Đề thi học sinh giỏi quốc gia môn Toán Lớp 6 - Năm học 2021-2022

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi quốc gia môn Toán Lớp 6 - Năm học 2021-2022

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HSG QUỐC GIA CẦN THƠ NĂM HỌC 2021 - 2022 Đề chính thức Môn: TOÁN ( CHUYÊN) (15/11/2021) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Tên: TRƢƠNG QUANG AN Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tƣ Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi Điện thoại : 0353276871. Bài 1 (3,0 điểm).Cho các số thực dƣơng thỏa a bc2,, b ca 2 c ab 2 tìm max của P abc( a bc2 )( b ca 2 )( c ab 2 ) Bài 2 (3,0 điểm). Cho dãy số ()un xác định u11 2 bởi và un 1 2021 .Chứng minh dãy số ()un có giới hạn hữu hạn unn ,  ,2n 2un 1 và tính giới hạn đó. Bài 3 (3,0 điểm). Tìm hàm số f : thoả mãn ffx(() yz ) x fyfz ()(),,,  xyz Bài 4 (5,0 điểm) Cho tam giác ABC không là tam giác cân. Đƣờng tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC và tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lƣợt tại D, E, F. Gọi P là hình chiếu của D lên EF và M là trung điểm của BC. Hai tia AP và IP cắt đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lƣợt tại G và Q. Chứng minh rằng 4.1. Điểm Q thuộc đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác AEF. 4.2. Đƣờng thẳng GD đi qua điểm chính giữa cung BC chứa A. 4.3. Điểm D là tâm đƣờng tròn nội tiếp tam giác QGM. Bài 5 (3,0 điểm). Cho a, b, c là các số nguyên dƣơng. Chứng minh rằng nếu a b c là số nguyên thì abc là lập phƣơng của một số nguyên. b c a Bài 5 (3,0 điểm) Một công ty xây dựng đang lên kế hoạch thiết kế một khu phức hợp gồm tổ hợp 7 khu tiện ích hạ tầng tách biệt nhau (khu biệt thự, khu chung cƣ, trƣờng học, trung tâm thƣơng mại, bệnh viện, trung tâm hành chính và công viên). Ngoài việc tập trung xây dựng hệ thống hạ tầng, công ty này còn đặt ra mục tiêu là tăng cƣờng chất lƣợng không khí trong khu phức hợp bằng cách xây dựng thêm các lối đi trồng nhiều cây xanh. Nếu xem mỗi khu tiện ích là một điểm trên bảng thiết kế thì ngƣời ta có thể thiết kế đƣợc nhiều nhất bao nhiêu lối đi với yêu cầu mỗi lối đi là một đƣờng tròn đi qua đúng 4 trong 7 điểm đó - HẾT - (Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay)