Toán học sơ đồ - Hình học Lớp 9 - Chuyên đề 7: Tứ giác nội tiếp

41 trang thaodu 4570

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Toán học sơ đồ - Hình học Lớp 9 - Chuyên đề 7: Tứ giác nội tiếp", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

toan_hoc_so_do_hinh_hoc_lop_9_chuyen_de_7_tu_giac_noi_tiep.pdf

Nội dung text: Toán học sơ đồ - Hình học Lớp 9 - Chuyên đề 7: Tứ giác nội tiếp

Toán Học Sơ Đồ CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI HỌC SGK-TOÁN 9 Bộ đủ bản word cả năm GV cần thì có thể liên hệ zalo 0945943199 HH9-C3-CD7. TỨ GIÁC NỘI TIẾP A.TRỌNG TÂM CƠ BẢN CẦN ĐẠT I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa - Tứ giác nội tiếp đường tròn là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên đường tròn đó. - Trong Hình 1, tứ giác ABCD nội tiếp (O) và (O) ngoại tiếp tứ giác ABCD. 2. Định lí - Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 180°. - Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đổi diện bằng 180° thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn. 3. Một số dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp - Tứ giác có tổng hai góc đổi bằng 180°. - Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện. - Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm cố định (mà ta có thể xác định được). Điểm đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác. -Tứ giác có hai đinh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc α. Chú ý: Trong các hình đã học thì hình chữ nhật, hình vuông, hình thang cân nội tiếp được đường tròn. II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1. Chứng minh tứ giác nội tiếp Phương pháp giải: Để chứng minh tứ giác nội tiếp, ta có thể sử dụng một trong các cách sau: Cách 1. Chứng minh tứ giác có tổng hai góc đôì bằng 180°. Cách 2. Chứng minh tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc α. Cách 3. Chứng minh tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện. 1. Liên Hệ Chuyển Giao Tài Liệu WORD CHẤT-ĐẸP-TIỆN .Có Phí Hỗ Trợ .ĐT/Zalo 0945943199
Toán Học Sơ Đồ CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI HỌC SGK-TOÁN 9 Bộ đủ bản word cả năm GV cần thì có thể liên hệ zalo 0945943199 Cách 4. Tìm được một điểm cách đều 4 đỉnh của tứ giác. 1.1. Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BM và CN cắt nhau tại H. Chứng minh các tứ giác AMHN và BNMC là những tứ giác nội tiêp. 1.2. Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O), qua A kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn ( B, c là tiếp điểm). Chứng minh tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp. 2.1. Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O), M là điểm chính giữa của cung AB. Nối M với D, M với C cắt AB lần lượt ở E và P. Chứng minh PEDC là tứ giác nội tiếp. 2.2. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). M là điểm thuộc đường tròn. Vẽ MH vuông góc với BC tại H, vẽ MI vuông góc với AC. Chứng minh MIHC là tứ giác nội tiếp. Dạng 2. Sử dụng tứ giác nội tiếp để chứng minh các góc bằng nhau, các đoạn thẳng bằng nhau, các đường thẳng song song hoặc đồng quy, các tam giác đồng dạng Phương pháp: Sử dụng tính chât của tứ giác nội tiếp. 3.1. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Gọi H là điểm nằm giữa O và B. Kẻ dây CD vuông góc với AB tại H. Trên cung nhỏ AC lấy điểm E, kẻ CK  AE tại K. Đường thẳng DE cắt CK tại F. Chứng minh: a) Tứ giác AtìCK là tứ giác nội tiếp; b) AHì.AB = AD2; c) Tam giác ACE là tam giác cân. 3.2. Cho nửa (O) đường kính AB. Lấy M  OA (M không trùng o và A). Qua M vẽ đường thẳng d vuông góc với AB. Trên d lấy N sao cho ON > R. Nôi NB cắt (O) tại c. Kẻ tiếp tuyến NE với (O) (£ là tiếp điểm, E và A cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ d). Chứng minh: a) Bốn điểm O, E, M, N cùng thuộc một đường tròn; b) NE2 = NC.NB; c) NEH NME (H là giao điểm của AC và d); d) NF là tiếp tuyến (O) với F là giao điểm của HE và (O). 2. Liên Hệ Chuyển Giao Tài Liệu WORD CHẤT-ĐẸP-TIỆN .Có Phí Hỗ Trợ .ĐT/Zalo 0945943199
Toán Học Sơ Đồ CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI HỌC SGK-TOÁN 9 Bộ đủ bản word cả năm GV cần thì có thể liên hệ zalo 0945943199 4.1. Cho đường tròn (O) đường kính AB, gọi I là trung điểm của OA, dây CD vuông góc với AB tại I. Lấy K tùy ý trên cung BC nhỏ, AK cắt CD tại H. a) Chứng minh tứ giác BIHK là tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh AHAK có giá trị không phụ thuộc vị ữí điểm K. c) Kẻ DN  CB, DM  AC. Chứng minh các đường thẳng MN, AB, CD đồng quy. 4.2. Cho đường tròn (O; R) và điểm A cố định ngoài đường tròn. Qua A kẻ hai tiếp tuyến AM, AN tói đường tròn (M, N là hai tiếp điểm). Một đường thẳng d đi qua A cắt đường tròn (O; R) tại B và C (AB < AC). Gọi 7 là trung điểm BC. a) Chứng minh năm điểm A, M, N, O, I thuộc một đường tròn. b) Chứng minh AM2 = AB.AC. c) Đường thẳng qua B, song song với AM cắt MN tại E. Chúng minh IE song song MC. d) Chứng minh khi d thay đổi quanh quanh điểm A thì trọng tâm G của tam giác MBC luôn nằm trên một đường tròn cô' định. III. BÀI TẬP VỂ NHÀ CƠ BẢN 5. Cho điểm C nằm trên nửa đường tròn (O) vói đường kính AB sao cho cung AC lớn hơn cung BC (C ≠ B). Đường thăng vuông góc vói AB tại O cắt dây AC tại D. Chứng minh tứ giác BCDO nội tiếp. 6. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H bất kì (H không trùng O, B). Trên đường thẳng vuông góc với OB tại H, lấy một điểm M ở ngoài đường tròn; MA và MB thứ tự cắt đường tròn (O) tại c và D. Gọi I là giao điểm của AD và BC. Chứng minh MCID và MCHB là tứ giác nội tiếp. 7. Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A, B. Kẻ đường kính AC của (O) cắt đường tròn (O’) tại F. Kẻ đường kính AE của (O') cắt đưòng tròn (O) tại G. Chứng minh: a) Tứ giác GFEC nội tiếp; b) GC, FE và AB đồng quy. 8. Cho tam giác ABC cân tại A. Đường thẳng xy song song với BC cắt AB tại E và cắt AC tại F. Chúng minh tứ giác EFCB nội tiếp. 9. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Kẻ HE vuông góc với AB tại E, Kẻ HF vuông góc với AC tại F. Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp. 3. Liên Hệ Chuyển Giao Tài Liệu WORD CHẤT-ĐẸP-TIỆN .Có Phí Hỗ Trợ .ĐT/Zalo 0945943199
Toán Học Sơ Đồ CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI HỌC SGK-TOÁN 9 Bộ đủ bản word cả năm GV cần thì có thể liên hệ zalo 0945943199 10. Cho tam giác ABC vuông tại A và điểm M thuộc cạnh AC. Vẽ đường tròn tâm O đường kính MC cắt BC tại E. Nối BM cắt đường tròn (O) tại N, AN cắt đường tròn (O) tại D. Lấy I đối xứng với M qua A, K đối xứng với M qua E. a) Chứng minh BANC là tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh CA là phân giác của BCD . c) Chứng minh ABED là hình thang. d) Tìm vị trí M để đường tròn ngoại tiếp tam giác BIK có bán kính nhỏ nhất. 11. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Đường tròn (O; R) có đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại F và E; BE cắt CF tại H. a) Chứng minh tứ giác AFHE nội tiếp. Từ đó, xác định tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giác này. b) Tia AH cắt BC tại D. Chứng minh HE.HB = 2HD.HI c) Chứng minh bôn điểm D, E, I, F cùng nằm trên một đường tròn. 12. Cho đường tròn (O; R) và dây CD cố định. Điểm M thuộc tia đối của tia CD. Qua M kẻ hai tiếp tuyên MA, MB tới đường tròn (A thuộc cung lớn CD). Gọi I là trung điểm CD. Nối BI cắt đường tròn tại E (E khác B). Nối OM cắt AB tại H. a) Chứng minh AE song song CD. b) Tìm vị trí của M để MA  MB. c) Chứng minh HB là phân giác của CHD. 13. Cho đường tròn tâm O bán kính R, hai điểm c và D thuộc đường tròn, B là điểm chính giữa của cung nhỏ CD. Kẻ đường kính BA; trên tia đối của tia AB lấy điểm S. Nối S với cắt (O) tại M, MD cắt AB tại K, MB cắt AC tại H. Chứng minh: a) BMD BAC . Từ đó suy ra tứ giác AMHK nội tiếp; b) HK song song CD. 14.Cho hình vuông ABCD. E di động trên đoạn CD (E khác c, D). Tia AE cắt đường thẳng BC tại F, tia Ax vuông góc vói AE tại A cắt đường thẳng DC tại K. Chứng minh: 4. Liên Hệ Chuyển Giao Tài Liệu WORD CHẤT-ĐẸP-TIỆN .Có Phí Hỗ Trợ .ĐT/Zalo 0945943199
Toán Học Sơ Đồ CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI HỌC SGK-TOÁN 9 Bộ đủ bản word cả năm GV cần thì có thể liên hệ zalo 0945943199 a) CAF CKF; b) Tam giác KAF vuông cân; c) Đường thẳng BD đi qua trung điểm I của KF; d) Tứ giác IMCF nội tiếp với M là giao điểm của BD và AE. 15. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O), M là điểm thuộc cung nhỏ AC. Vẽ MH vuông góc với BC tại H, MI vuông góc AC tại I. a) Chứng minh IHM ICM. b) Đường thẳng HI cắt đường thẳng AB tại K. Chứng minh MK vuông góc vói BK. c) Chứng minh tam giác MIH đồng dạng vói tam giác MAB. d) Gọi E là trung điểm của IH và F là trung điểm AB. Chứng minh tứ giác KMEF nội tiếp từ đó suy ra ME vuông góc vói EF. HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ 1.1. Xét tứ giác AMHN có: AMH ANH 900 90 0 180 0 ĐPCM. Xét tứ giác BNMC có: BNC BMC 900 ĐPCM. 1.2. HS tự chứng minh 1 2.1. Ta có: AED (sđ AD + sđ MB ) 2 1 sđ DM MCD. DEP PCD 1800 2 PEDC nội tiếp. 5. Liên Hệ Chuyển Giao Tài Liệu WORD CHẤT-ĐẸP-TIỆN .Có Phí Hỗ Trợ .ĐT/Zalo 0945943199
Toán Học Sơ Đồ CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI HỌC SGK-TOÁN 9 Bộ đủ bản word cả năm GV cần thì có thể liên hệ zalo 0945943199 2.2. Ta có: MIC CHM 900 MIHC nội tiếp (hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc vuông) 3.1. a) Học sinh tự chứng minh b) ADB vuông tại D, có đường cao DH AD2 = AH.AB 1 c) EAC EDC sđ EC, EAC KHC 2 (Tứ giác AKCH nội tiếp) EDC KHC DF//HK (H là trung điểm DC nên K là trung điểm FC) ĐPCM. 3.1. a) Học sinh tự chứng minh 1 b) NEC CBE sđ CE 2 NEC  NBE (g.g) ĐPCM. c) NCH  NMB (g.g) NC.NB = NH.NM = NE2 NEH  NME (c.g.c) NEH EMN d) EMN EON (Tứ giác NEMO nội tiếp) NEH NOE EH  NO OEF cân tại O có ON là phân giác EON NOF NEO = NFO vậy NFO NEO 900 ĐPCM. 6. Liên Hệ Chuyển Giao Tài Liệu WORD CHẤT-ĐẸP-TIỆN .Có Phí Hỗ Trợ .ĐT/Zalo 0945943199
Toán Học Sơ Đồ CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI HỌC SGK-TOÁN 9 Bộ đủ bản word cả năm GV cần thì có thể liên hệ zalo 0945943199 4.1. a) HIB HKB 1800 Tứ giác BIHK nội tiếp b) Chứng minh được: AHI  ABK (g.g) AH.AK = AI.AB = R2 (không đổi) c) Chứng minh được MCND là hình chữ nhật từ đó ĐPCM. 4.2. a) Chú ý: AMO AIO ANO 900 1 b) AMB MCB sđ MB 2 AMB  ACM (g.g) ĐPCM. c) AMIN nội tiếp AMN AIN BE//AM AMN BEN BEN AIN Tứ giác BEIN nội tiếp BIE BNM Chứng minh được: BIE BCM IE//CM. d) G là trọng tâm MBC G  MI. 1 Gọi K là trung điểm AO MK = IK = AO. 2 Từ G kẻ GG'//IK (G'  MK) GG' MG MG ' 2 1 IK AO không đổi (1) IK MI MK 33 7. Liên Hệ Chuyển Giao Tài Liệu WORD CHẤT-ĐẸP-TIỆN .Có Phí Hỗ Trợ .ĐT/Zalo 0945943199
Toán Học Sơ Đồ CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI HỌC SGK-TOÁN 9 Bộ đủ bản word cả năm GV cần thì có thể liên hệ zalo 0945943199 2 MG'' MK G cố định (2). Từ (1) và (2) có G thuộc ( 3 1 G'; AO ). 3 5. Học sinh tự chứng minh. 6. Học sinh tự chứng minh. 7. Học sinh tự chứng minh. 8. Gợi ý: Chứng minh BEFC là hình thang cân 9. Gợi ý: AFE AHE (tính chất hình chữ nhật và AHE ABH (cùng phụ BHE ) 10. a) Học sinh tự chứng minh. b) Học sinh tự chứng minh. c) Học sinh tự chứng minh. d) Chú ý: BIA BMA, BMC BKC Tứ giác BICK nội tiếp đường tròn (T), mà (T) cũng là đường tròn ngoại tiếp BIK. Trong (T), dây BC không đổi mà đường kính của (T) ≥ BC nên đường kính nhỏ nhất bằng BC. Dấu "=" xảy ra BIC 900 I  A M  A 11. HS tự làm. 12. a) HS tự chứng minh. b) OM R 2 c) MC. MD = MA2 = MH.MO 8. Liên Hệ Chuyển Giao Tài Liệu WORD CHẤT-ĐẸP-TIỆN .Có Phí Hỗ Trợ .ĐT/Zalo 0945943199
Toán Học Sơ Đồ CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI HỌC SGK-TOÁN 9 Bộ đủ bản word cả năm GV cần thì có thể liên hệ zalo 0945943199 MC. MD = MH.MO MHC  MDO (c.g.c) MHC MDO Tứ giác CHOD nội tiếp Chứng minh được: MHC OHD CHB BHD (cùng phụ hai góc bằng nhau) 13. HS tự chứng minh. 14. a) HS tự chứng minh. b) HS tự chứng minh. c) Tứ giác ACFK nội tiếp (i) với I là trung điểm của KF BD là trung trực AC phải đi qua I. d) HS tự chứng minh. 15. HS tự chứng minh. b) HS tự chứng minh. c) HS tự chứng minh. d) MIH MAB MH IH2 EH EH MB AB2 FB FB MHE  MBF MFA MEK (cùng bù với hai góc bằng nhau) KMEF nội tiếp MEF = 900. B.NÂNG CAO PHÁT TRIỂN TƯ DUY 9. Liên Hệ Chuyển Giao Tài Liệu WORD CHẤT-ĐẸP-TIỆN .Có Phí Hỗ Trợ .ĐT/Zalo 0945943199
Toán Học Sơ Đồ CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI HỌC SGK-TOÁN 9 Bộ đủ bản word cả năm GV cần thì có thể liên hệ zalo 0945943199 Bài 1. Cho hình hành ABCD có đỉnh D nằm trên đường tròn đường kính AB. Kẻ BN và DM cùng vuông góc với đường chéo AC. Chứng minh rằng: a) Tứ giác CBMD là tứ giác nội tiếp. b) Khi điểm D di động trên đường tròn thì BMD BCD không đổi. c) DB DC DN AC . Bài 2. Cho hai đường tròn O và O cắt nhau tại A và B. Các tiếp tuyến tại A của đường tròn và cắt đường tròn và theo thứ tự tại C và D. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các dây AC và AD. Chứng minh rằng: a) Hai tam giác ABD và CBA đồng dạng. b) BQD APB . c) Tứ giác APBQ nội tiếp. Bài 3. Cho hai vòng tròn O1 và O2 tiếp xúc ngoài nhau tại điểm T. Hai vòng tròn này nằm trong vòng tròn O3 và tiếp xúc với tương ứng tại M và N. Tiếp tuyến chung tại T của và O2 cắt tại P. PM cắt vòng tròn tại điểm thứ hai A và MN cắt tại điểm thứ hai B. PN cắt vòng tròn O2 tại điểm thứ hai D và MN cắt O2 tại điểm thứ hai C. a) Chứng minh rằng tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh rằng các đường thẳng AB, CD và PT đồng quy. Bài 4. Từ điểm A nằm ngoài đường tròn tâm O kẻ hai tiếp tuyến AB và AC (B và C là các tiếp điểm). Gọi M là điểm bất kì trên cung nhỏ BC của đường tròn (M khác B và C). Tiếp tuyến qua M cắt AB và AC tại E và F. Đường thẳng BC cắt OE và OF ở P và Q. Chứng minh rằng: a) Tứ giác OBEQ, OCFP là các tứ giác nội tiếp. b) Tứ giác PQFE là tứ giác nội tiếp. PQ c) Tỉ số không đổi khi M di chuyển trên đường tròn. FE 10. Liên Hệ Chuyển Giao Tài Liệu WORD CHẤT-ĐẸP-TIỆN .Có Phí Hỗ Trợ .ĐT/Zalo 0945943199
Toán Học Sơ Đồ CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI HỌC SGK-TOÁN 9 Bộ đủ bản word cả năm GV cần thì có thể liên hệ zalo 0945943199 Bài 5. Cho tam giác ABC, D và E là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp với các cạnh AB và AC. Chứng minh đường phân giác trong của góc B, đường trung bình của tam giác song song với cạnh AB và đường thẳng DE đồng quy. Bài 6. Cho đưòng tròn OR; đường kính AB cố định và đường kính CD quay quanh điểm O. Các đường thẳng AC và AD cắt tiếp tuyến tại B của đường tròn theo thứ tự tại E và F. 1. Chứng minh rằng tứ giác CDFE nội tiếp đường tròn. 2. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CDFE. Chứng minh rằng điểm I di động trên đường thẳng cố định khi đường kính CD quay quanh điểm O. Bài 7. Cho tam giác ABC vuông tại A và D là một điểm trên cạnh AC (Khác với A và C). Vẽ đường tròn tâm D tiếp xúc với BC tại E. Từ B kẻ tiếp tuyến thứ hai BF với đường tròn D . Gọi M là trung điểm của BC, N là giao điểm của BF và AM. Chứng minh năm điểm A, B, E, D, F cùng nằm trên một đường tròn và AN NF . Bài 8. Cho hai đường tròn và OR; cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B. Từ một điểm C thay đổi trên tia đối của tia AB, vẽ các tiếp tuyến CD, CE với đường tròn tâm O (D; E là các tiếp điểm và E nằm trong đường tròn tâm O ). Hai đường thẳng AD và AE cắt đường tròn tâm O lần lượt tại M và N (M, N khác với điểm). Đường thẳng DE cắt MN tại 1. Chứng minh rằng: a) MI BE BI AE . b) Khi điểm C thay đổi thì đường DE luôn đi qua một điểm cố định. Bài 9. Cho đường tròn và dây AB cố định, AB R 2 . Điểm P di động trên dây AB (P khác A và B). Gọi CR; 1 là đường tròn đi qua P và tiếp xúc với đường tròn tại A, DR; 2 là đường tròn đi qua P và tiếp xúc với tại B. Hai đường tròn và cắt nhau tại điểm thứ hai M. a) Trong trường hợp P không trùng với trung điểm dây AB, chứng minh OM// CD và 4 điểm C, D, O, M cùng thuộc một đường tròn; b) Chứng minh khi P di động trên dây AB thì điểm M di động trên đường tròn cố định và đường thẳng MP luôn đi qua một điểm cố định N; c) Tìm vị trí của P để tích PM.PN lớn nhất? Diện tích tam giác AMB lớn nhất. 11. Liên Hệ Chuyển Giao Tài Liệu WORD CHẤT-ĐẸP-TIỆN .Có Phí Hỗ Trợ .ĐT/Zalo 0945943199
Toán Học Sơ Đồ CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI HỌC SGK-TOÁN 9 Bộ đủ bản word cả năm GV cần thì có thể liên hệ zalo 0945943199 Bài 10. Cho tam giác ABC AB AC nội tiếp đường tròn O có AD là phân giác góc BAC , tia AD cắt đường tròn tại điểm E (E khác A). Kẻ đường kính EF của đường tròn . Gọi P là một điểm nằm giữa A và D. Tia FP cắt đường tròn tại Q khác F. Đường thẳng qua P vuông góc với AD cắt CA, AB lần lượt tại M, N. a) Chứng minh rằng các tứ giác PQBN, PQCM là tứ giác nội tiếp. b) Giả sử QN và PC cắt nhau tại một điểm thuộc đường tròn . Chứng minh rằng QM và PB cũng cắt nhau tại một điểm thuộc đường tròn . Bài 11. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp OR; có AB AC . Vẽ 3 đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H, AD cắt tại K và cắt EF tại I. a) Chứng minh rằng: BC là trung trực của HK và IF IE IH IA; b) Chứng minh rằng : Các tứ giác DHEC, BFIK nội tiếp được; KC BK EF c) Chứng minh rằng: ; AC BA AI d) Đường thẳng qua E song song với AD cắt BK tại M. Chứng minh rằng: 3 điểm F, D, M thẳng hàng; Bài 12. Cho tam giác ABC nhọn với có AD là đường phân giác. Đường thẳng qua C song song với AD cắt đường trung trực của AC tại E. Đường thẳng qua B song song với AD cắt đường trung trực của AB tại F. a) Chứng minh rằng tam giác ABF đồng dạng với tam giác ACE. b) Chứng minh rằng các đường thẳng BE, CF, AD đồng quy tại một điểm, gọi điểm đó là G. c) Đường thẳng qua G song song với AE cắt đường thẳng BF tại Q. Đường thẳng QE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác GEC và P khác E. Chứng minh rằng các điểm A, P, G, Q, F cùng thuộc một đường tròn. Bài 13. Cho 19 điểm nằm trong hay trên cạnh của một lục giác đều cạnh bằng 4 cm. Chứng minh rằng 43 luôn tồn tại 2 trong số 19 điểm đã cho mà khoảng cách giữa chúng không vượt quá cm. 3 12. Liên Hệ Chuyển Giao Tài Liệu WORD CHẤT-ĐẸP-TIỆN .Có Phí Hỗ Trợ .ĐT/Zalo 0945943199
Toán Học Sơ Đồ CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI HỌC SGK-TOÁN 9 Bộ đủ bản word cả năm GV cần thì có thể liên hệ zalo 0945943199 Bài 14. Cho hình thang ABCD vuông góc tại A và B, M là trung điểm của AB. Đường thẳng qua A vuông góc với MD cắt đường thẳng qua B vuông góc với MC tại N. Chứng minh Cho tam giác ABC AB AC có các góc nhọn, nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi M là trung điểm cạnh BC, E là điểm chính giữa của cung nhỏ BC, F là điểm đối xứng của E qua M. a) Chứng minh rằng EB2 EF. EO ; b) Gọi D là giao điểm của AE và BC. Chứng minh các điểm A, D, O, F cùng thuộc một đường tròn. c) Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC và P là điểm thay đổi trên đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC sao cho P, O, F không thẳng hàng. Chứng minh rằng tiếp tuyến tại P của đường tròn ngoại tiếp tam giác POF đi qua một điểm cố định. HƯỚNG DẪN GIẢI - ĐÁP SỐ Bài 1. a) AB là đường kính đường tròn O ADB 90  mà ADB DBC (so le trong) DBC 90 . Mặt khác DMC 90 suy ra: DMC DBC 90  do đó tứ giác CBMD nội tiếp đường tròn đường kính CD. Nhận xét. Ngoài cách giải trên, chúng ta có thể giải theo hướng sau: • Ta có: MDB DBN DAN MCB . Suy ra điều phải chứng minh. • Ta có: DMB DNB ; DAB DCB Mà DAB DNB 180  . Suy ra điều phải chứng minh. b) Khi điểm D di động trên đường tròn O thì tứ giác CBMD luôn là tứ giác nội tiếp Suy ra BMD BCD 180  (điều phải chứng minh). 13. Liên Hệ Chuyển Giao Tài Liệu WORD CHẤT-ĐẸP-TIỆN .Có Phí Hỗ Trợ .ĐT/Zalo 0945943199
Toán Học Sơ Đồ CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI HỌC SGK-TOÁN 9 Bộ đủ bản word cả năm GV cần thì có thể liên hệ zalo 0945943199 c) Do ANB 90 thuộc O . Ta có: BDN BAN (góc nội tiếp) mà ACD BAN (so le trong) BDN ACD . Mặt khác DAC DAN DBN (cùng chắn cung DN) AC CD Suy ra: ACD∽ BDN (g.g) AC DN BD CD BD DN Bài 2. a) Áp dụng hệ quả góc tạo bởi tia tiếp tuvến và dây cung, ta có: CAB ADB , ACD BAD Suy ra: ABD∽ CBA (g.g). AD BD b) Vì , suy ra: CA BA AD AC Mà DQ ; AP 2 2 BD DQ BA AP Lại có: QDB PAB Suy ra: BQD∽ APB (c.g.c) BQD APB . c) Ta có: AQB BQD 180  , mà BQD APB AQB APB 180  Suy ra tứ giác APBQ nội tiếp. 14. Liên Hệ Chuyển Giao Tài Liệu WORD CHẤT-ĐẸP-TIỆN .Có Phí Hỗ Trợ .ĐT/Zalo 0945943199
Toán Học Sơ Đồ CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI HỌC SGK-TOÁN 9 Bộ đủ bản word cả năm GV cần thì có thể liên hệ zalo 0945943199 Bài 3. a) Gọi O1 ; T; O2 thẳng hàng. Các tam giác cân O1 MB và O3 MN có chung góc M suy ra O13 MB∽ O MN MB MO 1 MN MO3 Tương tự suy ra O13 MA∽ O MP MA MO 1 MP MO3 MB MA Vậy AB// PN MN MP Tương tự ta có CD// PM . Gọi E là giao điểm AB và CD . Tứ giác AEDP là hình bình hành. Tacó: EBC PNM ; ECB PMN nên EBC∽ PNM (g.g) 1 EB PN EC PM Ta có: PTA PMT và MPT chung, nên PAT∽ PTM (g.g) PA PT PA. PM PT 2 PT PM Tương tự, ta có: PD. PN PT 2 PA PM PD PN nên PNM∽ PAD (c.g.c) 2 Mà APDE là hình bình hành nên EDA  PAD 3 15. Liên Hệ Chuyển Giao Tài Liệu WORD CHẤT-ĐẸP-TIỆN .Có Phí Hỗ Trợ .ĐT/Zalo 0945943199
Toán Học Sơ Đồ CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI HỌC SGK-TOÁN 9 Bộ đủ bản word cả năm GV cần thì có thể liên hệ zalo 0945943199 Từ 1 , (2), 3 suy ra: EBC∽  EDA EBC EDA Do đó tứ giác ABCD nội tiếp, b) Gọi giao điểm của PT và AB là I. Tia IC cắt O2 tại D Ta có: IA IB IT2 IC ID suy ra IBC ∽ ID A IBC ID A Do đó tứ giác ABCD nội tiếp mà ABCD nội tiếp nên D trùng D Vậy các đường thắng AB, CD và PT đồng quy. Bài 4. 1 a) Ta có EB, EM là tiếp tuyến nên EOM BOM ; 2 11 Ta có FC, FM là tiếp tuyến nên FOM COM EOF BOC ; 22 11 Mặt khác EOF BOC sd BMC 22 Suy ra EBQ EOQ Từ đó ta có O và B là hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn EQ dưới một góc bằng nhau Vậy OBEQ là tứ giác nội tiếp. Chứng minh tương tự ta có OCFP là tứ giác nội tiếp. b) OBEQ là tứ giác nội tiếp nên 16. Liên Hệ Chuyển Giao Tài Liệu WORD CHẤT-ĐẸP-TIỆN .Có Phí Hỗ Trợ .ĐT/Zalo 0945943199
Toán Học Sơ Đồ CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI HỌC SGK-TOÁN 9 Bộ đủ bản word cả năm GV cần thì có thể liên hệ zalo 0945943199 OBE OQE 180  OQE 90  FQE 90  . OCFP là tứ giác nội tiếp nên OCF OPF 180  OPF 90  EPF 90  Suy ra EPF EQF 90  . Vậy tứ giác PQFE là tứ giác nội tiếp. c) Kẻ OH vuông góc với BC. Ta có: PQFE là tứ giác nội tiếp Suy ra OPQ EFO PQ OH Do đó OPQ∽ OFE (g.g) EF OM PQ Vì điểm A và O cố định nên OH và OM không đổi do đó tỉ số không đổi khi M di chuyển trên FE đường tròn. Bài 5. Tứ giác ADOE nội tiếp EAO EDO . Gọi tia BO cắt tia DE tại H thì: 17. Liên Hệ Chuyển Giao Tài Liệu WORD CHẤT-ĐẸP-TIỆN .Có Phí Hỗ Trợ .ĐT/Zalo 0945943199
Toán Học Sơ Đồ CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI HỌC SGK-TOÁN 9 Bộ đủ bản word cả năm GV cần thì có thể liên hệ zalo 0945943199 ABC BHD 180  HDB HBD 180   90 2 2 2 C Mặt khác ACO nên tứ giác EOCH nội tiếp 2 OHC OEC 90 . Hay BH vuông góc với CH. Gọi M là trung điểm của BC Suy ra MB MC MH  BHM cân HBM MHB ABH MHB Suy ra BH song song với AB. Suy ra điều phải chứng minh. Bài 6. 1. Ta có: ACD ABD ; ABD AFB nên ACD AFB . Do đó tứ giác CDFE nội tiếp. 2. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CDFE. Đường tròn I qua CD nên I thuộc trung trực của CD. Đường tròn I qua EF nên I thuộc trung trực của EF. Gọi H là trung điểm của EF. Do đó I là giao điểm hại đường trung trực của CD và EF AO// HI hoặc trùng với HI (cùng vuông góc với EF) 1 18. Liên Hệ Chuyển Giao Tài Liệu WORD CHẤT-ĐẸP-TIỆN .Có Phí Hỗ Trợ .ĐT/Zalo 0945943199
Toán Học Sơ Đồ CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI HỌC SGK-TOÁN 9 Bộ đủ bản word cả năm GV cần thì có thể liên hệ zalo 0945943199 Tam giác AEF vuông, có AH là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên HA HE  HAE cân tại H HAE HEA HAE ADC Mà ADC ACD 90  nên HAE ACD 90  Suy ra AH CD . Mà OI CD nên AH// OI 2 Từ 1 và , suy ra tứ giác AOIH là hình bình hành. Do đó IH OA R . Suy ra I cách EF một khoảng không đổi bằng R, nên I di động trên đường thẳng d song song với EF và cách EF một khoảng bằng R. Bài 7. Ta có: BFD BED BAD 90  . Do đó B, E, D, A, F cùng thuộc một đường tròn đường kính BD. Trong tam giác vuông ABC có AM lcà cạnh huyền nên MA MC MAC cân tại M MAC MCA . Xét đường tròn đi qua năm điểm A, B, E, D, F Ta có DE DF nên DF DE DBE DBF Xét: NAF MAC DAF MCA DBF MCA DBE BDA NFA NAF cân tại N NF NA. 19. Liên Hệ Chuyển Giao Tài Liệu WORD CHẤT-ĐẸP-TIỆN .Có Phí Hỗ Trợ .ĐT/Zalo 0945943199
Toán Học Sơ Đồ CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI HỌC SGK-TOÁN 9 Bộ đủ bản word cả năm GV cần thì có thể liên hệ zalo 0945943199 Bài 8. a) Ta có BDE BAE (cùng chắn cung BE của đường tròn tâm O) BDE BMN (cùng chắn cung BN của đường tròn tâm O ) BDE BMN hay BDI BMN Tứ giác BDMI nội tiếp MDI MBI (cùng chắn cung MI) Mà MDI ABE (cùng chắn cung AE của đường tròn tâm O) ABE MBI Mặt khác: BMI BAE MBI∽  ABE (g.g) MI BI MI BE BI AE AE BE b) Gọi Q là giao điểm của CO và DE. Ta có OC DE tại Q OCD vuông tại D , có đường cao là DQ nên OQ. OC OD22 R 1 Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng OO và DE, H là giao điểm của AB và Ta có: OO  AB tại H. KQO∽ CHO (QH 90  ; O chung) KO OQ OC OQ KO OH 2 CO OH R2 Từ và 2 , suy ra: KO. OH R2 OK OH 20. Liên Hệ Chuyển Giao Tài Liệu WORD CHẤT-ĐẸP-TIỆN .Có Phí Hỗ Trợ .ĐT/Zalo 0945943199
Toán Học Sơ Đồ CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI HỌC SGK-TOÁN 9 Bộ đủ bản word cả năm GV cần thì có thể liên hệ zalo 0945943199 Vì OH cố định và R không đổi nên OK không đổi. Do đó K cố định. Bài 9. a) Nối CP, PD . Ta có A, C, O thẳng hàng; B, D, O thẳng hàng. Ta có: ACP , OAB lần lượt cân tại C, O nên CPA CAP OBP . Do đó CP// OD 1 Tương tự, ta có OD// CP 2 . Từ và suy ra tứ giác ODPC là hình bình hành. Gọi H là giao điểm của CD và MP, K là giao điểm của CD và OP. Do đó K là trung điểm của OP. Theo tính chất của hai đường tròn cắt nhau thì CD MP H là trung điểm của MP. Do đó HK// OM CD // OM . Giả sử AP BP . Vì tứ giác CDOM là hình bình hành nên OC DP; DP DM R2 nên tứ giác CDOM là hình thang cân. Do đó 4 điểm C, D, O, M cùng thuộc một đường tròn. b) Ta có: OA2 OB 2 2 R 2 AB 2 . Do đó AOB vuông cân tại O. Vì 4 điểm C, D, O, M cùng thuộc một đường tròn (Kể cả M trùng O) nên COB CMD 1 1 Ta có: MAB MCD (cùng bằng sd MP của đường tròn C ) 2 21. Liên Hệ Chuyển Giao Tài Liệu WORD CHẤT-ĐẸP-TIỆN .Có Phí Hỗ Trợ .ĐT/Zalo 0945943199
Toán Học Sơ Đồ CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI HỌC SGK-TOÁN 9 Bộ đủ bản word cả năm GV cần thì có thể liên hệ zalo 0945943199 1 Vì MBP MDC (cùng bằng sd MP của đường tròn D ). 2 Do đó MAB∽ MCD (g-g) AMB AOB 90  mà CMD COD (tứ giác CDOM nối tiếp). Do AB cố định nên điểm M thuộc đường tròn tâm I đường kính AB. 1 Ta có: ACP BDP AOB 90  AMP ACP 45  (Góc nội tiếp và góc tâm của C ) 2 1 BMP BCP 45  (góc nội tiếp và góc ở tâm của ) 2 Do đó MP là tia phân giác của AMB . Mà AMB AOB 90  nên M thuộc đường tròn I ngoại tiếp tam giác AOB. Giả sử MP cắt đường tròn tại N và N là trung điểm cung AB không chứa điểm O nên N cố định. c) Ta có: MPA BPN ; AMP PBN (góc nội tiếp cùng chắn một cung) Do đó MAP∽ BNP (g - g) 2 PA PM PA PB AB22 R PM PN PA PB (không đổi) PN PB 2 4 2 R 2 Vậy PM.PN lớn nhất là khi PA PB hay P là trung điểm của dây AB. Tam giác AMB vuông tại M 2 nên: 22 1122AB R SAMB AM. BM AM BM 2 4 4 2 R 2 Vậy S lớn nhất là khi hay P là trung điểm của dây AB. ABM 2 Bài 10. a) EF là đường kính nên EAF 90 Mà AE MN suy ra AF// MN QPN QFA . 22. Liên Hệ Chuyển Giao Tài Liệu WORD CHẤT-ĐẸP-TIỆN .Có Phí Hỗ Trợ .ĐT/Zalo 0945943199
Toán Học Sơ Đồ CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI HỌC SGK-TOÁN 9 Bộ đủ bản word cả năm GV cần thì có thể liên hệ zalo 0945943199 Mà AFQB nội tiếp nên QFA QBA 180  QPN QBN 180  . Suy ra tứ giác PQBN nội tiếp. Lại có QCA QFA QPN QCM Suy ra tứ giác PQCM nội tiếp. b) Giả sử QN và PC cắt nhau tại R thuộc O . Từ tứ giác PQBN nội tiếp suy ra NPB NQB BCP . Từ tứ giác PMCQ nội tiếp ta có: PBC RPB PCB RPN NPB NPB RPN MPC MQC Từ đó nếu QM cắt BP tại điểm S thì SBQC nội tiếp hay S thuộc đường tròn . Bài 11. a) Ta có: BKA ACB (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AB) Mà ACB BHK (cùng phụ với góc EBC) BKA BHK tam giác BHK cân BH BK Lập luận tương tự ta có CH CK BC là trung trực của HK. Ta có: AEH AFH 90  Tứ giác AFHE nội tiếp. Xét tam giác AIE và tam giác FIH ta có: AIE FIH (2 góc đối đỉnh), IAE IFH (Tứ giác AFHE nội tiếp) 23. Liên Hệ Chuyển Giao Tài Liệu WORD CHẤT-ĐẸP-TIỆN .Có Phí Hỗ Trợ .ĐT/Zalo 0945943199
Toán Học Sơ Đồ CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI HỌC SGK-TOÁN 9 Bộ đủ bản word cả năm GV cần thì có thể liên hệ zalo 0945943199 AI FI AIE∽  FIH (g.g) AI HI EI FI EI HI b) Xét tứ giác DHEC ta có: HDC BEC 90  Tứ giác DHEC nội tiếp . Xét tứ giác BFEC ta có: BFC BEC 90  Tứ giác BFEC nội tiếp AFE ACB mà ACB AKB (chứng minh trên) AFE AKB Tứ giác KBFI nội tiếp . c) Theo như trên ta đã có: BKH BHK mà BHK IHE (2 góc đối đỉnh) BKH IHE . Xét tam giác HEI và tam giác KAB ta có: BKH IHE (cmt), IHE BAK (tứ giác AFHE nội tiếp) KB HI HEI∽  KAB (g.g) AB EI KC HI Chứng minh tương tự ta có: AC FI KB KC 1 1 EI FI IH . EF EF Từ đó suy ra IH IH. AB AC EI FI EI FI AI HI AI (theo chứng minh ỏ câu a có IF IE IH IA). d) Ta có: BME BKH (2 góc ở vị trí đồng vị do HK// ME ) 24. Liên Hệ Chuyển Giao Tài Liệu WORD CHẤT-ĐẸP-TIỆN .Có Phí Hỗ Trợ .ĐT/Zalo 0945943199
Toán Học Sơ Đồ CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI HỌC SGK-TOÁN 9 Bộ đủ bản word cả năm GV cần thì có thể liên hệ zalo 0945943199 Mà BKH BHK ; BKH BME (2 góc ở vị trí đồng vị do HK// ME ) BME BEM Tam giác BEM là tam giác cân. Ta có: AD BC mà EM// BC  EM BC . Trong tam giác cân BEM có BC là đường cao của tam giác (do BC ME ) BC là trung trực của ME. Ta có D nằm trên đường trung trực của ME DM DE Tam giác DME là tam giác cân MDC EDC . Xét tứ giác ABDE ta có: ADB AEB 90  Tứ giác ABDE nội tiếp EDC BAC . Xét tứ giác AFDC ta có: AFC ADC 90  Tứ giác AFDC nội tiếp BAC BDF . Từ đó suy ra MDC BDF Ta có: 180 BDC MDC BDM BDF BDM FDM Ba điểm F, D, M thẳng hàng. Bài 12. 25. Liên Hệ Chuyển Giao Tài Liệu WORD CHẤT-ĐẸP-TIỆN .Có Phí Hỗ Trợ .ĐT/Zalo 0945943199
Toán Học Sơ Đồ CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI HỌC SGK-TOÁN 9 Bộ đủ bản word cả năm GV cần thì có thể liên hệ zalo 0945943199 a) Ta có ABF ; ACE là các tam giác cân tại F và E Và FBA BAD DAC ECA  ABF∽  ACE . b) Gọi G là giao điểm của BE và CF. GF BF AB DB Ta có: GC CE AC DC DG// BF Mặt khác DA// BF suy ra A, D, G thẳng hàng. Suy ra điều phải chứng minh. c) Ta có BQG QGA GAE GAC GAC CAE GAB BAF GAF Suy ra AGQF là tứ giác nội tiếp. Mặt khác QPG GCE GFQ nên QGPF là tứ giác nội tiếp. Suy ra điều phải chứng minh. Bài 13. Chia lục giác đều ABCDEF tâm O thành 6 tam giác đều cạnh 4cm (hình vẽ). Theo nguyên lý Điriclê có ít nhất 4 điểm trong 19 điểm nằm trong hay trên cạnh một trong 6 tam giác đó. Không mất tính tổng quát giả sử tam giác đó là OAB. Chia tam giác đều OAB trọng tâm G thành 3 tứ giác nội tiếp (hình vẽ) với GM AB; GN OB ; GP OA. OAB đều cạnh bằng 4 có đường cao 4 3 4 3 23 GA 23 43 Các tứ giác GMBN, GMAP, GPON nội tiếp trong đường tròn đường kính GB, GA, GO đều bằng 3 26. Liên Hệ Chuyển Giao Tài Liệu WORD CHẤT-ĐẸP-TIỆN .Có Phí Hỗ Trợ .ĐT/Zalo 0945943199
Toán Học Sơ Đồ CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI HỌC SGK-TOÁN 9 Bộ đủ bản word cả năm GV cần thì có thể liên hệ zalo 0945943199 Theo nguyên lý Điriclê có ít nhất 2 điểm trong 4 điểm đang xét nằm trong hay trên cạnh một trong 4 tứ giác nói trên, giả sử tứ giác đó là GMBN 43 khoảng cách giữa hai điểm đó không vượt quá đường kính GB của đường tròn ngoại tiếp tứ 3 giác điều phải chứng minh. Bài 14. a) Ta có E, M, O, F thẳng hàng, ME MF (E, F đối xứng qua M) EF BC BEF cân tại B BFE FEB . Mặt khác OB OE suy ra OBE cân tại O OBE OEB . Ta có BFE FEB OBE BEF∽  OBE (g.g) EB EF EB2 EF. EO OB EB b) Không giảm tính tổng quát xét O nằm giữa M và F. EB ED Dễ thấy FBD∽ EAB (g.g) EB2 ED. EA EA EB EO ED Ta có ED EA EF EO EB2 . EFAE EO ED Xét EOD và EAF có , OED chung EOD∽  EAF (c.g.c) EA EF EOD EAF , dẫn đến tứ giác DAFO nội tiếp. Vậy các điểm A, D, O, F cùng thuộc một đường tròn. c) Ta có EIB ABI BAI , ABI IBC , BAI CBE EB EC EBI IBC CBE ABI BAI EIB  EBI cân tại E EB EI 27. Liên Hệ Chuyển Giao Tài Liệu WORD CHẤT-ĐẸP-TIỆN .Có Phí Hỗ Trợ .ĐT/Zalo 0945943199
Toán Học Sơ Đồ CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI HỌC SGK-TOÁN 9 Bộ đủ bản word cả năm GV cần thì có thể liên hệ zalo 0945943199 Mà EB EC nên EB EI EC E là tâm đường tròn nội tiếp tam giác IBC. Do đó EP EB nên EP2 EF. EO . EP EO Xét EPO và EFP có , PEO chung EPO∽ EFP (c.g.c) EF EP EPO EFP EP là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác POF. Vậy tiếp tuvến của đường tròn ngoại tiếp tam giác POF đi qua điểm E cố định. D.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN CƠ BẢN NÂNG CAO Bài 1: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn ()O có AB12000 , 100 . Tính CD, . Bài 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ()O vẽ dây DE vuông góc với OA cắt các cạnh AB, AC lần lượt SK, . Chứng minh rằng: tứ giác BCKS nội tiếp. Bài 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ()O vẽ Ax là tiếp tuyến của đường tròn ()O . Đường thẳng song song với Ax cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại DE, . Chứng minh rằng tứ giác BCED nội tiếp. Bài 4: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn ()O và AB BD . Tiếp tuyến của O tại A cắt đường thẳng BC tại Q . Gọi R là giao điểm của hai đường thẳng AB và DC . a) Chứng minh tứ giác AQRC nội tiếp được trong đường tròn. b) Chứng minh AD QR . Bài 5: Cho tam giác ABC cân tại A, nội tiếp trong đường tròn ()O đường kính là AI . Gọi E là trung điểm AB và K là trung điểm của OI . a) Chứng minh tam giác EKB là tam giác cân. b) Chứng minh tứ giác AEKC là một tứ giác nội tiếp được. 28. Liên Hệ Chuyển Giao Tài Liệu WORD CHẤT-ĐẸP-TIỆN .Có Phí Hỗ Trợ .ĐT/Zalo 0945943199
Toán Học Sơ Đồ CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI HỌC SGK-TOÁN 9 Bộ đủ bản word cả năm GV cần thì có thể liên hệ zalo 0945943199 Bài 6: Gọi M là một điểm bất kỳ trên đường tròn ngoại tiếp ABC ; PQR,, lần lượt là hình chiếu của M trên các đường thẳng BC , CA và . Chứng minh rằng: a) Các điểm MBPR,,, cùng thuộc một đường tròn. b) Các điểm RPQ,, thẳng hàng. Bài 7: Từ một điểm A ở ngoài đường tròn ()O , kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (BC, là các tiếp điểm). Trên tia đối của lấy điểm D . Gọi E là giao điểm của DO và AC . Qua E vẽ tiếp tuyến thứ hai với đường tròn ()O , tiếp tuyến này cắt đường thẳng AB ở K . Chứng minh bốn điểm DBOK,,, cùng thuộc một đường tròn. Bài 8: Cho đường tròn ()O , nội tiếp tam giác ABC , DEF,, lần lượt là các điểm tiếp xúc của ()O với BC,, CA AB . Vẽ BB1 OA( B 1 OA ), AA 1 OB ( A 1 OB ) . Chứng minh rằng DBAE,,,11 thẳng hàng. Bài 9: Tam giác ABC nội tiếp đường tròn ()O . M là một điểm bất kỳ thuộc cạnh đáy BC . Vẽ đường tròn đi qua B và M đồng thời tiếp xúc với AB tại B . Vẽ đường qua C và M tiếp xúc với tại C . Hai đường tròn này cắt nhau tại điểm N (khác M ). Chứng minh rằng: a) N thuộc đường tròn tâm O b) Khi M di động trên cạnh BC thì đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định. Bài 10: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn ()O . E trên đường chéo BD sao cho BAE CAD a) Chứng minh BAE ∽ CAD b) ABCD BC AD AC BD Bài 11: Cho tam giác ABC , kẻ đường cao AH . Gọi HH12, là điểm đối xứng của H lần lượt qua AB và . Đường thẳng HH12 cắt AB và lần lượt tại K và I . Chứng tỏ rằng: AH, BI và CK đồng quy. Bài 12: Cho hình vuông ABCD , góc xAy 450 . Ax cắt BC và BD lần lượt tại E và F . Ay cắt CD, BD lần lượt tại G và H . 29. Liên Hệ Chuyển Giao Tài Liệu WORD CHẤT-ĐẸP-TIỆN .Có Phí Hỗ Trợ .ĐT/Zalo 0945943199
Toán Học Sơ Đồ CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI HỌC SGK-TOÁN 9 Bộ đủ bản word cả năm GV cần thì có thể liên hệ zalo 0945943199 Chứng minh tứ giác EFHG nội tiếp. Bài 13: Bốn đường thẳng cắt nhau tạo thành bốn tam giác. Chứng minh rằng bốn đường tròn ngoại tiếp của bốn tam giác này có chung một điểm (Điểm Miquel). Bài 14: Cho đường tròn ()O , dây AB không qua O . Gọi I là trung điểm của . Qua I kẻ hai dây cung CD và EF (C và E cùng thuộc một cung ). CF và ED cắt nhau theo thứ tự ở M và N . Chứng minh IM IN . Bài 15: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn ()O . Gọi EFGH,,, lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác ABC,,, BCD CDA DAB . Chứng minh EFGH là một hình chữ nhật. Bài 16: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (;)OR có CD AD BC ()BC AD . Chứng minh rằng hai tia phân giác của hai góc DAB và ABC cắt nhau tại một điểm thuộc cạnh D . Bài 17: Cho tứ giác nội tiếp đường tròn ()O có AD cắt BC tại E và AC cắt CD tại F . Chứng minh rằng EAED FAFB EF 2 . HƯỚNG DẪN Bài 1: A Tứ giác ABCD nội tiếp (gt) D ABCD 1800 0 0 B Mà A 120 (gt), B 100 (gt) C Do đó: C 1800 120 0 60 0 D 1800 100 0 80 0 Bài 2: OA DE (gt) xAC AED AD AE sđBCE +s đ AD BSK (góc có 2 đỉnh ở bên trong đường tròn) A 2 E K S 30. Liên Hệ Chuyển Giao Tài Liệu WORD CHẤT-ĐẸP-TIỆN .Có Phí Hỗ Trợ .ĐT/Zalo 0945943199 D O B C
Toán Học Sơ Đồ CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI HỌC SGK-TOÁN 9 Bộ đủ bản word cả năm GV cần thì có thể liên hệ zalo 0945943199 sđAB BSK (góc nội tiếp) 2 sđBCE s đ AD s đAB Do đó: BSK BCK 2 sđBCE s đ AE s đ AB 3600 1800 22 x Tứ giác nội BCKS nội tiếp. A E Bài 3: D Ax DE() gt xAC ACD O B C (hệ quả của góc tạo bởi tia tiếp tuyến dây cung) Do đó: AED DBC Suy ra tứ giác BCED nội tiếp. Bài 4: a) QCR BAD (vì tứ giác ABCD nội tiếp) 1 QAR sđAB (QAR là góc tạo bởi tia tiếp tuyến dây cung) 2 1 BAD sđBD (BAD là góc nội tiếp) 2 Q AB BD AB BD . A B R Do đó: QCR QAR O C Tứ giác AQRC nội tiếp được đường tròn. D b) QCA QCA (tứ giác AQRC nội tiếp) 31. Liên Hệ Chuyển Giao Tài Liệu WORD CHẤT-ĐẸP-TIỆN .Có Phí Hỗ Trợ .ĐT/Zalo 0945943199
Toán Học Sơ Đồ CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI HỌC SGK-TOÁN 9 Bộ đủ bản word cả năm GV cần thì có thể liên hệ zalo 0945943199 BAD QCA (vì AB BD ) Suy ra: QRA BAD mà QRA và BAD so le trong A Do đó: AD QR . E Bài 5: O H a) Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng BE B C K Ta có: E là trung điểm AB , I AB không qua O (gt) Mà ABI 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Vì OE AB, BI AB ( ABI 900 ) OE BI Do đó tứ giác BEOI là hình thang. Mà HK, lần lượt là trung điểm các cạnh BE, OI nên HK OE Ta có: HK OE, OE AB HK AB EKB có HK vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến EKB cân tại K . b) OB OC() R và AB AC (gt) O và A thuộc đường trung trực của đoạn thẳng BC . OA là đường trung trực của đoạn thẳng BC . Mà K OA nên KB KC Xét KBA và KCA có: AB AC (gt) KB KC; AK (cạnh chung) Do đó: KBA KCA (c.g.c) 32. Liên Hệ Chuyển Giao Tài Liệu WORD CHẤT-ĐẸP-TIỆN .Có Phí Hỗ Trợ .ĐT/Zalo 0945943199
Toán Học Sơ Đồ CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI HỌC SGK-TOÁN 9 Bộ đủ bản word cả năm GV cần thì có thể liên hệ zalo 0945943199 KBI KCA KBA KEB ( EKB cân tại K ) Do đó: KEB KCA Tứ giác AEKC nội tiếp được. Bài 6: A a) BRM BPM 900 90 0 180 0 Tứ giác RBPM nội tiếp. Q P Các điểm MPBC,,, cùng thuộc một đường tròn B C R b) Chứng minh tương tự a) có tứ giác MPQC nội tiếp M MPQ MCQ 1800 Mà RBM RPM (tứ giác RBPM nôi tiếp) Và RBM MCQ (tứ giác ABMC nội tiếp) Do đó: RPM MCQ Ta có: RPM MPQ MCQ MPQ 1800 RPQ,, thẳng hàng. Bài 7: EK tiếp xúc với đường tròn ()O tại M . K EM, EC là tiếp tuyến của ()O (gt) D B 1 MOE MOC 2 M O A 1 Mà MBC MOC (hệ quả góc nội tiếp) 2 C E Do đó: MOE MBC 1800 (hai góc kề bù) 33. Liên Hệ Chuyển Giao Tài Liệu WORD CHẤT-ĐẸP-TIỆN .Có Phí Hỗ Trợ .ĐT/Zalo 0945943199
Toán Học Sơ Đồ CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI HỌC SGK-TOÁN 9 Bộ đủ bản word cả năm GV cần thì có thể liên hệ zalo 0945943199 MBC MBD 1800 (hai góc kề bù) Suy ra: MOD MBD DOMB,,, cùng thuộc một đường tròn (1) Mà KMO KBO 600 tứ giác KBOM nội tiếp KOMB,,, cùng thuộc một đườg tròn (2) Từ (1), (2) có 5 điểm DKOMB,,,, cùng thuộc đường tròn DOKB,,, cùng thuộc một đường tròn DOKB,,, cùng thuộc đường tròn. Bài 8: AEO 900 (AE là tiếp tuyến của O nên AE OE ) 0 (AAO11 90 ( AA OB )) 0 Ta có: AEO AAO1 90 Tứ giác AEAO nội tiếp được một đường tròn. 2 A 0 E OAE OAE1 180 F B 0 O 1 AB11 B90 ( BB OA ) A1 0 B C AB11 B AAO 90 D Tứ giác AAB11 B nội tiếp được một đường tròn 1 BAB BAB1 Mà BAB1 OAE (vì O là tâm đường tròn nội tiếp ABC ) 34. Liên Hệ Chuyển Giao Tài Liệu WORD CHẤT-ĐẸP-TIỆN .Có Phí Hỗ Trợ .ĐT/Zalo 0945943199
Toán Học Sơ Đồ CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI HỌC SGK-TOÁN 9 Bộ đủ bản word cả năm GV cần thì có thể liên hệ zalo 0945943199 Do đó BAB1 OAE 0 Ta có BAB11 OAE 180 Ba điểm EAB,,11 thẳng hàng. Do đó bốn điểm DBAE,,,11 thẳng hàng. Bài 9: a) BNM ABC (hệ quả góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung) Tương tự: CNM ACB D A Mà BAC ABC ACB 1800 Do đó tứ giác ABNC nội tiếp đường tròn ()O hay N M thuộc đường tròn ()O . B C b) Gọi D là giao điểm của MN và đường tròn ()O (D khác N ) N Ta có: CAD CND (góc nội tiếp chắc cung CD ) Mà CND ACB (chứng minh câu a) CAD ACB ABC,, cố định. D cố định hay đường thẳng MN đi qua điểm cố định. Bài 10: a) Xét BAE và CAD có: BAE CAD (hai góc nối tiếp cùng chắn cung AD ) BAE CAD (gt) Do đó BAE ∽ 35. Liên Hệ Chuyển Giao Tài Liệu WORD CHẤT-ĐẸP-TIỆN .Có Phí Hỗ Trợ .ĐT/Zalo 0945943199
Toán Học Sơ Đồ CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI HỌC SGK-TOÁN 9 Bộ đủ bản word cả năm GV cần thì có thể liên hệ zalo 0945943199 b) Xét EAD và BAC có: A D EAD BAC (vì BAE CAD ) ADE ACB (hai góc nội tiếp cùng E chắn cung AB ) B C Do đó ∽ AD DE AC BC BC AD AC DE Từ BAE CAD (câu a) AB BE CD ABCD AC BE AC CD Do đó: ABCD BC AD AC BE AC DE AC.( BE DE ) AC . BD Bài 11: Ta có: AH12 H cân ()AH1 AH AH 2 AH 1 H 2 AH 2 H 1 Ta cũng có: AH2 I AHI (vì H và H2 đối xưng qua AC ) Vậy AH1 I AHI . H1 và H cùng nằm phía của AI . Do đó H1 và H nằm trên cung chứa góc dựng trên đoạn AI . AHHI,,,1 cùng thuộc một đường tròn A H2 Mặt khác: I K H1 H1 và H đối xứng nhau qua AB 0 AH1 B AHB 90 B x C 36. Liên Hệ Chuyển Giao Tài Liệu WORD CHẤT-ĐẸP-TIỆN .Có Phí Hỗ Trợ .ĐT/Zalo 0945943199
Toán Học Sơ Đồ CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI HỌC SGK-TOÁN 9 Bộ đủ bản word cả năm GV cần thì có thể liên hệ zalo 0945943199 Do đó tứ giác AH1 BH nội tiếp trong đường tròn đường kính AB . Từ đó ta có năm điểm AHBHI,,,,1 cùng thuộc một đường tròn đường kínhAB . BIA 900 BI là đường cao của tam giác ABC . Chứng minh tương tự CK là đường cao của tam giác ABC . Vậy AH,, BI CK đồng quy. Bài 12: ABCD là hình vuông nên BDC 450 lại có GAF 450 (gt) A và D ở cùng một phía của GF nên A D AD, nằm trên cung chứa góc 450 vẽ trên đoạn FG . H G Tứ giác ADGH nối tiếp, có ADG 900 nên F ()ADGH AG là đường kính của đường tròn . B C E Vì vậy AFG 900 hay EFG 900 . Chứng minh tương tự EHG 900 . Vậy tứ giác EFGH nội tiếp. B P Bài 13: A C Với giả thiết bốn đường thẳng cắt nhau tạo D E F thành bốn tam giác nên không có ba đường thẳng nào trong chúng cắt nhau tại một điểm. Giả sử các đường thẳng AB,, BC CA cắt đường 37. Liên Hệ Chuyển Giao Tài Liệu WORD CHẤT-ĐẸP-TIỆN .Có Phí Hỗ Trợ .ĐT/Zalo 0945943199
Toán Học Sơ Đồ CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI HỌC SGK-TOÁN 9 Bộ đủ bản word cả năm GV cần thì có thể liên hệ zalo 0945943199 thẳng thứ tư tại DEF,, (hình vẽ). Gọi P ()PC là giao điểm của hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác ABC và CEF . Ta có: BPE BPC CPE Trong đó: BPC1800 BAC DAF ; CPE CFE Suy ra: BPE BPC CPE DAF CFE1800 ADE BPE BDF 1800 Tứ giác BPED nội tiếp P nằm trên đường tròn ngoại tiếp, tam giác BDE . Chứng minh tương tự: Điểm P nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ADF . Bài 14: Ta có: CFE CDE (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CE ) FCD FED (góc nội tiếp cùng chắn cung DF ) CI FC Do đó FIC ∽ DIE (1) EI DE F Vẽ OH, OK lần lượt vuông góc với CF và ED (,)H CF K ED D Ta có HK, lần lượt là trung điểm của FC và DE . H (Định lí đường kính vuông góc với dây cung). K B A M I N CI FC CH C E Do đó: EI DE EK Xét CHI và EKI có: CI CH ;HCI KEI EI EK Do đó CHI EKI hay MHI NKI (2) 38. Liên Hệ Chuyển Giao Tài Liệu WORD CHẤT-ĐẸP-TIỆN .Có Phí Hỗ Trợ .ĐT/Zalo 0945943199
Toán Học Sơ Đồ CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI HỌC SGK-TOÁN 9 Bộ đủ bản word cả năm GV cần thì có thể liên hệ zalo 0945943199 Mặt khác I là trung điểm AB nên OI AB, OH PC Tứ giác OHMI nội tiếp đường tròn đường kính MO . Ta có: MHI MOI (3) (góc nội tiếp cùng chắn cung MI ) Tương tự: Tứ giác OKNI nội tiếp đường tròn Nên: NKI NOI (4) Từ (2), (3) và (4) ta có: MOI NOI MON cân có OI là đường cao nên OI cũng là đường trung tuyến Do đó IM IN . Bài 15: A Gọi tia đối của tia FC là tia Fx . D 11 H O E GDC ADC, GCD ACD x 22 G F (G là tâm đường tròn nội tiếp CDA) B C 1 Do đó: GDC GCD() ADC ACD 2 11 (18000DAC ) 90 DAC 22 1 GDC có DGC18000 ( GDC GCD ) 90 DAC 2 1 Tương tự: DFC900 DBC 2 Mà DAC DBC (hai góc nội tiếp cùng chắn cung DC ) Do đó: DGC DFC Tứ giác GFCD nội tiếp 39. Liên Hệ Chuyển Giao Tài Liệu WORD CHẤT-ĐẸP-TIỆN .Có Phí Hỗ Trợ .ĐT/Zalo 0945943199
Toán Học Sơ Đồ CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI HỌC SGK-TOÁN 9 Bộ đủ bản word cả năm GV cần thì có thể liên hệ zalo 0945943199 GFx GDC Tương tự: xFE EBC 11 Mà GDC EBC ADC ABC 900 22 Chứng minh tương tự ta có: HEF9000 , FGH 90 Do đó tứ giác EFGH là hình chữ nhật. Bài 16: Tia phân giác DAB cắt cạnh CD tại E . Trên cạnh lấy F sao cho: DF AD 1800 BCD Tam giác CBF cân tại C (()CF BC BFC ) 2 Tứ giác ABCD nội tiếp nên: B DAB BCD ABC CAD 1800 A DAB Do đó: BFC 2 D F E C DAB Mà EAB 2 Suy ra: BFC EAB DAF ABE (1) 1800 CDA Tam giác DAF cân tại D ()DF AD AFD 2 ABC Nên AFD (2) 2 ABC Từ (1) và (2) có ABE ABE EBC 2 40. Liên Hệ Chuyển Giao Tài Liệu WORD CHẤT-ĐẸP-TIỆN .Có Phí Hỗ Trợ .ĐT/Zalo 0945943199
Toán Học Sơ Đồ CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI HỌC SGK-TOÁN 9 Bộ đủ bản word cả năm GV cần thì có thể liên hệ zalo 0945943199 Vậy BE là tia phân giác của góc ABC . Do đó hai tia phân giác của hai góc DAB và ABC cắt nhau tại điểm E thuộc cạnh CD . Bài 17: Gọi M trên cạnh EF sao cho FBM AEF Xét FBM và FEA có FBM (chung), E Do đó ∽ FB FM A EF FA M B FAFB EF FM O D F C Tứ giác AEMB nội tiếp EMA EBA Mà EDF EBA (tứ giác ABCD nội tiếp) Do đó: EMA EDF Xét EMA và EDF có EMA EDF, AEM (chung) Do đó EA EM EF ED EAED EF EM Vậy EAED () AF FB EF EM EF FM EF EM FM EF 2 Toán Học Sơ Đồ 41. Liên Hệ Chuyển Giao Tài Liệu WORD CHẤT-ĐẸP-TIỆN .Có Phí Hỗ Trợ .ĐT/Zalo 0945943199