Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 năm 2016 - Đề số 32 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 năm 2016 - Đề số 32 (Có đáp án)

1. Câu 1 a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 2013x2 2012x 2013 x2 2x 2x2 1 2 b) Rút gọn biểu thức sau A 2 2 3 1 2 . 2x 8 8 4x 2x x x x Câu 2 a) Giải phương trình sau: (2x2 x 2013)2 4(x2 5x 2012)2 4(2x2 x 2013)(x2 5x 2012) b) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn 2x2 5xy 3y2 7 Câu 3 x2 n 1 n n2 x2 1 Cho P 7.2016n 12.1997n với n N ; Q . x2 n 1 n n2 x2 1 Chứng minh: a) P chia hết cho 19. b) Q không phụ thuộc vào x và Q 0 . Câu 4 Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm F sao cho AE AF . Vẽ AH vuông góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC và BC lần lượt tại hai điểm M, N. a) Chứng minh rằng tứ giác AEMD là hình chữ nhật b) Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH Chứng minh rằng AC 2EF 1 1 1 c) Chứng minh rằng AD2 AM 2 AN 2 Câu 5. Cho a,b,c là ba số dương thoả mãn abc 1 . 1 1 1 3 Chứng minh rằng . a3 (b c) b3 (c a) c3 (a b) 2 Câu 6. Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’ cắt nhau tại H a) Chứng minh AB C ~ ABC HA HB HC b) Tính tổng AA BB CC c) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN theo thứ tự là phân giác của các góc AIC; AIB (M AC , N AB ). Chứng minh AN.BI.CM BN.IC.AM AB BC CA 2 d) Tam giác ABC phải thỏa mãn điều kiện gì thì biểu thức đạt AA 2 BB 2 CC 2 giá trị nhỏ nhất
2. Tìm đa thức f(x) biết rằng: f(x) chia cho x 2 dư 10, f(x) chia cho x 2dư 24, f(x) chia cho x2 4 được thương là 5x và còn dư. Chứng minh rằng: a(b c)(b c a)2 c(a b)(a b c)2 b(a c)(a c b)2 Câu 1 Hướng dẫn giải (4.0 điểm) Ta có x4 2013x2 2012x 2013 0,5 x4 x 2013x2 2013x 2013 1 x x 1 x2 x 1 2013 x2 x 1 0.5 (2.0 điểm) x2 x 1 x2 x 2013 0.5 Kết luận x4 2013x2 2012x 2013 x2 x 1 x2 x 2013 0.5 x 0 ĐK: 0.25 x 2 x2 2x 2x2 1 2 Ta có A 2 2 3 1 2 0.25 2x 8 8 4x 2x x x x x2 2x 2x2 x2 x 2 2 2 2 0.25 2(x 4) 4(2 x) x (2 x) x 2 (2.0 điểm) x2 2x 2x2 (x 1)(x 2) x(x 2)2 4x2 (x 1)(x 2) 0.5 2 2 2 2 2 2(x 4) (x 4)(2 x) x 2(x 2)(x 4) x x3 4x2 4x 4x2 x 1 x(x2 4)(x 1) x 1 . 0.5 2(x2 4) x2 2x2 (x2 4) 2x x 1 x 0 Vậy A với . 0.25 2x x 2 Câu 2 (4.0 điểm) a 2x2 x 2013 Đặt: 2 0.25 b x 5x 2012 Phương trình đã cho trở thành: a2 4b2 4ab (a 2b)2 0 a 2b 0 a 2b 0.5 1 Khi đó, ta có: (2.0 điểm) 0.5 2x2 x 2013 2(x2 5x 2012) 2x2 x 2013 2x2 10x 4024 2011 11x 2011 x . 0.5 11 2011 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x . 0.25 11
3. 2 3 3 2 3 7 Ta có y x 2x 3x 2 2 x 0 x y (1) 0.5 4 8 2 3 3 2 9 15 (x 2) y 4x 9x 6 2x 0 y x 2 (2) 0.5 4 16 2 Từ (1) và (2) ta có x < y < x+2 mà x, y nguyên suy ra y = x + 1 (2.0 điểm) 0.25 Thay y = x + 1 vào pt ban đầu và giải phương trình tìm được x = -1; từ đó tìm được hai cặp số (x, y) thỏa mãn bài toán là: 0.5 (-1 ; 0) KL 0.25 Câu 3 (4 điểm) Giả sử f(x) chia cho x2 4 được thương là 5x và còn dư là ax b . 0.5 Khi đó: f (x) (x2 4).( 5x) ax+b Theo đề bài, ta có: 7 f (2) 24 2a b 24 a 0.5 1 2 f ( 2) 10 2a b 10 (2.0 điểm) b 17 7 Do đó: f (x) (x2 4).( 5x) x+17 0.5 2 47 Vậy đa thức f(x) cần tìm có dạng: f (x) 5x3 x 17. 0.5 2 Ta có: a(b c)(b c a)2 c(a b)(a b c)2 b(a c)(a c b)2 0 (1) x z a 2 a b c x x y 0.25 Đặt: b c a y b 2 a c b z y z c 2 Khi đó, ta có: 2 x z x y y z 2 y z x z x y 2 1 2 0.5 (2.0 điểm) VT(1) .y .x (x y)(x y).z 2 2 2 2 2 2 4 x z x z y z z y 1 . .y2 . .x2 (x2 y2 )z2 0.5 2 2 2 2 4 1 1 1 (x2 z2 ).y2 (z2 y2 ).x2 (x2 y2 ).z2 0.25 4 4 4 1 1 (x2 y2 ).z2 (x2 y2 ).z2 0 VP (đpcm) 0.25 4 4 (1) KL: . 0.25
4. Câu 4 (6 điểm) E A B H F C D M N 1 (2.0 điểm) Ta có D·AM = A· BF (cùng phụ B·AH ) AB = AD ( gt) 0.75 B·AF = A·DM = 900 (ABCD là hình vuông) ΔADM = ΔBAF (g.c.g) => DM=AF, mà AF = AE (gt) Nên. AE = DM 0.5 Lại có AE // DM ( vì AB // DC ) Suy ra tứ giác AEMD là hình bình hành 0.5 Mặt khác.D· AE = 900 (gt) Vậy tứ giác AEMD là hình chữ nhật 0.25 Ta có ΔABH : ΔFAH (g.g) AB BH BC BH 0.5 = hay = ( AB=BC, AE=AF) AF AH AE AH Lại có H·AB = H· BC (cùng phụ A·BH ) 0.5 2 ΔCBH : ΔEAH (c.g.c) (2.0 điểm) 2 2 SΔCBH BC SΔCBH BC 2 = , mà = 4 (gt) = 4 nên BC = S AE S AE ΔEAH ΔEAH 0.5 (2AE)2 BC = 2AE E là trung điểm của AB, F là trung điểm của AD Do đó: BD = 2EF hay AC = 2EF (đpcm) 0.5 Do AD // CN (gt). Áp dụng hệ quả định lý ta lét, ta có: AD AM AD CN 0.5 = = 3 CN MN AM MN (2.0 điểm) Lại có: MC // AB ( gt). Áp dụng hệ quả định lý ta lét, ta có: MN MC AB MC AD MC 0.5 = = hay = AN AB AN MN AN MN
5. 2 2 2 2 AD AD CN CM CN2 + CM2 MN2 + = + = 2 = 2 = 1 AM AN MN MN MN MN 0.5 (Pytago) 2 2 AD AD 1 1 1 + = 1 2 2 2 (đpcm) 0.5 AM AN AM AN AD Câu 5 2 điểm Trước tiên ta chứng minh BĐT: Với  a, b, c R và x, y, z > 0 ta có 2 a2 b2 c2 a b c (*) x y z x y z a b c Dấu “=” xảy ra x y z Thật vậy, với a, b R và x, y > 0 ta có 2 a2 b2 a b ( ) x y x y 2 2 2 0.75 a y b x x y xy a b bx ay 2 0 (luôn đúng) a b Dấu “=” xảy ra x y Áp dụng bất đẳng thức ( ) ta có 2 2 a2 b2 c2 a b c2 a b c x y z x y z x y z a b c 2.0 điểm Dấu “=” xảy ra x y z 1 1 1 1 1 1 2 2 2 Ta có: a b c a3 (b c) b3 (c a) c3 (a b) ab ac bc ab ac bc Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0.5 2 2 2 a b c a b c a b c (Vì ab ac bc ab ac bc 2(ab bc ac) 1 1 1 2 a b c abc 1) 1 1 1 a2 b2 c2 1 1 1 1 0.25 Hay ab ac bc ab ac bc 2 a b c 1 1 1 1 1 1 2 2 2 3 Mà 3 nên a b c 0.25 a b c ab ac bc ab ac bc 2 1 1 1 3 Vậy 3 3 3 (đpcm) 0.25 a (b c) b (c a) c (a b) 2
6. Điểm toàn bài (20 điểm)