Chuyên đề Toán Lớp 6 - Chuyên đề 12: Bội và ước của một số nguyên (Có lời giải chi tiết)

Nội dung text: Chuyên đề Toán Lớp 6 - Chuyên đề 12: Bội và ước của một số nguyên (Có lời giải chi tiết)

1. CHUYÊN ĐỀ 12: BỘI VÀ ƯỚC CỦA MỘT SỐ NGUYÊN I. TĨM TẮT LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa Với a,b Ỵ Z và b ¹ 0. Nếu cĩ số nguyên q sao cho a = b.qthì ta ta cĩ phép chia hết a : b = q (trong đĩ ta cũng gọi a là số bị chia, b là số chia, q là thương). Khi đĩ ta nĩi a chia hết cho b , kí hiệu là a Mb . Khi a Mb ( a,b Ỵ Z , b ¹ 0 ) ta cịn gọia là bội của b và b là ướccủa a . 2. Nhận xét - Số 0 là bội của mọi số nguyên khác 0. Số 0 khơng phải là ước của bất kì số nguyên nào. - Các số 1 và - 1 là ước của mọi số nguyên. 3. Tính chất Cĩ tất cả các tính chất như trong tập ¥ . -Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho c thì a cũng chia hết cho c . aMb và bMc Þ aMc - Nếu a chia hết cho b thì bội của a cũng chia hết cho b . aMb Þ kaMb (k Ỵ ¢ ) - Nếu a , b chia hết cho c thì tổng và hiệu của chúng cũng chia hết cho c . aMc, bMc Þ a + b Mc; a - b Mc. - Nếu a , b chia cho c cùng số dư thì a – b chia hết cho c . Nhận xét: - Nếu a chia hết cho b , b chia hết cho a thì a = ± b. - Nếu a chia hết cho hai số m, n nguyên tố cùng nhau thì a chia hết cho m.n . - Nếu an chia hết cho số nguyên tố p thì a chia hết cho p . - Nếu ab chia hết cho m và b, m nguyên tố chung nhau thì a chia hết cho m . - Trong n số nguyên liên tiếp cĩ đúng một số chia hết cho n . II. CÁC DẠNG BÀI Dạng 1. Tìm bội và ước của số nguyên I. Phương pháp giải -Tập hợp các bội của số nguyên a cĩ vơ số phần tử và bằng {k .a | k Ỵ Z}. - Tập hợp các ước số của số nguyên a (a ¹ 0) luơn là hữu hạn. Cách tìm: Trước hết ta tìm các ước số nguyên dương của phần số tự nhiên a (làm như trong tập số tự nhiên), chẳng hạn là p, q, r . Khi đĩ - p, - q, - r cũng là ước số của a. Do đĩ các ước của a là p, q, r , – p, – q, – r .
2. Như vậy số các ước nguyên của a gấp đơi số các ước tự nhiên của nĩ. - Số ước nguyên dương của số a = xm yn .zt là m + 1 . n + 1 t + 1 II. Bài tốn A. TRẮC NGHIỆM Bài 1.Khi nào ta nĩi a là bội của b ? A. aMb B. bMa C. a M b D. b M a Lời giải Đáp án: A Bài 2.Hãy nêu cách tìm bội của một số: A. nhân số đĩ lần lượt với 1; 2; 3; C. chia số đĩ lần lượt cho 1; 2; 3; B. nhân số đĩ lần lượt với 0;1; 2; 3; D. chia số đĩ lần lượt cho 0;1; 2; 3; Lời giải Đáp án: B Bài 3.Hãy chỉ ra số là ước của tất cả các số: A. 0 B. 2 C.1 D.3 Lời giải Đáp án: C Bài 4.Số 28 cĩ bao nhiêu ước nguyên? A. 4 B. 6 C. 10 D.12 Lời giải Đáp án: D Giải thích: ta cĩ 28 22.7 Số các ước nguyên dương của số 28 là 2 + 1 . 1 + 1 = 3.2 = 6 Số các ước của 28 là 6.2 12 Bài 5. Các số cĩ 2 chữ số là ước của 60 là: A. 10; 20; 35; 60 C. 10; 12; 15; 20; 30; 60 B. 10; 12; 15; 20; 40; 60 D. 10; 20; 40; 60 Lời giải Đáp án: C Bài 6. Hãy tìm các số x B 12 và 20 < x < 50 A. x 24; 36; 48 B. x 20; 24; 36 B. x 24; 36; 50 D. x 12; 24; 36 Lời giải Đáp án: A B. TỰ LUẬN Bài 1.Tìm năm bội của: 3 ; -3. Lời giải
3. Cả 3 và -3 đều cĩ chung các bội dạng 3.m ( m ¢ ), nghĩa là: 0 ; -3 ; 3 ; -6 ; 6 ; -9 ; 9 ; Chẳng hạn, năm bội của 3 và – 3 là :3 ; 6 ; 9 ; 12 ; 15. Bài 2. Tìm năm bội của 2 và -2. Lời giải Muốn tìm một bội của 2, (-2) ta nhân 2, (-2) với một số nguyên nào đĩ. Chẳng hạn: Năm bội của 2 là : 2 . 1 2; 2 . 1 -2; 2 . 2 4; 2. 2 - 4; 2 . 3 6. Năm bội của -2 là : 2 ; 2 ; -4 ; 4 ; - 6 . Tổng quát: Các bội của 2 và -2 cĩ dạng là 2.q với q ¢ : 0 ; -2 ; 2 ; -4 ; 4 ; -6 ; 6 ; -8 ; 8 ;  Bài 3. Tìm các bội của 7 ; 7. Lời giải B 7 0; 7; 14; 21; 28;  B 7 0; 7; 14; 21; 28;  Bài 4. Tìm tất cả các ước của -2, 4, 13, 15, 1 Lời giải Các ước của -2 là : -1 , 1 ,-2 , 2. Cấc ước của 4 là : -1 , 1 , -2 , 2 , -4 , 4. Các ước của 13 là : -1 , 1 , -13 , 13 Các uớc của 15 là : -1 , 1 , -3 , 3 , -5 , 5 , -15 , 15. Các ước của 1 là : -1 , 1. Bài 5.Tìm tất cả các ước của - 3 ; 6 ; 11 ; -1. Lời giải Kí hiệu U(a) là tập hợp các ước của số nguyên a , ta cĩ: U 3 1 ; 1 ; –3 ; 3 hoặc viết gọn là: U 3 1; 3 ;U 6 1; 2; 3; 6 ; U 11 1; 11 ; U -1 = ±1 Bài 6.Tìm tất cả các ước của 36. Lời giải Phân tích 36 ra thừa số nguyên tố: 36 22.32 Để tìm tất cả các ước của 36 khơng bị sĩt, bị trùng, ta cĩ thể làm như sau:
4. Ta viết: 2 21 22 hay 1 2 4 3 31 32 hay 1 3 9 Các ước nguyên dương của 36 là : 1 2 4 1.3 2.3 4.3 1.9 2.9 4.9 Tất cả cĩ 9 ước nguyên dương là: 1 ; 2 ; 4 ; 3 ; 6 ; 12 ; 9 ; 18 ; 36 . Tập hợp tất cả các ước nguyên của 36 là : U 36 = ±1; ± 2; ± 3; ± 4 ; ± 6; ± 9; ± 12; ± 18; ± 36 Bài 7. Tìm tất cả các ước của 12 mà lớn hơn – 4. Lời giải Các ước của 12 là: 1; 2; 3; 4; 6; 12 Các ước của 12 mà lớn hơn – 4 là -3; -2; -1; 1; 2; 3; 4; 6; 12 . Bài 8.Tìm các số tự nhiên n sao cho: n - 1 là ước của 28 Lời giải Ta cĩ: U 28 = ±1; ± 2; ± 4 ; ± 7; ± 14; ± 28 . Vì n 1 U 28 , ta cĩ bảng sau: Vì n là số tự nhiên nên n 0; 2; 3; 5; 8; 15; 29 Bài 9. Tìm các bội của -13 lớn hơn -40 nhưng nhỏ hơn 40. Lời giải Các bội của -13 là 0; 13; -13; 26, -26; 39; -39; 52; -52. Các bội của -13 lớn hơn -40 nhưng nhỏ hơn 40 x -39;-26;-13;0; 13;26;39 Bài 10.Tìm các số tự nhiên x là bội 75 đồng thời là ước của 600 Lời giải x B(75) (x ¥ ) x 0;75; 150; 300; 600;  x U (600) (x ¥ ) x 1; 2; 3; 4; 5; 6; 8; 10;12 ;20; 24; 25; 30; 50; 60; 75; 100;1 20; 150; 200; 300; 600 Đáp án: x 75; 150; 300; 600 Bài 11. Chứng tỏ rằng số cĩ dạng aaa là bội của 37 Lời giải Đáp án: Ta cĩ: aaa= 100a + 10a + a = 111. A = 3. 37.a nên aaa là bội của 37 Bài 12. Tìm các chữ số a và b sao cho n a53b vừa là bội của 5, vừa là bội của 6
5. Lời giải Ta cĩ nM6 nên nM2 Số n a53b chia hết cho cả 2 và 5 nên b = 0 n a530 Ta cĩ nM6 nên nM3 a 5 3 0 M3 hay a 8 M3 , do đĩ a 1; 4; 7 Vậy n 1530; 4530; 7530 cả 3 số này vừa là bội của 5, vừa là bội của 6 Bài 13. a) Tìm năm bội của: – 5; 5; b) Tìm các bội của – 12 , biết rằng chúng nằm trong khoảng từ – 100 đến 24. Lời giải a) Các bội số của 5; – 5 đều cĩ dạng 5.k (k Ỵ ¢ ). Chẳng hạn chọn năm bội số của 5; – 5 là: – 15, – 10, – 5, 0, 5 ( ứng với k lần lượt bằng - 3;- 2;- 1; 0; 1; 2 ). b) Các bội số của –12 cĩ dạng 12.k (k Ỵ ¢ ). Cần tìm k sao cho: – 100 < 12k < 24. Tức là: – 9 < k < 2, chọn k Ỵ {- 8;- 7;- 6;- 5;- 4;- 3;- 2;- 1;0;1}. Vậy các bội của – 12 nằm trong khoảng từ – 100 đến 24 là - 96,- 84,- 72,- 60,- 48,- 36,- 24,- 12,0,12. Bài 14. Tìm tất cả các ước của: a) – 3 ; b) – 25 ; c) 12. Lời giải a) Các ước tự nhiên của 3 là 1, 3.Do đĩ các ước của – 3 là - 3,- 1, 1, 3. b) Các ước tự nhiên của 25 là 1, 5, 25.Do đĩ các ước của 25 là - 25,- 5,- 1, 1, 5, 25. c) Các ước tự nhiên của 12 là 1, 2, 3, 4, 6, 12.Do đĩ các ước của 12 là - 12,- 6,- 4,- 3,- 2,- 1, 0, 1, 2, 3, 4, 6, 12. Nhận xét: Số tự nhiên a phân tích ra thừa số nguyên tố cĩ dạng pn .qm .r k (p, q, r là số nguyên tố) thì số ước tự nhiên của a là (n + 1)(m + 1)(k + 1). Khi đĩ mỗi số nguyên a, – a đều cĩ 2(n + 1)(m + 1)(k + 1) ước nguyên. Số nguyên tố p cĩ 4 ước nguyên là - p,- 1, 1, p. Bài 15. Tìm số nguyên n để: a) 5 . n chia hết cho – 2 ; b) 8 chia hết cho n ; c) 9 chia hết cho n + 1; d) n – 18 chia hết cho 17. Lời giải a) 5 . n chia hết cho – 2 , nên n là bội của 2 ( vì 5 khơng chia hết cho 2).
6. Vậy n = 2k (k là số nguyên tùy ý). b) 8 chia hết cho n , nên n là ước của 8. Vậy n Ỵ {- 8;- 4;- 2;- 1; 1; 2; 4; 8}. c) 9 chia hết cho n + 1, nên n + 1là ước của 9. Suy ra n + 1 Ỵ {- 9;- 3;- 1; 1; 3; 9}. Với n + 1 = - 9 suy ra n = - 9 - 1 hay n = - 10 Với n + 1 = - 3 suy ra n = - 3 - 1 hay n = - 4 Với n + 1 = - 1 suy ra n = - 1 - 1 hay n = - 2 Với n + 1 = 1 suy ra n = 1 - 1 hay n = 0 Với n + 1 = 3 suy ra n = 3 - 1 hay n = 2 Với n + 1 = 9 suy ra n = 9 - 1 hay n = - 8 Vậy n Ỵ {- 10;- 4;- 2; 0; 2; 8}. d) n – 18 chia hết cho 17, nên n – 18 là bội của 17. Do đĩ n – 18 = 17k (k Ỵ ¢ ). Vậy n = 18 + 17k (k Ỵ ¢ ). III. Bài tập cĩ hướng dẫn Bài 1. a) Tìm bốn bội của – 9; 9 . b) Tìm các bội của – 24 , biết rằng chúng nằm trong khoảng từ 100 đến 200. HD a) Chẳng hạn là: –18; –9; 0; 9 b) 120; 144; 168; 192 Bài 2. Tìm tất cả các ước của: a) – 17; b) 49; c) – 100 . HD a) U (– 17) = {– 17; – 1; 1; 17} b) U (49) = {– 49; – 7; – 1; 1; 7; 49} c) U (100) = {– 100; – 50; – 25; – 20; – 10; – 5; – 4; – 2; – 1; 1; 2; 4; 5; 10; 20; 25; 50; 100} Bài 3. a) Tìm tập hợp UC(– 12; 16); b) Tìm tập hợp UC(15; – 18; – 20). HD a) UCLN(12; 16) = 4 suy ra UC(– 12; 16) = {– 4; – 2; – 1; 2; 4}
7. b) UCLN(15; 18; 20) = 1 suy ra UC(15; – 18; – 20) = {– 1; 1} Bài 4. Tìm số nguyên n để: a) 7 . n chia hết cho 3; b) – 22 chia hết cho n ; c) – 16 chia hết cho n – 1 ; d) n + 19chia hết cho 18. HD a) 7n M3 mà (7; 3) = 1 nên n M3 do đĩ n = 3k (k Ỵ ¢) b) - 22 Mn nên n Ỵ { - 22; - 11; - 2; - 1; 1; 2; 11; 22} c) - 16 M(n - 1) nên (n - 1) Ỵ { - 16; - 8; - 4; - 2; - 1; 1; 2; 4; 8; 16} Vậy n Ỵ { - 15; - 7; - 3; - 1; 0; 2; 3; 5; 9; 17} d) (n + 19) M18 nên (n + 1) M18 suy ra n = 18k - 1 (k Ỵ ¢) Bài 5. Tìm tập hợp BC(15; – 12; – 30). HD BCNN(15; 20; 30) = 60 Suy ra BC(15; – 20; – 30) = B(60) = 60k (k Ỵ ¢) Bài 6. Cho hai tập hợp A = {1; 2; 3; 4; 5} và B = {- 2;- 4;- 6}. a) Viết tập hợp gồm các phần tử cĩ dạng a . b với a Ỵ A, b Ỵ B. b) Trong các tích trên cĩ bao nhiêu tích chia hết cho 5? HD a) C = { ab | a Ỵ A; b Ỵ B} = { - 2; - 4; - 6; - 8; - 10; - 12; - 16; - 18; - 20; - 24; - 30} ( Chú ý: Các phần tử trong tập hợp phải khác nhau đơi một) b) Trong các tích trên cĩ 3 tích chia hết cho 5 ứng với a = 5 và b Ỵ B Dạng 2. Vận dụng tính chất chia hết của số nguyên I. Phương pháp giải Để chứng minh một biểu thức A chia hết cho số nguyên a; - Nếu A cĩ dạng tích m .n .p thì cần chỉ ra m (hoặc n, hoặc p) chia hết cho a. Hoặc m chia hết cho a1, n chia hết cho a2 , p chia hết cho a3 trong đĩ a = a1a2a3. - Nếu A cĩ dạng tổng m + n + p thì cần chỉ ra m, n, p cùng chia hết cho a, hoặc tổng các số dư khi chia m, n, p cho a phải chia hết cho a. - Nếu A cĩ dạng hiệu m – n thì cần chỉ ra m, n chia cho a cĩ cùng số dư. Vận dụng tính chất chia hết để làm bài tốn về tìm điều kiện để một biểu thức thỏa mãn điều kiện cho hết.
8. II. Bài tốn Bài 1. Chứng minh rằng: S = 2 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 chia hết cho - 6. Lời giải Nhĩm tổng S thành tổng của các bội số của - 6 bằng cách: S = (2 + 22)+ (23 + 24 )+ (25 + 26)+ (27 + 28 ) = 6 + 22.6 + 24.6 + 26.6 Mỗi số hạng của tổng S đều chia hết cho - 6, nên S chia hết cho - 6. Bài 2. Cho số a = - 108 + 23. Hỏi số a cĩ chia hết cho - 9 khơng? Lời giải 8 3 8 a = - 10 + 2 = - 10 + 1+ 7 = -149429.4 493 + 7 . gồm 8 chữ số9 Số hạng đầu của a chia hết cho 9, cịn 7 khơng chia hết cho 9 nên a khơng chia hết cho 9. Do đĩ a cũng khơng chia hết cho - 9. Bài 3. Cho a, b là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu 6a + 11b chia hết cho 31 thì a + 7b cũng chia hết cho 31. Điều ngược lại cĩ đúng khơng? Lời giải Ta cĩ: 6a + 11b = 6.(a + 7b)- 31b. (*) Do đĩ 31bM31, và 6a + 11bM31, từ (*) suy ra 6(a + 7b)M31, Mà 6 và 31 nguyên tố cùng nhau, nên suy ra a + 7bM31. Ngược lại, nếu a + 7bM31, mà 31bM31, từ (*) suy ra 6a + 7bM31. Vậy điều ngược lại cũng đúng. Ta cĩ thể phát biểu bài tốn lại như sau: “Cho a, blà các số nguyên. Chứng minh rằng 6a + 11b chia hết cho 31 khi và chỉ khi a + 7b chia hết cho 31”. Bài 4. Tìm số nguyên x sao cho: a) 3x + 4 chia hết cho x - 3; b) x + 1 là ước số của x 2 + 7. Lời giải a) Nhận thấy 3x + 4 = 3(x - 3)+ 5. Do 3(x - 3)M(x - 3), nên (3x + 4)M(x - 3) khi và chỉ khi 5M(x - 3). Suy ra x - 3 Ỵ Ư(5) hay x - 3 Ỵ {- 5;- 1; 1; 5}. Vậy x Ỵ {- 2; 2; 4; 8}. b) Nhận thấy x 2 + 7 = x (x + 1)- (x + 1)+ 8. Do x (x + 1)M(x + 1), nên x 2 + 7M(x + 1) khi và chỉ khi 8M(x + 1). Suy ra x + 1 Ỵ {- 8;- 4;- 2;- 1; 1; 2; 4; 8}.
9. Vậy x Ỵ {- 9; - 5; - 3; - 2; 0; 1; 3; 7}. III. Bài tập cĩ hướng dẫn Bài 1. Chứng minh rằng: S = 3 + 32 + 33 + 34 + 35 + 36 + 37 + 38 + 39 chia hết cho (- 39). HD S = 3 + 32 + 33 + 34 + 35 + 36 + 37 + 38 + 39 = (3 + 32 + 33) + (34 + 35 + 36) + (37 + 38 + 39) = 39 + 33.39 + 36.39 = 39.(1 + 33 + 36)M39 Suy ra SM39 nên SM(- 39) Bài 2. Cho số a = 11 11 (gồm 20 chữ số 1). Hỏi số a cĩ chia hết cho 111 khơng? HD Nhận thấy:a = 111.1017 + 111.1014 + 111.1011 + 111.108 + 111.105 + 111.102 + 11 =111.(1017 + 1014 + 1011 + 108 + 105 + 102) + 11 Suy ra a là tổng của hai số hạng trong đĩ cĩ 1 số chia hết cho 111, 1 số khơng chia hết cho 111 nên a khơng chia hết cho 111. Vậy a khơng chia hết cho 111. Bài 3. Cho a, b là các số nguyên. Chứng minh rằng 5a + 2b chia hết cho 17 khi và chỉ khi 9a + 7b chia hết cho 17. HD Xét hiệu 5.(9a + 7b) - 9.(5a + 2b) = 17b Nhận thấy 17b M17 nên: Nếu 9a + 7bM17 thì 9.(5a + 2b) M17 , mà (9; 17) = 1 nên 5a + 2b M17 Nếu 5a + 2b M17 thì 5.(9a + 7b) M17 , mà (5; 17) = 1 nên (9a + 7b) M17 Bài 4. Tìm số nguyên x sao cho: a) 2x – 5 chia hết cho x – 1; b) x + 2là ước số của x 2 + 8. HD a) 2x - 5 = 2(x - 1) - 3 nên (2x - 5)M(x - 1) Û 3M(x - 1) do đĩ (x - 1)Ỵ { - 3;- 1; 1; 3} Vậy x - 1 Ỵ { - 2; 0; 2; 4} b) Do x 2 + 8 = x(x + 2) - 2(x + 2) + 12 nên (x 2 + 8) M(x + 2) Û 12 M(x + 2) Do đĩ (x + 2) Ỵ { - 12;- 6;- 4;- 3;- 2;- 1; 1; 2; 3; 4; 6; 12}
10. Vậy x Ỵ { - 14;- 8;- 6;- 5;- 4;- 3; - 1; 0; 1; 2; 4; 10} Bài 5. Tìm cặp số nguyên x, y sao cho: a) (x - 1).(y + 1) = 5; b) x.(y + 2) = - 8; c) xy - 2x - 2y = 0. HD a) Vì 5 = 5.1 = (- 1).(- 5) nên ta cĩ các trường hợp sau: 1) x - 1 = 1 và y + 1 = 5 Û x = 2 và y = 4 2) x - 1 = 5 và y + 1 = 1 Û x = 6 và y = 0 3) x - 1 = - 1 và y + 1 = - 5 Û x = 0 và y = - 6 4) x - 1 = - 5 và y + 1 = - 1 Û x = - 4 và y = - 2 b) (x;y) = (- 8;- 1); (1;- 10); (8;- 3);(- 1; 6); (- 4; 0); (2;- 6); (4;- 4); (- 2;- 6) c) xy - 2x - 2y = 0 Û (x - 2).(y - 2) = 4 Do đĩ tìm được (x;y) = (3; 6);(6; 3);(1;- 2);(- 2; 1);(4; 4);(0; 0) . Bài 6. Tìm tất cả các cặp số nguyên x, y sao cho 20x + 10y = 2010. HD Từ điều kiện đề bài suy ra 2x + y = 201 201 là số lẻ và 2x là số chẵn, suy ra y là số lẻ. Khi đĩ y cĩ dạng: y = 2k + 1 (k Ỵ ¢) Þ x = 100 - k Chẳng hạn, bốn cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: (x;y) = (100; 1); (99; 3); (101;- 1); (98; 5) Bài 7. Tìm số nguyên x sao cho x – 1 là bội của 15 và x + 1 là ước số của 1001. HD U (1001) = {1001; – 1001; 143; – 143; 91; – 91; 77; – 77; 13; – 13; 11; – 11; 7; – 7; 1; – 1} Ta cĩ: x – 1 là bội của 15 nên x – 1 = 15k (k Ỵ ¢ ) suy ra x + 1 = 15k + 2 (k Ỵ ¢ ) Mà x + 1 là ước của 1001 nên kiểm tra thấy x + 1 = 77 hay x = 76 Vậy x = 76 Dạng 3. TÌM SỐ NGUYÊN x THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN VỀ CHIA HẾT I. Phương pháp giải. Áp dụng tính chất: Nếu a + b chia hết cho c và a chia hết cho c thì b chia hết cho c . II. Bài tốn. Bài 1.Tìm các số tự nhiên x sao cho 10M x- 1 Lời giải
11. Ta cĩ 10M x- 1 khi đĩ x- 1 là ước của 10 U 10 = ±1; ± 2; ± 5; ± 10. Ta cĩ bảng sau: Suy ra x 0; 2; 3; 6; 11 ( x ¥ ) Bài 2.Tìm x ¢ sao cho : a) 3x + 2 chia hết cho x – 1 ; b) x2 + 2x – 7 chia hết cho x + 2 . Lời giải a) Ta cĩ: 3x + 2 = 3x – 3 + 5 = 3 x -1 + 5 . Ta cĩ: 3 x – 1 chia hết cho x – 1 . Do đĩ 3x + 2 chia hết cho x – 1 khi 5 chia hết cho x – 1 , tức là x – 1 là ước của 5. Ước của 5 gồm các số ±1, ± 5 . Ta cĩ bảng sau: Suy ra x -4; 0 ; 2 ; 6. b) x2 + 2x – 7 = x(x + 2) - 7 Ta cĩ: x x + 2 chia hết cho x + 2 Do đĩ x x + 2 - 7 chia hết cho x + 2 khi 7 chia hết cho x + 2 Do đĩ x + 2 là ước của 7. Ước của 7 gồm các số ±1, ± 7 . Ta cĩ bảng sau: Suy ra: x -9; -3 ; - 1 ; 5 . Bài 3.Tìm các số nguyên x thoả mãn: a) x + 4 M x + 1 ; b) 4x + 3 M x – 2 Lời giải a) Ta cĩ x + 4 = x + 1 + 3
12. nên x + 4 : x + 1 khi 3: x + 1 , tức là x + 1 là ước của 3. Vì U 3 = {-1 ; 1 ; -3 ; 3}, ta cĩ bảng sau: ĐS : x = -4 ; -2 ; 0 ; 2 . b) HD: Ta cĩ 4x + 3 = 4 x – 2 + 11 nên 4x + 3 : x - 2 khi 11: x - 2 , tức là x - 2 là ước của 11. Đáp số: x -9 ; 1 ; 3 ; 13 . Bài 4.Tìm x ¢ sao cho : a) x2 + x +1 chia hết cho x + 1 b) 3x - 8 chia hết cho x - 4 . Lời giải a) Ta cĩ: x2 + x +1= x x + 1 + 1. Ta cĩ: x x +1 chia hết cho x + 1 . Do đĩ x2 + x +1 chia hết cho x + 1 khi 1 chia hết cho x + 1 , tức là x + 1 là ước của 1. Ước của 1 gồm các số ±1 . Suy ra x 0 ; -2  . b) Ta cĩ: 3x – 8 = 3 x - 4 + 4 Ta cĩ: 3 x - 4 chia hết cho x - 4 . Do đĩ 3x - 8 chia hết cho x - 4 khi 4 chia hết cho x - 4 , tức là x - 4 là ước của 4. Ước của 4 gồm các số ±1; ±2; ±4 . Suy ra x 0 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 8  . Bài 5.Tìm các số tự nhiên x sao cho x + 20 là bội của x + 2 Lời giải x + 20 là bội của x + 2 x + 20 M x + 2 x+ 20 = x+ 2 + 18 M x+2 mà x + 2 M x + 2 Do đĩ 18M x + 2 x + 2 Ư 18 Ư 18 = ±1; ±2; ±3; ±6; ±9; ±18 Mà x + 2 2 (x Z) nên x + 2 2; 3; 6; 9; 18 x 0; 1; 4; 7; 16 Bài 6.Tìm số nguyên n biết rằng n + 5chia hết cho n - 2 . Lời giải Ta cĩ: n + 5 chia hết cho n - 2 n + 5 = n - 2 + 7 chia hết cho n - 2 Mà n - 2 chia hết cho n - 2
13. ⇒ 7 chia hết cho n - 2 n - 2 thuộc ước của 7 mà U 7 = -7; -1; 1; 7 n - 2 = -7 n = -5 n - 2 = -1 n = 1 n - 2 = 1 n = 3 n - 2 = 7 n = 9 Vậy n -5; 1; 3; 9 Bài 7.Tìm số nguyên dương n sao cho 2n là bội của n -1 . Lời giải 2n là bội của n -1 2nM n - 1 2n = 2 n - 1 + 2 M n - 1 Mà n - 1 M n - 1 . Do đĩ 2M n - 1 n - 1 U 2 U 2 = 1, 2 Mà n - 1 0 nên n - 1 1; 2 n 2; 3 Bài 8. Cĩ hai số nguyên a , b khác nhau mà chia hết cho b và b chia hết cho a khơng ? Lời giải a chia hết cho b a = bq1 (q1 ¢,b 0) b chia hết cho a b = aq2 (q1 ¢,a 0) a=bq1 =(aq2 )q1 =a(q2q1) q2q1 =1 q2 = q1 1 hoặc q2 = q1 1 Vì a b nên q2 = q1 1. Do đĩ: a = b(-1) = -b Vậy mọi cặp số nguyên đối nhau và khác 0 đều cĩ tính chất a chia hết cho (-a ) và (-a ) chia hết cho a và chỉ những cặp số đĩ. Bài 9. Cho hai tập hợp số: A = 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6, B = 21 ; 22 ; 23. a) Cĩ thể lập được bao nhiêu tổng dạng a + b với a A, b B? b) Trong các tổng trên cĩ bao nhiêu tổng chia hết cho 2 ? Lời giải Giải a) Ta lập bảng cộng sau :
14. Từ bảng trên, ta thấy cĩ 15 tổng được tạo thành, trong đĩ cĩ 7 tổng khác nhau: 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29 . b) Cĩ 7 tổng chia hết cho 2 là : 24 , 24 , 26 , 26 , 26 , 28 , 28. (Cĩ 3 tổng khác nhau chia hết cho 2 : 24 , 26 , 28 ). Bài 10.Cho hai tập hợp số A= 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8; B = 13 ; 14 ; 15 a) Cĩ thể lập được bao nhiêu tổng dạng a + b với a A, b B ? b) Trong các tổng trên cĩ bao nhiêu tổng chia hết cho 3? Lời giải Lập bảng ta thấy : a) Ta lập bảng cộng sau: Từ bảng trên, ta thấy cĩ 15 tổng được tạo thành, trong đĩ cĩ 7 tổng khác nhau : 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23. b) Trong đĩ cĩ 5 tổng chia hết cho 3 là :18, 18, 21, 21, 21. Như vậy cĩ hai tổng khác nhau chia hết cho 3 là 18 và 21.