54 Đề thi chọn học sinh giỏi Toán Lớp 12 (Kèm đáp án)

Nội dung text: 54 Đề thi chọn học sinh giỏi Toán Lớp 12 (Kèm đáp án)

1. 54 Đề thi chọn học sinh giỏi Toán Lớp 12 (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn bình hành BIGH . Hình đa diện BCH.IDG có hai mặt BCH và IDG nằm trên hai mặt phẳng song song với nhau, BI / /CD / /HG nên hình này là hình lăng trụ có hai đáy là hai tam giác BCH, IDG . CK  AD  Dựng CK  AD, K AD . Ta có  CK  ADD ' A' 0,5 CK  AA' ACC A là hình chữ nhật có AA AC a 3 nên ACC A là hình vuông. EF  A C EF / / AC H là trung điểm CC G là trung điểm DD . 1 1 a 3 a 3 3a3 V S .CK ID.DG.CK a. . . BCH .IDG IDG 2 2 2 2 8 3a2 3 9a3 V S .AA' .a 3 . ABCD.A B C 'D ABCD 4 4 0,25 Suy ra thể tích khối đa diện chứa đỉnh A là 15a3 V V V . ABCD.A B C D BCH .IDG 8 A Oy Gán trục tọa độ Oxy sao cho cho đơn vị là 10m. B Ox Câu 3 Khi đó mảnh vườn hình tròn có phương trình 2 2 (1,0 điểm) C : x 4 y 3 1 có tâm I 4;3 . Bờ AB là một phần của Parabol P : y 4 x2 ứng với x 0;2 M P Vậy bài toán trở thành tìm MN nhỏ nhất với . N C Đặt trường hợp khi đã xác định được điểm N thì MN MI IM , 0,5 vậy MN nhỏ nhất khi MN MI IM N ; M ; I thẳng hàng. Bây giờ, ta sẽ xác định điểm N để IN nhỏ nhất 2 2 N P N x;4 x2 IN 4 x 1 x2 DeThi.edu.vn
2. 54 Đề thi chọn học sinh giỏi Toán Lớp 12 (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn 2 IN 2 4 x 2 1 x2 IN 2 x4 x2 8x 17 Xét f x x4 x2 8x 17 trên 0;2 f x 4x3 2x 8 f x 0 x 1,3917 là nghiệm duy nhất và 1,3917 0;2 Ta có f 1,3917 7,68 ; f 0 17 ; f 2 13. Vậy giá trị nhỏ nhất của f x trên 0;2 gần bằng 7,68 khi 0,5 x 1,3917 Vậy min IN 7,68 2,77 IN 27,7m MN IN IM 27,7 10 17,7m . DeThi.edu.vn
3. 54 Đề thi chọn học sinh giỏi Toán Lớp 12 (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 2 UBND TỈNH HÒA BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2024-2025 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn: TOÁN – Bảng A (Đề thi gồm 06 câu, 01 trang) Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 (4,0 điểm). Giải các phương trình sau: 2 2 3 a) cos 4x sin x cos x . b) 3log3 x 1 log1 x 5 3. 6 3 Câu 2 (4,0 điểm). Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C ' có độ dài cạnh bên bằng a 3 , tam giác ABC vuông cân tại A và cạnh BC = 2a. Hình chiếu vuông góc của đỉnh A' trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của cạnh BC. a) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C ' . b) Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng AA'C 'C . c) Gọi là số đo góc nhị diện C, AA', B . Tính cos . Câu 3 (4,0 điểm). a) Hằng ngày mực nước của một con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h (tính bằng mét) của mực nước trong kênh tại thời điểm t (tính bằng giờ, 0 t 24 ) trong ngày được t xác định bởi công thức h t 2cos 5 . 12 3 Hãy xác định khoảng thời gian trong ngày mà mức nước trong kênh tăng dần. b) Một lớp học có 35 học sinh. Các học sinh tham gia vào tổng cộng n câu lạc bộ. Chứng minh rằng nếu mỗi câu lạc bộ có ít nhất 15 học sinh tham gia và hai học sinh bất kỳ tham gia chung nhiều nhất một câu lạc bộ thì n 5. Câu 4 (3,0 điểm). 1 Cho dãy số x xác định bởi: x 3; x x 2 x2 4 ,n ¥*. n 1 n 1 2 n n a) Chứng minh rằng lim xn . n n 1 b) Tính lim . n  2 i 1 xi 2 Câu 5 (2,0 điểm). Cho x, y là các số thực dương thoả mãn 2 x2 y xy2 x y 2xy . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x2 y2 50xy . Câu 6 (3,0 điểm). Xét hàm số f : ¡ ¡ thoả mãn DeThi.edu.vn
4. 54 Đề thi chọn học sinh giỏi Toán Lớp 12 (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn f 2x f y 2 x y f x f y ,x, y ¡ . a) Chứng minh rằng hàm số f x là đơn ánh. b) Tìm tất cả các hàm số f x . -----------HẾT----------- DeThi.edu.vn
5. 54 Đề thi chọn học sinh giỏi Toán Lớp 12 (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN Câu Hướng dẫn chấm Điểm 2 2 a) Ta có cos 4x sin x cos x cos 4x cos 2x 1,0 6 6 4x 2x k2 x k 6 12 , k ¢ , k ¢ . k 4x 2x k2 x 1,0 6 36 3 k Vậy phương trình có hai nghiệm là x k ; x k ¢ . Câu 1 12 36 3 (4,0 đ) x 1 0 x 1 b) ĐKXĐ: x 5 0,5 x 5 0 x 5 Ta có log3 x 1 x 5 1 x 1 x 5 3 0,5 x 3 7 x2 6x 2 0 . 0,5 x 3 7 Kết hợp điều kiện xác định ta thu được x 3 7 . 0,5 a) Gọi H là trung điểm của BC. Câu 2 1 0,5 Khi đó AH BC a và A'H A' A2 AH 2 a 2 . (4,0 đ) 2 1 Có S AH.BC a2 . 0,5 ABC 2 2 3 Vậy VABC.A' B 'C ' A'H.SABC a 2.a a 2 (đvtt). 0,5 b) Do H là trung điểm của BC nên d B, AA'C 'C 2.d H, AA'C 'C . Dựng HE là khoảng cách từ H đến mặt phẳng AA'C 'C . 0,5 Vậy d B, AA'C 'C 2.d H, AA'C 'C 2HE . Tam giác ABC vuông cân tại A và BC = 2a nên tìm được AB AC a 2 . 0,5 DeThi.edu.vn
6. 54 Đề thi chọn học sinh giỏi Toán Lớp 12 (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn 1 a 2 Do HD là đường trung bình của tam giác ABC nên HD AB . 2 2 1 1 1 a 10 Từ HE . HE 2 HD2 HA'2 5 0,5 2 10 Suy ra d B, AA'C 'C a . 5 c) Do tam giác ABC vuông cân tại A nên AH  BC , lại có A'H  BC , suy ra A'HA  BC , mà H là trung điểm của BC nên A'HA là mặt phẳng trung trực của BC 0,5 Kẻ BF  AA' F AA' , khi đó CF  AA' . Do đó góc nhị diện C, AA', B có số đo bằng số đo B· FC . a 6 Trong tam giác A' AH vuông tại H tính được HF . 3 a 15 Trong tam giác FHB tính được FB . 3 0,5 a 15 Do A'HA là mặt phẳng trung trực của BC nên FC FB . 3 FB2 FC 2 BC 2 1 Trong tam giác BFC tính được cos B· FC . 2FB.FC 5 t t a) Ta có h' t sin 0 k t 4 12k, k ¢ . 0,5 6 12 3 12 3 1 7 Theo giả thiết 0 t 24 0 4 12k 24 k . 3 3 0,5 Do k ¢ nên k 1;2 . Với k 1 t 8 và k 2 t 20 . Ta có bảng biến thiên Câu 3 (4,0 đ) 0,5 Từ bảng biến thiên ta xác định được khoảng thời gian trong ngày mà mực 0,5 nước trong kênh tăng dần là từ 8 giờ đến 20 giờ. b) Ta đi đếm các bộ (a, b, T) (trong đó a, b là hai học sinh cùng tham gia 1,0 câu lạc bộ T, không kể đến thứ tự của a, b) theo hai cách DeThi.edu.vn
7. 54 Đề thi chọn học sinh giỏi Toán Lớp 12 (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn + Có n cách chọn T, vì trong mỗi câu lạc bộ có ít nhất 7 học sinh tham 2 gia nên có ít nhất C15 cách chọn ra hai thành viên a, b. Do đó số bộ (a, b, 2 T) n.C15 105n cách. 2 + Số cách chọn ra hai học sinh a,b bất kỳ là C35 , do hai học sinh bất kỳ tham gia chung nhiều nhất một câu lạc bộ, do đó với hai học sinh a,b số cách chọn T không vượt quá 1. 1,0 2 Nên số bộ a,b,T C35 595 . Từ đây có bất phương trình 105n 595 n 5. * a) Ta chứng minh xn 2,n ¥ bằng phương pháp quy nạp. Thật vậy: - Với n 1 có x1 3 2, mệnh đề đúng. - Giả sử mệnh đề đúng tới n k, k ¥ * , tức là x 2 . k 0,5 Ta chứng minh mệnh đề đúng với n k 1. 1 Có x 2 x 2 x2 4 0 do x 2 . k 1 2 k k k * Vậy xn 2,n ¥ . 1 Xét hiệu x x x2 4 x 2 0,n ¥ * n 1 n 2 n n 2 2 do xn 4 xn 2 xn 2 xn 2 xn 2 . Câu 4 Suy ra x là dãy số tăng. n 0,5 (3,0 đ) Giả sử xn bị chặn trên, suy ra tồn tại giới hạn hữu hạn lim xn L , cho công thức truy hồi qua giới hạn ta có phương trình 1 L L 2 L2 4 L 2 L2 4 L2 4L 4 L2 4 L 2 2 Điều này là không thể vì dãy số xn tăng và x1 3 2. Dẫn đến điều giả sử là sai, tức là xn không bị chặn trên, hay 0,5 lim xn . n 2 * b) Từ công thức truy hồi ta có 2xn 1 xn 2 xn 4,n ¥ 2 2x x 2 x2 4,n ¥ * n 1 n n 0,5 2 * 4xn 1 4xn 1xn 8xn 4xn 8 0,n ¥ 2 * xn 1 xn 1xn 2xn 1 xn 2 0,n ¥ DeThi.edu.vn
8. 54 Đề thi chọn học sinh giỏi Toán Lớp 12 (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn 2 * xn 1 xn 1xn 2 xn 1 xn xn 2,n ¥ * xn 1 xn xn 1 2 xn 2,n ¥ . 2 Chia hai vế cho xn 2 xn 1 2 , đồng thời viết lại xn 1 xn xn 1 2 xn 2 ta thu được đẳng thức 1 1 1 ,n ¥ * . x 2 x 2 2 n n 1 xn 1 2 Từ đây thu được n 1 1 1 1 0,5  2 2 2 ... 2 i 1 xi 2 x1 2 x2 1 xn 2 1 1 1 1 1 2 ... x 2 x 2 x 2 x 2 x1 2 1 2 n 1 n 1 1 1 ,n ¥ * 2 x 2 x 2 x1 2 1 n n 1 Do lim xn và x1 3 , ta tính được lim 2 n n  2 0,5 i 1 xi 2 1 1 Theo giả thiết có 2xy x y x y 2xy 2 x y 2, x y 1 1 4 Mặt khác . 0,5 x y x y 4 2 t 2 Đặt x y t 0, có bất đẳng thức: 2t 2 t t 2 0 t t 1(L) Câu 5 Theo giả thiết ta có (2,0 đ) t 2xy x y x y 2xy 2xy.t t 2xy xy . 2 t 1 0,5 2 24t 24 Khi đó P x y 48xy t 2 t 2 24 f t với t 2. t 1 t 1 24 3 2 Có f ' t 2t 2 0 t 2t t 12 0 t 3 2. t 1 0,5 Ta lập được bảng biến thiên DeThi.edu.vn
9. 54 Đề thi chọn học sinh giỏi Toán Lớp 12 (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn Từ bảng biến thiên ta có giá trị nhỏ nhất của f t là 45, dấu bằng xảy ra khi t 3 . 3 6 3 6 x y 3 x , y 2 2 0,5 Với t 3 có 3 , tìm được . xy 3 6 3 6 4 x , y 2 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 45. a) f 2x f y 2 x y f x f y ,x, y ¡ (1) Giả sử tồn tại a,b thoả mãn f a f b . Trong (1) cho y a ta có f 2x f a 2 x a f x f a ,x ¡ Trong (1) cho y b ta có f 2x f b 2 x b f x f b ,x ¡ 2,0 Do f a f b nên f 2x f a f 2x f b ,x ¡ , từ đó suy ra 2 x a f x f a 2 x b f x f b ,x ¡ a b . Vậy có f x là đơn ánh. Câu 6 b) Trong (1) thay x bởi y và y bởi x ta thu được (3,0 đ) f 2y f x 2 y x f y f x ,x, y ¡ (2) Kết hợp (1) và (2) rút ra được f 2x f y f 2y f x ,x, y ¡ Do f x đơn ánh nên thu được 2x f y 2y f x ,x, y ¡ f y 2y f x 2x,x, y ¡ 1,0 f x 2x c,x ¡ , với c là hằng số f x 2x c,x ¡ . Thử lại: 2 2x 2y c c 2 x y 2x c 2y c,x, y ¡ c 0 Vậy hàm số cần tìm f x 2x,x ¡ . DeThi.edu.vn
10. 54 Đề thi chọn học sinh giỏi Toán Lớp 12 (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 3 SỞ GD&ĐT THANH HOÁ ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 12 TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 3 NĂM HỌC 2024- 2025 Môn thi: TOÁN (Đề thi có 06 trang, 3 phần) Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề Họ, tên thí sinh: ................................................Số báo danh: ............................. Mã đề: 101 PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 20. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án. Câu 1. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau: Hàm số nghịch biến trong khoảng nào? A. 1;1 . B. 0;1 . C. 4; . D. ;2 . Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho a 2; 3; 3 , b 0; 2; 1 , c 3; 1; 5 . Tìm tọa độ của vectơ u 2a 3b 2c . A. 10; 2;13 .B. 2; 2; 7 .C. 2; 2; 7 . D. 2; 2; 7 .      Câu 3. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 . Đặt AA1 a, AB b, AC c, BC d, trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?   A. a b c d 0 . B. a b c d . C. b c d 0 . D. a b c . Câu 4. Cho cấp số cộng un có u3 15 và d 2 . Tìm un 3 3 A. u 2n 21 B. u n 12 C. u 3n 17 D. u n2 4 n n 2 n n 2 Câu 5. Cho hình hộp ABCD.A B C D . Chọn đẳng thức sai?     1 1 1 1     A. BC BA B C B A . B. AD D C D A DC .   1 1 1 1  1 1  1 1  C. BC BA BB1 BD1 . D. BA DD1 BD1 BC . Câu 6. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau : x4 1 Hỏi đồ thị hàm số y g x có bao nhiêu tiệm cận đứng? f 2 x 4 f x A. 5. B. 2 .C. 3.D. 4 . DeThi.edu.vn