Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 (Chuyên) - Năm học 2015-2016 - Sở giáo dục và đào tạo Bắc Ninh (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 (Chuyên) - Năm học 2015-2016 - Sở giáo dục và đào tạo Bắc Ninh (Có đáp án)

1. UBND TỈNH BẮC NINH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2015 – 2016 Môn thi: Toán – Lớp 12 Chuyên ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 24 tháng 3 năm 2016 Câu 1. (4,0 điểm) x 1 Cho hàm số y (C) . Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y x m luôn 2x 1 cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A và B. Gọi k 1, k2 lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến 2016 2016 với (C) tại A và B. Tìm m để k1 k2 đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 2. (5,0 điểm) a) Giải phương trình: x3 3x2 7x 6 (3x 7) 3 3x2 6x 2. y y 9 (x y)(x2 x y y 2) 6.ln( ) b) Giải hệ phương trình: x x2 9 3 y 1 x xy 2 Câu 3. (3,0 điểm) Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn x y 0 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu 1 4 thức: F . x2 y2 2z2 2z 2 3 (x y)3 (z 2)3 Câu 4. (6,0 điểm) a) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng (P) : 3x y 2z -14 0, (Q) : x 2y - 3z 16 0 và điểm M 6;2;4 . Tìm tọa độ điểm E thuộc mặt phẳng (P), F thuộc mặt phẳng (Q) sao cho ME EF FM 2 30 . b) Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm cạnh AB, G là trọng tâm tam giác AMC và I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh đường thẳng GI vuông góc với đường thẳng CM. Câu 5. (2,0 điểm) u 3 1 Cho dãy số (u ) thỏa mãn điều kiện: 2 n un 2014un un 1 2016 2016 a) Chứng minh: (un ) là dãy số tăng. un b) Với mỗi n 1,n ¥ , đặt vn . Chứng minh rằng với mọi n 1 . un 1 2 v1 v2 vn 2016. Hết Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
2. UBND TỈNH BẮC NINH HƯỚNG DẪN CHẤM SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn thi: Toán - Lớp 12 Chuyên Ngày thi: 24 tháng 3 năm 2016 // Câu Đáp án Điểm 4,0 đ x 1 PT hoành độ giao điểm của (d) và (C) là x m 2x2 2mx m 1 0 (*) (vì 2x 1 1 x không là nghiệm) 2,0 2 Dễ thấy đường thẳng (d) : y x m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt với mọi m . 1 1 1 Gọi x1, x2 là nghiệm của (*), ta có k1 2 ,k2 2 ,k1k2 1 (2x1 1) (2x2 1) 2016 2016 1013 Áp dụng BĐT AM-GM, ta có k1 k2 2(k1k2 ) 2 . Dấu bằng xảy ra khi 2,0 2016 2016 k1 k2 2(x1 x2 ) 2 0 m 1 . Vậy Min(k1 k2 ) 2 tại m=-1 2.a (2,5 đ) Phương trình đã cho (x 1)3 4x 5 (3x 7) 3 (3x 7)(x 1) 4x 5 . Đặt u x 1,v 3 (3x 7)(x 1) 4x 5 . Ta có hệ: 0,5 u3 4x 5 (3x 7)v (u v)(u2 uv v2 3x 7) 0 3 v 4x 5 (3x 7)u u 3x2 18x 31 Vì u2 uv v2 3x 7 ( v)2 0,x nên u v . 2 4 0,5 Do đó x 1 3 3x2 6x 2 x3 3x 1 (1). Nếu x  2;2 đặt x 2cos ( [0; ]) , khi đó (1) trở thành: 8cos3 6cos 1 . 2 5 7 Ta tìm được ; ; . 9 9 9 1,0 5 7 Do đó pt (1) nhận x 2.cos ;2.cos ;2.cos làm nghiệm. 9 9 9 Mặt khác phương trình bậc 3 có nhiều nhất 3 nghiệm. 5 7 0,5 Vậy tập nghiệm của pt đã cho là S {2cos ;2cos ;2cos } 9 9 9 2.b 2,5 đ y y 9 (x y)(x2 x y y 2) 6.ln( ) (1) Giải hệ phương trình: x x2 9 3 y 1 x xy 2 (2) – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
3. ĐK: x 0, xy 2 Ta có (1) x3 2x 6ln(x x2 9) ( y)3 2 y 6ln( y y 9) (*) Xét hàm f (t) t3 2t 6ln(t t 2 9),t ¡ 6 Ta có f '(t) 3t 2 2 t 2 9 t 2 9 1 1 26 29 26 29 1,0 3[ (t 2 9) ] 3(1+ - )=0 27 t 2 9 t 2 9 27 3 3 3 Suy ra f(t) đồng biến và liên tục trên ¡ . Mà (*) f (x) f ( y) x y y x2 Thay vào (2) ta được: x 3 x2 3x 9 3 x2 1 x x3 2 (x 3)( 1 ) 0 (3) 3 (x2 1)2 2 3 x2 1 4 x3 2 5 (ĐK x 3 2 ) 1,0 x 3 x2 3x 9 Ta có 1 2 < . 3 (x2 1)2 2 3 x2 1 4 x3 2 5 Nên pt (3) có nghiệm duy nhất x = 3. Vậy hệ pt có nghiệm (x; y) (3;9) . 3,0 đ Áp dụng BĐT Cauchy-Schawrz, ta có 1 x2 y2 2z2 2z 2 x2 y2 (z 1)2 1 (x y z 2)2 4 1,5 x y z 2 Áp dụng BĐT AM-GM, ta có (x y)(z 2) 2 2 32 Do đó F 3 x y z 2 3(x y z 2)3 2 32 Đặt t x y z 2 F t 3t3 2 32 Xét hàm g(t) , t 2 . t 3t3 1,5 1 Lập BBT suy ra Max g(t) g(4) x 2 12 1 Vậy MaxF= tại x y 1, z 0 12 4.a 3,0 đ Tìm hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (P) và (Q) là A 3;1;2 , B 5;0;7 . 1,0 4 Điểm đối xứng của M qua (P) và (Q) là D 0;0;0 , C 4;-2;10 Do đó với E (P), F (Q) thì ME EF FM DE EF FC DC 2 30 . 1,0 Đẳng thức xảy ra khi {E} CD  (P),{F}=CD  (Q) . 28 14 70 32 16 80 Tìm được E( ; ; ), F( ; ; ) . 1,0 15 15 15 15 15 15 – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
4. 4.b 3,0 đ Chọn hệ Oxy sao cho O là trung điểm BC,tia Ox là tia OC, tia Oy là tia OA. Gọi BC=2a, d(A; BC) h 1,0 Khi đó B -a;0 ,C a;0 , A 0;h 3a h a h h2 a2 Tính được M ( ; ),G( ; ), I(0; ) 1,0 2 2 6 2 2h  a a2  3a h   Ta có GI ( ; ), MC ( ; ) GI.MC 0 GI  MC (đpcm) 1,0 6 2h 2 2 2,0 đ * Dùng quy nạp chứng minh đc un 2,n ¥ . Do đó un 1 un . 1,0 Vậy (un ) là dãy tăng (đpcm) 5 un 1 1 Ta có 2016(un 1 un ) un (un 2) 2016( ) . Do đó un 1 1 un 2 un 1 2 1,0 1 1 v1 v2 vn 2016( ) 2016 (đpcm) u1 2 un 1 2 Hết – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất