Bài tập Đại số và Giải tích Lớp 11: Nhị thức Newton - Vũ Tuấn Anh

Nội dung text: Bài tập Đại số và Giải tích Lớp 11: Nhị thức Newton - Vũ Tuấn Anh

1. NHỊ THỨC NEWTON A- LÝ THUYẾT TÓM TẮT 1. Công thức khai triển nhị thức Newton: Với mọi n N và với mọi cặp số a, b ta có: n n k n k k ()a b Cn a b k 0 2. Tính chất: 1) Số các số hạng của khai triển bằng n + 1 2) Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n k n k k 3) Số hạng tổng quát (thứ k+1) có dạng: Tk+1 = Cn a b ( k =0, 1, 2, , n) k n k 4) Các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu và cuối thì bằng nhau:CCnn 0 n k 1 k k 5) CCnn 1, CCCn n n 1 * Nhận xét: Nếu trong khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a và b những giá trị đặc biệt thì ta sẽ thu được những công thức đặc biệt. Chẳng hạn: n 0n 1 n 1 n 01 nn (1+x) = Cn x C n x C n CCCn n n 2 n 0n 1 n 1 n n 01 nn (x–1) = Cn x C n x ( 1) C n CCCn n ( 1) n 0 Từ khai triển này ta có các kết quả sau 01 nn * CCCn n n 2 0 1 2 nn * CCCCn n n ( 1) n 0 B – BÀI TẬP DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CÁC HỆ SỐ, SỐ HẠNG TRONG KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON Phương pháp: nn p qn k p n k q k knkknppkqk ax bx  Cnn ax bx C a b x kk 00 Số hạng chứa xm ứng với giá trị k thỏa: np pk qk m. m np Từ đó tìm k pq m k n k k Vậy hệ số của số hạng chứa x là: Cn a. b với giá trị k đã tìm được ở trên. Nếu k không nguyên hoặc kn thì trong khai triển không chứa xm , hệ số phải tìm bằng 0. Chú ý: Xác định hệ số của số hạng chứa xm trong khai triển n pq 2n P x a bx cx được viết dưới dạng a0 a 1 x a 2n x . Ta làm như sau: n p qnk k n k p q * Viết P x a bx cx  Cn a bx cx ; k 0 k * Viết số hạng tổng quát khi khai triển các số hạng dạng bxpq cx thành một đa thức theo luỹ thừa của x. * Từ số hạng tổng quát của hai khai triển trên ta tính được hệ số của xm . Chú ý: Để xác định hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niutơn Ta làm như sau: * Tính hệ số ak theo k và n ; * Giải bất phương trình aakk 1 với ẩn số k ; * Hệ số lớn nhất phải tìm ứng với số tự nhiên k lớn nhất thoả mãn bất phương trình trên. 1
2. Câu 1: Trong khai triển 2ab 5 , hệ số của số hạng thứ 3 bằng: Hướng dẫn giải: 50 5 1 4 2 3 2 Ta có: 2a b C5 2 a C 5 2 a b C 5 2 a b 2 Do đó hệ số của số hạng thứ3 bằngC5 .8 80 . n 6 Câu 2: Trong khai triển nhị thức an 2, . Có tất cả17 số hạng. Vậy n bằng: Hướng dẫn giải: Trong khai triển an 2, n 6 có tất cả n 7 số hạng. Do đó nn 7 17 10 . 10 Câu 3: Trong khai triển 3xy2 , hệ số của số hạng chính giữa là: Hướng dẫn giải: 10 Trong khai triển 3xy2 có tất cả 11 số hạng nên số hạng chính giữa là số hạng thứ 6 . 55 Vậy hệ số của số hạng chính giữa là 3.C10 . Câu 4: Trong khai triển 25xy 8 , hệ số của số hạng chứa xy53. là: Hướng dẫn giải: k k8 k k k k 8 k k 8 k k Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk 1 (1) C 8 .(2) x (5) y (1) C 8 .2 5. x . y Yêu cầu bài toán xảy ra khi k 3. Khi đó hệ số của số hạng chứa xy53. là: 22400 . 6 2 3 Câu 5: Trong khai triển x , hệ số của xx,0 là: x Hướng dẫn giải: 1 k k6 k k 2 Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk 16 C. x 2 . x 1 Yêu cầu bài toán xảy ra khi 6 k k 3 k 3 . 2 3 33 Khi đó hệ số của x là:C6 .2 160 . 7 2 1 Câu 6: Trong khai triển a , số hạng thứ 5 là: b Hướng dẫn giải: k14 2 k k Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk 17 C a b 4 6 4 6 4 Vậy số hạng thứ 5 là T57 C. a . b 35. a . b Câu 7: Trong khai triển 21a 6 , tổng ba số hạng đầu là: Hướng dẫn giải: 6 0 6 6 1 5 5 2 4 4 Ta có: 2a 1 C6 .2 a C 6 .2 a C 6 .2 a Vậy tổng 3 số hạng đầu là 64a6 192 a 5 240 a 4 . 16 Câu 8: Trong khai triển xy , tổng hai số hạng cuối là: Hướng dẫn giải: 16 15 16 0 16 1 15 15 16 Ta có: xy CxCxy16 16. Cxy 16 C 16 y 6 2 1 93 Câu 9: Trong khai triển 8ab , hệ số của số hạng chứa ab là: 2 Hướng dẫn giải: k k6 k 12 2 k k k Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk 16 1 C .8 a .2 b Yêu cầu bài toán xảy ra khi k 3. 2
3. Khi đó hệ số của số hạng chứa ab93 là: 1280ab93 . . 9 8 Câu 10: Trong khai triển x 2 , số hạng không chứa x là: x Hướng dẫn giải: k92 k k k Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk 19 C. x 8 . x Yêu cầu bài toán xảy ra khi 9 k 2 k 0 k 3. 33 Khi đó số hạng không chứa x là:C9 .8 43008 . Câu 11: Trong khai triển 21x 10 , hệ số của số hạng chứa x8 là: Hướng dẫn giải: k10 k 10 k k Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk 1 C 10.2 . x . 1 Yêu cầu bài toán xảy ra khi 10 kk 8 2. 8 28 Khi đó hệ số của số hạng chứa x là:C10.2 11520 . Câu 12: Trong khai triển ab 2 8 , hệ số của số hạng chứa ab44. là: Hướng dẫn giải: k8 kk k Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk 18 C. a . 2 . b Yêu cầu bài toán xảy ra khi k 4. 44 44 Khi đó hệ số của số hạng chứa ab. là:C8 .2 1120. Câu 13: Trong khai triển 3xy 7 , số hạng chứa xy43là: Hướng dẫn giải: k77 k kk k Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk 17 C.3 x . 1 . y Yêu cầu bài toán xảy ra khi k 3. 43 3 4 4 3 4 Khi đó hệ số của số hạng chứa xy. là: C7 .3 . x . y 2835. x . y . Câu 14: Trong khai triển 0,2 + 0,8 5 , số hạng thứ tư là: Hướng dẫn giải: k5 k k Số hạng tổng quát trong khai triển trên là TCk 15 .(0,2) .(0,8) 3 2 3 Vậy số hạng thứ tư là TC45 .(0,2) .(0,8) 0,2028 Câu 15: Hệ số của xy33trong khai triển 11 xy 66 là: Hướng dẫn giải: k k m m Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk 1 C 6. x .C 6 . y Yêu cầu bài toán xảy ra khi km 3. 33 33 Khi đó hệ số của số hạng chứa xy là:CC66. 400 . Câu 16: Số hạng chính giữa trong khai triển 3xy 2 4 là: Hướng dẫn giải: 2 2 2 2 2 Số hạng chính giữa trong khai triển trên là số hạng thứ ba: C4 3 x 2 y 6 3 x 2 y . 11 83 Câu 17: Trong khai triển xy , hệ số của số hạng chứa xy. là Hướng dẫn giải: k11 kk k Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk 1 C 11. x . 1 . y Yêu cầu bài toán xảy ra khi k 3. 83 3 Khi đó hệ số của số hạng chứa xy. là: C11 . Câu 18: Tìm hệ số của x7 trong khai triển biểu thức sau: f( x ) (1 2 x )10 Hướng dẫn giải: 3
4. 10 10 k10 k k k k k Ta có f( x )  Cn 1 ( 2 x ) C10 ( 2) x kk 00 Số hạng chứa x7 ứng với giá trị k 7 7 77 Vậy hệ số của x là: C10 ( 2) 15360 . Câu 19: Tìm hệ số của x7 trong khai triển biểu thức sau: h( x ) x (2 3 x )9 Hướng dẫn giải: 99 9k 9 k k k 9 k k k Ta có (23) x  C99 2(3) x C 23. x kk 00 9 k91 k k k h( x ) C9 2 3 x . k 0 Số hạng chứa x7 ứng với giá trị k thỏa kk 1 7 6 7 6 3 6 Vậy hệ số chứa x là: C9 2 3 489888. Câu 20: Tìm hệ số của x7 trong khai triển biểu thức sau: g()(1 x x )7 (1 x ) 8 (2 x ) 9 Hướng dẫn giải: 7 7 7 kk 7 Hệ số của x trong khai triển (1 x )  C7 x là : C7 1 k 0 8 7 8 k k k 77 Hệ số của x trong khai triển (1 x )  C8 ( 1) x là : C8 ( 1) 8 k 0 9 7 9 kk 9 Hệ số của x trong khai triển (1 x )  C9 x là : C7 36 . k 0 Vậy hệ số chứa x7 trong khai triển gx() thành đa thức là: 29 . Chú ý: 1 * Với a 0 ta có: a n với n . an m * Với a 0 ta có: n aam n với m, n ; n 1. Câu 21: Tìm hệ số của x7 trong khai triển biểu thức sau: f( x ) (3 2 x )10 Hướng dẫn giải: 10 10 k10 k k k 10 k k k Ta có f( x )  Cn 3 (2 x ) C10 3 ( 2) x kk 00 Số hạng chứa x8 ứng với giá trị k 8 8 8 2 8 Vậy hệ số của x là: C10.3 .( 2) 103680 . Câu 22: Tìm hệ số của x7 trong khai triển biểu thức sau: h( x ) x (1 2 x )9 Hướng dẫn giải: 99 99k k k k k k Ta có (12) x  C99 1(2) x C (2). x kk 00 9 k k k 1 h( x )  C9 ( 2) x . k 0 Số hạng chứa x8 ứng với giá trị k thỏa kk 1 8 7 8 77 Vậy hệ số chứa x là: C9 ( 2) 4608 . Câu 23: Xác định hệ số của x8 trong các khai triển sau: f( x ) (3 x2 1) 10 Hướng dẫn giải: 10 k k2 k 8 8 44 Ta có: f( x )  C10 3 x , số hạng chứa x ứng với k 4 nên hệ số x là: C10.3 17010 . k 0 4
5. 8 8 2 3 Câu 24: Xác định hệ số của x trong các khai triển sau: f( x ) 5 x x Hướng dẫn giải: 8 k8 k k 4 k 8 8 8 Ta có: f( x )  C8 2 ( 5) x , số hạng chứa x ứng với k 4nên hệ số của x là: k 0 4 4 4 C8 .2 .( 5) 700000 . 12 8 3 x Câu 25: Xác định hệ số của x trong các khai triển sau: fx() x 2 Hướng dẫn giải: 12 k12 k k 2 k 12 8 8 Ta có: f( x )  C12 3 .2 . x , số hạng chứa x ứng với k 10 nên hệ số của x là: k 0 297 C10.3 2 .2 10 . 12 512 Câu 26: Xác định hệ số của x8 trong các khai triển sau: f( x ) (1 x 2 x2 ) 10 Hướng dẫn giải: 10 10 k k2 10 k k k j 10 k 20 2 k j Ta có: f( x )  C10 (2 x ) (1 x )  C 10 Ck .2 x k 0 k 0 j 0 8 0 jk 10 Số hạng chứa x ứng với cặp (,)kj thỏa: jk 2 12 Nên hệ số của x8 là: 604 723 842 96 108 CCCCCCCCCC10 6.2 10 7 2 10 8 2 10 9 2 10 10 37845 Câu 27: Xác định hệ số của x8 trong các khai triển sau: f( x ) 8(1 8 x )8 9(1 9 x ) 9 10(1 10 x ) 10 Hướng dẫn giải: 8 8k 8 k 8 k Ta có: (1 8x ) C8 8 x k 0 9 9k 9 k 9 k (1 9x ) C9 9 x k 0 10 10k 10 k 10 k (1 10x ) C10 10 x k 0 8 0 8 1 8 8 8 Nên hệ số chứa x là: 8.CCC8 .8 9. 9 .9 10. 10 .10 Câu 28: Tìm hệ số của x8 trong khai triển biểu thức sau: g( x ) 8(1 x )8 9(1 2 x ) 9 10(1 3 x ) 10 Hướng dẫn giải: n n k k k k n kk Ta có: 1 ax  Cn a x nên ta suy ra hệ số của x trong khai triển (1 ax ) là Can . Do đó: i 0 8 8 8 Hệ số của x trong khai triển (1 x ) là : C8 8 9 88 Hệ số của x trong khai triển (1 2x ) là : C9 .2 8 10 88 Hệ số của x trong khai triển (1 3x ) là :C10.3 . 8 8 8 8 8 8 Vậy hệ số chứa x trong khai triển gx() thành đa thức là:8CCC8 9.2 . 9 10.3 . 10 22094 . 15 Câu 29: Hệ số đứng trước xy25. 10 trong khai triển x3 xy là: Hướng dẫn giải: k45 3 k k k Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk 1 C 15 x x y Yêu cầu bài toán xảy ra khi k 10 . 5
6. 15 25 10 3 10 Vậy hệ số đứng trước xy. trong khai triển x xy là:C15 3003. 18 1 Câu 30: Số hạng không chứa x trong khai triển x3 là: x3 Hướng dẫn giải: k54 3 k 3 k Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk 1 C 18 x x Yêu cầu bài toán xảy ra khi 54 3k 3 k 0 k 9. 9 Khi đó số hạng không chứa là: C18 . 12 Câu 31: Khai triển 1 x , hệ số đứng trước x7 là: Hướng dẫn giải: kkk Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk 1 C 12. 1 . x Yêu cầu bài toán xảy ra khi k 7 . 7 7 Khi đó hệ số của số hạng chứa x là: C12 792. 2 Câu 32: Tìm số hạng không chứa x trong các khai triển sau: f( x ) ( x )12 ( x 0) x Hướng dẫn giải: 12 1 12k 12 k 1 k Ta có: f( x ) ( x 2. x )  C12 x .( 2 x ) k 0 12 k k12 2 k Cx12 ( 2) k 0 Số hạng không chứa x ứng với giá trị k thỏa mãn: 12 2k 0 66 k 6 số hạng không chứa x là: C12.2 59136 . 1 Câu 33: Tìm số hạng không chứa x trong các khai triển sau: g( x ) ( 4 x3 ) 17 ( x 0) 3 x2 Hướng dẫn giải: 2 3 1 Vì x3 ; 4 x3 x 4 nên ta có 3 x2 2 17 k 3k 17k 136 17 17 kk3 4 12 f() x  C17 x x C 17 x kk 00 Hệ số không chứa x ứng với giá trị k thỏa: 17kk 136 0 8 8 Vậy hệ số không chứa x là: C17 24310 . n 8 1 5 Câu 34: Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhị thức Niutơn của 3 x biết x nn 1 Cnn 43 C 73 n . Hướng dẫn giải: n 11 n n n n Ta có: Cn 4 C n 3 7 n 3 C n 3 C n 3 C n 3 7 n 3 nn 23 Cn 1 7 n 3 7 n 3 n 3 2! nn 2 7.2! 14 12. n 512 k 60 11k 1 12k 12 Khi đó: x53 Ckk x . x22 C x . 3 12 12 x kk 00 60 11k Số hạng chứa x8 ứng với k thỏa: 84 k . 2 6
7. 12! Do đó hệ số của số hạng chứa x8 là: C 4 495 . 12 4! 12 4 ! n 1 Câu 35: Xác định số hạng không phụ thuộc vào x khi khai triển biểu thứ c xx2 vớ i n là số x nguyên dương thoả mañ 32kk Cnn 2 n A 1 .( CAnn, tương ứ ng là số tổ hơp̣ , số chỉnh hơp̣ châp̣ k của n phần tử ). Hướng dẫn giải: n 3 32 Ta có: Cnn 2 n A 1 n n 12 n 21n n n 6 n 3 2 n 8 . nn 9 8 0 Theo nhi ̣thứ c Newton ta có: 88 12 1 0 1 1 1 x x x 11 x C8886 C x x x x x 112 3 4 8 C2 1 x C 3 1 x C 4 1 x C 8 x 8 1 x 8xx42 8 8 8 Số haṇ g không phu ̣thuôc̣ vào x chỉ có trong hai biểu thức 1 3 4 Cx3 1 và Cx4 1 . 8 x2 8 32 40 Trong đó có hai số haṇ g không phu ̣thuôc̣ vào x là: CC83. và CC84. 3 2 4 0 Do đó số haṇ g không phu ̣thuôc̣ vào x là: CCCC8. 3 8 . 4 98. 40 1 31 Câu 36: Trong khai triển f x x 2 , hãy tìm hệ số của x x Hướng dẫn giải: A.9880 18 3 1 Câu 37: Hãy tìm trong khai triển nhị thức x 3 số hạng độc lập đối với x x Hướng dẫn giải: 9 C18 48620 12 4 x 3 Câu 38: Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển 3 x ướng dẫn giải: 1 55 ( 3)44C 398 12 15 Câu 39: Tính hệ số của xy25 10 trong khai triển x3 xy Hướng dẫn giải: 10 C15 3003 Câu 40: Cho đa thức P x 1 x 2 1 x 2 20 1 x 20 có dạng khai triển là 2 20 P x a0 a 1 x a 2 x a 20 x . Hãy tính hệ số a15 . Hướng dẫn giải: 7
8. 20 15 a15  kCk 400995 k 15 9 Câu 41: Tìm số hạng của khai triển 32 3 là một số nguyên Hướng dẫn giải: 999 kk 33k Ta có 3 2 C9 3 2 k 0 Số hạng là số nguyên ứng với các giá trị của k thỏa: km 2 9 k 3 n k 0, k 6 k 0, ,9 9 63 0 3 6 3 Các số hạng là số nguyên: C9 28 và C9 32 1 Câu 42: Xét khai triển f( x ) (2 x )20 x 1. Viết số hạng thứ k 1 trong khai triển 2. Số hạng nào trong khai triển không chứa x Hướng dẫn giải: 1 1. Ta có:T Ck(2 x )20 k C k .2 20 k . x 20 2 k k 1 20xk 20 2. Số hạng không chứa x ứng với k: 20 2kk 0 10 10 10 Số hạng không chứa x: C20 .2 Câu 43: Xác định hệ số của x4 trong khai triển sau: f( x ) (3 x2 2 x 1) 10 . Hướng dẫn giải: 10 2210 k k f x 1 2 x 3 x  C10 2 x 3 x k 0 10kk 10 k i ki 2 i k ikiiki C10  Ckk(2 x ) .(3 x )  C 10  C 2 .3 x k 0 i 0 k 0 i 0 với 0 ik 10. Do đó ki 4 với các trường hợp ik 0, 4 hoặc ik 1, 3 hoặc ik 2. 4 4 4 0 2 1 3 1 2 2 2 Vậy hệ số chứa x : 2CCCCCC10 . 4 23 10 . 3 3 10 . 2 8085. Câu 44: Tìm hệ số của x7 trong khai triển thành đa thức của (2 3x )2n , biết n là số nguyên dương thỏa 1 3 5 2n 1 mãn : CCCC2n 1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 1024 . Hướng dẫn giải: 21n C kn 221  21n n k 0 Ta có: Cn2in 1 2 2 1024 5 nn 21n 2ii 1 2 i 0 CC2nn 1 2 1 ii 00 10 2n k 10 k k k Suy ra (2 3x )  C10 2 .( 3) x k 0 7 7 3 7 Hệ số của x là C10.2 .( 3) 2099520 . Câu 45: Tìm hệ số của x9 trong khai triển f( x ) (1 x )9 (1 x ) 10 (1 x ) 14 Hướng dẫn giải: 9 9 9 9 9 9 9 Hệ số của x : CCCCCC9 10 11 12 13 14 3003. 8
9. Câu 46: Tìm hệ số của x5 trong khai triển đa thức của: x 1 2 x 5 x2 1 3 x 10 Hướng dẫn giải: Đặt f( x ) x 1 2 x 5 x2 1 3 x 10 5 10 kki k2 i Ta có : f( x ) x C5 2 . x x C 10 3 x ki 00 5 10 kk k 12 i i i C5 2 . x C 10 3. x ki 00 Vậy hệ số của x5 trong khai triển đa thức của fx() ứng với k 4 và i 3 là: 44 3 3 CC5 2 10 .3 3320 . 8 2 8 Câu 47: Tìm hệ số cuả x trong khai triển đa thức f( x ) 1 x 1 x Hướng dẫn giải: Cách 1 8 2 0 1 2 2 423 3 6 1 x 1 x CCx8 8 1 xCx 8 1 xCx 8 1 x 4 84 5 10 5 8 16 8 C8 x 1 x C 8 x 1 x C 8 x 1 x Trong khai triển trên ta thấy bậc của x trong 3 số hạng đầu nhỏ hơn 8, bậc của x trong 4 số hạng cuối 8 3 2 4 0 lớn hơn 8. Do đó x chỉ có trong số hạng thứ tư, thứ năm với hệ số tương ứng là: CCCC8.,. 3 8 4 . 8 2 8 Vậy hệ số cuả x trong khai triển đa thức 11 xx là: 3 2 4 0 a8 C 8. C 3 C 8 . C 4 238. Cách 2: Ta có: 88n 8 2n 2 nnk n k 2 n k 1 x 1 x  C88 x 1 x  C  Cn 1 x n 0 n 0 k 0 với 08 kn . Số hạng chứa x8 ứng với 2n k 8 k 8 2 n là một số chẵn. Thử trực tiếp ta được kn 0; 4 và kn 2, 3. 8 3 2 4 0 Vậy hệ số của x là CCCC8. 3 8 . 4 238 . 210 20 Câu 48: Đa thức P x 1 3 x 2 x a0 a 1 x a 20 x . Tìm a15 Hướng dẫn giải: 10 2210 k k Ta có: P x 1 3 x 2 x  C10 3 x 2 x k 0 10kk 10 k i ki 2 i k ikiiki C10  Ckk(3 x ) .(2 x )  C 10  C .3 .2 x k 0 i 0 k 0 i 0 với 0 ik 10 . Do đó ki 15 với các trường hợp ki 10, 5 hoặc ki 9, 6 hoặc ki 8, 7 10555 9636 87 7 Vậy a15 C 10. C 10 .3 .2 C 10 . C 9 .3 .2 C 10 . C 8 .3.2 . 2 Câu 49: Tìm hệ số không chứa x trong các khai triển sau ()x3 n , biết rằng CCnn 12 78 với x nn x 0 Hướng dẫn giải: nn!! Ta có: CCnn 12 78 78 nn (nn 1)!1! ( 2)!2! nn( 1) n 78 n2 n 156 0 n 12 . 2 9
10. 12 12 32 k k 36 4 k Khi đó: f( x ) x  C12 ( 2) x x k 0 Số hạng không chứa x ứng với k:36 4 k 0 k 9 99 Số hạng không chứa x là: ( 2)C12 112640 33n Câu 50: Với n là số nguyên dương, gọi a33n là hệ số của x trong khai triển thành đa thức của 2 nn (xx 1) ( 2) . Tìm n để an33n 26 Hướng dẫn giải: Cách 1:Ta có : 2n 0 2n 1 2 n 2 2 2 n 4 n x 1 Cn x C n x C n x C n n 0n 1 n 1 2 2 n 2 n n x 2 Cn x 2 C n x 2 C n x 2 C n Dễ dàng kiểm tra n 1, n 2 không thoả mãn điều kiện bài toán. Với n 3 thì dựa vào khai triển ta chỉ có thể phân tích x3n 3 x 2 n x n 3 x 2 n 2 x n 1 Do đó hệ số của x33n trong khai triển thành đa thức của n 2 n 3 0 3 1 1 xx 12 là : a33n 2 . C n . C n 2. C n . C n . 2 2n 2 n 3 n 4 7 Suy ra a 26 n 26 n n hoặc n 5 33n 32 Vậy n 5 là giá trị cần tìm. Cách 2: nn 23n n n 12 Ta có: x 1 x 2 x 1 2 1 xx ik n 12 n n n x3n C i C k x 3 n C i x 2 i C k2 k x k n 2  n  n  n i 0 xx k 0 i 0 k 0 Trong khai triển trên, luỹ thừa của x là 33n khi 2i k 3 2 i k 3. Ta chỉ có hai trường hợp thoả mãn điều kiện này là ik 0, 3 hoặc ik 1, 1(vì ik, nguyên). n Hệ số của x33n trong khai triển thành đa thức của xx2 12 n 0 3 3 1 1 Là : a33n C n. C n .2 C n . C n .2 . 2 2n 2 n 3 n 4 7 Do đó a 26 n 26 n n hoặc n 5 33n 32 Vậy n 5 là giá trị cần tìm. n 26 1 7 Câu 51: Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhị thức Newton của 4 x , biết x 1 2n 20 CCC2n 1 2 n 1 2 n 1 2 1. Hướng dẫn giải: k21 n k Do C2nn 1 C 2 1  k 0,1,2, ,2 n 1 0 1n n 1 n 2 2 n 1 CCCCCC2121n n 21 n 2121 n n 21 n 1 2 2nn 1 2 1 Mặt khác: CCC2n 1 2 n 1 2 n 1 2 0 1 2nn 2 1 2(CCCC2n 1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 ) 2 1 2n 2 n 0 2 n CCCC2n 1 2 n 1 2 n 1 2 2 n 1 2 1 22n 1 2 20 1 n 10 . 10
11. 10 10 1 10 10 Khi đó: x7 x 4 x 7 Ck(). x 4 10 k x 7 k Cxkk11 40 4  10  10 x k 0 k 0 Hệ số chứa x26 ứng với giá trị k : 11kk 40 26 6 . 26 6 Vậy hệ số chứa x là: C10 210 . nn Câu 52: Cho n * và (1 x ) a01 a x an x . Biết rằng tồn tại số nguyên k (11 kn ) sao a a a cho k 11 k k . Tính n ? . 2 9 24 Hướng dẫn giải: 1nn ! 1 ! k 2(k 1)!( n k 1)! 9( n k )!! k Ta có: aCkn , suy ra hệ 1nn ! 1 ! 9(n k )!! k 24( n k 1)!( k 1)! 9k 2( n k 1) 2 n 11 k 2 nk 10, 2. 24(k 1) 9( n k ) 9 n 33 k 24 12 Câu 53: Trong khai triển của () x 10 thành đa thức 33 2 9 10 a0 a 1 x a 2 x a 9 x a 10 x , hãy tìm hệ số ak lớn nhất ( 0 k 10). Hướng dẫn giải: 15 15 kk 1 2 15 1 2 15 2k Ta có: x Ck x C k x k 15 15 15 3 3 kk 00 3 3 3 k 1 kk Hệ số của x trong khai triển aCk 15 15 2 3 k 1 k 1 k k k 1 k Ta có: akk 1 a C 152 C 15 2 C 15 2 C 15 32 kk 10. Từ đó: a a a 3 0 1 10 Đảo dấu bất đẳng thức trên, ta được: 32 a a k a a a kk 13 10 11 15 2210 10 Vậy hệ số lớn nhất phải tìm là: aC 10 3003 . 103315 15 15 nn2 Câu 54: Giả sử (1 2x ) a0 a 1 x a 2 x an x , biết rằng a01 a an 729. Tìm n và số lớn nhất trong các số a01, a , , an . Hướng dẫn giải: nn Ta có: a01 a an (1 2.1) 3 729 n 6 kk aCk 6 2 suy ra maxaak  4 240 . nn Câu 55: Cho khai triển (1 2x ) a01 a x an x , trong đó n *. Tìm số lớn nhất trong các số a a a, a , , a , biết các hệ số a, a , , a thỏa mãn hệ thức: a 1 n 4096 . 01 n 01 n 0 22n Hướng dẫn giải: nn Đặt f( x ) (1 2 x ) a01 a x an x a1 an 1 n n af0 n 2 2 4096 n 12 2 2 2 k k k 11 k Với mọi k 0,1,2, ,11 ta có: akk 2 C12 , a 1 2 C 12 11
12. kk ak 2 C12 k 1 23 1 kk 11 1 1 k ak 12 C 12 2(12 k ) 3 Mà k Z k 7 . Do đó a0 a 1 a 8 ak Tương tự: 1 k 7 a8 a 9 a 12 ak 1 88 Số lớn nhất trong các số a0, a 1 , , a 12 là aC8 2 12 126720 . 12
13. n kk DẠNG 2: BÀI TOÁN TỔNG akn C b . k 0 Phương pháp 1: Dựa vào khai triển nhị thức Newton n0 n n 1 1 n 2 2 2 n n (ab ) Can abCabC n n bC n . Ta chọn những giá trị ab, thích hợp thay vào đẳng thức trên. Một số kết quả ta thường hay sử dụng: k n k * CCnn 01 nn * CCCn n n 2 n kk * ( 1)Cn 0 k 0 n n2 n 2k 2 k 1 1 k * CCC2n  2 n  2 n k 0 k 02 k 0 n k k n * Cn a (1 a ) . k 0 Phương pháp 2: Dựa vào đẳng thức đặc trưng Mẫu chốt của cách giải trên là ta tìm ra được đẳng thức (*) và ta thường gọi (*) là đẳng thức đặc trưng. Cách giải ở trên được trình bày theo cách xét số hạng tổng quát ở vế trái (thường có hệ số chứa k ) và biến đổi số hạng đó có hệ số không chứa k hoặc chứa k nhưng tổng mới dễ tính hơn hoặc đã có sẵn. 0 1 2 3 n Câu 1: Tổng T CCCCCn n n n n bằng: Hướng dẫn giải: T 2n Tính chất của khai triển nhị thức Niu – Tơn. 0 1 6 Câu 2: Tính giá trị của tổng S CCC6 6 6 bằng: Hướng dẫn giải: 0 1 6 6 S = C6 +C 6 + +C 6 2 64 5 0 1 5 Câu 3: Khai triển xy rồi thay xy, bởi các giá trị thích hợp. Tính tổng S C5 CC 5 5 Hướng dẫn giải: 0 1 5 5 Với xy 1, 1 ta có S= C5 +C 5 + +C 5 (1 1) 32 . 0 1 2 nn Câu 4: Tìm số nguyên dương n sao cho: CCCCn 2 n 4 n 2 n 243 Hướng dẫn giải: n0 1 2 2 n n Xét khai triển: (1 x ) Cn xC n x C n x C n 0 1 2 n n n Cho x 2 ta có: CCCCn 2 n 4 n 2 n 3 Do vậy ta suy ra 3n 243 35 n 5. 5 0 1 5 Câu 5: Khai triển xy rồi thay xy, bởi các giá trị thích hợp. Tính tổng S C5 CC 5 5 Hướng dẫn giải: 0 1 5 5 Với xy 1, 1 ta có S= C5 +C 5 + +C 5 (1 1) 32 . 2 35 2 15 Câu 6: Khai triển 1 x x x a0 a 1 x a 2 x a 15 x a) Hãy tính hệ số a10 . b) Tính tổng T a0 a 1 a 15 và S a0 a 1 a 2 a 15 Hướng dẫn giải: Đặt f()(1 x x x2 x 3 )(1)(1 5 x 5 x 2 ) 5 10 0 5 2 4 4 3 a) Do đó hệ số x bằng: a10 C 5. C 5 C 5 C 5 C 5 C 5 b) Tf (1) 45 ; Sf ( 1) 0 13
14. 210 2 20 Câu 7: Khai triển 1 2x 3 x a0 a 1 x a 2 x a 20 x a) Hãy tính hệ số a4 20 b) Tính tổng S a1 2 a 2 4 a 3 2 a 20 Hướng dẫn giải: 10 2 10k k 2 k 10 k Đặt f()(12 x x 3) x  C10 3 x (12) x k 0 10 10 k k k2 k i 10 k i 10 k i C1032 x C 10 k x ki 00 10 10 k k i k10 k i 10 k i C10 C 10 k 32 x ki 00 0 4 4 a) Ta có: a4 C 10.2 C 10 b) Ta có Sf (2) 1710 1 1 1 1 ( 1)n Câu 8: Tính tổng sau: SCCCCC 0 1 3 4 n 2n 4 n 6 n 8 n 2(n 1) n Hướng dẫn giải: n 1 0 1 1 1 2 ( 1) n Ta có: SCCCC n n n n 2 2 3n 1 kk n ( 1)kk ( 1) 1 1 kk 1 Vì CCnn 1 nên: SC ( 1) n 1 kn 11 2(n 1) k 0 n 1 11 kk 0 ( 1) CCnn 11 . 2(nn 1) k 0 2( 1) 1n 1 2 n 2 3 n 3 n Câu 9: Tính tổng sau: S Cn3 2 C n 3 3 C n 3 nC n Hướng dẫn giải: n k nk 1 Ta có: S 3  kCn k 1 3 kk kk 11 1 Vì kCnn n C 1  k 1nên 33 nnkk 1 n 11 k 11 n k n 11 n 1 n 1 S 3 . n Cnn 11 3 . n C 3 .nn (1 ) .4 . kk 10 33 3 1 1 1 Câu 10: Tính các tổng sau: SCCCC 0 1 2 n 1 n2 n 3 nn 1 n Hướng dẫn giải: Ta có: 1 1nn ! 1 ( 1)! Ck k 1n k 1 k !( n k )! n 1 ( k 1)![( n 1) ( k 1))! 1 C k 1 (*) n 1 n 1 nn 1 n 1 1kk 10 1 2 1 SCCC1 n 1 n 1 n 1 . n 1kk 00 n 1 n 1 12 n Câu 11: Tính các tổng sau: S2 Cn 2 C n nC n Hướng dẫn giải: nn!! Ta có: kCk k. n k!( n k )! ( k 1)![( n 1) ( k 1)]! 14
15. (n 1)! n nCk 1 ,  k 1 (k 1)![( n 1) ( k 1)]! n 1 nn 1 k 11 k n S2  nCnn 1 n C 1 n.2 . kk 10 234 n Câu 12: Tính các tổng sau: S3 2.1. Cn 3.2 C n 4.3 C n n ( n 1) C n . Hướng dẫn giải: n! Ta có k( k 1) Ckk n ( n 1) C 2 nn(k 2)!( n k )! 2 n kn 22 S32 n( n 1) Cn n ( n 1)2 . k 2 321 1 3n 1 Câu 13: Tính tổng SCCC 01 n n21 nn n Hướng dẫn giải: Ta có SSS 12, trong đó 32 3 3 3n 1 SCCCC 0 1 2 n 1 n2 n 3 nn 1 n 1 1 1 SCCC 12 n 2 2n 3 nn 1 n 21n 1 Ta có S 1 2 n 1 Tính S1 ? 3!k 1 n 3k 1 (n 1)! 3k 1 Ta có: C kk 3 1 C k 1 k 1n ( k 1)!( n k )! n 1 ( k 1)![( n 1) ( k 1)]! n 1 n 1 n n 1 n 1 1 kk 1 1 0 1 kk 0041 SCC12 32nn 32CCCn 1 n n 2 . n 1 k 0 n 1 k 0 n 1 42nn 11 Vậy S 1. n 1 221 1 2n 1 Câu 14: Tính tổng SCCC 01 n n21 nn n Hướng dẫn giải: Ta có: SSS 12 nnkn 11k k 2Cn 2 1 Trong đó SCS12 n ; 1 kk 00k 1 k 1 n 1 22kk 11 31n 1 Mà CCkk 1 S 1 kn 11nn 1 1 n 1 32nn 11 Suy ra: S . n 1 1 2 2 3nn 2 1 Câu 15: Tìm số nguyên dương n sao cho : C2n 1 2.2 C 2 n 1 3.2 C 2 n 1 (2 n 1)2 C 2 n 1 2005 Hướng dẫn giải: 21n k 11 k k Đặt S  ( 1) . k .2 C21n k 1 k 1 k 1 k k 1 k 1 k 1 Ta có: ( 1) .k .2 C2nn 1 ( 1) .(2 n 1).2 C 2 0 1 2 2 2nn 2 Nên S (21)( n C2n 2 C 2 n 2 C 2 n 2 C 2 n )21 n Vậy 2nn 1 2005 1002 . 15
16. Câu 16: Tính tổng1.30 .5n 1C n 1 2.3 1 .5 n 2 C n 2 n .3 n 1 5 0 C 0 n n n Hướng dẫn giải: n k 1 n k n k Ta có: VT  k.3 .5 Cn k 1 k 1 n k n k k 1 n k k 1 Mà k.3 .5 Cnn n .3 .5 . C 1 0n 1 0 1 n 2 1 n 1 0 n 1 Suy ra: VT n(3 .5 Cn 1 3 .5 C n 1 3 5 C n 1 ) nn(5 3)nn 11 .8 234 n Câu 17: Tính tổng S 2.1 Cn 3.2 C n 4.3 C n n ( n 1) C n Hướng dẫn giải: n k Ta có: S  k( k 1) Cn k 2 kk 2 Mà k( k 1) Cnn n ( n 1) C 2 0 1 2nn 2 2 Suy ra S n( n 1)( Cn 2 C n 2 C n 2 C n 2 ) n ( n 1)2 02 1 2 2 2n 2 Câu 18: Tính tổng CCCCn n n n Hướng dẫn giải:Ta có: x 1 n 1 x n x 1 2 n . Vế trái của hệ thức trên chính là: 0n 1 n 1 n 0 1 n n Cn x C n x C n C n C n x C n x Và ta thấy hệ số của xn trong vế trái là 02 1 2 2 2n 2 CCCCn n n n n 2n n Còn hệ số của x trong vế phải x 1 là C2n 02 1 2 2 2nn 2 Do đó CCCCCn n n n 2 n n0 n 1 n 1 2 n 2 n 2 n 0 Câu 19: Tính tổng sau: SCCCC1 5n 5 .3. n 3 .5 n 3 n nn Hướng dẫn giải:Ta có: S1 (5 3) 8 0 2 2 2010 2010 Câu 20: SCCC2 2011 2 2011 2 2011 Hướng dẫn giải: Xét khai triển: 2011 0 1 2 2 2010 2010 2011 2011 (1 x ) C2011 xC 2011 x C 2011 x C 2011 x C 2011 Cho x 2 ta có được: 2011 0 1 2 2 2010 2010 2011 2011 3 CCCCC2011 2. 2011 2 2011 2 2011 2 2011 (1) Cho x 2 ta có được: 0 1 2 2 2010 2010 2011 2011 1 CCCCC2011 2. 2011 2 2011 2 2011 2 2011 (2) Lấy (1) + (2) ta có: 0 2 2 2010 2010 2011 2 CCC2011 2 2011 2 2011 3 1 312011 Suy ra: SCCC 0 2 2 2 2 2010 2010 . 2 2011 2011 2011 2 Câu 21: Tính tổng S C12 2 C nCn 3 n n n Hướng dẫn giải: nn!! (n 1)! Ta có: kCk k. n nCk 1 ,  k 1 n k!( n k )! ( k 1)![( n 1) ( k 1)]! (k 1)![( n 1) ( k 1)]! n 1 nn 1 k 11 k n S3  nCnn 1 n C 1 n.2 . kk 10 16