Tóm tắt lý thuyết và các dạng bài tập Toán hình học lớp 12 kỳ 2

Nội dung text: Tóm tắt lý thuyết và các dạng bài tập Toán hình học lớp 12 kỳ 2

1. TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 1. TÓM TẮT LÝ THUYẾT: Trong không gian Oxyz cho: A x ;y ;z ,B x ;y ;z và A A A B B B a a1;a 2 ;a3 ,b b1;b2 ;b3 . Khi đó:  1. AB x x ;y y ;z z 2. AB x x 2 y y 2 z z 2 B A B A B A B A B A B A 3) a b a1 b1;a 2 b2 ;a3 b3 4. k.a ka1;ka 2 ;ka3 2 2 2 5. a a1 a 2 a3 6. a b a1 b1;a 2 b2 ;a3 b3 a a a 7. a.b a .b a .b a .b 8. a / /b a k.b a,b 0 1 2 3 1 1 2 2 3 3 b1 b2 b3 a a a a a a 9. a  b a.b 0 a .b a .b a .b 0 10. a,b 2 3 ; 3 1 ; 1 2 1 1 2 2 3 3 b2 b3 b3 b1 b1 b2 11) a,b,c đồng phẳng m,n ¡ : a mb nc hay a,b .c 0 12)a,b,c không đồng phẳng m,n ¡ : a mb nc hay a,b .c 0   x A kxB y A kyB z A kzB 13. M chia đoạn AB theo tỉ số k 1 MA kMB M ; ; . 1 k 1 k 1 k xA xB yA yB zA zB Đặc biệt: M là trung điểm AB: M ; ; . 2 2 2 xA xB xC yA yB yC zA zB zC 14. G là trọng tâm tam giác ABC: G ; ; 3 3 3 xA xB xC xD yA yB yC yD zA zB zC zD 15. G là trọng tâm tứ diện ABCD: G ; ; 4 4 4 16. Véctơ đơn vị: i (1;0;0); j (0;1;0);k (0;0;1) 17. Điểm trên các trục tọa độ: M(x;0;0) Ox;N(0;y;0) Oy;K(0;0;z) Oz 18. Điểm thuộc các mặt phẳng tọa độ: M(x;y;0) Oxy ;N(0;y;z) Oyz ;K(x;0;z) Oxz . 1   19. Diện tích tam giác ABC: S AB,AC ABC 2   20. Diện tích hình bình hành ABCD: S AB,AC ABCD 1    21. Thể tích khối tứ diện ABCD: V AB,AC .AD ABCD 6    22. Thể tích khối hộp ABCD.A'B'C'D' : V AB,AD .AA' ABCD.A 'B'C'D ' 2. CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1: Chứng minh A, B, C là ba đỉnh tam giác.     • A,B,C là ba đỉnh tam giác AB,AC không cùng phương hay AB,AC 0 . • G xG ;yG ;zG là trọng tâm tam giác ABC thì: x x x y y y z z z x A B C ;y A B C ;z A B C G 3 G 3 G 3
2. 1     • S AB,AC . Suy ra diện tích của hình bình hành ABCD là: S AB,AC ABC 2 ABCD 2.S • Đường cao: AH ABC BC Dạng 2: Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành • Chứng minh A, B, C không thẳng hàng • ABCD là hình bình hành AB DC Dạng 3: Chứng minh ABCD là một tứ diện:       • AB;AC;AD không đồng phẳng hay AB;AC .AD 0. • G xG ;yG ;zG là trọng tâm tứ diện ABCD thì: x x x x y y y y z z z z x A B C D ;y A B C D ;z A B C D G 4 G 4 G 4 1    • Thể tích khối tứ diện ABCD: V AB;AC .AD ABCD 6 1 3V Đường cao AH của tứ diện ABCD: V S .AH AH 3 BCD S    BCD • Thể tích hình hộp: V AB;AD .AA' . ABCD.A 'B'C'D ' MẶT CẦU 1. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Phương trình mặt cầu tâm I(a; b; c), bán kính R: S I;R : x a 2 y b 2 z c 2 R 2 1 Trong không gian Oxyz phương trình x2 y2 z2 2Ax 2By 2Cz D 0 là phương trình mặt cầu khi: A2 B2 C2 D 0. Khi đó mặt cầu có: Tâm I A; B; C . Bán kính R A2 B2 C2 D . 2. Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu Cho mặt cầu S: x a 2 y b 2 z c 2 R 2 và mặt phẳng : Ax By Cz D 0. Aa Bb Cc D Tính: d d I; . Khi đó, nếu: A2 B2 C2 • d R : mặt cầu (S) và mặt phẳng không có điểm chung. • d R : mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu (S) tại H. - Điểm H được gọi là tiếp điểm. - Mặt phẳng được gọi là tiếp diện. • d R : mặt phẳng cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn. Tìm tiếp điểm H (là hình chiếu của tâm I trên mặt phẳng ):   ✓ Viết phương trình đường thẳng (d) qua I và vuông góc mp( ): ta có ud n . ✓ Tọa độ H là giao điểm của (d) và ( ). Tìm bán kính r và tâm H của đường tròn giao tuyến của mặt phẳng:   ✓ Viết phương trình đường thẳng (d) qua I và vuông góc mp( ): ta có ud n .
3. ✓ Tọa độ H là giao điểm của (d) và ( ). ✓ Bán kính r R 2 d2 với d IH d I; . 3. Giao điểm của đường thẳng và mặt cầu x x0 a1t 2 2 2 2 d : y y0 a 2t 1 và S: x a y b z c R 2 z z0 a3t ✓ Thay phương trình tham số (1) vào phương trình mặt cầu (2), giải tìm t. ✓ Thay t vào (1) được tọa độ giao điểm. 2. CÁC DẠNG TOÁN Vấn đề 1: Viết phương trình mặt cầu: Dạng 1: Biết trước tâm I a;b;c và bán kính R: Phương trình: S I;R : x a 2 y b 2 z c 2 R 2 Nếu mặt cầu có tâm I và đi qua điểm A thì bán kính R IA Dạng 2: Mặt cầu đường kính AB • Tâm I là trung điểm AB. 1 • Bán kính R AB. 2 • Phương trình S I;R : x a 2 y b 2 z c 2 R 2 Dạng 3: Mặt cầu tâm I tiếp xúc mặt phẳng : • Tâm I là trung điểm AB. Aa Bb Cc D • Bán kính R d I; . A2 B2 C2 • Phương trình S I;R : x a 2 y b 2 z c 2 R 2 Dạng 4: Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD • Giả sử mặt cầu (S) có dạng: x2 y2 z2 2ax 2by 2cz d 0 2 . • Thế tọa độ của điểm A, B, C, D vào phương trình (2). • Giải hệ phương trình tìm a, b, c, d. • Viết phương trình mặt cầu. Dạng 5: Mặt cầu đi qua A, B, C và tâm I : Ax By Cz D 0: • Giả sử mặt cầu (S) có dạng: x2 y2 z2 2ax 2by 2cz d 0 2 . • Thế tọa độ của điểm A, B, C vào phương trình (2). • I a;b;c Aa Bb Cc D 0 • Giải hệ phương trình tìm a, b, c, d. • Viết phương trình mặt cầu. Dạng 6: Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu tại A.  Tiếp diện ( ) của mc(S) tại A: ( ) qua A, vectơ pháp tuyến n IA PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 1. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Vectơ pháp tuyến của mp : n 0 là véctơ pháp tuyến của n  .
4. 2. Cặp véctơ chỉ phương của mặt phẳng : hai vectơ không cùng phương a,b là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng a,b có giá cùng song song với . 3. Quan hệ giữa vectơ pháp tuyến n và cặp vectơ chỉ phương a,b : n a,b . 4. Phương trình mặt phẳng qua M0 x0 ;y0 ;z0 có vectơ pháp tuyến n A ; B ; C : ( ) : A(x x0 ) B(y y0 ) C(z z0 ) 0 Mặt phẳng ( ) : Ax By Cz D 0 thì có vectơ pháp tuyến n A ; B ; C . 5. Phương trình mặt phẳng đi qua A a;0;0 ,B 0;b;0 ,C 0;0;c : x y z 1 a b c Chú ý : Muốn viết phương trình mặt phẳng cần xác định: 1 điểm và 1 véctơ pháp tuyến. 6. Phương trình các mặt phẳng tọa độ: (Oyz): x = 0; (Oxz): y = 0; (Oxy): z = 0. 7. Chùm mặt phẳng: Giả sử  ' d trong đó: ( ) : Ax By Cz D 0 và ( ') : A'x B'y C'z D' 0 . Pt mp chứa (d) có dạng sau với m2 n2 0 : m Ax By Cz D n A'x B'y C'z D' 0. 8. Vị trí tương đối của hai mp và ' : ( )  ( ') A : B : C A': B': C' ( )  ( ') AA' BB' CC' 0 A B C D A B C D ( )  ( ') ( ) / /( ') A' B' C' D' A' B' C' D' 9. Khoảng cách từ M0 x0 ;y0 ;z0 đến ( ) : Ax By Cz D 0 Ax By Cz D d M; 0 0 0 A2 B2 C2 n .n 10. Góc giữa hai mặt phẳng: cos( ,) 1 2 n1 . n2 2. CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1: Mặt phẳng qua 3 điểm  A, B, C: • Cặp vectơ chỉ phương: AB,AC   • Mặt phẳng đi qua A (hoặc B hoặc C) và có vectơ pháp tuyến n AB,AC . Dạng 2: Mặt phẳng trung trực đoạn AB: • M là trung điểm của đoạn thẳng AB.  • Mặt phẳng đi qua M và có vectơ pháp tuyến n AB . Dạng 3: Mặt phẳng ( ) qua M và vuông góc đường thẳng d (hoặc AB) • Mặt phẳng đi qua M và có vectơ pháp tuyến n AB hoặc vectơ chỉ phương của đường thẳng d. Dạng 4: Mp qua M và song song (): Ax + By + Cz + D = 0  • Mặt phẳng đi qua M và có vectơ pháp tuyến n n A;B;C Dạng 5: Mp( ) chứa (d) và song song (d/) • Lấy điểm M x ;y ;z d 0 0 0 0   • Xác định vectơ chỉ phương ud ;ud ' của đường thẳng d và đường thẳng d' .
5.   • Mặt phẳng đi qua M và có vectơ pháp tuyến n u ,u . 0 d d ' Dạng 6 Mp( ) qua M, N và vuông góc : • Tính MN .    • Tính n MN,n   • Mặt phẳng đi qua M (hoặc N) và có vectơ pháp tuyến n Dạng 7 Mp( ) chứa (d) và đi qua M • Lấy điểm M x ;y ;z d  0 0 0 0  • Tính MM . Xác định vectơ chỉ phương u của đường thẳng d .  0   d • Tính n MM ,u 0 d  • Mặt phẳng đi qua M (hoặc M0 ) và có vectơ pháp tuyến n . 1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Vectơ n 0 được gọi là vectơ pháp tuyến của mp nếu nó nằm trên đường thẳng vuông góc với mp , viết tắt là n  . Nếu u (x ;y ;z ), v (x ;y ;z ) là 2 vectơ không cùng phương và các đường thẳng chứa chúng 1 1 1 2 2 2 song song (hoặc nằm trên) mp ( u,v còn gọi là cặp vectơ chỉ phương của mp ) thì: y1 z1 z1 x1 x1 y1 n u, v ; ; là một VTPT của mp . y2 z2 z2 x2 x2 y2 2. Phương trình tổng quát: Ax By Cz D 0 với A2 B2 C2 0 Vectơ pháp tuyến: n A;B;C qua M (x ;y ;z ) 0 0 0 0 3. mặt phẳng ( ) : mp( ) : A(x x0 ) B(y y0 ) C(z z0 ) 0 VTPT n (A ; B ; C) 4. Trường hợp đặc biệt. Cho mp : Ax By Cz D 0 . Khi đó: * D 0 đi qua gốc tọa độ. * C 0;D 0 song song với trục Oz; C 0;D 0 chứa trục Oz. * B C 0;D 0 song song với mp(Oyz); B C D 0 chính là mp(Oyz) (Các trường hợp khác suy ra tương tự). 5. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng. Cho hai mặt phẳng : Ax By Cz D 0 và ' : A'x B'y C'z D' 0. A B C D ( ) / /( ') ( )  ( ') AA' BB' CC' 0 A' B' C' D' A B C D A B B C C A ( )  ( ') ( )  ( ') hay hay A' B' C' D' A' B' B' C' C' A' • Chú ý: Ta quy ước nếu một “phân số” nào đó có “mẫu số” bằng 0 thì “tử số” cũng bằng 0. 6. Phương trình theo đọan chắn của mặt phẳng. Mp cắt Ox tại A a;0;0 , cắt Oy tại B 0;b;0 , cắt Oz tại C 0;0;c có phương trình là:
6. x y z 1, abc 0 a b c 7. Góc của hai mặt phẳng. Cho hai mặt phẳng : Ax By Cz D 0 và ' : A'x B'y C'z D' 0 AA' BB' CC' Gọi là góc của hai mặt phẳng, ta có: cos A2 B2 C2 . A'2 B'2 C'2 8. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Cho mp : Ax By Cz D 0 và điểm M0 x0 ;y0 ;z0 . Khi đó: Ax0 By0 Cz0 D d M0 ; A2 B2 C2 Dạng 1: Viết Phương Trình Mặt Phẳng: Bài Toán 1: Viết Phương Trình Mặt Phẳng Đi Qua M x ;y ;z Và Có Vectơ Pháp Tuyến 0 0 0 0 n A;B;C 0. • Phương trình mặt phẳng là: A x x0 B y y0 C z z0 0 hay Ax By Cz D 0 với D Ax0 By0 Cz0 . Bài Toán 2: Viết Phương Trình Mặt Phẳng Đi Qua 3 Điểm A, B, C Không Thẳng Hàng.     • Tính AB;AC AB,AC .   • Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là n k. AB,AC với k là số thực khác 0. • Sử dụng bài toán 1 để viết phương trình mặt phẳng . Bài Toán 3: Viết Phương Trình Mặt Phẳng Đi Qua M0 x0 ;y0 ;z0 Và Vuông Góc Với Đường Thẳng Cho Trước. • Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là vectơ chỉ phương của đường thẳng . • Sử dụng bài toán 1 để viết phương trình mặt phẳng . Bài Toán 4: Viết Phương Trình Mặt Phẳng Đi Qua M0 x0 ;y0 ;z0 Và Song Song Với Hai Đường Thẳng , Chéo Nhau Cho Trước. 1 2   • Tìm vectơ chỉ phương u1 của đường thẳng 1 và vectơ chỉ phương u2 của đường thẳng 2 .   • Tính u ,u . 1 2   • Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là n k. u ,u với k là số thực khác 0. 1 2 • Sử dụng bài toán 1 để viết phương trình mặt phẳng . Bài Toán 5: Viết Phương Trình Mặt Phẳng Đi Qua Đường Thẳng 1 Và Song Song Với Đường Thẳng Cho Trước. 2   • Tìm vectơ chỉ phương u của đường thẳng và u của đường thẳng .   1 1 2 2 • Tính u ,u . 1 2   • Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là n k. u ,u với k là số thực khác 0. 1 2
7. • Chọn điểm M0 x0 ;y0 ;z0 1 • Sử dụng bài toán 1 để viết phương trình mặt phẳng . Bài Toán 6: Viết Phương Trình Mặt Phẳng Chứa Hai Đường Thẳng 1 , 2 Song Song. • Chọn điểm M x ;y ;z và M x ;y ;z . 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2  • Tìm vectơ chỉ phương u1 của đường thẳng 1 hoặc vectơ chỉ phương u2 của đường thẳng . 2     • Tính u ,M M hoặc u ,M M . 1 1 2 2 1 2     • Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là n k. u ,M M hoặc n k. u ,M M ;k 0 . 1 1 2 2 1 2 • Sử dụng bài toán 1 để viết phương trình mặt phẳng . Bài Toán 7: Viết Phương Trình Mặt Phẳng Đi Qua M0 x0 ;y0 ;z0 Và Vuông Góc Với Hai Mặt Phẳng  ,  Cho Trước.   • Tìm vectơ pháp tuyến n của mặt phẳng  và vectơ pháp tuyến n của mặt phẳng  .   1 2 • Tính n ,n . 1 2   • Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là n k. n ,n với k là số thực khác 0. 1 2 • Sử dụng bài toán 1 để viết phương trình mặt phẳng . Bài Toán 8: Viết Phương Trình Mặt Phẳng Chứa Hai Đường Thẳng , Cắt Nhau.   1 2 • Tìm vectơ chỉ phương u của đường thẳng và u của đường thẳng .   1 1 2 2 • Tính u ,u . 1 2   • Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là n k. u ,u với k là số thực khác 0. 1 2 • Chọn điểm M0 x0 ;y0 ;z0 1 hoặc M0 x0 ;y0 ;z0 2 • Sử dụng bài toán 1 để viết phương trình mặt phẳng . Bài Toán 9: Viết Phương Trình Mặt Phẳng Đi Qua Đường Thẳng 1 Và Vuông Góc Với Mặt Phẳng  Cho Trước.   • Tìm vectơ chỉ phương u của đường thẳng và vectơ pháp tuyến n của mặt phẳng  .   1 1 1 • Tính u ,n . 1 1   • Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là n k. u ,n với k là số thực khác 0. 1 1 • Chọn điểm M0 x0 ;y0 ;z0 1 . • Sử dụng bài toán 1 để viết phương trình mặt phẳng . Dạng4: Hình chiếu của điểm M 1. H là hình chiếu của M trên mp  ▪ Viết phương trình đường thẳng (d) qua M và vuông góc mp ( ): ta có ad n ▪ Tọa độ H là nghiệm của hpt: (d) và ( ) 2. H là hình chiếu của M trên đường thẳng (d)  ▪ Viết phương trình mp qua M và vuông góc với (d): ta có n ad
8. ▪ Tọa độ H là nghiệm của hpt: (d) và ( ) Dạng 5: Điểm đối xứng 1.Điểm M/ đối xứng với M qua mp ▪ Tìm hình chiếu H của M trên mp ( ) (dạng 4.1) ▪ H là trung điểm của MM/ 2.Điểm M/ đối xứng với M qua đường thẳng d: ▪ Tìm hình chiếu H của M trên (d) (dạng 4.2) ▪ H là trung điểm của MM/ . ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 1. TÓM TẮT LÝ THUYẾT: 1. Phương trình tham số và phương trình chính tắc. Đường thẳng d đi qua M0 x0 ;y0 ; z0 và có vectơ chỉ phương u a;b;c có : x xo at - Phương trình tham số của d: y y0 bt (t R) z z0 ct x x y y z z - Phương trình chính tắc của d: 0 0 0 (abc 0) a b c 2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng. Đường thẳng d đi qua M0 x0 ;y0 ; z0 và có vectơ chỉ phương u a;b;c và đường thẳng d' đi qua M0 x '0 ;y'0 ;z'0 và có vectơ chỉ phương u ' a ';b';c' . Khi đó:  ' + d và d' cùng nằm trong một mặt phẳng [u, u '].M0M0 0 .  ' + d và d' cắt nhau [u,u '].M0M0 0 [u,u '] 0 .  ' + d / /d' [u, u '] 0[u,M0M0 ] 0 .  ' + d  d' [u, u '] [u, M0M0 ] 0  ' + d và d’ chéo nhau [u, u '].M0M0 0 3. Vị trí tương đối của đường thẳng với mặt phẳng. Đường thẳng d đi qua M x ;y ; z và có vectơ chỉ phương u a;b;c và mặt phẳng 0 0 0 0 : Ax By Cz D 0 có vectơ pháp tuyến n A;B;C . Khi đó: + d cắt ( ) Aa Bb Cc 0 Aa Bb Cc 0 + d / /( ) Ax0 By0 Cz0 D 0 Aa Bb Cc 0 + d  ( ) Ax0 By0 Cz0 D 0 + d  ( ) u / /n u,n 0 4. Góc giữa hai đường thẳng.
9. Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương u a;b;c và đường thẳng d' có vectơ chỉ phương u ' a ';b';c' . Gọi là góc giữa hai đường thẳng đó ta có: u. u ' a.a ' bb' cc' cos (0 900 ) 2 2 2 2 2 2 u u ' a b c . a ' b' c' 5. Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng. Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương u a;b;c và mặt phẳng có vectơ pháp tuyến n A;B;C . Gọi là góc hợp bởi đường thẳng d và mặt phẳng ta có: u. n Aa Bb Cc sin 2 2 2 2 2 2 u . n A B C . a b c 6. Khoảng cách từ điểm M1 x1;y1;z1 đến đường thẳng có vectơ chỉ phương u : + Cách 1: - Viết phương trình mặt phẳng qua M1 và vuông góc với . - Tìm tọa độ giao điểm H của và mặt phẳng . - d M1; M1H .  M M ,u 1 0 + Cách 2: Sử dụng công thức: d M1; u 7. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Cho hai đường thẳng chéo nhau đi qua M0 x0 ;y0 ; z0 và có vectơ chỉ phương u và đường thẳng ' đi qua M'0 x '0 ;y'0 ; z'0 và có vectơ chỉ phương u '. + Cách 1: - Viết phương trình mặt phẳng chứa và song song với '. - Tính khoảng cách từ M'0 mặt phẳng . - d( , ') d(M'0 ,( )) .   u,u ' .M M' 0 0 + Cách 2: Sử dụng công thức: d( , ')  . u,u ' 2.CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M và có vectơ chỉ phương u : • Sử dụng công thức phương trình tham số hoặc phương trình chính tắc. • Đường thẳng d đi qua A và B có vectơ chỉ phương u AB . • Hai đường thẳng song song có cùng vectơ chỉ phương. • Đường thẳng vuông góc mặt phẳng thì vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là vectơ chỉ phương của đường thẳng.
10. Dạng 2: Đường thẳng (d) qua A và song song ( )  Đường thẳng d đi qua A và có vectơ chỉ phương u u . Dạng 3: Đường thẳng (d) qua A và vuông góc mp( ) Đường thẳng d đi qua A và có vectơ chỉ phương u n . Dạng4: PT d’ hình chiếu của d lên : Cách 1: • Viết phương trình mặt phẳng  chứa (d) và vuông góc với . • Đường thẳng d' là giao tuyến của và  . Cách 2: • Xác định A là giao điểm của d và . • Lấy điểm M, M A trên d. Viết phương trình đường thẳng đi qua M vuông góc với . • Tìm tọa độ điểm H là giao điểm của với . • Đường thẳng d' chính là đường thẳng AH. Đặc biệt: Nếu d song song thì đường thẳng d' là đường thẳng đi qua H và song song d. Dạng 5: Đường thẳng (d) qua A và vuông góc 2 đường thẳng (d ) và (d ):   1 2 Đường thẳng d đi qua A và có vectơ chỉ phương u u ,u d1 d2 Dạng 6: phương trình đường vuông góc chung của d và d : 1 2   • Chuyển phương trình đường thẳng d1 , d2 về dạng tham số và xác định u1,u2 lần lượt là vectơ chỉ phương của d1 , d2 . • Lấy A, B lần lượt thuộc d1 , d2 (tọa độ A, B phụ thuộc vào tham số).   AB.u1 0 • Giả sử AB là đường vuông góc chung. Khi đó:   * . Giải hệ phương trình * tìm AB.u2 0 ra giá trị của tham số. Từ đó tìm được A, B. • Viết phương trình đường vuông góc chung. Dạng 7: PT qua A và d cắt d1,d2 : d = ( )  () với mp( ) = (A,d1) ; mp() = (A,d2) Dạng 8: PT d // và cắt d1,d2 : d = ( 1)  ( 2) với mp ( 1) chứa d1 // ; mp ( 2) chứa d2 // Dạng 9: PT d qua A và  d1, cắt d2 : d = AB với mp ( ) qua A,  d1 ; B = d2  ( ) Dạng 10: PT d  (P) cắt d1, d2 : d = ( )  () với mp( ) chứa d1 ,(P) ; mp() chứa d2 ,  (P).