Ma trận và đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 (Có đáp án)

Nội dung text: Ma trận và đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 (Có đáp án)

1. A. MA TRẬN ĐỀ Vận dụng Cấp độ Nhận Thông Cộng Chủ đề biết hiểu Cấp độ Cấp độ thấp cao - Vận dụng được các tính chất chia hết để chứng minh một tổng chia hết cho một 1. Số học. số. - Áp dụng tính chất lũy thừa để chứng minh giá trị của biểu thức nhỏ hơn 1. Số câu 2(C1ab) 2 Số điểm-Tỉ lệ % 4,0 4,0đ –20% Vận dụng được Vận dụng được hằng đẳng thức hằng đẳng thức để chứng minh để chứng minh một đẳng thức, so một biểu thức. 2. Đại số sánh hai số, phân tích đa thức thành nhân tử và tìm cực trị của tam thức bậc hai. Số câu 4(C2ab, C3ab) 1(C6) 5 Số điểm-Tỉ lệ % 8,0 1,0 9,0đ –45% - Hiểu được các -Vận dụng dấu hiệu được tính chât nhận biết quan hệ giữa về tứ giác ba cạnh của để chứng một tam giác 3. Hình học minh một để chứng minh. tứ giác là - Vận dụng hình chữ đường kẻ phụ nhật, một để chứng minh tứ giác là một đẳng thức hình thoi. 1
2. Số câu 2(C5ab) 2(C4,C5c) 4 Số điểm-Tỉ lệ % 3,0 4,0 7,0đ - 35% 2 6 3 11 Tổng số câu 3,0 12,0 5,0 20,0 Tổng số điểm 15% 60% 25% 100% Tỉ lệ % B.ĐỀ Câu 1: (4,0 điểm ) Chứng minh rằng: a) A = 1 + 3 + 32 + 33 + + 311 chia hết cho 40. 1 1 1 1 b) B = 1. 22 32 42 1002 2
3. Câu 2: (4,0 điểm ) a) Cho a + b + c = 0, chứng minh rằng a3+b3+c3=3abc b) So sánh hai số sau: C = (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1) và D = 232. Câu 3: (4,0 điểm ) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 + 2019x2 + 2018x + 2019. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của E = 2x2 – 8x + 1. Câu 4: (3,0 điểm) Chứng minh rằng trong một tứ giác, tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi của tứ giác ấy. Câu 5: (4,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Qua I vẽ IM vuông góc với AB tại M và IN vuông góc với AC tại N. a) Chứng minh tứ giác AMIN là hình chữ nhật. b) Gọi D là điểm đối xứng của I qua N. Chứng minh tứ giác ADCI là hình thoi. 1 c) Đường thẳng BN cắt DC tại K. Chứng minh rằng DK DC 3 Câu 6: (1,0 điểm) Chứng minh rằng: a2 b2 c2 d 2 e2 a(b c d e) “HẾT” C. ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM Câu 1: (4,0 điểm ) Chứng minh rằng: a) A = 1 + 3 + 32 + 33 + + 311 chia hết cho 40. 1 1 1 1 b) B = 1. 22 32 42 1002 CÂU 1 ĐÁP ÁN ĐIỂM 3
4. a A = 1 + 3 + 32 + 33 + + 311 = ( 1 + 3 + 32+ 33) + (34 + 35 +36 + 37)+ (38 + 39+ 310 + 311) 0,5 = ( 1 + 3 + 32+ 33) + 34. (1 + 3 + 32+ 33) + 38(1 + 3 + 32+ 33) 0,5 = 40 + 34. 40 + 38. 40 0,5 = 40. (1 + 34 + 38) M 40 0,5 Vậy A M 40 1 1 1 1 b B 22 32 42 1002 1 1 1 1 0,5 2.2 3.3 4.4 100.100 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0,5 1.2 2.3 3.4 99.100 2 2 3 99 100 1 1 1 0,5 100 Vậy B < 1 0,5 Câu 2: (4,0 điểm ) a) Cho a + b + c = 0, Chứng minh rằng a3+b3+c3=3abc b) So sánh hai số sau: C = (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1) và D = 232 CÂU 2 ĐÁP ÁN ĐIỂM a Ta có: a + b + c = 0 suy ra a + b = - c 0,5 Mặt khác: ( a + b )3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) 0,5 Suy ra (- c)3 = a3 + b3 + 3ab(-c) 0,5 a3 + b3 + c3 = 3abc(đpcm) 0,5 b C = (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1) (2-1)C = (2-1) (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1) 0,25 C = (22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1) 0,25 C = (24-1)(24+1)(28+1)(216+1) 0,25 C = (28-1) (28+1)(216+1) 0,25 C = (216-1)(216+1) 0,25 C = 232-1 0,25 Vì 232 - 1 < 232 nên C < D. 0,5 4
5. Câu 3: (4,0 điểm ) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 + 2019x2 + 2018x + 2019. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của E = 2x2 – 8x + 1. CÂU 3 ĐÁP ÁN ĐIỂM a x4 + 2019x2 + 2018x + 2019 = x4 + (x2 + 2018x2 )+ 2018x +( 2018 + 1) + x3 – x3 0,5 = (x4 + x3 + x2 )+ (2018x2 + 2018x +2018) – (x3 - 1) 0,5 = x2(x2 + x + 1) + 2018(x2 + x + 1) – (x – 1)(x2 + x + 1) 0,5 = (x2 + x + 1)(x2 + 2018 – x + 1) 0,25 = (x2 + x + 1)(x2– x + 2019) 0,25 b E = 2x2 – 8x + 1 = 2x2 – 8x + 8 - 7 0,5 = 2(x2 – 4x + 4) – 7 0,5 = 2(x – 2)2 – 7 - 7 0,5 Vậy giá trị nhỏ nhất của E = - 7 khi x = 2 0,5 Câu 4: (3,0 điểm) Chứng minh rằng trong một tứ giác, tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi của tứ giác ấy. ĐÁP ÁN ĐIỂM Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC, BD của tứ giác ABCD. Đặt AB = a, BC = b, CD = c, DA = d. Xét AOB, ta có: OA + OB > AB (Quan hệ giữa ba cạnh của tam giác). 0,25 Xét COD, ta có: OC + OD > CD (Quan hệ giữa ba cạnh của tam giác). 0,25 Suy ra: OA + OB + OC + OD > AB + CD 5
6. AC + BD > AB + CD 0,25 AC + BD > a + c (1) Chứng minh tương tự: 0,25 AC + BD > AD + BC AC + BD > d + b (2) 0,25 Từ (1) và (2) suy ra 2(AC + BD) > a + c + d + b 0,25 a c d b 0,25 AC + BD > (*) 2 Xét ABC, ta có: AC < a + b Xét ADC, ta có: AC < d + c 0,25 Suy ra: 2AC < a +b + c + d a c d b AC < (3) 0,25 2 a c d b Chứng minh tương tự: BD < ( ) (4) 0,25 2 Từ (3) và (4) suy ra: AC + BD < a +b + c +d. 0,25 a c d b Từ (*) và ( ) suy ra < AC + BD a + b + c + d 0,25 2 (đpcm) Câu 5: (4,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Qua I vẽ IM vuông góc với AB tại M và IN vuông góc với AC tại N. a) Chứng minh tứ giác AMIN là hình chữ nhật. b) Gọi D là điểm đối xứng của I qua N. Chứng minh tứ giác ADCI là hình thoi. 1 c) Đường thẳng BN cắt DC tại K. Chứng minh rằng DK DC. 3 CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM 6
7. a Xét tứ giác AMIN có: MAN = 900 (vì tam giác ABC vuông ở A) 0,25 AMI = 900 (vì IM vuông góc với AB) 0,25 ANI = 900 (vì IN vuông góc với AC) 0,25 Vậy tứ giác AMIN là hình chữ nhật (Vì có 3 góc vuông) 0,25 b 1 0,5 ABC vuông tại A, có AI là trung tuyến nên AI IC BC 2 Do đó AIC cân tại I, có đường cao IN đồng thời là trung tuyến 0.5 NA NC 0,5 Mặt khác: NI = ND (tính chất đối xứng) nên ADCI là hình bình hành (1) Mà AC  ID (2) 0,5 Từ (1) và (2) suy ra tứ giác ADCI là hình thoi. c Kẻ qua I đường thẳng IH song song với BK cắt CD tại H 0,25 IH là đường trung bình BKC H là trung điểm của CK hay KH = HC (3) 0,25 Xét DIH có N là trung điểm của DI, NK // IH (IH // BK) Do đó K là trung điểm của DH hay DK = KH (4) 0,25 1 0,25 Từ (3) và (4) suy ra DK = KH = HC DK DC 3 Câu 6:(1,0 điểm) Chứng minh rằng: a2 b2 c2 d 2 e2 a(b c d e) ĐÁP ÁN ĐIỂM 7
8. Ta có : 2 1 1 2 2 a b 0 a b ab (1) 2 4 2 1 1 2 2 a c 0 a c ac (2) 0,25 2 4 2 1 1 2 2 a d 0 a d ad (3) 2 4 2 1 1 2 2 a e 0 a e ae (4) 2 4 0,25 Ta cộng (1), (2), (3), (4) vế theo vế ta được : 1 4. a2 b2 c2 d 2 e2 ab ac ad ae 4 0,25 a2 b2 c2 d 2 e2 a(b c d e) 0,25 Lưu ý : - Mọi cách giải khác của học sinh có kết quả đúng đều ghi điểm tối đa. - Riêng câu 4 và câu 5 nếu học sinh không vẽ hình mà làm đúng thì cho ½ tổng số điểm của câu đó. (Đề thi gồm có 08 trang) 8