›
›
›

Bộ đề kiểm tra giữa kì 1 môn Toán Lớp 8 (Có đáp án)

docx 91 trang Hoài Anh 19/05/2022 1910
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bộ đề kiểm tra giữa kì 1 môn Toán Lớp 8 (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docxbo_de_kiem_tra_giua_ki_1_mon_toan_lop_8_co_dap_an.docx

Nội dung text: Bộ đề kiểm tra giữa kì 1 môn Toán Lớp 8 (Có đáp án)

  1. BỘ ĐỀ KIỂM TRA GIỮA KÌ 1 TOÁN 8 (CÓ ĐÁP ÁN): PHÒNG GD & ĐT QUẬN LONG KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ I BIÊN MÔN TOÁN 8 – NĂM HỌC 2020 – TRƯỜNG THCS LÊ QUÝ ĐÔN 2021 Thời gian làm bài: 90 phút I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (2 ĐIỂM) Hãy viết vào tờ giấy thi chữ cái in hoa đứng trước câu trả lời đúng Câu 1. Khai tiển biểu thức x3 8y3 ta được kết quả là: A. x - 2y 3 B. x3 - 2y3 C. x - 2y x2 2xy + 4y2 D. x3 - 6x2y +12xy2 - 8y3 Câu 2. Kết quả phép tính -x2 3 - 2x là: A. 3x2 - 2x3 B. 2x3 - 3x2 C. -3x3 + 2x2 D. - 4x2 Câu 3. Để 4y2 - 12y + W trở thành một hằng đảng thức. Giá trị trong ô vuông là: A. 6 B. 9 C. – 9 D. Một kết quả khác Câu 4. Biểu thức 1012 – 1 có giá trị bằng A. 100 B. 1002 C. 102000 D. Một kết quả khác Câu 5. Giá trị của biểu thức x2 + 2xy + y2 tại x = - 1 và y = - 3 bằng A. 16 B. – 4 C. 8 D. Một kết quả khác Câu 6. Biết 4x x2 - 25 = 0, các số x tìm được là: A. 0; 4; 5 B. 0; 4 C. -5; 0; 5 D. Một kết quả khác Câu 7. A. -2x + 4 = 2 2 - x B. -2x + 4 = -2 2 - x C. -2x + 4 = -2 x + 2 D. -2x + 4 = 2 x - 2
  2. Câu 8. Thực hiện phép nhân x x - y A. x2 - y B. x - xy C. x - x2 D. x2 - xy
  3. II. PHẦN TỰ LUẬN (8 ĐIỂM) Bài 1 (1,5đ): Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a. 36a 4 - y2 b. 6x2 + x - 2 Bài 2 (1,5đ). Tìm x, biết: a. x x - 4 +1 = 3x - 5 b. 2x3 - 3x2 - 2x + 3 = 0 Bài 3 (1,5đ). a. Cho biểu thức A = x3 - 9x2 + 27x - 27 . Tính giá trị của A khi x = 1. b. Tìm đa thức thương và đa thức dư trong phép chia đa thức A (x) cho B (x). Biết: A x = 2x3 + x2 - x + a và B x = x - 2 Bài 4 (3,0đ). Cho hình bình hành ABCD có AB > BC. Đường phân giác của góc Dµ cắt AB tại M, đường phân giác của góc Bµ cắt CD tại N. a. Chứng minh AM = CN. b. Chứng minh tứ giác DMBN là hình bình hành. c. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của N và N trên BN và DM. Chứng minh hai đoạn thẳng AC và MN cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Bài 5 (0,5đ). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = -2x2 - 10y2 + 4xy + 4x + 4y + 2016
  4. HƯỚNG DẪN CHẤM I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (2 ĐIỂM) Câu 1: C (0,25đ) Câu 2: B (0,25đ) Câu 3: B (0,25đ) Câu 4: C (0,25đ) Câu 5: A (0,25đ) Câu 6: C (0,25đ) Câu 7: A (0,25đ) Câu 8: D (0,25đ) II. PHẦN TỰ LUẬN (8 ĐIỂM) Bài 1 a. 36a 4 - y2 6a 2 - y2 = 6a - y 6a + y (0,75đ) b. 6x2 + x - 2 = 6x2 4x - 3x - 2 =2x 3x + 2 - 3x + 2 = 2x - 1 3x + 2 (0,75đ) Bài 2 a. x x - 4 +1 = 3x - 5 x x - 1 - 6 x - 1 = 0 (0,25đ) x - 1 x - 6 = 0 (0,25đ) x - 1 = 0 x = 1 x - 6 = 0 x = 6 Vậy x 1;6 là giá trị cần tìm. (0,25đ) b. 2x3 - 3x2 - 2x + 3 = 0 x2 2x - 3 - 2x - 3 = 0 (0,25đ) 2x - 3 x2 - 1 = 0
  5. 2x - 3 x - 1 x +1 = 0 (0,25đ) 1  x ;1; 1 2  1  Vậy x ;1; 1 là giá trị cần tìm. (0,25đ) 2  Bài 3 a. Xét biểu thức: A = x3 - 9x2 + 27x - 27 = x3 - 3.x2.3 + 3.x.32 - 33 x - 3 3 (0,25đ) Với x = 1 biểu thức A được viết lại như sau: A 1 3 3 2 3 8 Vậy A = - 8 khi x = 1 (0,25đ) b.Thực hiện đúng được phép chia A x = 2x3 + x2 - x + a cho B x = x - 2 , tìm được thương bằng: 2x2 + 5x + 9 và dư bằng a + 18. (1,0đ) Bài 4 Vẽ đúng hình (0,25đ) a. Chứng minh được AM = CN (1,25đ) b. Chứng minh được tứ giác DMBN là hình bình hành (1đ) c. Lập luận chặt chẽ chỉ ra được hai đoạn thẳng AC và MN cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường (0,5đ) Bài 5 A = -2x2 - 10y2 + 4xy + 4x + 4y + 2016 -2 x2 - 2x y +1 + y +1 2 + 4y2 - 4y +1 - 1010 (0,25đ)
  6. = -2 x - y - 1 2 - 2 2y - 1 2 + 2020 1 3 GTLN của A bằng 2020 khi y = ; x = (0,25đ) 2 2
  7. PHÒNG GD & ĐT ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG GIỮA HỌC KÌ I NĂM HỌC 2020 – 2021 Môn: Toán lớp 8 Thời gian làm bài: 90 phút A. TRẮC NGHIỆM (3 điểm). Hãy chọn phương án trả lời đúng trong mỗi trường hợp sau: 1) Tích của đơn thức x2 và đa thức 5x3 - x - 1 là: A. 5x6 - x3 - x2 B. -5x5 + x3 + x2 C. 5x5 - x3 - x2 D. 5x5 - x - 1 2) Đa thức 3x2 - 12 được phân tích thành nhân tử là: A. 3x x - 2 2 B. 3x x2 + 4 C. 3(x - 2)(x + 2) D. x(3x - 2)(3x + 2) 3) Cho tứ giác ABCD biết Aµ 50;Cµ 60;Dµ 100, khi đó số đo Bµ là A. 1500 B. 1050 C. 750 D. 300 4) Đa thức x4 - 3x3 + 6x2 - 7x + m chia hết cho đa thức x - 1 khi m bằng A. 0 B. - 3 C. 3 D. 1 5) Giá trị nhỏ nhất của đa thức A = x2 + 4x +11 là A. 7 B. - 2 C. - 4 D. 11 6) Cho tam giác ABC vuông tại A, O là trung điểm của BC. D là điểm đối xứng với A qua O. Đẳng thức nào sai trong các đẳng thức sau? 1 1 A. BO = AD B. BO = AC 2 2
  8. C. AB = CD D. AD = BC B. TỰ LUẬN (7 điểm) Câu 1 (2 điểm) 1) Tìm x biết x(x – 1) + x – 1 = 0 2 1 2) Tính giá trị biểu thức: A= x - y x2 + xy + y2 + 2y3 tại x = và y 3 3 Câu 2 (2 điểm) Cho đa thức A = 2x4 + 3x3 - 4x2 - 3x + 2 và đa thức B = x + 2 1) Làm tính chia đa thức A cho đa thức B. 2) Hãy phân tích đa thức thương của phép chia đa thức A cho đa thức B thành nhân tử. Câu 3 (2,5 điểm) Cho hình bình hành ABCD trong đó có BC = 2AB. Gọi M là trung điểm của BC, N là trung điểm của AD. 1) Chứng minh rằng tứ giác MNDC là hình bình hành. 2) Kẻ DE vuông góc với AB tại E, DE cắt MN tại F. Chứng minh F là trung điểm của DE. 3) Chứng minh rằng: A· BC 2B· EM Câu 4 (0,5 điểm) Cho các số x, y, z thỏa mãn đồng thời: x + y + z = 1; x2 + y2 + z2 = 1; x3 + y3 + z3 = 1; Tính giá trị của biểu thức: M = x8 + y11 + z2018 ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM A. TRẮC NGHIỆM (3 ĐIỂM) Câu 1: C (0,5đ) Câu 2: C (0,5đ) Câu 3: A (0,5đ) Câu 4: C (0,5đ) Câu 5: A (0,5đ) Câu 6: B (0,5đ)
  9. B. TỰ LUẬN (7 điểm) Câu 1 1) x(x – 1) + x – 1 = 0 (x - 1)(x + 1) = 0 (0,25đ) x = 1 (0,5đ) x = - 1 Vậy x -1;1 (0,25đ) 2) A= x - y x2 + xy + y2 + 2y3 = x3 + y3 (0,5đ) 2 1 1 Tại x = và y biểu thức A có giá trị là A (0,5đ) 3 3 3 Câu 2. Thực hiện được đúng phép chia và đa thức B = x + 2 1) 2x4 + 3x3 - 4x2 - 3x + 2 : x + 2 2x3 - x2 - 2x +1 (1đ) 2) 2x3 - x2 - 2x +1 = 2x x2 - 1 - x2 - 1 = x2 - 1 2x - 1 (0,5đ) = x - 1 x + 1 2x - 1 (0,5đ) Câu 3 1) Chỉ ra được MC // ND (0,25đ) Do đó tứ giác MNDC là hình bình hành (0,5đ) 2) Chỉ ra được NF // AE (0,25đ) và N là trung điểm cạnh AD của tan giác DAE (0,25đ) → F là trung điểm của DE (0,5đ) 3) Ta có: B· EM E· MN (cặp góc so le trong) Chỉ ra được tam giác MED cân tại M E· MN N· MD Chỉ ra được N· MD M· NB (0,25đ)
  10. Do đó B· EM = M· NB Mặt khác N· BM = M· NB (tam giác BMN cân tại M) Và N· BA = M· NB (cặp góc so le trong) Vậy A· BC 2B· EM (0,25đ) Câu 4. Ta có: x + y + z 3 x3 + y3 + z3 3 x + y y + z z + x Kết hợp với các điều kiện đã cho, ta có: x + y y + z z + x 0 → Một trong các thừa số của tích x + y y + z z + x phải bằng 0 Giả sử (x + y) = 0, kết hợp với điều kiện: x + y + z = 1 → z = 1 Kết hợp với điều kiện: x2 + y2 + z2 = 1 → x = y = 0 Vậy trong 3 số x, y, z phải có 2 số bằng 0 và 1 số bằng 1. (0,25đ) Vậy S = 1 (0,25đ) Chú ý: Dưới đây là hướng dẫn cơ bản, bài làm của học sinh phải trình bày chi tiết. HS giải bằng nhiều cách khác nhau đúng vẫn cho điểm từng phần tương ứng.
  11. ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ I NĂM HỌC 2020 – 2021 MÔN: TOÁN 8 Câu 1. (2,5 điểm) 1. Thực hiện phép tính: a. 2x 3x2 - 4x + 2 b. 2x 3x + 5 - 3 2x2 - 2x + 3 c. 2x + 1 3x2 - x + 2 2. Tính giá trị của biểu thức A = x2 - 6xy + 9y2 - 15 tại x = 37; y = - 1. Câu 2. (1,5 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a. 9x2y + 15xy2 - 3x b. 3z z - 2 + 5 2 - z c. x2 + 4xy - 4z2 + 4y2 d. x2 + 2x - 15 Câu 3. (2,0 điểm) Tìm x biết: a. x2 - 4x = 0 b. 2x + 1 2 - 4x x + 3 = 9 c. x2 - 12x = -36 Câu 4. (3,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD, trên tia đối của tia AD lấy điểm E sao cho AE = AD. Gọi F là giao điểm của EC và AB. a. Chứng minh tứ giác AEBC là hình bình hành. b. Chứng minh FE = FC. c. Trên tia đối của tia CD lấy điểm M sao cho MC = CD. Chứng minh ba điểm E, B, M thẳng hàng. Câu 5. (1,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A = x2 + y2 + z2 - yz - 4x - 3y + 2027
  12. Hết HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1. (2,5 điểm) 1. Thực hiện phép tính: a. 2x 3x2 - 4x + 2 b. 2x 3x + 5 - 3 2x2 - 2x + 3 c. 2x + 1 3x2 - x + 2 2. Tính giá trị của biểu thức A = x2 - 6xy + 9y2 - 15 tại x = 37; y = - 1. Lời giải 1. Thực hiện phép tính: a. 2x 3x2 - 4x + 2 = 2x.3x2 - 2x.4x + 2x.2 = 6x3 - 8x2 + 4x b. 2x 3x + 5 - 3 2x2 - 2x + 3 = 2x.3x + 2x.5 - 3.2x2 + 3.2x - 3.3 = 6x2 + 10x - 6x2 + 6x - 9 = 16x - 9 c. 2x + 1 3x2 - x + 2 = 2x.3x2 - 2x.x + 2x.2 + 1.3x2 - 1.x + 1.2 = 6x3 + x2 + 3x + 2 2. Tính giá trị của biểu thức A = x2 - 6xy + 9y2 - 15 tại x = 37; y = - 1. Ta có A = x2 - 6xy + 9y2 - 15 = x2 - 2.x.3y + 3y 2 - 15 = x - 3y 2 - 15 Thay x = 37; y = - 1 vào biểu thức A = x - 3y 2 - 15 ta có
  13. 2 A = 37 - 3. -1 - 15 = 37 + 3 2 -15=402 - 15 = 1600 - 15 = 1585 Vậy giá trị của biểu thức A = x2 - 6xy + 9y2 - 15 tại x = 37; y = - 1 là 1585. Câu 2. (1,5 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a. 9x2y + 15xy2 - 3x b. 3z z - 2 + 5 2 - z c. x2 + 4xy - 4z2 + 4y2 d. x2 + 2x - 15 Lời giải a. 9x2y + 15xy2 - 3x = 3x 3xy + 5y2 - 1 b. 3z z - 2 + 5 2 - z 3z z - 2 - 5 z - 2 = 3z - 5 z - 2 c. x2 + 4xy - 4z2 + 4y2 x2 + 4xy + 4y2 - 4z2 = x + 2y 2 - 2z 2 = x + 2y - 2z x + 2y + 2z d. x2 + 2x - 15= x2 - 3x + 5x - 15 = x x - 3 + 5 x - 5 = x - 3 x + 5 Câu 3. (2,0 điểm) Tìm x biết: a. x2 - 4x = 0 b. 2x + 1 2 - 4x x + 3 = 9 c. x2 - 12x = -36 Lời giải a. x2 - 4x = 0 x = 0 x = 0 x x - 4 = 0 x - 4 = 0 x = 4 Vậy x 0;4 b. 2x + 1 2 - 4x x + 3 = 9 4x2 + 4x + 1- 4x2 - 12x - 9 = 0 -8x - 8 = 0
  14. -8 x + 1 = 0 x + 1 = 0 x = -1 Vậy x = - 1 c. x2 - 12x = -36 x2 - 12x + 36=0 x - 6 2 = 0 x = 6 Vậy x = 6 Câu 4. (3,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD, trên tia đối của tia AD lấy điểm E sao cho AE = AD. Gọi F là giao điểm của EC và AB. a. Chứng minh tứ giác AEBC là hình bình hành. b. Chứng minh FE = FC. c. Trên tia đối của tia CD lấy điểm M sao cho MC = CD. Chứng minh ba điểm E, B, M thẳng hàng. Lời giải a. Chứng minh tứ giác AEBC là hình bình hành.
  15. Vì tứ giác ABCD là hình bình hành, suy ra AD // BC và AD = BC AB // CD và AB = DC Xét tứ giác AEBC có: AE // BC (do AD // BC và E, A, D thẳng hàng) và AE = BC (= AD). Suy ra tứ giác AEBC là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết). b. Chứng minh FE = FC. Hình bình hành AEBC có hai đường chéo là AB và EC. MÀ F là giao điểm của EC và AB nên suy ra F là trung điểm mỗi đoạn (tính chất). F là trung điểm EC nên FC = FE. c. Trên tia đối của tia CD lấy điểm M sao cho MC = CD. Chứng minh ba điểm E, B, M thẳng hàng. Xét tứ giác ABMC có: AB // CM (do AB // DC và D, C, M thẳng hàng) Và AB = CM (= DC). Suy ra tứ giác ABMC là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết). Suy ra AC // BM (tính chất). Vì tứ giác AEBC là hình bình hành nên AC // EB (tính chất) Từ đó suy ra EB trùng BM. Vậy ba điểm E, B, M thẳng hàng (đpcm). Câu 5. (1,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A = x2 + y2 + z2 - yz - 4x - 3y + 2027 Lời giải A = x2 + y2 + z2 - yz - 4x - 3y + 2027 1 3 = x2 - 4x + 4 + y2 - yz + z2 y2 - 3y + 3 + 2020 4 4
  16. 2 1 2 2 1 2 = x - 4x + 4 + y - yz + z + 3 y - y + 1 + 2020 4 4 2 2 2 1 1 = x - 2 + y - z + 3 y - 1 + 2020 2 2 2 2 2 1 1 Vì x - 2 0; y - z 0; 3 y - 1 0với mọi x; y; z nên: 2 2 2 2 2 1 1 A= x - 2 + y - z + 3 y - 1 + 2020 2020với mọi x; y; z 2 2 2 2 2 1 1 Dầu “=” xảy ra khi và chỉ khi x - 2 =0; y - z =0; 3 y - 1 =0 2 2 1 1 Suy ra: x - 2 = 0; y - z = 0; 3 y - 1 = 0 2 2 1 1 Suy ra x = 2; y = z; y = 1 suy ra x = 2; y = 2; z = 1. 2 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2020 khi x = 2; y = 2; z = 1.
  17. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN HÀ ĐÔMG ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG GIỮA KÌ I NĂM HỌC 2020 – 2021. MÔN: TOÁN 8 Câu 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a. 3xy - 9x2 b. x3 + 343 c. 25 - x2 + 2xy - y2 Câu 2. Thực hiện phép tính rồi tính giá trị biểu thức: 3 4 2 9 3 2 2 2 2 3 2 x y - x y + 9x y - 6xy : xy tại x = 1 và y = 2020 4 2 4 Câu 3. Tìm x biết: a. 3 x - 1 2 + x + 5 2 - 3x = -25 b. x - 2 2 - 4x + 8 = 0 Câu 4. Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của BC. Điểm P đối xứng với điểm H qua đường thẳng BC. Điểm Q đối xứng với điểm H qua điểm M. a. Chứng minh PQ // BC. Khi đó tứ giác DMQP là hình gì? Vì sao? b. Chứng minh tứ giác HCQB là hình bình hành. Tính số đo các góc A· CQ,A· BQ . c. Gọi O là giao điểm các đường trung trực của VABC. Chứng minh rằng điểm O cách đều 5 điểm A, B, P, Q, C. Câu 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 P = x2 + 4x + 1 - 12 x + 2 2 + 2093
  18. ĐÁP ÁN Câu 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a. 3xy - 9x2 b. x3 + 343 c. 25 - x2 + 2xy - y2 Lời giải a. 3xy - 9x2 3x y - 3x b. x3 + 343= x3 + 73 = x + 7 x2 - 7x + 49 c. 25 - x2 + 2xy - y2 = 25 - x - y 2 = 5 + x - y 5 - x + y Câu 2. Thực hiện phép tính rồi tính giá trị biểu thức: 3 4 2 9 3 2 2 2 2 3 2 x y - x y + 9x y - 6xy : xy tại x = 1 và y = 2020 4 2 4 Lời giải 3 3 9 3 3 3 A = x4y2: xy2 - x3y2: xy2 + 9x2y2: xy2 - 6xy2 : xy2 4 4 2 4 4 4 A = x3 - 6x2 + 12x - 8 Với x = 1; y = 2020 ta có A = 13 - 6.12 + 12.1 - 8 = -1 Câu 3. Tìm x biết: a. 3 x - 1 2 + x + 5 2 - 3x = -25 b. x - 2 2 - 4x + 8 = 0 Lời giải a. 3 x - 1 2 + x + 5 2 - 3x = -25 3x2 - 6x + 3 - 3x2 - 13x + 10 + 25 = 0 -19x + 38 = 0 x = 2 Vậy x = 2. b. x - 2 2 - 4x + 8 = 0
  19. x - 2 . x - 2 - 4 = 0 x - 2 . x - 6 = 0 x - 2 = 0 x = 2 x - 6 = 0 x = 6 Vậy x 2;6 Câu 4. Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của BC. Điểm P đối xứng với điểm H qua đường thẳng BC. Điểm Q đối xứng với điểm H qua điểm M. a. Chứng minh PQ // BC. Khi đó tứ giác DMQP là hình gì? Vì sao? b. Chứng minh tứ giác HCQB là hình bình hành. Tính số đo các góc A· CQ,A· BQ . c. Gọi O là giao điểm các đường trung trực của VABC. Chứng minh rằng điểm O cách đều 5 điểm A, B, P, Q, C. Lời giải
  20. a. Chứng minh PQ // BC. Khi đó tứ giác DMQP là hình gì? Vì sao? Có P đối xứng với H qua BC Nên BC là trung trực của PH. BC  PH tại D và D là trung điểm của PH Có điểm Q đối xứng với điểm H qua điểm M nên M là trung điểm của QH. Xét HPQ có D là trung điểm của PH; M là trung điểm của QH Nên MD là đường trung bình của HPQ DM // PQ hay PQ // BC Tứ giác DMQP có DM // PQ Nên tứ giác DMQP là hình thang (DM // PQ) Mà P· DM 90 ( do BC  PH tại D) Vậy tứ giác DMQP là hình thang vuông (DM // PQ)
  21. b. Chứng minh tứ giác HCQB là hình bình hành. Tính số đo các góc A· CQ,A· BQ Xét tứ giác HCQB có HQ và BC cắt nhau tại M là trung điểm của mỗi đường. Tứ giác HCQB là hình bình hành. QC // BH QB // CH BH  AC Mà CH  AB QC  AC A· CQ 90 Nên QB  AB · ABQ 90 c. Gọi O là giao điểm các đường trung trực của VABC. Chứng minh rằng điểm O cách đều 5 điểm A, B, P, Q, C. gọi O’ là trung điểm của AQ có ABQ vuông tại B (do A· BQ 90 ) có BO’ là trung tuyến 1 Nên BO' = AQ 2 1 Chứng minh tương tự ta có: CO' = AQ 2 1 Mà AO' = O'Q = AQ (do O’ là trung điểm của AQ) 2 AO' = BO' = CO' O'  O Có PQ // BC; BC  AP PQ  AP A· PQ 90 APQ vuông tại P Có PO là trung tuyến
  22. 1 Nên PO = AQ 2 1 OA = OB = OC = OQ AQ 2 Vậy điểm O cách đều 5 điểm A, B, P, Q, C. Câu 5. Tìm giá trj nhỏ nhất của biểu thức: 2 P = x2 + 4x + 1 - 12 x + 2 2 + 2093 Lời giải 2 Ta có: P = x2 + 4x + 1 - 12 x + 2 2 + 2093. 2 P = x2 + 4x + 1 - 12 x2 + 4x + 4 + 2093 Đặt t = x2 + 4x + 1 P = t2 - 12 t + 3 + 2093 P = t2 - 12t - 36 + 2093 P = t2 - 2.6.t + 36 + 2021 P = t - 6 2 + 2021 2021 x = 1 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi t - 6 = 0 x = 5 Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 2021 đạt được khi x = 1 hoặc x = 5.
  23. PHÒNG GD & ĐT QUẬN TÂY HỒ ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ I NĂM HỌC 2020 – 2021 MÔN: TOÁN 8 Câu 1. a. Thực hiện phép tính: 3x - 1 2x + 7 - 12x3 + 8x2 - 14x : 2x b. Không dùng máy tính bỏ túi, tính nhanh giá trị biểu thức: B 633 - 373 : 26 63.37 Câu 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a. xy2 - 25x b. x x - y + 2x - 2y c. x3 - 3x2 - 4x + 12 Câu 3. Tìm x, biết: a. x + 2 2 + x - 1 2 + x - 3 x + 3 - 3x2 = -8 b. 2021x x - 2020 - x + 2020 = 0 Câu 4. Cho hình bình hành ABCD (AB > AD). Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với BD tại E, cắt CD tại I. Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với BD tại F, cắt AB tại K. a. Tứ giác AKCI là hình gì? Vì sao? b. Chứng minh AF // CE c. Chứng minh rằng ba đường thẳng AC, EF và KI đồng quy tại một điểm. Câu 5. a. Giữa hai điểm A và B có một chướng ngại vật. Để đo khoảng cách giữa hai điểm A và B, bạn Nam lấy các điểm C, D, E như trên hình vẽ. Bạn đo đoạn thẳng DE để tính đoạn thẳng BA. Cách đo của bạn đúng hay sai. Nếu đúng, khoảng cách Ab dài bao nhiêu. Biết DE = 7,5 m.
  24. b. Chứng minh rằng trong 3 số a, b, c tồn tại hai số bằng nhau a 2 b - c b2 c - a + c2 a - b 0 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1. a. Thực hiện phép tính: 3x - 1 2x + 7 - 12x3 + 8x2 - 14x : 2x b. Không dùng máy tính bỏ túi, tính nhanh giá trị biểu thức: B 633 - 373 : 26 63.37 Lời giải a. Thực hiện phép tính: 3x - 1 2x + 7 - 12x3 + 8x2 - 14x : 2x 3x - 1 2x + 7 - 12x3 + 8x2 - 14x : 2x = 6x2 + 19x - 7 - 6x2 + 4x - 7 = 6x2 + 19x - 7 - 6x2 - 4x + 7 = 15x. b. Không dùng máy tính bỏ túi, tính nhanh giá trị biểu thức:
  25. B 633 - 373 : 26 63.37 63 37 632 63.37 372 : 26 63.37 26 632 63.37 372 : 26 63.37 632 63.37 372 63.37 632 2.63.37 372 63 37 2 = 1002 = 10000 Câu 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a. xy2 - 25x b. x x - y + 2x - 2y c. x3 - 3x2 - 4x + 12 Lời giải a. xy2 - 25x = x y2 - 25 = x(y - 5)(y + 5) b. x x - y + 2x - 2y = x x - y + 2 x - y = (x - y)(x + 2) c. x3 - 3x2 - 4x + 12 = x2 x - 3 - 4 x - 3 = x - 3 x2 - 4 = (x - 3)(x - 2)(x + 2) Câu 3. Tìm x, biết: a. x + 2 2 + x - 1 2 + x - 3 x + 3 - 3x2 = -8
  26. b. 2021x x - 2020 - x + 2020 = 0 Lời giải a. x + 2 2 + x - 1 2 + x - 3 x + 3 - 3x2 = -8 x2 + 4x + 4 + x2 - 2x + 1 + x2 - 9 - 3x2 = -8 x2 + x2 + x2 - 3x2 4x - 2x 4 + 1 - 9 -8 2x - 4= -8 2x = -4 x = -2 Vậy x = - 2 b. 2021x x - 2020 - x + 2020 = 0 2021x x - 2020 - x - 2020 = 0 x - 2020 2021x - 1 = 0 x - 2020 = 0 2021x - 1 = 0 x = 2020 1 x = 2021 1  Vậy x ;2020 2021  Câu 4. Cho hình bình hành ABCD (AB > AD). Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với BD tại E, cắt CD tại I. Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với BD tại F, cắt AB tại K. a. Tứ giác AKCI là hình gì? Vì sao? b. Chứng minh AF // CE c. Chứng minh rằng ba đường thẳng AC, EF và KI đồng quy tại một điểm. Lời giải
  27. a. Tứ giác AKCI là hình gì? Vì sao? Vì ABCD là hình bình hành AB // DC AK // IC Lại có: AI  BD   AI // CK CK  BD AICK là hình bình hành (tứ giác có hai cặp cạnh đối song song) b. Chứng minh AF // CE Vì ABCD là hình bình hành AB = CD Xét ABE và CDF có: A· EB C· FD 90 A· BE = C· DF (cặp góc so le trong) AB = CD ABE = CDF (cạnh huyền – góc nhọn) AE = CF (hai cnahj tương ứng) Mà AE // CF → AECF là hình bình hành (tứ giác có cặp cạnh đối song song và bằng nhau ) →AF // CE c. Chứng minh rằng ba đường thẳng AC, EF và KI đồng quy tại một điểm.
  28. Ta có tứ giác AKCI là hình bình hành (chứng minh trên) Nên giả sử giao điểm hai đường chéo AC và KI của hình bình hành AKCI là O → O là trung điểm của AC (1) Ta cũng có tứ giác AECF là hình bình hành Nên giả sử giao điểm hai đường chéo AC và EF của hình bình hành AECF là O’ → O’ là trung điểm của AC (2) Từ (1) và (2) O  O' Vậy ba đường thẳng AC, EF và KI đồng quy tại một điểm. Câu 5. a. Giữa hai điểm A và B có một chướng ngại vật. Để đo khoảng cách giữa hai điểm A và B, bạn Nam lấy các điểm C, D, E như trên hình vẽ. Bạn đo đoạn thẳng DE để tính đoạn thẳng BA. Cách đo của bạn đúng hay sai. Nếu đúng, khoảng cách Ab dài bao nhiêu. Biết DE = 7,5 m. b. Chứng minh rằng trong 3 số a, b, c tồn tại hai số bằng nhau a 2 b - c b2 c - a + c2 a - b 0 Lời giải a. Bạn Nam làm đúng vì:
  29. Tam giác ABC có D, E lần lượt là trung điểm của CA, CB. Suy ra DE là đường trung bình của tam giác ABC AB = 2.DE = 2.7,5 = 15(m) b. Chứng minh rằng trong 3 số a, b, c tồn tại hai số bằng nhau Ta có: a 2 b - c b2 c - a + c2 a - b 0 a 2 b - c b2c - b2a + c2a - c2b = 0 a 2 b - c bc b - c - a b2 - c2 0 a 2 b - c bc b - c - a b - c b + c 0 2 b - c a + bc - ab - ac 0 b - c a a - c - b a - c 0 b - c a - c a - b 0 a = c b = c a = c
  30. TRƯỜNG THCS ĐÔNG SƠN – ĐỀ KIỂM TRA GIỮA KỲ - HỌC KÌ I Môn: Toán 8 Năm học: 2020 – 2021 (Thời gian làm bài 90 phút không kể thời gian giao đề) Bài 1. (2 điểm) Rút gọn biểu thức: a. x x + 2 - 2x b. 2 + x 2 - x + x2 c. x2 1 - x + x + 3 x2 - 3x + 9 d. 2x + y 2 + 4x2 - 4x 2x + y Bài 2 (2,0 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử: a. 5xy - 10 b. x2 - 36 c. x3 - x2y + 4x - 4y d. x2 + 12y - y2 - 36 Bài 3. (2,0 điểm) Tìm x biết: a. 3 x + 1 + 5x = 0 b. x2 - 5x = 0 c. 4x2 - 1 - 2x + 1 = 0 d. x2 - 7x + 10 = 0 Bài 4 (3,5 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A Aµ 90 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và Ac. a. Tính MN biết BC = 7 cm. b. Chứng minh rằng tứ giác MNCB là hình thang cân. c. Kẻ MI vuông góc với BN tại I, I BN và CK vuông góc với BN tại K K BN . Chứng minh rằng: CK = 2MI. d. Kẻ BD vuông góc với MC tại D D MC . Chứng minh rằng DK // BC. Bài 5. (0,5 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 7 - x2 - 3x ĐÁP ÁN KIỂM TRA GIỮA KỲ Bài 1. (2 điểm) Rút gọn biểu thức: a. x x + 2 - 2x b. 2 + x 2 - x + x2
  31. c. x2 1 - x + x + 3 x2 - 3x + 9 d. 2x + y 2 + 4x2 - 4x 2x + y Lời giải a. x x + 2 - 2x = x2 + 2x - 2x x2 b. 2 + x 2 - x + x2 = 4 - x2 + x2 = 4 c. x2 1 - x + x + 3 x2 - 3x + 9 = x2 - x3 + x3 + 27 = x2 + 27 d. 2x + y 2 + 4x2 - 4x 2x + y 2x + y - 2x 2 y2 Bài 2 (2,0 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử: a. 5xy - 10 b. x2 - 36 c. x3 - x2y + 4x - 4y d. x2 + 12y - y2 - 36 Lời giải a. 5xy - 10 = 5 xy - 2 b. x2 - 36 = x + 6 x - 6 c. x3 - x2y + 4x - 4y = x2 x - y 4 x - y x - y x2 4 d. x2 + 12y - y2 - 36 = x2 - y2 - 12y + 36 = x2 - y - 6 2 = x + y - 6 x - y + 6 Bài 3. (2,0 điểm) Tìm x biết:
  32. a. 3 x + 1 + 5x = 0 b. x2 - 5x = 0 c. 4x2 - 1 - 2x + 1 = 0 d. x2 - 7x + 10 = 0 Lời giải 3 a. 3 x + 1 + 5x = 0 8x = -3 x = - 8 2 x = 0 b. x - 5x = 0 x x - 5 0 x = 5 Vậy x 0;5 c. 4x2 - 1 - 2x + 1 = 0 2x - 1 2x + 1 - 2x + 1 = 0 2x + 1 2x - 2 = 0 1 2x +1 = 0 x = - 2 2x -2 = 0 x = 1 1  Vậy x - ;1 2  d. x2 - 7x + 10 = 0 x2 - 2x - 5x + 10 = 0 x x - 2 - 5 x - 2 = 0 x = 2 x - 2 x - 5 = 0 x = 5 Vậy x 2;5 Bài 4 (3,5 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A Aµ 90 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và Ac. a. Tính MN biết BC = 7 cm.
  33. b. Chứng minh rằng tứ giác MNCB là hình thang cân. c. Kẻ MI vuông góc với BN tại I, I BN và CK vuông góc với BN tại K K BN . Chứng minh rằng: CK = 2MI. d. Kẻ BD vuông góc với MC tại D D MC . Chứng minh rằng DK // BC. Lời giải a. Tính MN biết BC = 7 cm. AM = MB (gt) Xét ABC có: AN = NC (gt) MN là đường trung bình của tam giác 1 1 MN = BC = .7 3,5 cm 2 2 b. Chứng minh rằng tứ giác MNCB là hình thang cân. Vì MN là đường trung bình của tam giác MN // BC BMNC là hình thang Mà M· BC = N· CB ( ABC cân tại A) →BMNC là hình thang cân c. Kẻ MI vuông góc với BN tại I, I BN và CK vuông góc với BN tại K K BN . Chứng minh rằng: CK = 2MI. Kẻ AH vuông góc với BN
  34. AM = MB (gt) Xét ABH có: MI // AH (  BN) MI là đường trung bình của tam giác 1 MI = AH 2 AN = NC gt Xét AHN và CKN có: A· NH = C· NK(dd) · · AHN = CKN 90 AHN = CKN (cạnh huyền – góc nhọn) AH = CK (cặp cạnh tương ứng) 1 MI = CK (đpcm) 2 d. Kẻ BD vuông góc với MC tại D D MC . Chứng minh rằng DK // BC. Gọi O là giao điểm của BN và CM. Suy ra O là trọng của ABC Kéo dài AO cắt BC tại P P BC . Vì tam giác ABC cân tại A nên đường trung tuyến AP đồng thời là đường trung trực của BC BC  AP Vì O AP OB = OC OBD = OCK (cạnh huyền – góc nhọn)
  35. OD = OK (cặp cạnh tương ứng) Suy ra ODK cân tại O. Vì tam giác OBC cân tại O nên đường trung tuyến OP đồng thời là đường phân giác của B· OC suy ra OA là phân giác của D· OK Mà DOK cân tại O nên OA cũng là đường cao. OA  DK AP  DK mà BC  AP Suy ra DK // BC (đpcm) Bài 5. (0,5 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 7 - x2 - 3x Lời giải 2 2 2 3 9 3 37 37 Ta có: A = 7 - x - 3x = - x + 2x + x + ,x 2 4 2 4 4 3 3 Dầu bằng xảy ra x + 0 x = - 2 2 37 3 Vậy giá trị lớn nhất của A = x = - 4 2
  36. TRƯỜNG THCS NGÔ SĨ LIÊN ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ 1 NĂM HỌC 2020 – 2021 MÔN TOÁN 8 Thời gian làm bài: 90 phút Câu 1. (1,5 điểm) Cho hai biểu thức A = x2 - x + 5 và B = x - 1 x + 2 - x x - 2 - 3x a. Tính giá trị của biểu thức A khi x = 2. b. Chứng tỏ rằng B = - 2 với mọi giá trị của biến x. c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C = A + B. Câu 2. (2,0 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử: a. x2 - 8x b. x2 - xy - 6x + 6y c. x2 - 6x + 9 - y2 d. x3 + y3 + 2x + 2y Câu 3. (1,5 điểm) Tìm các số thực x, biết: a. 2x - 3 2 - 49 = 0 b. 2x x - 5 - 7 5 - x = 0 c. x2 - 3x - 10 = 0 Câu 4. (1,0 điểm) Cho hình vẽ bên, biết AB // CD, AB = 5cm, CD = 7cm. Tính EG.
  37. Câu 5. (3,5 điểm) Cho ABC có E là trung điểm của Ac. Qua E kẻ ED // AB D BC ; EF //BC F AB a. Chứng minh rằng tứ giác BDEF là hình bình hành và D là trung điểm của đoạn thẳng BC. b. Gọi H là điểm đối xứng của D qua F. Chứng minh rằng HB // AD. c. Gọi I là trung điểm của HB; K là giao điểm của AD và EF. Chứng minh rằng I, K, E thẳng hàng. AB d. ABC cần có thêm điều kiện gì để HF = 2 Câu 6. (0,5 điểm) Tìm các cặp số (x; y) biết: y4 + y2 + x2 - 8y - 4x + 2xy + 7 = 0 Hết HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1. (1,5 điểm) Cho hai biểu thức A = x2 - x + 5 và B = x - 1 x + 2 - x x - 2 - 3x a. Tính giá trị của biểu thức A khi x = 2. b. Chứng tỏ rằng B = - 2 với mọi giá trị của biến x. c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C = A + B. Lời giải
  38. a. Thay x = 2 vào biểu thức A Tính được A = 22 - 2 + 5 = 7 b. B = x - 1 x + 2 - x x - 2 - 3x B = x2 + 2x - x - 2 - x2 + 2x - 3x B = - 2 c. Ta có: C = x2 - x + 5 - 2 = x2 - x + 3 2 1 11 C = x - + 2 4 11 1 Giá trị nhỏ nhất của biểu thức C là tại x = 4 2 Câu 2. (2,0 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử: a. x2 - 8x b. x2 - xy - 6x + 6y c. x2 - 6x + 9 - y2 d. x3 + y3 + 2x + 2y Lời giải a. x2 - 8x = x x - 8 b. x2 - xy - 6x + 6y = x2 - xy 6x - 6y = x x - y - 6 x - y = x - 6 x - y c. x2 - 6x + 9 - y2 x2 - 6x + 9 - y2 = x - 3 2 - y2 x - 3 - y x - 3 + y
  39. d. x3 + y3 + 2x + 2y = x3 + y3 + 2x + 2y = x + y x2 - xy + y2 + 2 x + y = x + y x2 - xy + y2 2 Câu 3. (1,5 điểm) Tìm các số thực x, biết: a. 2x - 3 2 - 49 = 0 b. 2x x - 5 - 7 5 - x = 0 c. x2 - 3x - 10 = 0 Lời giải a. 2x - 3 2 - 49 = 0 2x - 3 2 - 72 0 2x - 3 - 7 2x - 3 + 7 0 2x - 10 2x + 4 = 0 2x - 10 = 0 x = 5 2x + 4 = 0 x = - 2 Vậy x = 5; x = - 2 b. 2x x - 5 - 7 5 - x = 0 2x x - 5 + 7 x - 5 = 0 x - 5 2x + 7 = 0 x = 5 x - 5 = 0 7 2x + 7 = 0 x = - 2 7 Vậy x = 5; x = - 2
  40. c. x2 - 3x - 10 = 0 x2 - 5x - 2x - 10 = 0 x x - 5 + 2 x - 5 = 0 x - 5 x + 2 = 0 x - 5 = 0 x = 5 x + 2 = 0 x = -2 Vậy x = 5; x = - 2 Câu 4. (1,0 điểm) Cho hình vẽ bên, biết AB // CD, AB = 5cm, CD = 7cm. Tính EG. Lời giải Ta có: AB // CD (gt) nên tứ giác ABCD là hình thang Mà E, G lần lượt là trung điểm của AD, BC (gt) Suy ra EG là đường trung bình của hình thang ABCD. AB + CD 5 + 7 EG = = = 6cm 2 2 Câu 5. (3,5 điểm) Cho ABC có E là trung điểm của Ac. Qua E kẻ ED // AB D BC ; EF //BC F AB a. Chứng minh rằng tứ giác BDEF là hình bình hành và D là trung điểm của đoạn thẳng BC. b. Gọi H là điểm đối xứng của D qua F. Chứng minh rằng HB // AD.
  41. c. Gọi I là trung điểm của HB; K là giao điểm của AD và EF. Chứng minh rằng I, K, E thẳng hàng. AB d. ABC cần có thêm điều kiện gì để HF = 2 Lời giải: a. + Xét tứ giác BDEF có: EF //BD (vì EF // BC – gt) ED // BF (vì ED // AB – gt) BDEF là hình bình hành (DHNB) + Xét ABC có: E là trung điểm của AC và ED // BF Suy ra D là trung điểm của đoạn thẳng BC (định lý đường trung bình trong tam giác) b.
  42. AC Vì AE = EC = 2 Và EF // BC AB AF = FB = 2 Ta có: AB  HD F, mà F là trung điểm của AB và HD. → Tứ giác AHBD là hình bình hành → HB // AD (đpcm) c. Ta có: FD là đường trung bình của ABC FD //AC 1 FD = AE = AC 2 → tứ giác FDEA là hình bình hành. FD  EF = K(gt) K là trung điểm của AD. Và I là trung điểm của HB. IK là đường trung bình của hình bình hành AHBD. IK // BD (1) Tương tự: I là trung điểm của HB E là trung điểm của AC IE là đường trung bình của hình thang AHBC
  43. IE / /BC IE // BD (2) Từ (1) và (2) I, K, E thẳng hàng (đpcm) d. Xét hình bình hành AHBD có: AB  HD = F 1 HF = FD = HD 2 1 Và AF FB = AB 2 1 Để HF = AB HD = AB 2 Hình bình hành AHBD có hai đường chéo HD và AB bằng nhau AHBD là hình chữ nhật AD  BD AD là đường cao của ABC Mặt khác, D là trung điểm của BC (theo cm câu a) AD là đường trung tuyến của ABC ABC có AD vừa là đường cao, vừa là trung tuyến nên ABC cân tại A. 1 Vậy để HF = AB thì ABC phải cân tại A 2 Câu 6. (0,5 điểm) Tìm các cặp số (x; y) biết: y4 + y2 + x2 - 8y - 4x + 2xy + 7 = 0 Lời giải y4 + y2 + x2 - 8y - 4x + 2xy + 7 = 0 y4 - 2y2 + 1 + 2 y2 - 2y +1 + x2 + y2 + 4 + 2xy - 4x - 4y = 0 2 y2 - 1 + 2 y - 1 2 + x + y - 2 2 = 0 2 NX: y2 - 1 0; 2 y - 1 2 0; x + y - 2 2 0 y2 1 Dấu “=” xảy ra y 1 x = y = 1 x + y = 2
  44. Vậy x = 1 và y = 1
  45. PHÒNG GD VÀ ĐT QUẬN CẦU GIẤY TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÀ NỘI – AMSTERDAM ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ I NĂM HỌC 2020 – 2021. MÔN: TOÁN 8 Câu 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a. A x = x2 - 3x + 2 b. B x,y = x2 + 4y2 - 4xy - 4 Câu 2. Tìm x sao cho x - 2 3 + 2x + 1 3 - 9 x + 1 3 = -16 Câu 3. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a 2 + b2 + c2 = ab + bc + ca . Chứng minh rằng a = b = c. Câu 4. Cho ABC vuông ở A, (AB < AC), đường cao AH, đường trung tuyến AM. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên AB, AC. Trên tia đối của tia EH lấy điểm P sao cho EP = EH, trên tia đối của tia FH lấy điểm Q sao cho FQ = FH. a. Chứng minh ba điểm P, A, Q thẳng hàng. b. Chứng minh rằng tứ giác BPQC là hình thang vuông và BP + QC = BC c. Chứng minh AM vuông góc với EF d. Gọi (d) là đường thẳng thay đổi, đi qua A, nhưng không cắt cạnh BC của tam giác ABC. Gọi X, Y lần lượt là hình chiếu vuông góc của B, C trên (d). Tìm vị trí của (d) để chu vi tứ giác BXYC lớn nhất. Câu 5. a. (Dành cho các lớp 8B, 8C, 8D, 8E) Cho a, b, c là các số thực đôi một khác nhau thỏa mãn a3 + b3 + c3 = 3abc . Tính giá trị của biểu thức M = (a + b)(b + c)(c + a) + abc b. (Dành riêng cho lớp 8A) Với a, b là các số thực thỏa mãn a3 + b3 - 3ab = -18 . Chứng minh rằng – 9 < a + b < - 1 Hết
  46. HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a. A x = x2 - 3x + 2 b. B x,y = x2 + 4y2 - 4xy - 4 Lời giải a. A x = x2 - 3x + 2 = x2 - x - 2x + 2 = x x - 1 - 2 x - 1 = x - 1 x - 2 b. B x,y = x2 + 4y2 - 4xy - 4 = x2 - 4xy + 4y2 - 4 = x - 2y 2 - 22 x - 2y - 2 x - 2y + 2 Câu 2. Tìm x sao cho x - 2 3 + 2x + 1 3 - 9 x + 1 3 = -16 Lời giải Ta có: x - 2 3 + 2x + 1 3 - 9 x + 1 3 = -16 x - 2 3 + 2x + 1 3 - x + 1 3 - 8 x + 1 3 = -16 x - 2 3 - x + 1 3 + 2x + 1 3 - 8 x + 1 3 = -16 3 x - 2 - x + 1 x - 2 2 + x - 2 x + 1 + x + 1 2 + 2x + 1 3 - 2 x + 1 = -16 x - 2 - x - 1 3x2 - 3x + 3 + 2x + 1 - 2 x + 1 2x + 1 2 + 2x + 1 2x + 2 + 2x + 2 2 = -16
  47. -3 3x2 - 3x + 3 + -1 4x2 + 4x + 1 + 4x2 + 6x + 2 + 4x2 + 8x + 4 + 16 = 0 -9x2 + 9x - 9 - 12x2 + 18x + 7 + 16 = 0 -9x2 + 9x - 9 - 12x2 - 18x - 7 + 16 = 0 -21x2 - 9x = 0 -3x. 7x + 3 = 0 x 0 x = 0 3 7x + 3 = 0 x = - 7 3 Vậy x 0;-  7 Câu 3. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a 2 + b2 + c2 = ab + bc + ca . Chứng minh rằng a = b = c. Lời giải a 2 + b2 + c2 = ab + bc + ca 2a 2 + 2b2 + 2c2 = 2ab + 2bc + 2ca 2a 2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2bc - 2ca = 0 a - b 2 + b - c 2 + c - a 2 = 0 Mà a - b 2 0; b - c 2 0; c - a 2 0 với mọi số a, b, c. Suy ra a - b 2 + b - c 2 + c - a 2 = 0 a - b 2 0 a - b 0 a = b 2 b - c 0 b - c 0 b = c 2 c - a = 0 c - a= 0 c = a a = b = c (điều phải chứng minh) Câu 4. Cho ABC vuông ở A, (AB < AC), đường cao AH, đường trung tuyến AM. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên AB, AC. Trên tia đối
  48. của tia EH lấy điểm P sao cho EP = EH, trên tia đối của tia FH lấy điểm Q sao cho FQ = FH. a. Chứng minh ba điểm P, A, Q thẳng hàng. b. Chứng minh rằng tứ giác BPQC là hình thang vuông và BP + QC = BC c. Chứng minh AM vuông góc với EF d. Gọi (d) là đường thẳng thay đổi, đi qua A, nhưng không cắt cạnh BC của tam giác ABC. Gọi X, Y lần lượt là hình chiếu vuông góc của B, C trên (d). Tìm vị trí của (d) để chu vi tứ giác BXYC lớn nhất. Lời giải: a. Ta có P đối xứng với H qua E → E là trung điểm của HP Mà AB vuông góc với HP → AB là trung trực của HP → H đối xứng với P qua AB →AP = AH và góc H· AE = P· AE Vì Q đối xứng với H qua F F là trung điểm của QH
  49. Mà AC vuông góc với QF AC là trung trực của QF H đối xứng với Q qua AC →AQ = AH và góc H· AF = Q· AF Q· AP 2 H· AE H· AF 2B· AC 180 Ba điểm P, A, Q thẳng hàng b. Xét AQC và AHC có: AQ = AH (cmt) H· AF = Q· AF (cmt) AC chung AQC = AHC (c.g.c) CQ = CH; C· QA C· HA 90 Chứng minh tương tự ta có: BP = BH; B· PA B· HA 90 BP + QC = BH + CH = BC Xét tứ giác BPQC có BP  PQ; CQ  PQ BP //CQ Mà BPQC là hình vuông. c. Xét QHP có EF là đường trung bình EF // PQ ta có: AH = AQ AQC = AHC AH = AP APB = AHB AP = AQ Mà BM = MC Hình thang BCQP có AM là đường trung bình AM // CQ PQ  CQ PQ  AM EF  AM
  50. d. Ta có: BX + AX 2 BX2 +AX2 = 2AB2 BX + AX AB 2 CY + AY 2 CY 2 +AY2 = 2AC2 CY + AY AC 2 Chu vi hình thang: PBXYC BX + XY + CY + BC = BX + AX + AY + CY + BC AB 2 + AC 2 + BC PBXYC max AB 2 + AC 2 + BC d là phân giác góc ngoài tại đỉnh A hay d vuông góc với phân giác B· AC Câu 5. a. (Dành cho các lớp 8B, 8C, 8D, 8E) Cho a, b, c là các số thực đôi một khác nhau thỏa mãn a3 + b3 + c3 = 3abc . Tính giá trị của biểu thức M = (a + b)(b + c)(c + a) + abc b. (Dành riêng cho lớp 8A) Với a, b là các số thực thỏa mãn a3 + b3 - 3ab = -18 . Chứng minh rằng – 9 < a + b < - 1 Lời giải a. Ta có: a3 + b3 + c3 = 3abc a3 + b3 + c3 - 3abc = 0 a3 + 3a 2b + 3ab2 + b3 + c3 - 3abc - 3a 2b - 3ab2 = 0 a + b 3 + c3 - 3ab a + b + c 0
  51. a + b + c a + b 2 - a + b c + c2 - 3ab a + b + c = 0 a + b + c a 2 + b2 + c2 - ab - ac - bc = 0 1 2 2 2 a + b + c a - b + b - c + c - a = 0 2 a + b + c = 0 a = b = c TH1: a + b + c = 0 a + b = -c; b + c = -a; c + a = -b . Khi đó: M = -c -a -b + abc = -abc + abc = 0 TH2: a = b = c M = 2a.2b.2c + abc = 8abc + abc = 9abc b. Ta có a3 + b3 - 3ab = -18 a3 + b3 + 1- 3ab = -17 a + b 3 - 3ab a + b + 1 - 3ab = -17 a + b + 1 a + b 2 - a + b + 1 - 3ab a + b + 1 = -17 a + b + 1 a 2 + b2 + 1 - ab - a - b = -17 0 (dấu “=” không 2 xảy ra vì theo giả thiết a, b không thể đồng thời bằng 1) a + b + 1 < 0 a + b < - 1 Ta có: a + b 3 - 3ab a + b + 1 = -18 2 3 2 a - b 0 3ab a + b 4
  52. 3 2 3ab a + b + 1 a + b a + b + 1 (vì a + b + a -5 > - 9 a + b > - 9 Vậy - 9 < a + b < - 1 Hết
  53. TRƯỜNG THCS & THPT NGUYỄN TẤT THÀNH ĐỀ THI GIỮA HỌC KÌ I NĂM HỌC 2020 – 2021. MÔN: TOÁN 8 I. TRẮC NGHIỆM (3 điểm) Hãy chọn chữ cái đúng trước câu trả lời đúng Câu 1. Thực hiện phép tính x2 x2 - y2 + x2 + y2 y2 được kết quả là: A. x4 - y4 B. 2x2y2 C. x4 + y4 D. x2 + y2 Câu 2. Kết quả của phép tính 3x2y 2x2y2 - 5xy là: A. 6x4y3 - 15x2y B. 6x4y3 - 15x3y2 C. 6x4y3 - 15x2y3 D. 6x4y3 - 15x2y4 Câu 3. Giá trị của biểu thức x3 - 6x2 + 12x - 8 tại x = - 2 là: A. – 64 B. 0 C. 64 D. 256 Câu 4. Rút gọn biểu thức a + b 2 - 4ab ta được kết quả là: A. a + b 2 B. a - b 2 C. a 2 - b2 D. b2 - a 2 Câu 5. Để biểu thức 9x2 + 30x + a là bình phương của một tổng thì giá trị của a phải là: A. 9 B. 36 C. 25 D. 225 Câu 6. Phân tích đa thức 5x2 x - 2y - 15x x - 2y thành nhân tử ta được: A. 5x(x – 2y) B. x(x – 2y)(x – 3) C. 5x(x – 2y)(x – 3) D. 5(x – 2y)(x – 3) Câu 7. Giá trị của x để biểu thức x2 - 5x có giá trị bằng 0 là:
  54. A. x = 0 B. x = 5 C. x = - 5 D. x = 0; x = 5 Câu 8. Với mọi giá trị của biến số giá trị của biểu thức x2 - 20x + 101 là một số A. Dương B. Âm C. Không dương D. Không âm Câu 9. Tứ giác ABCD có Aµ 120;Bµ 80;Cµ 100 thì số đo Dµ là: A. 150o B. 90o C. 40o D. 60o Câu 10. Hình thang cân là hình thang có: A. Hai cạnh bên bằng nhau B. Hai cạnh đáy bằng nhau C. Hai góc kề một cạnh bên bằng nhau D. Hai góc kề một đáy bằng nhau Câu 11. Cho hình bình hành ABCD biết Aµ 110 khi đó các góc Bµ, Cµ, Dµ của hình bình hành đó lần lượt là: A. 70,110,70 B. 110,70,70 C. 70,70,110 D. 70,110,110 Câu 12. ABC có M là trung điểm của AB, N là trung điểm của AC. Vẽ ME và NF cùng vuông góc với BC (E, F thuộc BC). Khẳng định nào là sai: A. MN = EF B. MN = ME C. MN // EF D. ME = NF II. TỰ LUẬN (7 điểm) Bài 1. (1 điểm) a. Rút gọn biểu thức A = x - y 2 + x + y 2 - 2 x - y x + y - 4 y2 - 1 b. Tính giá trị của biểu thức B = x3 - 3x2 + 3x + 1019 tại x = 11 Bài 2 (1,5 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
  55. a. x3 - 4x2 + 4x b. x2 - y2 - 6y - 9 c. 3x2 + x - 4 Bài 3 (1,5 điểm) Tìm x biết a. x x - 3 - 2x + 6 = 0 b. 4x2 - 25 + 2x + 5 2 = 0 Bài 4. (2,5 điểm) Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm I trên cạnh AB, K trên cạnh CD, sao cho AI = CK. a. Chứng minh AICK là hình hình hành. b. Qua C kẻ đường song song với BD cắt AD tại P, cắt AB tại Q. Chứng C là trung điểm của PQ. c. Chứng minh AC, BP, DQ đồng quy. Bài 5 (0,5 điểm) a. Dành cho lớp CLC Cho biểu thức C = (a + b)(b + c)(a + c) + abc Chứng tỏ rằng nếu các số a, b, c nguyên và a + b + c 10 thì C - 5abc 10 b.Dành cho lớp Tiếng Anh học thuật A parallelogram ABCD has AB = 8 cm anh BC = 5 cm. Caculate the perimeter of parallelogram ABCD. HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT I. TRẮC NGHIỆM (3 điểm) Câu 1. C Câu 2. B Câu 3. A Câu 4. B Câu 5. C Câu 6. C
  56. Câu 7. D Câu 8. A Câu 9. D Câu 10. D Câu 11. A Câu 12. B II. TỰ LUẬN (7 điểm) Bài 1. (1 điểm) a. Rút gọn biểu thức A = x - y 2 + x + y 2 - 2 x - y x + y - 4 y2 - 1 b. Tính giá trị của biểu thức B = x3 - 3x2 + 3x + 1019 tại x = 11 Lời giải a. A = x - y 2 + x + y 2 - 2 x - y x + y - 4 y2 - 1 2 2 = x - y - x + y - 4y + 4 = 4y2 - 4y2 + 4 = 4 b. B = x3 - 3x2 + 3x + 1019 = x3 - 3x2 + 3x - 1 + 1020 = x - 1 3 + 1020 Thay x = 11 vào B ta được B = 11 - 1 3 +1020 = 2020 Bài 2 (1,5 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a. x3 - 4x2 + 4x b. x2 - y2 - 6y - 9 c. 3x2 + x - 4 Lời giải a. x3 - 4x2 + 4x = x x2 - 4x + 4 = x x - 2 2 b. x2 - y2 - 6y - 9 = x2 y2 + 6y + 9 = x2 - y + 3 2 x - y - 3 x + y + 3
  57. c. 3x2 + x - 4 = 3x2 - 3x + 4x - 4 = 3x x - 1 + 4 x - 1 = x - 1 3x + 4 Bài 3 (1,5 điểm) Tìm x biết a. x x - 3 - 2x + 6 = 0 b. 4x2 - 25 + 2x + 5 2 = 0 Lời giải a. x x - 3 - 2x + 6 = 0 x x - 3 - 2 x - 3 = 0 x - 2 x - 3 = 0 x - 2 = 0 x = 2 x - 3 = 0 x = 3 b. 4x2 - 25 + 2x + 5 2 = 0 2x + 5 2x - 5 + 2x + 5 2 = 0 2x + 5 2x - 5 + 2x + 5 = 0 4x 2x + 5 0 x = 0 4x = 0 5 2x + 5 = 0 x = - 2 Bài 4. (2,5 điểm) Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm I trên cạnh AB, K trên cạnh CD, sao cho AI = CK. a. Chứng minh AICK là hình hình hành. b. Qua C kẻ đường song song với BD cắt AD tại P, cắt AB tại Q. Chứng C là trung điểm của PQ. c. Chứng minh AC, BP, DQ đồng quy. Lời giải
  58. a. Chứng minh AICK là hình bình hành. Ta có ABCD là hình bình hành nên AB // CD và AB = CD AI // CK AB // CD Mà AI = CK (giả thiết) Suy ra AICK là hình bình hành (tứ giác có cặp cạnh đối song song và bằng nhau). M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC nên MN là đường trung bình của ABC 1 MN //BC, MN = BC (tính chất đường trung bình của tam giác) 2 MI // BH Xét ABH có MI đi qua trung điểm của cạnh AB và MI // BH MI đi qua trung điểm cạnh AH Suy ra I là trung điểm của AH b. Qua C kẻ đường song song với BD cắt AD tại P, cắt AB tại Q. Chứng C là trung điểm của PQ. Hình bình hành ABCD có hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường. Xét ACP có OD đi qua trung điểm của cạnh AC và OD // CP (CP // BD) OD đi qua trung điểm cạnh AP (định lý 1 về đường trung bình của tam giác).
  59. D là trung điểm của AP. OD là đường trung bình của ACP 1 OD = CP (tính chất đường trung bình của tam giác) 2 1 Tương tự ta chứng minh được OB = CQ 2 Mặt khác, OB = OD CP = CQ Mà ba điểm P, C, Q thẳng hàng (giả thiết) Suy ra C là trung điểm của PQ. c. Chứng minh AC, BP, DQ đồng quy. Xét APQ có D, B, C lần lượt là trung điểm của AP, AQ, PQ. Nên AC, BP, DQ là ba trung tuyến của APQ . Do đó AC, BP, DQ đồng quy. Bài 5 (0,5 điểm) a. Dành cho lớp CLC Cho biểu thức C = (a + b)(b + c)(a + c) + abc Chứng tỏ rằng nếu các số a, b, c nguyên và a + b + c 10 thì C - 5abc 10
  60. Lời giải Ta có: C = (a + b)(b + c)(a + c) + abc = a + b bc + ab + c2 ca + abc 2 = a + b ca + bc + c + ab + abc = a + b ca + bc + c2 + a + b ab + abc = a + b + c ca + bc + ab C - 5abc = a + b + c ca + bc + ab 5abc Mà a + b + c 10 nên a + b + c ca + bc + ab 10 và trong ba số a, b, c có ít nhất một số chẵn nên 5abc  10 C - 5abc  10 b.Dành cho lớp Tiếng Anh học thuật A parallelogram ABCD has AB = 8 cm anh BC = 5 cm. Caculate the perimeter of parallelogram ABCD. Lời giải Because ABCD is a parallelogram AB = CD = 8cm; AD = BC = 5cm. So the the perimeter of parallelogram ABCD is : (8 + 5) . 2 = 26 (cm)
  61. PHÒNG GD VÀ ĐT NAM TỪ LIÊM TRƯỜNG THCS MỸ ĐÌNH 1 ĐỀ KIỂM TRA THÁNG 10 NĂM HỌC 2020 – 2021. MÔN: TOÁN 8 I. PHẦN TRẮC NGHIỆM Câu 1. Đa thức 4x 2y - z + 7y z - 2y được phân tích thành nhân tử là: A. 2y - z 4x - 7y B. 2y - z 4x + 7y C. 2y + z 4x - 7y D. 2y + z 4x + 7y 2 1 Câu 2. Tính x + ta được: 4 1 1 1 1 A. x2 - x - B. x2 - x + 2 4 2 4 1 1 1 1 C. x2 + x + D. x2 + x + 2 8 2 16 Câu 3. Với giá trị nào của a thì biểu thức 16x2 - 24x + a được viết dưới dạng bình phương của một hiệu? A. a = 1 B. a = 9 C. a = 16 D. a = 25 Câu 4. Kết quả của phép nhân x + 1 x2 - x + 1 là: A. x3 - 1 B. x3 + 1 C. 1 - x3 D. 2x3 - 1 Câu 5. Giá trị của biểu thức 10x2y3: -2xy2 , tại x = 1, y = - 1 là: A. 5 B. – 5 C. – 10 D. 10 Câu 6. Một tứ giác có nhiều nhất là: A. 4 góc vuông B. 3 góc vuông
  62. C. 2 góc vuông D. 1 góc vuông Câu 7. Một hình thang cân là hình thang có: A. Hai đáy bằng nhau B. Hai cạnh bên bằng nhau C. Hai đường chéo bằng nhau D. Hai cạnh bên song song Câu 8. Một hình thang có đáy lớn dài 6cm, đáy nhỏ dài 4cm. Độ dài đường trung bình của hình thang đó là: A. 10 cm B. 5cm C. 10 cm D. 5 cm II. PHẦN TỰ LUẬN Bài 1. (1,5 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử: a. 3x2 - x b. xy + y2 - x - y c. x2 - y2 +14x + 49 Bài 2. (1,5 điểm) Cho biểu thức: A = 2x - 1 4x2 + 2x + 1 - 7 x3 + 1 a. Rút gọn A. 1 b. Tính giá trị của A tại x = - 2 Bài 3. (1,5 điểm) Tìm x biết: a. x2 + 3x = 0 b. x 2x - 1 + 4x - 2 = 0 2 c. x2 + 2x - 2x2 - 4x = 3 Bài 4. Cho tam giác nhọn ABC. Gọi H là trực tâm của tam giác, M là trung điểm của BC. Trên tia HM lấy điểm D sao cho MH = MD. a. Chứng minh rằng tứ giác BHCD là hình bình hành. b. Chứng minh rằng các tam giác ABD, ACD vuông. c. Gọi O là trung điểm của AD. CHứng minh rằng OA = OB = OC = OD.
  63. Bài 5. (0,5 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P x = -x2 + 13x + 2012 ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA THÁNG 10 – TOÁN 8 I. PHẦN TRẮC NGHIỆM Đáp án: Câu 1. A Câu 2. D Câu 3. B Câu 4. B Câu 5. A Câu 6. A Câu 7. C Câu 8. B Hướng dẫn giải chi tiết Câu 1. Đa thức 4x 2y - z + 7y z - 2y được phân tích thành nhân tử là: A. 2y - z 4x - 7y B. 2y - z 4x + 7y C. 2y + z 4x - 7y D. 2y + z 4x + 7y Lời giải Chọn A 4x 2y - z + 7y z - 2y 4x 2y - z - 7y 2y - z 2y - z 4x - 7y 2 1 Câu 2. Tính x + ta được: 4 1 1 1 1 A. x2 - x - B. x2 - x + 2 4 2 4 1 1 1 1 C. x2 + x + D. x2 + x + 2 8 2 16 Lời giải
  64. Chọn D 2 2 1 2 1 1 2 1 1 x + x + 2.x. + x + x + 4 4 4 2 16 Câu 3. Với giá trị nào của a thì biểu thức 16x2 - 24x + a được viết dưới dạng bình phương của một hiệu? A. a = 1 B. a = 9 C. a = 16 D. a = 25 Lời giải Chọn B a = 9 thì 16x2 - 24x + 9 = 4x 2 - 2.4x.3 + 32 = 4x - 3 2 Câu 4. Kết quả của phép nhân x + 1 x2 - x + 1 là: A. x3 - 1 B. x3 + 1 C. 1 - x3 D. 2x3 - 1 Lời giải Chọn B x + 1 x2 - x + 1 x3 + 13 x3 + 1 Câu 5. Giá trị của biểu thức 10x2y3: -2xy2 , tại x = 1, y = - 1 là: A. 5 B. – 5 C. – 10 D. 10 Lời giải Chọn A 10x2y3: -2xy2 10.12. -1 3 : -2 .1. -1 2 -10 : -2 5 Câu 6. Một tứ giác có nhiều nhất là: A. 4 góc vuông B. 3 góc vuông C. 2 góc vuông D. 1 góc vuông
  65. Lời giải Chọn A Tứ giác có tổng số đo 4 góc bằng 360 o mà 90.4 360 có nhiều nhất 4 góc vuông. Câu 7. Một hình thang cân là hình thang có: A. Hai đáy bằng nhau B. Hai cạnh bên bằng nhau C. Hai đường chéo bằng nhau D. Hai cạnh bên song song Lời giải Chọn C Dựa vào dấu hiệu nhận biết hình thang cân thì: hình thang cân là hình thang có hai đường chéo bằng nhau. Câu 8. Một hình thang có đáy lớn dài 6cm, đáy nhỏ dài 4cm. Độ dài đường trung bình của hình thang đó là: A. 10 cm B. 5cm C. 10 cm D. 5 cm Lời giải Chọn B Độ dài đường trung bình của hình thang là: (Đáy lớn + đáy nhỏ) : 2 = (6 + 4) : 2 = 5 II. PHẦN TỰ LUẬN Bài 1. (1,5 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử: a. 3x2 - x b. xy + y2 - x - y c. x2 - y2 +14x + 49 Lời giải a. 3x2 - x = x 3x - 1
  66. b. xy + y2 - x - y = xy + y2 - x + y = y x + y - x + y = x + y y - 1 c. x2 - y2 +14x + 49 = x2 + 14x + 49 - y2 = x + 7 2 - y2 = x + 7 - y x + 7 + y Bài 2. (1,5 điểm) Cho biểu thức: A = 2x - 1 4x2 + 2x + 1 - 7 x3 + 1 a. Rút gọn A. 1 b. Tính giá trị của A tại x = - 2 Lời giải a. A = 8x3 + 4x2 + 2x - 4x2 - 2x - 1 - 7x3 - 7 = 8x3 - 7x3 + 4x2 - 4x2 + 2x - 2x + -1 - 7 = x3 - 8 3 1 -1 1 65 b. Với x = - ta có A = - 8 = - - 8 = - 2 2 8 8 1 65 Vậy với x = - thì A = - 2 8 Bài 3. (1,5 điểm) Tìm x biết: a. x2 + 3x = 0 b. x 2x - 1 + 4x - 2 = 0 2 c. x2 + 2x - 2x2 - 4x = 3
  67. Lời giải 2 x = 0 x = 0 a. Ta có: x + 3x = 0 x x + 3 0 x + 3 = 0 x = - 3 Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = -3; 0 b. Ta có: x 2x - 1 + 4x - 2 = 0 x 2x - 1 + 2 2x - 1 = 0 1 2x - 1 = 0 x = 2x - 1 x + 2 = 0 2 x + 2 = 0 x = - 2 1 Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = -2;  2 2 2 c. Ta có: x2 + 2x - 2x2 - 4x = 3 x2 + 2x - 2 x2 + 2x - 3 = 0 (1) Đặt x2 + 2x = a , phương trình (1) trở thành: a 2 - 2a - 3 = 0 a 2 + a - 3a - 3 = 0 a a + 1 - 3 a + 1 = 0 a + 1 = 0 a +1 a - 3 = 0 a - 3 = 0 x2 + 2x + 1 = 0 x + 1 0 Hay 2 2 x + 2x - 3 = 0 x - x + 3x - 3 = 0 x = - 1 x = -1 x = 1 x - 1 x + 3 = 0 x = - 3 Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = -3; -1; 1 Bài 4. Cho tam giác nhọn ABC. Gọi H là trực tâm của tam giác, M là trung điểm của BC. Trên tia HM lấy điểm D sao cho MH = MD. a. Chứng minh rằng tứ giác BHCD là hình bình hành. b. Chứng minh rằng các tam giác ABD, ACD vuông.
  68. c. Gọi O là trung điểm của AD. CHứng minh rằng OA = OB = OC = OD. Lời giải a. Xét tứ giác BHCD, ta có: BM = MC (M là trung điểm của BC) HM = MD (M là trung điểm của HD) tứ giác BHCD là hình bình hành b. Ta có H là trực tâm của tam giác ABC CH  AB Mà CH // BD AB  BD ABD vuông tại B Lại có BH // DC (định nghĩa hình bình hành) Mà DC  AC ADC vuông tại C
  69. c. Trong tam giác vuông ABD có BO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AD. 1 OB = AD = OA = OD (1) 2 Trong tam giác vuông ACD có CO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AD 1 OC = AD = OA = OD (2) 2 Từ (1) và (2) suy ra OC = OB = OA = OD Bài 5. (0,5 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P x = -x2 + 13x + 2012 Lời giải 2 2 13 169 8217 8217 13 Ta có: P x = - x - 2.x. + + = - x - 2 4 4 4 2 2 2 13 8217 13 8217 Vì x - 0,x nên - x - 2 4 2 4 2 13 13 Dấu bằng xảy ra khi x - 0 x = 2 2 8217 13 Vậy giá trị lớn nhất là khi x = 4 2
  70. ĐỀ SỐ 1 Câu 1 (2 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử a. 8x2 - 8xy - 4x + 4y b. x3 + 10x2 + 25x - xy2 c. x2 + x - 6 d. 2x2 + 4x - 16 Câu 2 (2 điểm) Tìm giá trị của x, biết: a. x3 - 16x = 0 b. (2x + 1)2 - (x - 1)2 = 0 Câu 3 (2 điểm) Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x a. A = (2x - 1)(4x2 + 2x + 1) - (2x + 1)(4x2 - 2x + 1) b. B = x(2x + 1) - x2(x + 2) + x3 - x + 5 Câu 4 (1 điểm) Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 - 2xy + 6y2 - 12x + 2y + 45 Câu 5 (2 điểm) Cho hình thang ABDC (AB // CD). Trên cạnh AD lấy điểm M và N sao cho AM = MN = NC. Từ M và N kẻ các đường thẳng song song với hai đáy cắt BC theo thứ tự E và F. Chứng minh rằng: a. BE = EF = FD b. Cho CD = 8cm, ME = 6cm. Tính độ dài AB và FN Câu 6 (0.5 điểm) Cho x, y, z là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của: Đáp án và Hướng dẫn làm bài Câu 1: a. 8x2 - 8xy - 4x + 4y = 8x(x - y) - 4(x - y) = (x - y)(8x - 4) = 4(x - y)(2x - 1) b. x3 + 10x2 + 25x - xy2 = x(x2 + 10x + 25 - y2) = x[(x - 5)2 - y2] = x(x - 5 - y)(x - 5 + y) c. x2 + x - 6 = x2 - 2x + 3x - 6 = x(x - 2) + 3(x - 2) = (x - 2)(x + 3)
  71. d. 2x2 + 4x - 16 = 2(x2 - 2x - 8) = 2(x2 - 2x + 1 - 9) = 2[(x - 1)2 - 9] = 2(x - 1 - 9)(x - 1 + 9) = 2(x - 10)(x + 8) Câu 2: a. x3 - 16x = 0 x(x2 - 16) = 0 x(x - 4)(x + 4) = 0 Suy ra x = 0, x = 4, x = -4 b. (2x + 1)2 - (x - 1)2 = 0 (2x + 1 - x + 1)(2x + 1 + x - 1) = 0 (x + 2)(3x) = 0 Suy ra x = 0 hoặc x = -2 Câu 3: a. A = (2x - 1)(4x2 + 2x + 1) - (2x + 1)(4x2 - 2x + 1) A = (2x)3 - 1 - [(2x)3 + 1] A = 8x3 - 1 - 8x3 - 1 A = -2 Vậy giá trị của biểu thức A không phụ thuôc vào giá trị của x. b. B = x(2x + 1) - x2(x + 2) + x3 - x + 5 B = 2x2 + x - x3 - 2x2 + x3 - x + 5 B = 5 Vậy biểu thức không phụ thuộc vào x Câu 4:
  72. Câu 5: a. Ta có ABCD là hình thang AB // CD Ta có AB // CD, FN // CD suy ra AB // NF Vậy ABFN là hình thang (dấu hiệu nhận biết). Xét hình thang ABFN có ME // NF, ME = NF nên ME là đường trung bình của hình thang ABFN Suy ra BE = EF. Xét tương tự với hình thang MEDC ta suy ra EF = FD Ta có điều phải chứng minh. b. Theo chứng minh trên ta có
  73. Câu 6:
  74. ĐỀ SỐ 2 Phần 1: Trắc nghiệm (2 điểm) Hãy viết chữ cái in hoa đứng trước phương án đúng trong mỗi câu sau vào bài làm. Câu 1: Kết quả phép tính x(x - y) + y(x + y) tại x = -3 và y = 4 là: A. 1 B. 7 C. -25 Câu 2: Khai triển biểu thức (x - 2y)3 ta được kết quả là: A. x3 - 8y3 B. x3 - 2y3 C. x3 - 6x2y + 6xy2 - 2y3 D. x3 - 6x2y + 12xy2 - 8y3 Câu 3: Giá trị biểu thức 20092 - 2018.2009 + 10092 có bao nhiêu chữ số 0 ? A. 6 B. 2 C. 4 Câu 4: Đa thức 4x2 - 12x + 9 phân tích thành nhân tử là: A. (2x - 3)2 B. 2x + 3 C. 4x - 9 Câu 5: Hình nào sau đây là tứ giác có hai đường chéo bằng nhau? A. Hình thang B. Hình thang cân C. Hình thang vuông D. Hình bình hành Câu 6: Cho tam giác ABC có cạnh BC = 8cm và D, E, M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC, BD và CE (như hình vẽ). Khi đó, độ dài của MN là A. 7cm B. 5cm C. 6cm D. 4cm
  75. Câu 7: Cho hình bình hành ABCD có ∠A = 60o. Khi đó, hệ thức nào sau đây là không đúng? Câu 8: Hình chữ nhật có độ dài cạnh 5cm và 12cm thì khoảng cách từ giao điểm hai đường chéo đến mỗi đỉnh là A. 17cm B. 8,5cm C. 6,5cm D. 13cm Phần 2: Tự luận (8 điểm) Câu 1 (VD) (2,25 điểm) Rút gọn các biểu thức sau: a. 2x(3x + 2) - 3x(2x + 3) b. (x + 2)3 + (x - 3)2 - x2(x + 5) c. (3x3 - 4x2 + 6x) : 3x Câu 2 (VD) (0,75 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 2x3 - 12x2 + 18x Câu 3 (VD) (1,0 điểm) Tìm x, biết: 3x(x - 5) - x2 + 25 = 0 Câu 4 (VD) (3,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD (AB > AD). Gọi E và K lần lượt là trung điểm của CD và AB. BD cắt AE, AC, CK lần lượt tại N, O và I. Chứng minh rằng: a. Tứ giắc AECK là hình bình hành. b. Ba điểm E, O, K thẳng hàng. c. DN = NI = IB d. AE = 3KI Câu 5 (VDC) (1,0 điểm) Cho x, y là hai số thực tùy ý, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: P = x2 + 5y2 + 4xy + 6x + 16y + 32
  76. Đáp án và Hướng dẫn làm bài Phần 1: Trắc nghiệm (2 điểm) Câu 1: Thay x = -3 và y = -4 vào biểu thức x(x - y) + y(x + y) ta được: (-3)(-3 - 4) + 4(-3 + 4) = 21 + 4 = 25 Chọn D. Câu 2: Ta có: (x - 2y3 = x3 - 3x2.2y + 3x.(2y)2 + (2y)3 = x3 - 6x2y + 12xy2 - 8y3 Chọn D. Câu 3: 20092 - 2018.2009 + 10092 20092 - 2.2009.1009 + 10092 = (2009 - 1009)2 = 10002 = 1000000 Vậy giá trị của biểu thức 20092 - 2018.2009 + 10092 có 6 chữ số 0. Chọn A. Câu 4: 4x2 - 12x + 9 = (2x)2 - 2.2x.3 + 32 = (2x - 3)2 Chọn A. Câu 5:
  77. Quan sát hình vẽ, và áp dụng tính chất của các hình ta có: Hình thang cân là hình có hai đường chéo bằng nhau. Chọn B. Câu 6: Chọn D.
  78. Câu 7: Vì ABCD là hình bình hành nên ta có: ∠A = ∠C, ∠B = ∠D và AB // CD, AD // BC Mà ∠A = 60o ⇒∠C = 60o ⇒ Đáp án C đúng. Vì AD // BC mà ∠A và ∠B ở vị trí trong cùng phía nên ta có: ∠A + ∠B = 180o ⇒∠B = 120o ⇒∠B = 2∠C ⇒ Đáp án B đúng. ⇒∠A = ∠B/2 ⇒ Đáp án D đúng. Vì AB // CD mà ∠A và ∠D ở vị trí trong cùng phía nên ta có: ∠A + ∠D = 180o ⇒∠D = 120o ⇒ Đáp án A sai. Chọn A. Câu 8: Chọn C. Phần 2: Tự luận Bài 1. a. 2x(3x + 2) - 3x(2x + 3) = 2x.3x + 2x.2 - 3x.2x - 3x.3 = 6x2 + 4x - 6x2 - 9x = -5x b.
  79. (x + 2)3 + (x - 3)3 - x2(x + 5) = (x3 + 6x2 + 12x + 8) + (x2 - 6x + 9) - (x3 + 5x2) = x3 + 6x2 + 12x + 8 + x2 - 6x + 9 - x3 - 5x2 = (x3 - x3) + (6x2 + x2 - 5x2) + (12x - 6x) + 9 = 2x2 + 6x + 9 c. Bài 2. 2x3 - 12x2 + 18x = 2x(x2 - 6x + 9) = 2x(x - 3)2 Bài 3. 3x(x - 5) - x2 + 25 = 0 3x(x - 5) - (x2 + 25) = 0 3x(x - 5) - (x + 5)(x - 5) = 0 (3x - x - 5)(x - 5) = 0 (2x - 5)(x - 5) = 0
  80. Bài 4. Mà E, K lần lượt là trung điểm của CD và AB nên AK = EC VÀ AK // EC. ⇒ Tứ giác AECK là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết) b. Trong hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo nên O là trung điểm của AC và BD (tính chất của hình bình hành) Mà AECK là hình bình hành nên O là trung điểm của EK. ⇒ Ba điểm E, O, K thẳng hàng.
  81. Bài 5. P = x2 + 5y2 + 4xy + 6x + 16y + 32 ⇒ P = x2 + (4xy + 6x) + 5y2 + 16y + 32 ⇒ P = x2 + 2x(2y + 3) + (2y + 3)2 - (2y + 3)2 + 5y2 + 16y + 32 ⇒ P = [x + (2y + 3)]2 - 4y2 - 12y - 9 + 5y2 + 16y + 32 ⇒ P = (x + 2y + 3)2 + y2 + 4y + 23 ⇒ P = (x + 2y + 3)2 + (y + 2)2 + 19 Vì (x + 2y + 3)2 ≥ 0 với mọi x, y ∈ R (y + 2)2 ≥ 0 với mọi y ∈ R ⇒ P = (x + 2y + 3)2 + (y + 2)2 + 19 ≥ 19 với mọi x, y ∈ R Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x + 2y + 3 = 0 và y + 2 =0 Suy ra, x = 1 và y = -2 Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 19 tại x = 1 và y = -2.
  82. ĐỀ SỐ 3 Câu 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: a. 2x2 - 3x - 2 b. 4x(x - 2) + 3(2 - x) c. 27x3 + 8 d. x2 + 2x - y2 + 1 Câu 2 (2 điểm): Tìm giá trị của x, biết: a. 9x2 + 6x - 3 = 0 b. x(x - 2)(x + 2) - (x + 2)(x2 - 2x + 4) = 4 Câu 3 (2 điểm): Rút gọn và tính giá trị biểu thức: a. A = x(x + y) - 5(x + y) với x = 1, y = 2 b. B = 3x(x2 - 3) + x2(4 - 3x) - 4x2 + 1 tại x = 1/9 Câu 4: Cho hình thang vuông ABCD (∠A = ∠D = 90o) và CD = 2AB. Kẻ DH vuông góc với AC (H ∈ AC). Gọi M là trung điểm của HC, N là trung điểm của DH. Chứng minh rằng: a. MN ⊥ AD b. ABMN là hình bình hành. c. ∠BMD = 90o Câu 5: 1) Cho biểu thức: A = (2x - 3)2 - (x + 1)(x + 5) + 2 Rút gọn và tìm giá trị nhỏ nhất của A. 2) Cho B = n2 - 27n2 + 121. Tìm số tự nhiên n để B là số nguyên. Đáp án và Hướng dẫn làm bài Câu 1: a. 2x2 - 3x - 2 = 2x2 - 4x + x - 2 = (2x2 - 4x) + (x - 2)
  83. = 2x(x - 2) + (x - 2) = (x - 2)(2x + 1) b. 4x(x - 2) + 3(2 - x) = 4x(x - 2) - (x - 2) = (x - 2)(4x - 1) c. 27x3 + 8 = (3x)3 + 23 = (3x + 2)[(3x)2 - 2.3x + 22] = (3x + 2)(9x2 - 6x + 2) d. x2 + 2x - y2 + 1 = (x2 + 2x + 1) - y2 = (x + 1)2 - y2 = (x + 1 - y)(x + 1 + y) Câu 2: a. b. x(x - 2)(x + 2) - (x + 2)(x2 - 2x + 4) = 4 ⇔ x(x2 - 4) - (x3 + 8) = 4 ⇔ x3 - 4x - x3 - 8 - 4 = 0 ⇔ -4x = 12
  84. ⇔ x = -3 Suy ra x = -3 Vậy x = -3 Câu 3: a. A = x(x + y) - 5(x + y) = (x + y)(x - 5) (*) Thay x = 1, y = 2 vào biểu thức (*) ta có: A = (1 + 2)(1 - 5) = 3.(-4) = -12 Vậy với x = 1, y = 2 thì A = -12 b. (1 điểm) Câu 4:
  85. a. Vì ABCD là hình thang vuông nên ∠A = ∠D = 90o ⇒ AD ⊥ DC tại D (1) Xét tam giác HDC ta có: NH = ND (giả thiết) MH = Mc (giả thiết) ⇒ NM là đường trung bình của tam giác HDC ⇒ NM // DC (2) Từ (1) và (2) suy ra MN ⊥ AD tại G (từ vuông góc đến song song)
  86. Câu 5: 1) A = (2x - 3)2 - (x + 1)(x + 5) + 2 = 4x2 - 12x + 9 - x2 - 6x - 5 + 2 = 3x2 - 18x + 6 = 3(x2 - 6x + 2) = 3[(x - 3)2 - 7] ≥ 3.(-7) = -21 Dấu "=" xảy ra khi x - 3 = 0 ⇔ x = 3. Vậy MinA = -21 ⇔ x = 3
  87. 2) B = n4 - 27n2 + 121 = n4 + 22n2 + 121 - 49n2 = (n2 + 11)2 - (7n)2 = (n2 + 7n + 11)(n2 - 7n + 11) Vì n ∈ N nên n2 -7n + 11 là số tự nhiên lớn hơn 1 Điều kiện cần để B là số nguyên tố là: - Với n = 2 thì B = 29 (là số nguyên tố) - Với n = 5 thì B = 71 (là số nguyên tố) Vậy n ∈ {2, 5} là các giá trị cần tìm.
  88. ĐỀ SỐ 4 Câu 1 (2 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử a. 8x2 - 8xy - 4x + 4y b. x3 + 10x2 + 25x - xy2 c. x2 + x - 6 d. 2x2 + 4x - 16 Câu 2 (2 điểm) Tìm giá trị của x, biết: a. x3 - 16x = 0 b. (2x + 1)2 - (x - 1)2 = 0 Câu 3 (2 điểm) Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x a. A = (2x - 1)(4x2 + 2x + 1) - (2x + 1)(4x2 - 2x + 1) b. B = x(2x + 1) - x2(x + 2) + x3 - x + 5 Câu 4 (1 điểm) Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 - 2xy + 6y2 - 12x + 2y + 45 Câu 5 (2 điểm) Cho hình thang ABDC (AB // CD). Trên cạnh AD lấy điểm M và N sao cho AM = MN = NC. Từ M và N kẻ các đường thẳng song song với hai đáy cắt BC theo thứ tự E và F. Chứng minh rằng: a. BE = EF = FD b. Cho CD = 8cm, ME = 6cm. Tính độ dài AB và FN Câu 6 (0.5 điểm) Cho x, y, z là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của: Đáp án và Hướng dẫn làm bài Câu 1: a. 8x2 - 8xy - 4x + 4y = 8x(x - y) - 4(x - y) = (x - y)(8x - 4) = 4(x - y)(2x - 1) b. x3 + 10x2 + 25x - xy2 = x(x2 + 10x + 25 - y2) = x[(x - 5)2 - y2] = x(x - 5 - y)(x - 5 + y) c. x2 + x - 6 = x2 - 2x + 3x - 6 = x(x - 2) + 3(x - 2) = (x - 2)(x + 3)
  89. d. 2x2 + 4x - 16 = 2(x2 - 2x - 8) = 2(x2 - 2x + 1 - 9) = 2[(x - 1)2 - 9] = 2(x - 1 - 9)(x - 1 + 9) = 2(x - 10)(x + 8) Câu 2: a. x3 - 16x = 0 x(x2 - 16) = 0 x(x - 4)(x + 4) = 0 Suy ra x = 0, x = 4, x = -4 b. (2x + 1)2 - (x - 1)2 = 0 (2x + 1 - x + 1)(2x + 1 + x - 1) = 0 (x + 2)(3x) = 0 Suy ra x = 0 hoặc x = -2 Câu 3: a. A = (2x - 1)(4x2 + 2x + 1) - (2x + 1)(4x2 - 2x + 1) A = (2x)3 - 1 - [(2x)3 + 1] A = 8x3 - 1 - 8x3 - 1 A = -2 Vậy giá trị của biểu thức A không phụ thuôc vào giá trị của x. b. B = x(2x + 1) - x2(x + 2) + x3 - x + 5
  90. B = 2x2 + x - x3 - 2x2 + x3 - x + 5 B = 5 Vậy biểu thức không phụ thuộc vào x Câu 4: Câu 5: a. Ta có ABCD là hình thang AB // CD Ta có AB // CD, FN // CD suy ra AB // NF Vậy ABFN là hình thang (dấu hiệu nhận biết). Xét hình thang ABFN có ME // NF, ME = NF nên ME là đường trung bình của hình thang ABFN Suy ra BE = EF.
  91. Xét tương tự với hình thang MEDC ta suy ra EF = FD Ta có điều phải chứng minh. b. Theo chứng minh trên ta có Câu 6: