Đề học sinh giỏi Toán 9 - Năm học 2016-2017

Nội dung text: Đề học sinh giỏi Toán 9 - Năm học 2016-2017

1. ĐỀ HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 SGD BÌNH DƯƠNG NĂM HỌC:2016-2017 Câu 1: (5 điểm) a) Tìm tất cả các ngiệm nguyên của phương trình x y 2017 b) Xác định số điện thoại của THCS X thành phố Thủ Dầu Một, biết số đó dạng 82xxyy với xxyy là số chính phương. Câu 2: (4 điểm) Tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O; R) , M (O; R) . Chứng minh rằng: MA2 MB2 MC 2 6R2 Câu 3: (3 điểm) x2 1 a) Giải phương trình: 1 3 9 x2 4 3 9 x2 1 (x y) 1 5 xy b) Giải hệ phương trình: 1 (x2 y2 ) 1 49 2 2 x y Câu 4: (3 điểm) a) Chứng minh với mọi số a,b,c,d ta luôn có: (a2 c2 )(b2 d 2 ) (ab cd)2 a2 b2 1 b) Cho a,b 0 chứng minh rằng: (4a 3b)(3a 4b) 25 Câu 5: (3 điểm) Cho tứ giác ABCD . Gọi M , N, P,Q lần lượt là trung điểm của AB, BC,CA, DA . Chứng minh rằng: 1 S MP.NQ (AB CD)(AD BC) ABCD 4 Câu 6: (2,0 điểm) Cho đa giác lồi có 12 cạnh a) Tìm số đường chéo b) Tìm số tam giác có ít nhất 1 cạnh là cạnh của đa giác đó ?
2. LỜI GIẢI ĐỀ HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 SGD BÌNH DƯƠNG NĂM HỌC 2016-2017 Người giải đề: Triệu Tiến Tuấn Câu 1: (5 điểm) a) Tìm tất cả các ngiệm nguyên của phương trình x y 2017 b) Xác định số điện thoại của THCS X thành phố Thủ Dầu Một, biết số đó dạng 82xxyy với xxyy là số chính phương. Lời giải a) Phương trình: x y 2017 (x, y 0) x 20172 y 4034 y Do x, y Z y Z Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là: x a2 ; y (2017 a)2 b) Ta có: xxyy 11x0y là số chính phương nên x0y  11 100x y  11 99x x y  11 x y 11 x y  11 x y 0 x y 0 x y 11 Ta có: xxyy 11x0y 11(99x x y) 11(99x 11) 112 (9x 1) 9x 1 là số chính phương. x 7 y 4 Vậy xxyy 7744; xxyy 0000 Câu 2: (4 điểm) Tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O; R) , M (O; R) . Chứng minh rằng: MA2 MB2 MC 2 6R2 Lời giải
3. A Giả sử M »AC Dễ thấy: MA MC MB (trên MB lấy I sao cho MI MC , ta chứng minh: IB MA ) M K I H O Đặt: MA x;MB y;MC y x . Ta có: AM 2 BM 2 CM 2 x2 y2 (x y)2 2(x2 y2 xy) (C1) B x 3 Kẻ AH  BM MH AH 2 x2 2 4 x Mà BH MB MH y 2 x BH MB MH y 2 3 1 AB2 AH 2 BH 2 x2 y2 x2 xy x2 y2 xy (2) 4 4 Từ (1),(2) AM 2 BM 2 CM 2 2AB2 2(R 3)2 6R2 (dpcm) Câu 3: (3 điểm) x2 1 a) Giải phương trình: 1 3 9 x2 4 3 9 x2 1 (x y) 1 5 xy b) Giải hệ phương trình: 1 (x2 y2 ) 1 49 2 2 x y Lời giải x2 1 a) Phương trình: 1 3 9 x2 4 3 9 x2 2 9 x 0 3 x 3 Điều kiện: 2 3 9 x 0 x 0
4. 2 2 x2 1 3 9 x 3 9 x 1 1 1 3 9 x2 4 3 9 x2 3 9 x2 4 3 9 x2 1 3 9 x2 1 4 3 9 x2 2 4 3 9 x2 4 3 9 x2 1 0 1 5 11 3 9 x2 9 x2 x2 2 2 4 11 x (tmdk) 2 1 (x y) 1 5 xy b) Hệ phương trình: dk : x, y 0 1 (x2 y2 ) 1 49 2 2 x y 1 1 1 1 x y 5 x y 5 x y x y 2 2 2 2 1 1 1 1 x y 49 x y 53 2 2 x y x y 1 1 Đặt x a; y b ta được: x y a b 5 a 5 b b 7;a 2 2 2 2 a b 53 2b 10b 28 0 b 2;a 7 1 x 2 x 1 a 2 x • 7 3 5 b 7 1 y y 7 2 y 1 x 7 7 3 5 a 7 x x • 2 b 2 1 y 2 y 1 y Câu 4: (3 điểm) a) Chứng minh với mọi số a,b,c,d ta luôn có: (a2 c2 )(b2 d 2 ) (ab cd)2 a2 b2 1 b) Cho a,b 0 chứng minh rằng: (4a 3b)(3a 4b) 25 Lời giải
5. a) Ta có: (a2 c2 )(b2 d 2 ) (ab cd)2 a2b2 a2d 2 c2b2 c2d 2 a2b2 c2d 2 2abcd a2d 2 c2b2 2abcd 0 ad cb 2 0 luôn đúng. b) Ta có: a2 b2 1 25a2 25b2 (4a 3b)(3a 4b) (4a 3b)(3a 4b) 25 13(a2 b2 ) 25ab 13(a b)2 ab 0 a2 b2 1 Dấu “=” không xảy ra, vậy: (4a 3b)(3a 4b) 25 Câu 5: (3 điểm) Cho tứ giác ABCD . Gọi M , N, P,Q lần lượt là trung điểm của 1 AB, BC,CA, DA . Chứng minh rằng: S MP.NQ (AB CD)(AD BC) ABCD 4 Lời giải Ta có: MP.NQ 2SMNPQ SABCD A Gọi R là trung điểm của AC , ta có : 1 1 NR AB; QR CD M 2 2 Q 1 R Suy ra: NQ NR QR (AB CD) B 2 1 Tương tự: PM (AD BC) N 2 1 MP.NQ (AB CD)(AD BC) D P C 4 1 S MP.NQ (AB CD)(AD BC) ABCD 4 Câu 6: (2 điểm) Cho đa giác lồi có 12 cạnh a) Tìm số đường chéo b) Tìm số tam giác có ít nhất 1 cạnh là cạnh của đa giác đó ? Lời giải
6. 12 12 3 a) Số đường chéo của đa giác là: 54 2 b) Nhận thấy rằng với mỗi cạnh của tam giác, ta lập được 10 tam giác mà mỗi tam giác thỏa mãn đề bài mà đa giác ban đầu có 12 cạnh nên số tam giác thỏa mãn đề bài là 10.12 120 Tuy nhiên nếu như tính theo cách trên thì các tam giác mà có 2 cạnh là 2 cạnh kề của đa giác đã cho được tính 2 lần Ta có số tam giác được tính 2 lần như trên là 12 tam giác nên số tam giác thỏa mãn đề bài thực chất là: 120 12 108 tam giác.