK). Ba, 9 giải KK). - Lớp 9: Đạt 6/7 (1 giải Nhất, 1 giải Nhì, 2 giải Ba, 2 giải KK). 2014-2015 -Lớp 9: Đạt 7/10 ( 2 giải Nhì, Đạt 11/20 (7 giải Ba, 4 giải 3 giải Ba, 2 giải KK) KK). 2015-2016 -Lớp 9:Đạt 6/7 (1 giải Nhất, 2 -Lớp 9:Đạt 9/20 (3 giải Nhì, giải Nhì, 2 giải Ba, 1 giải KK) 4 giải Ba, 2 giải KK) 2016-2017 Lớp 9:Đạt 6/7 (2 giải Nhì, 3 -Lớp 9:Đạt 11/20 (3 giải Nhì, giải Ba, 1 giải KK) 4 giải Ba, 2 giải KK) Người viết: Trần Ngọc Duy – GV trường THCS Nguyễn Trãi – ĐT: 0974267203 23
24. SKKN: “Hình thành hệ thống bài toán từ một công thức tính diện tích của tam giác và một đẳng thức” 2017-2018 Lớp 9:Đạt 6/7 (1 giải Nhất, -Lớp 9: Đạt 19/20 (2 giải 3 giải Nhì, 1 giải Ba, 1 giải Nhất, 5 giải Nhì, 7 giải Ba, 5 giải KK). KK) Lớp 8: Đạt 9/10 (2 giải Nhất, 3 giải Nhì, 3 giải Ba, 1 giải KK) 2018-2019 Lớp 9: Đạt 10/10 (2 giải Nhất, -Lớp 9: Đạt 18/20 (5 giải 4 giải Nhì, 4 giải Ba) Nhì, 8 giải Ba, 5 giải KK). 2019-2020 Lớp 9: Đạt 7/7 (1 giải Nhất, 6 giải Nhì) + Có 1 học sinh đậu vào lớp 10 trường chuyên Toán thuộc Đại học Quốc gia TPHCM, đậu thủ khoa trường THPT Mộ Đức số 2 và nhiều em vào trường chuyên Lê Khiết, nhiều em đạt điểm 10 môn Toán trong kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 và lớp chọn của trường THPT số 2 Mộ Đức. + Sáng kiến này cũng đã tham gia bồi đưỡng học sinh giải Toán trên máy tính cầm tay Casio các cấp. Kết quả: Dạy bồi dưỡng giải Toán trên máy tính cầm tay các cấp : Năm học Cấp trường Cấp huyện Cấp tỉnh Quốc gia 2010- Đạt 5/8 ( 3 giải Đạt 3/5 (1 giải 2011 Nhì, 2 giải Ba) Nhất, 2 giải Ba) Người viết: Trần Ngọc Duy – GV trường THCS Nguyễn Trãi – ĐT: 0974267203 24
25. SKKN: “Hình thành hệ thống bài toán từ một công thức tính diện tích của tam giác và một đẳng thức” 2011- Đạt 29/35 ( 4 Đạt 9/17 ( 2 giải Đạt 8/10 (2 Đạt 1/5 (1 2012 giải Nhất, 7 giải nhì, 1 giải Ba, 6 giải nhất, 3 giải KK) Nhì, 14 giải Ba giải KK) giải Nhì, 2 ,4 giải KK) giải Ba, 1 giải KK) 2012- Đạt 12/27 ( 4 Đạt 11/12 ( 2 Đạt 8/10 ( 3 Đạt 3/5 (2 2013 giải Nhất, 1 giải giải Nhất, 4 giải giải Nhì, 2 giải Ba,1 Nhì, 5 giải Ba ,2 nhì, 5 giải Ba)- giải Ba, 3 giải giải KK) giải KK)-Lớp 9 Lớp 9 KK) 2013- Khối 8: Đạt Đạt 7/10 (2 Đạt 3/5 (1 2014 11/15 ( 5 giải Ba, giải Nhất, 2 giải Ba, 2 6 giải KK) giải Nhì, 2 giải KK) giải Ba, 1 giải Khối 9: Đạt KK) 13/15 ( 2 giải Nhất, 3 giải Nhì, 3 giải Ba, 5 giải KK) 2014- Khối 9: Đạt Đạt 10/10 (1 Đạt 3/5 (1 2015 10/10 (2 giải giải Nhất, 3 giải Ba, 2 Nhất, 5 giải Nhì, giải Nhì, 4 giải KK) 3 giải Ba) giải Ba, 2 KK) 2015- -Lớp 8: Đạt - Lớp 9: Đạt Đạt 5/5 ( 3 2016 10/10( 5 giải 9/10 (2 giải giải Nhất, Người viết: Trần Ngọc Duy – GV trường THCS Nguyễn Trãi – ĐT: 0974267203 25
26. SKKN: “Hình thành hệ thống bài toán từ một công thức tính diện tích của tam giác và một đẳng thức” Nhất, 3 giải Nhì, Nhất, 1 giải 2 giải Nhì) 2 giải Ba) Nhì, 3 giải Ba, 3 giải - Lớp 9: Đạt KK) 10/10 ( 2 giải Nhất, 6 giải Nhì, 2 giải Ba) 2016- -Lớp 8: Đạt Lớp 9: Đạt Đạt 3/5 ( 1 2017 10/13(2 giải Nhì, 10/10 (1 giải giải Nhì, 1 4 giải Ba, 4 giải Nhất, 5 giải giải Ba, 1 KK) Nhì, 2 giải giải KK) Ba, 2 giải - Lớp 9: Đạt KK) 11/11 ( 3 giải Nhất, 6 giải Nhì, 2 giải Ba) 2017- -Lớp 8: Đạt 2018 12/12(2 giải Nhất, 3 giải Nhì, 5 giải Ba, 2 giải KK) - Lớp 9: Đạt 11/13 ( 2 giải Nhất, 3 giải Nhì, 5 giải Ba, 1 giải KK) Người viết: Trần Ngọc Duy – GV trường THCS Nguyễn Trãi – ĐT: 0974267203 26
27. SKKN: “Hình thành hệ thống bài toán từ một công thức tính diện tích của tam giác và một đẳng thức” KẾT LUẬN Trên đây là hệ thống những bài toán từ một công thức tính diện tích của tam giác và một đẳng thức mà qua quá trình giảng dạy, tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi, dạy học tự chọn mà bản thân tôi đã tổng hợp được. Thật ra đây là những bài toán mà ta có thể bắt gặp ở các sách, đề thi, . Việc hệ thống các bài tập trong chuyên đề này chỉ có tính hệ thống để cho chúng ta suy nghĩ và tìm ra một lớp các bài toán khác hay vận dụng nó để giải các bài toán khác. Trong mỗi bài toán, tuỳ theo cách phát triển mà ta sẽ có những bài toán mới tương ứng. Để học sinh thấy được nhiều ứng dụng của bài toán ban đầu . Thông qua sang kiến này hình thành cho học sinh tư duy phát triển tạo ra những cái mới từ cái ban đầu. Muốn vậy thì ta phải dạy cho học sinh nắm thật chắc các kiến thức cơ bản, nắm được các phương pháp giải các dạng bài tập và đặc biệt thường xuyên rèn luyện kỹ năng tìm tòi và kỹ năng khai thác, ứng dụng cho học sinh. Với suy nghĩ như vậy. Tôi tin tưởng mỗi chúng ta có thể làm cho học sinh không còn bỡ ngỡ và lúng túng khi gặp vấn đề khó trong toán học cũng như trong cuộc sống. Vì khả năng và thời gian có hạn nên sáng kiến này xin tạm dừng tại đây. Rất mong sự góp ý của các đồng chí, đồng nghiệp để sáng kiến này được phát huy và được mở rộng hơn nữa. Đức Nhuận, ngày 20 tháng 9 năm 2019. Tôi xin cam đoan đây là SK bản thân thực hiện, không sao chép nội dung của người khác, nếu vi phạm tôi xin chịu xử lý theo quy định./. XÁC NHẬN CỦA PHÓ HIỆU TRƯỞNG Người viết Trần Ngọc Duy Trần Thị Xuân Thuyền Người viết: Trần Ngọc Duy – GV trường THCS Nguyễn Trãi – ĐT: 0974267203 27
28. SKKN: “Hình thành hệ thống bài toán từ một công thức tính diện tích của tam giác và một đẳng thức” NHẬN XÉT ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG KH CẤP TRƯỜNG - Tác dụng của sáng kiến kinh nghiệm: - Tính thực tiễn, sư phạm, khoa học: - Hiệu quả: - Xếp loại: Đức Chánh, ngày tháng năm 2020. CT. HĐKH CẤP TRƯỜNG Trần Thị Xuân Thuyền Người viết: Trần Ngọc Duy – GV trường THCS Nguyễn Trãi – ĐT: 0974267203 28