Bài tập ôn học sinh giỏi môn Toán 6 - Dạng toán tìm x

Nội dung text: Bài tập ôn học sinh giỏi môn Toán 6 - Dạng toán tìm x

1. BÀI TẬP ễN HSG-TOÁN 6- DẠNG TOÁN TèM X Bài 1: a) 2 . 52 . 32 + {[2 . 53 - (5. x + 4) . 5] : (22 . 3 . 5)} = 453 x 1 3x 5 2x 5x 3 210 b) 3 2 9 9 420 a b a) 450+{[2 . 53 - (5. x + 4). 5]:60}= 453 3x 3 2x ( 5x) 3 3x 5 1 b) {[2 . 53 - (5. x + 4). 5]:60}= 453-450 9 2 2 [2 . 125 - (5. x + 4). 5]:60= 3 3x 5 1 0 + 250 - (5. x + 4). 5 = 3 . 60 =180 2 2 (5. x + 4). 5 = 250 - 180 = 70 3x - 5 = 1 5.x + 4 = 70 : 5 = 14 x = 6 : 3 = 2 5.x = 14 - 4 = 10 x = 10 : 5 = 2 Bài 2 :Cho x là tổng của tất cả cỏc số nguyờn cú 2 chữ số, y là số nguyờn õm lớn nhất. Hóy tớnh giỏ trị của biểu thức A = 2009 . x2006 - 2008 . y2007 7 33 3333 333333 33333333 b) Tỡm x biết x.( ) 22 4 12 2020 303030 42424242 HD: a) Ta cú x = - 99 + ( - 98 ) + + ( -11 ) + ( - 10 ) + 10 + 11 + + 98 + 99 x = ( - 99 + 99 ) + ( - 98 + 98 ) + + ( -11 + 11 ) + ( - 10 + 10 ) x = 0 x2006 = 0 và y = - 1 y2007 = ( - 1 )2007 = - 1 Do đú ta cú A = 2009 . x2006 - 2008 . y2007 = 0 - 2008.( -1 ) = 2008 7 33 3333 333333 33333333 b) Ta cú x.( ) 22 4 12 2020 303030 42424242 7 33 33 33 33 7 1 1 1 1 x.( ) 22 x.33.( ) 22 4 12 20 30 42 4 12 20 30 42 7 1 1 1 1 1 1 1 1 x.33.( ) 22 . 4 3 4 4 5 5 6 6 7 7 1 1 7 4 x.33.( ) 22 x.33. 22 -11.x = 22 x = - 2 4 3 7 4 21 2 2 0,4 1 3 Bài 3: Tỡm x là số tự nhiờn, biết: a) x : (9 - ) = 9 11 2 2 8 8 1,6 9 11 x 1 8 b) = c) 52x - 3 – 2.52 = 52.3 d) 2x 7 20 5.( 3) 2 x 1 2 2 2 2 0,4 0,4 1 3 a) x : (9 - ) = 9 11 x :8 7 11 2 2 8 8 2 2 1,6 4 0,4 9 11 7 11 1 x : 8 = x = 2 .Vậy x = 2 4
2. b) x 1 = 8 (x + 1)2 = 16 = ( 4)2 2 x 1 *) x + 1 = 4 x = 3 *) x + 1 = - 4 x = - 5 . Do x N nờn x = 3. c) 52x - 3 – 2.52 = 52.3 52x - 3 = 52.3 + 2.52 52x - 3 = 52.5 52x - 3 = 53 2x - 3 = 3 2x = 6 x = 3. Vậy x = 3 d) 2x 7 20 5.( 3) 2x 7 5 2x 7 5 *) 2x – 7 = 5 2x =12 x = 6 *) 2x – 7 = - 5 2x = 2 x = 1 Vậy x 6;1 Bài 4:a) Tỡm số nguyờn x và y, biết : xy - x + 2y = 3. b) Tỡm cỏc số tự nhiờn x, y biết: 2x + 1 . 3y = 12x c) Cho số 155*710* 4*16 cú 12 chữ số. Chứng minh rằng nếu thay cỏc dấu (*) bởi cỏc chữ số khỏc nhau trong ba chữ số 1; 2; 3 một cỏch tuỳ ý thỡ số đú luụn chia hết cho 396. 2n 2 5n 17 3n d) Tỡm số tự nhiờn n để biểu thức sau là số tự nhiờn:B = n 2 n 2 n 2 a) Tỡm số nguyờn x và y, biết : xy - x + 2y = 3. xy - x + 2y = 3 ( xy – x) + (2y – 2) = 1 x( y – 1) + 2( y – 1) = 1 (y – 1)( x + 2) = 1 y 1 1 y 2 y 1 1 y 0 *) *) x 2 1 x 1 x 2 1 x 3 Vậy x = - 1 ; y = 2 hoặc x = -3 ; y = 0 22x 3y b) 2x + 1 . 3y = 12x 2x + 1 . 3y = (4.3)x = 22x.3x 2x 1 3y x 2x 1 3x Nhận thấy : ( 2, 3) = 1 x – 1 = y - x = 0 x = y = 1 c) Ta thấy, vị trớ của cỏc chữ số thay thế ba dấu sao trong số trờn đều ở hàng chẵn và vỡ ba chữ số đú đụi một khỏc nhau, lấy từ tập hợp 1;2; 3nờn tổng của chỳng luụn bằng 1+ 2+ 3 = 6. Mặt khỏc 396 = 4.9.11 trong đú 4;9;11 đụi một nguyờn tố cựng nhau nờn ta cần chứng minh A = 155*710* 4*16 chia hết cho 4 ; 9 và 11. Thật vậy : *) A  4 vỡ số tạo bởi hai chữ số tận cựng của A là 16 chia hết cho 4 *) A  9 vỡ tổng cỏc chữ số chia hết cho 9 : 1+ 5+ 5 +7+ 1 + 4 + 1+ 6 + (*+*+*) = 30 + 6 = 36 chia hết cho 9 *) A  11 vỡ hiệu số giữa tổng cỏc chữ số hàng chẵn và tổng cỏc chữ số hàng lẻ là 0, chia hết cho 11. {1+5+7+4+1)-(5+1+6+(*+*+*)} = 18 – 12 – 6 = 0 Vậy A  396 2n+2 5n+17 3n 2n+2+5n+17-3n 4n+19 d) B = + - = = n+2 n+2 n+2 n+2 n+2 4n 19 4(n 2) 11 11 B = 4 n 2 n 2 n 2 11 Để B là số tự nhiờn thỡ là số tự nhiờn 11 (n+2) n 2  n + 2 Ư(11) =  1; 11 Do n + 2 > 1 nờn n + 2 = 11 n = 9 Vậy n = 9 thỡ B N
3. Bài 5: Tỡm số tự nhiờn n và chữ số a biết rằng: 1 + 2 + 3 + .+ n = aaa (n 1).n Dóy số 1; 2; ; n cú n số hạng 1 + 2 + + n = 2 Mà 1 + 2 + 3+ + n = aaa (n 1).n Suy ra = aaa = a . 111 = a . 3.37 n(n + 1) = 2.3.37.a 2 Vỡ tớch n(n + 1) Chia hết cho số nguyờn tố 37 nờn n  37 hoặc n + 1  37 (n 1).n Vỡ số cú 3 chữ số n+1 < 74 n = 37 hoặc n + 1 = 37 2 37.38 +) Với n = 37 thỡ 703 ( loại) 2 36.37 +) Với n + 1 = 37 thỡ 666 ( thoả món) 2 Vậy n = 36 và a = 6. Ta cú: 1+ 2 + 3+ + 36 = 666 2 4 5 3 1 3 1 2 1 Bài 6: Tỡm x biết a/ x : 9 5 9 11 b/ 2x 2 4. 8 16 20 2 2 3 2 5 9 11 a 2 4 5 2 4 5 1 3 5 9 11 x 5 9 11 x 1 x : 9 2 2 8 16 20 8 2 4 5 8 4 4 Ta cú 5 9 11 5 9 11 Vậy x=2 b 3 1 2 1 1 1 1 1 7 2x 2 4. 2x 4 4. 2x 4 3 2 3 8 3 2 2 1 7 2x 3 2 1 7 23 23 +) TH1: 2x → 2x = → x = 1 7 - 3 = 2 6 12 2x 3 2 1 7 19 19 23 19 +) TH2: 2x → 2x =- → x =- Vậy x ; - 3 = - 2 6 12 12 12 Bài 7: a/ Tỡm số tự nhiờn nhỏ nhất cú 3 chữ số biết rằng số đú chia cho 4,6,7 đều dư 3. b/ Tỡm số nguyờn tố p sao cho p+10 và p 14 đều là số nguyờn tố c/ Tỡm cỏc số nguyờn x, y thoả món điều kiện x y 2 y 3 Gọi số cần tỡm là a . điều kiện a N,a 100 Vỡ a chia cho 4, 6, 7 đều dư 3 a 34,6,7 a a – 3 BC 4;6;7 = B 84 =0; 84;168; 252;  a 87;171; 255;  và vỡ a là số tự nhiờn cú ba chữ số. Vậy a 3BCNN 4,6,7 a 384
4. Vỡ a 100 a 3 97 , và a là số nhỏ nhất cú 3 chữ số a 3 168 a 171 Vậy số cần tỡm là 165 b Nếu p = 3 thỡ p+10=13; p+14=17 đều là số nguyờn tố p 3 là giỏ trị cần tỡm Nếu p 3 , vỡ p là số nguyờn tố nờn p cú dạng p 3k 1(với k N* ) hoặc p 3k 2 (với k N ). * Với p 3k 1(với k N ) p 14 3k 1 14 3 k 5 3 và P + 14 >3 nờn p + 14 là hợp số. Với p 3k 2 (với k N ) p 10 3k 2 10 3 k 4 3 và P + 10 > 3 nờn p + 10 là hợp số. Do đú nếu p 3 thỡ một trong hai số p+10, p+14 là hợp số nờn khụng thoả món bài toỏn. Vậy p = 3 c Ta cú: x y 2 y 3 x y 2 y 2 1 x 1 y 2 1 1 Vỡ x, y là cỏc số nguyờn nờn x-1, y+2 cũng là cỏc số nguyờn Từ (1) suy ra x-1 và y+2 là ước của 1. Với x-1=1 và y+2=1. Suy ra x=2 và y=-1 Với x-1=-1 và y+2=-1.suy ra x=0 và y=-3 Vậy (x,y)=(2,-1); (0,-3) y 3 1 1 Cú thể làm: Từ x(y + 2) – y = 3 x = y 2 y 2 (x; y) 2; 1 ; 0; 3 Vỡ x, y nguyờn nờn y + 2 Ư 1 = 1 y = – 1 ; – 3 vậy   Bài 8: Tỡm x biết a) 19x 2.52 :14 13 8 2 42 b) x x 1 x 2 x 30 1240 c) 11 - (-53 + x) = 97 d) -(x + 84) + 213 = -16 Cõu Đỏp ỏn a. 2 2 2 2 2 2 19x 2.5 :14 13 8 4 x 14. 13 8 4 2.5 :19 x 4   b. x x 1 x 2 x 30 1240 x x x 1 2 30 1240  31 So hang 30. 1 30 775 31x 1240 31x 1240 31.15 x 25 2 31 c. 11 - (-53 + x) = 97 x 11 97 ( 53) 33 d. -(x + 84) + 213 = -16 (x 84) 16 213 (x 84) 229 x 84 229 x 229 84 145 Bài 9: Đỏp ỏn Điểm Từ dữ liệu đề bài cho, ta cú : + Vỡ ƯCLN(a, b) = 15, nờn ắt tồn tại cỏc số tự nhiờn m và n khỏc 0, sao cho: a = 15m; b = 15n (1) 3 và ƯCLN(m, n) = 1 (2) + Vỡ BCNN(a, b) = 300, nờn theo trờn, ta suy ra :
5. BCNN 15m; 15n 300 15.20 BCNN m; n 20 (3) + Vỡ a + 15 = b, nờn theo trờn, ta suy ra : 15m 15 15n 15. m 1 15n m 1 n (4) Trong cỏc trường hợp thoả món cỏc điều kiện (2) và (3), thỡ chỉ cú trường hợp : m = 4, n = 5 là thoả món điều kiện (4). Vậy với m = 4, n = 5, ta được cỏc số phải tỡm là : a = 15 . 4 = 60; b = 15 . 5 = 75 Bài 9 : Tỡm cỏc số nguyờn x biết. 3 5 24 5 3 2 a. x . b. (7x 11) ( 3) .15 208 c. 2x 7 20 5.( 3) 3 35 6 HD: (7x 11)3 ( 3)2.15 208 (7x 11)3 9.15 208 18 (7x 11)3 73 7x 11 7 x 7 (khụng thỏa món) 2x 7 20 5.( 3) Vậy x 1;6 2x 7 5 [2x 7 5 [2x 12 [x 6 2x 7 5 2x 2 x 1 Bài 10: Một số tự nhiờn chia cho 7 dư 5,chia cho 13 dư 4. Nếu đem số đú chia cho 91 thỡ dư bao nhiờu? HD: Gọi số đú là a , Vỡ a chia cho 7 dư 5, chia cho 13 dư 4 a 97;a 913 mà (7,13)=1 nờn a 97.13 a+9=91k a=91k-9 =91k-91+82=91(k-1)+82 (k N)Vậy a chia cho 91 dư 82. Bài 11: Tỡm hai số, biết: a/ Tổng hai số bằng 361 và số lớn chia số nhỏ được thương là 9 và số dư là 11. b/ Hiệu hai số là 578 và số lớn chia số nhỏ được thương là 8 và dư là 53. HD: a/ Giả sử hai số cần tỡm là a và b với a > b , ta cú: Tổng hai số bằng 361, do đú; a + b = 361 ( 1) Số lớn chia số nhỏ được thương là 9 và dư 11, do đú: a = 9 . b + 11 ( 2) Thay ( 2) vào (1), ta được: 9 . b + 11 + b = 361 9b b 361 11 350 10.b 350 b 350 :10 35. Vậy b = 35 suy ra a = 9 . 35 +11 = 326 b/ Giả sử hai số cần tỡm là a và b với a > b , ta cú: Hiệu hai số bằng 578, do đú; a - b = 578 ( 1) Số lớn chia số nhỏ được thương là 8 và dư 53, do đú: a = 8 . b + 53 ( 2) Thay ( 2) vào (1), ta được: 8 . b + 53 - b = 578 7b 578 53 525 b 525 : 5 75 Vậy b = 35 suy ra a = 578 + 75 = 653 Bài 12: Tỡm số tự nhiờn x thỏa món: a/ 3x 1 2 32 [52 3 22 1 ] b/ 2 x 1 33 52 2.5
6. HD: a/ 3x 1 2 32 [52 3 22 1 ] b/ 2 x 1 33 52 2.5 x 1 3x 1 2 9 [25 3 4 1 ] 2 27 25 10 35 x 1 3 3x 1 2 9 [25 9] 2 35 27 8 2 x – 1 = 3 3x 1 2 9 16 25 x = 3 + 1 3x 1 25 2 27 33 x = 4 x + 1= 3 x = 2 Bài 13: 1) Tỡm x Z , biết: x x x ( x 1) 1 . 2) Tỡm cỏc chữ số x, y sao cho 2014xy  42 a 1 1 3) Tỡm cỏc số nguyờn a, b biết rằng: 7 2 b 1 4) Tỡm số tự nhiờn n để (n +3)(n + 1) là số nguyờn tố. 5) Cho n 7a5 8b4. Biết a – b = 6 và n chia hết cho 9. Tỡm a và b. x x x ( x 1) 1 x x x x 1 1 1) x x 2x 1 1 x x 2x 1 1 2x 2 x 1 2) 2014xy 201400 xy 42.4795 10 xy42 10 xy42 Do 0 xy 100 nờn xy 32;74 . Vậy (x; y) = (3; 2), (7; 4) a 1 1 2a 7 1 3) (2a 7)(b 1) 14. 7 2 b 1 14 b 1 Do a,b Z nờn 2a – 7 Ư(14) =  1; 2; 7; 14. Vỡ 2a – 7 lẻ nờn 2a – 7  7; 1;1;7 a 0;3;4;7. Từ đú tớnh được: (a; b) = (0; -3), (3; -15), (4; 13), (7; 1) 14 a 14b 16 a 16b Ta cú: : N 14 a và b 75 Tương tự: : N 16 a và b 175 75 b 75a   165 b 165a   Để a là số lớn nhất thỡ a = ƯCLN(14; 16) = 2 b a 2 Và b = BCNN(75; 165) = 825.Vậy b 825 4) Tỡm số tự nhiờn n để (n +3)(n + 1) là số nguyờn tố Giải: Để (n +3)(n + 1) là số nguyờn tố thỡ n + 3=1 hoặc n + 1 =1. Mà n + 3 > n + 1 1 . Suy ra n + 1 = 1 n 0 . Khi đú n + 3 = 3 là số nguyờn tố. Vậy n = 0 thỡ (n + 3)(n + 1) là số nguyờn tố 5) Tỡm cỏc số a, b để n = 7a5 8b4  9 Ta cú: n = 7a5 8b4  9 7 a 5 8 b 4  9 24 a b9 a b 3;12 (vỡ a + b 3. Do đú a + b = 12. Kết hợp với a – b = 6, suy ra a = 9, b = 3. 1 2 3 4 2014 1 6) a) Cho tổng gồm 2014 số hạng: S . Chứng minh rằng: S . 4 42 43 44 42014 2 b) Tỡm tất cả cỏc số tự nhiờn n, biết rằng: n +S(n) = 2014, trong đú S(n) là tổng cỏc chữ số của n.
7. 2 3 4 2014 a) C/m: Ta cú 4S 1 . 4 42 43 42013 1 1 1 1 2014 Suy ra: 3S 4S S 1 4 42 43 42013 42014 1 1 1 1 1 1 1 1 3S 1 . 1 . 2 3 2013 Đặt M = 2 3 2013 4 4 4 4 4 4 4 4 1 1 1 1 4M 4 1 4 42 43 42012 1 4 Ta cú: 3M 4M M 4 4 M 42013 3 4 4 4 1 Do đú: 3S S 3 9 8 2 b) Nếu n là số cú ớt hơn 4 chữ số thỡ n 999 và S(n) 27 Suy ra: n + S(n) 999 + 27 = 1026 < 2014( khụng thỏa món ). Mặt khỏc n n S(n) 2014 nờn n là số cú ớt hơn 5 chữ số. Vậy n là số cú 4 chữ số, suy ra S(n) 9.4 = 36. Do vậy n 2014 – 36 = 1978. Vỡ 1978 n 2014 nờn n = 19ab hoặc n = 20cd * Nếu n = 19ab . Ta cú: 19ab + (1 + 9 + a + b) = 2014 1910 11a 2b 2014 11a 2b 104 a2 và 11a = 104 – 2b 104 – 2.9 = 86 8 10 a , mà a2 nờn a = 8 b 8 n 1988 (thỏa món). * Nếu n = 20cd . Ta cú: 20cd + (2 + 0 + c + d) = 2014 2002 11c 2d 2014 11c 2d 12 c2 Và 11c 12, nờn c = 0 hoặc c = 1. + Với c = 0 thỡ d = 6, ta cú n = 2006 (thỏa món) + Với c = 1 thỡ 2d =1 ( khụng thỏa món). Vậy n 1988; 2006 Bài 14: 1) a) Tỡm cỏc số nguyờn x, y biết: 2x. 3y 2 (3y 2) 55 1 1 1 1 1 b) Chứng minh rằng: 1 với n N,n 2 . 22 32 42 (n 1)2 n2 4n 1 2) Cho biểu thức: P 2n 3 a) Tỡm số nguyờn n để P nhận giỏ trị là số nguyờn. c) Tỡm số nguyờn n để P cú giỏ trị nhỏ nhất. c) Tỡm số nguyờn n để P cú giỏ trị lớn nhất. 3) Cho p, q là cỏc số nguyờn tố lớn hơn 3 thỏa món: p = q + 2. Tỡm số dư khi chia p q cho 12. a Ta cú: 2x 3y 2 (3y 2) 55 3y 2 (2x 1) 55 3y 2 và 2x 1 là ước của 55. Ta cú bảng sau: 2x 1 -55 -11 -5 -1 1 5 11 55 1) 3y 2 1 5 11 55 -55 -11 -5 -1 x -28 -6 -3 -1 0 2 5 27 y 1 / / 19 / -3 -1 / Vậy (x;y)= (-28;1); (-1;19); (2;-3); (5;-1)
8. b 1 1 1 1 1 Đặt A= 1 với n N,n 2 . Ta cú: 22 32 42 (n 1)2 n2 1 1 1 1 1 A 2.2 3.3 4.4 (n 1).(n 1) n.n 1 1 1 1 1 A 1.2 2.3 3.4 (n 2)(n 1) (n 1).n 1 1 1 1 1 1 1 1 A 1 A 1 A 1 2 2 3 3 4 n 1 n n 4n 1 2(2n 3) 5 5 a Ta cú P 2 2n 3 2n 3 2n 3 Để P cú giỏ trị là một số nguyờn thỡ 5 phải cú giỏ trị là số nguyờn hay 2n 3 2n+3 là ước của 5 2n 3  5; 1;1;5 n  4; 2; 1;1 5 5 b Vỡ P 2 , để P cú giỏ trị nhỏ nhất thỡ phải cú giỏ trị lớn nhất 2n 3 2n 3 2 2n 3 cú giỏ trị nhỏ nhất mà n Z 2n 3 Z nờn 2n 3 là số nguyờn dương nhỏ nhất 2n 3 1 n 1 Vậy với n= -1 thỡ P cú giỏ trị nhỏ nhất và bằng -3 5 5 c Vỡ P 2 , để P cú giỏ trị lớn nhất thỡ phải cú giỏ trị nhỏ nhất 2n 3 2n 3 2n 3 cú giỏ trị lớn nhất mà n Z 2n 3 Z nờn 2n 3 là số nguyờn õm lớn nhất 2n 3 1 n 2 Vậy với n= -2 thỡ P cú giỏ trị lớn nhất và bằng 7 Cho p, q là cỏc số nguyờn tố lớn hơn 3 thỏa món: p = q + 2. Tỡm số dư khi chia p q cho 12. Vỡ q là số nguyờn tố lớn hơn 3 nờn q cú dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2 ( (k N) 3 + Nếu q = 3k + 1 thỡ p = 3k + 3 nờn p3 , loại vỡ p là số nguyờn tố lớn hơn 3. + Nếu q = 3k + 2 thỡ p = 3k + 4. Vỡ p là số nguyờn tố lớn hơn 3 nờn k lẻ p q 6(k 1) Ta cú 12 vỡ k +1 chẵn. Vậy ( p q)12 hay số dư khi chia p q cho 12 bằng 0. Bài 15 : a) Tỡm hai số tự nhiờn a và b, biết: BCNN(a,b)=300; ƯCLN(a,b)=15 và a+15=b. b) Tỡm số nguyờn x và y, biết : xy - x + 2y = 3 Đỏp ỏn a) Từ dữ liệu đề bài cho, ta cú : + Vỡ ƯCLN(a, b) = 15, nờn ắt tồn tại cỏc số tự nhiờn m và n khỏc 0, sao cho: a = 15m; b = 15n (1) và ƯCLN(m, n) = 1 (2) + Vỡ BCNN(a, b) = 300, nờn theo trờn, ta suy ra : BCNN 15m; 15n 300 15.20 BCNN m; n 20 (3) + Vỡ a + 15 = b, nờn theo trờn, ta suy ra : 15m 15 15n 15. m 1 15n m 1 n (4) Trong cỏc trường hợp thoả món cỏc điều kiện (2) và (3), thỡ chỉ cú trường hợp : m = 4, n = 5 là thoả món điều kiện (4).
9. Vậy với m = 4, n = 5, ta được cỏc số phải tỡm là : a = 15 . 4 = 60; b = 15 . 5 = 75 Bài 14: Tỡm x, biết: a) 3 + 2x -1 = 24 – [42 – (22 - 1)] b) (x+1) + (x+2) + (x+3) + + (x+100) = 205550 1 c) x 5 = 18 + 2.(-8) d) (3x – 24 ) .75 = 2.76. 20090 Tỡm chữ số tận cựng của cỏc số: a) 799 b) 141414 c) 4567 3 3 3 Bài 15: a) Tớnh tổng: S 6 1 0 4 9 5 0 2 3 4 96 b) Chứng minh rằng: 3 3 3 3 3 7 a 4 6 1) Tỡm phõn số tối giản lớn nhất a,b N* sao cho khi chia mỗi phõn số ; b 75 165 cho a ta được kết quả là số tự nhiờn. b 2) 2) Cho 2014 điểm, trong đú khụng cú ba điểm nào thẳng hàng. Cú bao nhiờu tam giỏc mà cỏc đỉnh là 3 trong 2014 đỉnh đú. Cõu 1: (4 điểm) 1/ (2đ) Để 34x5y chia hờt cho 36 thỡ 34x5y chia hết cho 4 và 9 vỡ (4;9) =1 Để 34x5y chia hết cho 9 khi 3 + 4 + x + 5 +y chia hết cho 9 12 + x + y chia hết cho 9 (1) 34x5y chia hết cho 4 khi 5y chia hết cho 4 y = 2 hoặc y = 6 Với y = 2 thay vào (1) ta cú 14 + x chia hết cho 9 x = 4 Với y = 6 thay vào 1 ta cú 18 + x chia hết cho 9 x = 0 hoặc x = 9 Vậy cỏc cặp (x ;y ) cần tỡm là (4 ;2) ,( 0 ;6), (9 ;6) 2/ Ta cú a.b = UCLN(a,b) x BCNN(a,b) = 420.21 = 8820. Vỡ ƯCLN (a,b) =21 nờn a =21 m, b=21n ĐK (m,n)=1, m+1 = n a.b = 21m . 21n = 441m. n = 8820 m.n = 20. Vỡ m + 1 = n m = 4 , n = 5 a = 21 .4 = 84 ,b = 21 . 5 = 105 Cõu 2: (5 điểm) Tỡm x Z biết 1/ 2x + 5 = 23 x = 9 hoặc -9 2/ (x+5) ( x-2 ) ( x+5 ) và (x-2 ) trỏi dấu . Mà x+5 > x-2 => x+5 > 0 và x-2 -5 x = -4 hoặc -3;-2 ;-1 0; 1.
10. 3/ 100x +5050 = 5750 → x = 7 6n 1 2(3n 2) 5 5 Cõu 3: (2 điểm)Ta cú A= 2 3n 2 3n 2 3n 2 A cú GTNN khi 5 cú GTLN 3n +2 là số nguyờn dương nhỏ nhất 3n 2 n = 0 Cõu 1: (4đ) 1. Tỡm cỏc cặp số ( x;y ) sao cho 34x5y chia hết cho 36 2.Tỡm hai số a,b biết bội chung nhỏ nhất của a;b là 420,ước chung lớn nhất của a;b là 21 và a + 21 = b Cõu 2: (5đ) Tỡm x Z biết 1.2x +5 =23 2.(x + 5)(x - 2) < 0 3.(x +1) + (x+2) +(x+3) + +(x+100) = 5750 6n 1 Cõu 3: (2đ) Cho phõn số A = .Tỡm n Z để A cú giỏ trị nhỏ nhất 3n 2 Bài 5 (2,0 điểm) a. Tỡm cỏc chữ số a, b, c khỏc 0 thỏa món: abbc ab ac 7 1 2015 94 b. Cho A (72012 392 ) . Chứng minh A là số tự nhiờn chia hết cho 5. 2 Bài 2 (4,0 điểm) a. Tỡm số tự nhiờn x biết 8.6 + 288 : (x - 3)2 = 50 b. Tỡm cỏc chữ số x; y để A = x183y chia cho 2; 5 và 9 đều dư 1. c. Chứng tỏ rằng nếu p là số nguyờn tố lớn hơn 3 thỡ p2 - 1 chia hết cho 3. Bài 3 (4,5 điểm) 5 a. Cho biểu thức : B (n Z,n 3) n 3 Tỡm tất cả cỏc giỏ trị nguyờn của n để B là số nguyờn. 2 2 b.Tỡm cỏc số nguyờn tố x, y sao cho: x + 117 = y c. Số 2100 viết trong hệ thập phõn cú bao nhiờu chữ số . Bài 5 (2,0 điểm) a. Tỡm cỏc chữ số a, b, c khỏc 0 thỏa mún: abbc ab ac 7 1 2015 94 b. Cho A (72012 392 ) . Chứng minh A là số tự nhiờn chia hết cho 5. 2 x 3 12 x 15 1.0 đ a. Biến đổi được : (x-3)2=144 122 ( 12)2 2 x 3 12 x 9 (4,0 đ)
11. Vỡ x là số tự nhiờn nờn x= - 9 (loại). Vậy x = 15 0.5 đ 0,5 đ b. Do A =x183y chia cho 2 và 5 đều dư 1 nờn y = 1.Ta cỳ A = x1831 Vỡ A = x1831 chia cho 9 dư 1 x1831 - 1  9 x1830  9 0,5 đ x + 1 + 8 + 3 + 0 9 x + 3 9, mà x là chữ số nờn x = 6   0,5 đ Vậy x = 6; y = 1 c. Xột số nguyờn tố p khi chia cho 3.Ta cú: p=3k+1 hoặc p=3k+2 ( k N*) 0.25đ Nếu p=3k+1 thỡ p2-1 = (3k+1)2 -1 = 9k2+6k chia hết cho 3 0.25đ Nếu p=3k+2 thỡ p2-1 = ( 3k+2)2-1 = 9k2 + 12k chia hết cho 3 0.25đ Vậy p2-1 chia hết cho 3. 0.25đ a. Để B nhận giỏ trị nguyờn thỡ n - 3 phải là ước của 5 0,5 đ => n - 3 {-1;1;-5;5} => n { -2 ; 2; 4; 8} 0,75 đ Đối chiếu đ/k ta được n { -2 ; 2; 4; 8} 0,25 đ b. Với x = 2, ta cỳ: 22 + 117 = y2 y2 = 121 y = 11 (là số nguyờn tố) 0,5 đ 2 2 3 * Với x > 2, mà x là số nguyờn tố nờn x lẻ y = x + 117 là số chẵn (4,5 đ) => y là số chẵn 0,5 đ kết hợp với y là số nguyờn tố nờn y = 2 (loại) 0,25 đ Vậy x = 2; y = 11. 0,25 đ c. Ta cú : 1030= 100010 và 2100 =102410. Suy ra : 1030 < 2100 (1) 0,5đ Lại cú : 2100= 231.263.26 = 231.5127.64 và 1031=231.528.53=231.6257.125 0,5đ Nờn : 2100< 1031 (2). Từ (1) và(2) suy ra số 2100 viết trong hệ thập phõn cú 31 chữ số . 0,5đ Bài 16: 1) a. Cho ababab là số cú sỏu chữ số. Chứng tỏ số ababab là bội của 3. b. Cho S = 5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 + 52004. Chứng minh S chia hết cho 126 và chia hết cho 65. 2) Tỡm số tự nhiờn x biết : a. x (x 1) (x 2)  (x 2010) 2029099 b. 2 4 6 8  2x 210 - ababab = ab .10000 + ab .100 + ab = 10101ab . - Do 10101 chia hết cho 3 nờn ababab chia hết cho 3 hay ababab là bội của 3. Cú: 5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 = 5(1 + 53) + 52(1 + 53) + 53(1 + 53) = 5. 126 + 52.126 + 53.126 5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 chia hết cho 126. S = (5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56) + 56(5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56) + + 51998(5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56). Tổng trờn cú (2004: 6 =) 334 số hạng chia hết cho 126 nờn nú chia hết cho 126. Cú: 5 + 52 + 53 + 54 = 5+ 53 + 5(5 + 53) = 130 + 5. 130. 5 + 52 + 53 + 54 chia hết cho 130 . S = 5 + 52 + 53 + 54 + 54 (5 + 52 + 53 + 54 ) + + 52000(5 + 52 + 53 + 54 ) Tổng trờn cú (2004: 4 =) 501 số hạng chia hết cho 130 nờn nú chia hết cho 130. Cú S chia hết cho 130 nờn chia hết cho 65. - 2011x 1 2  2010 2029099 2010.2011 - 2011x 2029099 2
12. 2010.2011 - 2011x 2029099 - 2 2010.2011 - 4 x 2029099 - : 2011 2 - 2(1 2 3  x) 210 x(x 1) - 2 210 2 - x(x 1) 210 - Giải được x = 14 (Do 210 = 2.3.5.7 = 14.15) Bài 17: a. Tỡm tất cả cỏc số nguyờn tố p sao cho p + 11 cũng là số nguyờn tố. b. Tỡm tất cả cỏc số nguyờn tố p để p + 8, p + 10 cũng là cỏc số nguyờn tố. c) Một phép chia có thương bằng 5 và số dư là 12. Nếu lấy số bị chia chia cho tổng số chia và số dư ta được thương là 3 và số dư là 18. Tìm số bị chia. a) - Nếu p lẻ p + 11 là số chẵn lớn hơn 11 nờn khụng là số nguyờn tố. - Suy ra p chẵn p = 2. b) - Nếu p chia 3 dư 1 thỡ p + 8 là số lớn hơn 3 và chia hết cho 3 nờn khụng là số nguyờn tố. - Nếu p chia 3 dư 2 thỡ p + 10 là số lớn hơn 3 và chia hết cho 3 nờn khụng là số nguyờn tố. - Suy ra p chia hết cho 3, p nguyờn tố nờn p = 3. c) Gọi số bị chia là a; số chia là b (b 0) Phép chia có thương bằng 5 số dư là 12 a = 5b+12 Số bị chia chia cho tổng số chia và số dưđược thương là 3 và số dư là 18 a = (b +12). 3 + 18 = 3b + 54 5b + 12 = 3b + 54 b = 21 a = 117 Vậy số bị chia là 117. Bài 18: 1) Tỡm x là cỏc số tự nhiờn, biết: 2 2 0,4 x 1 8 1 3 a) = b) x : (9 - ) = 9 11 2 x 1 2 2 8 8 1,6 9 11 2) Tỡm tất cả cỏc cặp số tự nhiờn (x,y) sao cho 34x5y chia hết cho 36 . 9 19 9 19 3) Khụng quy đồng mẫu số hóy so sỏnh A ; B 10 2010 10 2011 10 2011 102010 4. Cho A = n 1 n 4 a) Tỡm n nguyờn để A là một phõn số. b) Tỡm n nguyờn để A là một số nguyờn.
13. x 1 8 2 2 1 a) =  (x + 1) = 16 = ( 4) 2 x 1 +) x + 1 = 4 => x = 3 +) x + 1 = - 4 => x = -5 (loại) Vậy x = 3 2 2 2 2 0,4 0,4 1 3 19 3 x 1 1b) x : (9 - ) = 9 11  x :( ) =  9 =>11 x = 2 2 2 8 8 2 2 2 2 8 4 1,6 4 0,4 9 11 9 11 2) Ta cú 36 = 9.4. Mà ƯC(4,9) =1 Vậy để 34x5y chia hết cho 36 thỡ 34x5y chia hết cho 4 và 9 34x5y chia hết cho 9 khi 3 + 4 + x + 5 + y 9 => 12 + x + y 9 (1) 34x5y chia hết cho 4 khi 5y 4 => y = 2 hoặc y = 6 Với y = 2 thay vào (1) => 14 + x 9 => x = 4 Với y = 6 thay vào (1) => 18 + x 9 => x = 0 hoặc x = 9 Vậy cỏc cặp (x,y) cần tỡm là: (4,2); (0,6) và (9,6) 9 19 9 10 9 3: Ta cú A 10 2010 10 2011 102010 10 2011 10 2011 9 19 9 10 9 B 10 2011 102010 10 2011 10 2010 102010 10 10 Ta thấy => Vậy A > B 102011 102010 n 1 4a) A = là phõn số khi n + 4 0 => n - 4 n 4 n 1 n 4 5 5 b) A = = 1 n 4 n 4 n 4 Với n nguyờn, A nhận giỏ trị nguyờn  5 n + 4 hay n + 4 Ư(5) Lập luận tỡm ra được n = -9, -5, -3, 1 Bài 19: 1) Cho 31 số nguyờn trong đú tổng của 5 số bất kỳ là một số dương. Chứng minh rằng tổng của 31 số đú là số dương. HD: Trong cỏc số đó cho ớt nhất cú 1 số dương vỡ nếu trỏi lại tất cả đều là số õm thỡ tổng của 5 số bất kỳ trong chỳng sẽ là số õm trỏi với giả thiết. Tỏch riờng số dương đú cũn 30 số chi làm 6 nhúm. Theo đề bài tổng cỏc số của mỗi nhúm đều là số dương nờn tổng của 6 nhúm đều là số dương và do đú tổng của 31 số đó cho đều là số dương. 2) Cho cỏc số tự nhiờn từ 1 đến 11 được viết theo thứ tự tuỳ ý sau đú đem cộng mỗi số với số chỉ thứ tự của nú ta được một tổng. Chứng minh rằng trong cỏc tổng nhận được, bao giờ cũng tỡm ra hai tổng mà hiệu của chỳng là một số chia hết cho 10.
14. HD: Vỡ cú 11 tổng mà chỉ cú thể cú 10 chữ số tận cựng đều là cỏc số từ 0 , 1 ,2, ., 9 nờn luụn tỡm được hai tổng cú chữ số tận cựng giống nhau nờn hiệu của chỳng là một số nguyờn cú tận cựng là 0 và là số chia hết cho 10. Cõu 2(4,0 điểm): Tỡm cỏc số nguyờn x biết. 3 5 24 5 a. x . 3 35 6 b. (7x 11)3 ( 3)2.15 208 c. 2x 7 20 5.( 3) cõu 2 0.5 (4điểm) 0.5 a (1,0) b (1,5) (7x 11)3 ( 3)2.15 208 0.5 (7x 11)3 9.15 208 (7x 11)3 73 18 0.5 7x 11 7 x 7 (khụng thỏa món) 0.5 c (1,5) 2x 7 20 5.( 3) 2x 7 5 0.5 [2x 7 5 [2x 12 [x 6 2x 7 5 2x 2 x 1 0.5 Vậy x 1;6 0.5 Cõu3(4,0) Gọi số đú là a 0.25 Vỡ a chia cho 7 dư 5, chia cho 13 dư 4 a (2,0) a 97;a 913 mà (7,13)=1 nờn 1.0 a 97.13 a+9=91k a=91k-9 =91k-91+82=91(k-1)+82 (k N) Vậy a chia cho 91 dư 82. 1.0 0.25
15. Cõu 5(2,0 điểm): Cho n là số nguyờn tố lớn hơn 3. Hỏi n2 + 2006 là số nguyờn tố hay là hợp số. n là số nguyờn tố, n > 3 nờn n khụng chia hết cho 3. 0.5 Vậy n2 chia hết cho 3 dư 1 0.5 do đú n2 + 2006 = 3m + 1 + 2006 = 3m+2007 0.75 = 3( m+669) chia hết cho 3. Vậy n2 + 2006 là hợp số. 0.25 1. Tỡm chữ số tận cựng của cỏc số sau: 2. Cho A= 9999931999 - 5555571997 Chứng minh rằng A chia hết cho 5. 3 . 5. chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 1 a) 2 4 8 16 32 64 3 1 2 3 4 99 100 3 b) 3 32 33 34 399 3100 16 Bài 20: 1. Tỡm chữ số tận cựng của cỏc số sau: a) 571999 b) 931999 HD: Để tỡm chữ số tận cựng của cỏc số chỉ cần xột chữ số tận cựng của từng số : a) 571999 ta xột 71999 Ta cú: 71999 = (74)499.73 = 2041499. 343 Suy ra chữ số tận cựng bằng 3 ỵVậy số 571999 cú chữ số tận cựng là : 3 b) 931999 ta xột 31999 Ta cú: 31999 = (34)499. 33 = 81499.27 Suy ra chữ số tận cựng bằng 7 2. Cho A = 9999931999 - 5555571997 . chứng minh rằng A chia hết cho 5 Để chứng minh A chia hết cho 5 , ta xột chữ số tận cựng của A bằng việc xột chữ số tận cựng của từng số hạng. Theo cõu 1b ta cú: 9999931999 cú chữ số tận cựng là 7 Tương tự cõu 1a ta cú: (74)499.7 =2041499.7 cú chữ số tận cựng là 7 Vậy A cú chữ số tận cựng là 0, do đú A chia hết cho 5. 3) Cho phõn số a ( a < b) cựng thờm m đơn vị vào tử và mẫu thỡ phõn số mới lớn hơn hay b bộ hơn a ? b Theo bài toỏn cho a < b nờn am < bm ( nhõn cả hai vế với m) a a m ab +am < ab+bm ( cộng hai vế với ab) a(b+m) < b( a+m) b b m 4) Cho số 155*710* 4*16 cú 12 chữ số . chứng minh rằng nếu thay cỏc dấu * bởi cỏc chưc số khỏc nhau trong ba chữ số 1,2,3 một cỏch tuỳ thỡ số đú luụn chia hết cho 396. HD: Ta nhận thấy, vị trớ của cỏc chữ số thay thế ba dấu sao trong số trờn đều ở hàng chẵn và vỡ ba chữ số đú đụi một khỏc nhau, lấy từ tập hợp 1;2;3 nờn tổng của chỳng luụn bằng
16. 1+2+3=6. Mặt khỏc 396 = 4.9.11 trong đú 4;9;11 đụi một nguyờn tố cựng nhau nờn ta cần chứng minh A = 155*710* 4*16 chia hết cho 4 ; 9 và 11. Thật vậy : +A  4 vỡ số tạo bởi hai chữ số tận cựng của A là 16 chia hết cho 4 + A  9 vỡ tổng cỏc chữ số chia hết cho 9 : 1+5+5+7+1+4+1+6+(*+*+*)=30+6=36 chia hết cho 9 + A  11 vỡ hiệu số giữa tổng cỏc chữ số hàng chẵn và tổng cỏc chữ số hàng lẻ là 0, chia hết cho 11. {(1+5+7+4+1)-[5+1+6+(*+*+*)]}= 18- 12 - 6 =0 Vậy A  396 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5) a) Đặt A= 2 4 8 16 32 64 2 22 23 24 25 26 1 1 1 1 1 1 26 1 1 2A= 1 2A+A =3A = 1- 1 3A < 1 A < 2 22 23 24 25 26 26 3 1 2 3 4 99 100 2 3 3 4 99 100 5b) Đặt A= 3A= 1- 3 32 33 34 399 3100 3 32 33 33 398 399 1 1 1 1 1 100 1 1 1 1 1 4A = 1- 4A< 1- (1) 3 32 33 398 399 3100 3 32 33 398 399 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Đặt B= 1- 3B= 2+ 3 32 33 398 399 3 32 397 398 4B = B+3B= 3- 1 < 3 B < 3 (2) Từ (1)và (2) 4A < B < 3 A < 3 399 4 4 16 Bài 21: Trờn đoạn thẳng AB lấy 2006 điểm khỏc nhau đặt tờn theo thứ từ từ A đến B là A1; A2; A3; ; A2004. Từ điểm M khụng nằm trờn đoạn thẳng AB ta nối M với cỏc điểm A; A1; A2; A3; ; A2004 ; B. Tớnh số tam giỏc tạo thành HD: Trờn đoạn thẳng AB cú cỏc điểm A; A1; A2; A3; ; A2004 ; B do đú, tổng số điểm trờn AB là 2006 điểm suy ra cú 2006 đoạn thẳng nối từ M đến cỏc điểm đú. Mỗi đoạn thẳng (vớ dụ MA) cú thể kết hợp với 2005 đoạn thẳng cũn lại và cỏc đoạn thẳng tương ứng trờn AB để tạo thành 2005 tam giỏc. Do đú 2006 đoạn thẳng sẽ tạo thành 2005 . 2006 = 4022030 tam giỏc (nhưng lưu ý là MA kết hợp với MA 1 để được 1 tam giỏc thỡ MA 1 cũng kết hợp với MA được 1 tam giỏc và hai tam giỏc này chỉ là 1) Do đú số tam giỏc thực cú là: 4022030 : 2 = 2011015 Bài 22: Tỡm cỏc số tự nhiờn k để 3k + 4 chia hết cho k - 1. HD - 3k + 4 chia hết cho k - 1 hay 3k -3 + 7 chia hết cho k -1 - Do 3k - 3 = 3(k - 1) chia hết cho k - 1 nờn 7 chia hết cho k -1 - k-1 là ước của 7 nờn k-1 = 7 hoặc k -1 = 1 - Suy ra được k = 8 hoặc k = 2. Bài 23: Tỡm số tự nhiờn n và chữ số a biết rằng: 1 + 2 + 3 + .+ n = aaa
17. (n 1).n Dóy số 1; 2; ; n cú n số hạng 1 + 2 + + n = 2 Mà 1 + 2 + 3+ + n = aaa (n 1).n Suy ra = aaa = a . 111 = a . 3.37 n(n + 1) = 2.3.37.a 2 Vỡ tớch n(n + 1) Chia hết cho số nguyờn tố 37 nờn n  37 hoặc n + 1  37 (n 1).n Vỡ số cú 3 chữ số n+1 0 và khụng đổi nờn 2n 5 2n 5 đạt giỏ trị lớn nhất khi:2n - 5> 0 và đạt giỏ trị nhỏ nhất 2n - 5 = 1 n = 3 5 Vậy:B đạt giỏ trị lớn nhất là 11 13,5 khi n = 3 2 x 3 1 3 x 1 2x 1 b) Từ ta cú: (x,y N) 9 y 18 y 9 18 18 Suy ra: y(2x-1) = 54 do đú y Ư(54) = 1;2;3;6;9;18;27;54 , vỡ 54 là số chẵn mà 2x-1 là số lẻ nờn y là ước chẵn của 54. Vậy y 2;6;18;54 . Ta cú bảng sau: y 2 6 18 54 2x-1 27 9 3 1 x 14 5 2 1 Vậy (x;y) (14;2);(5;6);(2;18);(1;54)
18. Cõu 25: Tỡm x là số tự nhiờn, biết: 2 2 0,4 1 3 x 1 8 a) x : (9 - ) = 9 11 b) = 2 2 8 8 2 x 1 1,6 9 11 c) 52x - 3 – 2.52 = 52.3 d) 2x 7 20 5.( 3) 2n 2 5n 17 3n d) Tỡm số tự nhiờn n để biểu thức sau là số tự nhiờn:B = n 2 n 2 n 2 2 2 0,4 2 2 1 3 0,4 a) x : (9 - ) = 9 11 7 11 2 2 8 8 x :8 1,6 2 2 9 11 4 0,4 7 11 1 x : 8 = x = 2 .Vậy x = 2 4 b) x 1 = 8 (x + 1)2 = 16 = ( 4)2 2 x 1 *) x + 1 = 4 x = 3 *) x + 1 = - 4 x = - 5 . Do x N nờn x = 3. c) 52x - 3 – 2.52 = 52.3 52x - 3 = 52.3 + 2.52 52x - 3 = 52.5 52x - 3 = 53 2x - 3 = 3 2x = 6 x = 3. Vậy x = 3 d) 2x 7 20 5.( 3) 2x 7 5 2x 7 5 *) 2x – 7 = 5 2x =12 x = 6 *) 2x – 7 = - 5 2x = 2 x = 1 Vậy x 6;1 *- a) Tỡm số nguyờn x và y, biết : xy - x + 2y = 3. xy - x + 2y = 3 ( xy – x) + (2y – 2) = 1 x( y – 1) + 2( y – 1) = 1 (y – 1)( x + 2) = 1 y 1 1 y 2 y 1 1 y 0 *) *) x 2 1 x 1 x 2 1 x 3 Vậy x = - 1 ; y = 2 hoặc x = -3 ; y = 0 22x 3y b) 2x + 1 . 3y = 12x 2x + 1 . 3y = (4.3)x = 22x.3x 2x 1 3y x 2x 1 3x Nhận thấy : ( 2, 3) = 1 x – 1 = y - x = 0 x = y = 1 2n 2 5n 17 3n 2n 2 5n 17 3n 4n 19 d) B = n 2 n 2 n 2 n 2 n 2 4n 19 4(n 2) 11 11 B = 4 n 2 n 2 n 2 Để B là số tự nhiờn thỡ 11 là số tự nhiờn n 2 11  (n+2) n + 2 Ư(11) =  1; 11 Do n + 2 > 1 nờn n + 2 = 11 n = 9 Vậy n = 9 thỡ B N
19. Bài 24: Tỡm số tự nhiờn a biết rằng 276 chia cho a dư 36 và 453 chia cho a dư 21.