Phương pháp giải bài tập Toán 10 - Chương vectơ (Có đáp án và lời giải)

96 trang xuanha23 09/01/2023 2901

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Phương pháp giải bài tập Toán 10 - Chương vectơ (Có đáp án và lời giải)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

phuong_phap_giai_bai_tap_toan_10_chuong_vecto_co_dap_an_va_l.docx

Nội dung text: Phương pháp giải bài tập Toán 10 - Chương vectơ (Có đáp án và lời giải)

Chủ đề 8: Vectơ Chủ đề 8 VECTƠ Vấn đề cần nắm: Trong chương trình học lớp 10 sách giáo khoa học sinh bắt đầu là quen kiến 1. Định nghĩa và các thức vectơ và tọa độ. Đây là mô hình cụ thể của không gian vectơ, một cấu trúc phép toán vectơ đại số quan trọng được dùng trong nhiều ngành toán học. Học chủ đề vectơ là việc chuẩn bị cho học sinh công cụ nghiên cứu một số vấn đề trong hình học 2. Các quy tắc và kết phẳng như hệ thức lượng trong tam giác, giải tam giác, nghiên cứu đường thẳng, quả ứng dụng vectơ đường tròn elip. Qua chủ đề này các em sẽ dễ dàng tiếp thu các kiến thức về cơ 3. Trục và hệ trục tọa học trong chương trình THPT, đồng thời là cơ sở lý thuyết để mở rộng phương độ trong mặt phẳng pháp tọa độ từ mặt phẳng sang không gian. §1. ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ A. Lý thuyết 1. Các định nghĩa • Vectơ là một đoạn thẳng có hướng. Kí hệu vectơ có điểm đầu A, điểm  cuối B là AB . + Ta còn sử dụng kí hiệu a,b, để biểu diễn vectơ. • Giá của vectơ là đường thẳng chứa vectơ đó. • Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ,   STUDY TIP độ dài vủa vectơ AB kí hiệu là AB . - Độ dài vectơ là một số không âm. • Hai vectơ a và b được gọi là cùng phương nếu giá của chúungsong song hoặc trùng nhau. - Vectơ đơn vị là vectơ có độ dài bằng 1, là vectơ + Hai vectơ cùng phương có thể cùng hướng hoặc ngược hướng. quy ước để so sánh. • Vectơ – không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, kí hiệu 0 . - Khi nhắc đến vectơ là ta nói tới điểm đặt, giá, + Vectơ 0 cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ. phương, chiều, độ lớn vectơ đó. + Mọi vectơ 0 đều bằng nhau và 0 0 .
Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book + Giá của vectơ-không là mọi đường thẳng đi qua nó. • Hai vectơ a và đượcb gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài, kí hiệu a b . + Khi cho trước vectơ a và điểm O, thì ta luôn tìm được một điểm A duy  nhất sao cho OA a . 2. Các phép toán trên vectơ a. Tổng của hai vectơ    • Quy tắc cộng: Với ba điểm A, B, C tùy ý, ta có: AB BC AC . + Quy tắc mở rộng cho n điểm A1, A2 , A3 , , An ta có:     A1 An A1 A2 A2 A3 An 1 An + Quy tắc hình bình hành: Với ABCD là hình bình hành, ta có:    AB AD AC . • Tính chất: với ba vectơ a,b,c tùy ý + a b a b (tính chất giao hoán); STUDY TIP + a b c a b c (tính chất kết hợp); - Có thể phân tich một vectơ bằng tổng của nhiều + a 0 0 a a (tính chất vectơ – không). vectơ bằng cách chèn điểm theo quy tắc phép b. Hiệu của hai vectơ cộng.    • Vectơ đối: vectơ b là vectơ đối của a nếu b a và a,b là hai vectơ OB OA AB chung điểm đầu thì dồn ra phía ngược hướng. Kí hiệu b a . trước.    + Vectơ đối của 0 là 0 . AO BO AB chung điểm cuối thì dồn ra phía + a b a b . sau. +a a a a 0 .    • Quy tắc trừ: Với ba điểm O, A, B tùy ý, ta có: OB OA AB .
Chủ đề 8: Vectơ c) Tích của một vectơ với một số • Cho vectơ a và số k ¡ . ka là một vectơ được xác định như sau: + ka cùng hướng với vectơ a nếu k 0 , ka ngược hướng với vectơ a nếu k 0 . +ka k . a . • Tính chất: Với các vectơ a,b tùy ý và h,k ¡ .  + k a b ka kb; + h k a ha ka; + h ka hk a; + 1.a a; 1 a a;0.a 0;k.0 0; + ka 0 k 0 hoặc a 0 . • Điều kiện để hai vectơ cùng phương: Cho hai vectơ a,b với a 0 cùng phương khi và chỉ khi k ¡ :b ka • Điều kiện ba điểm thẳng hàng: A, B, C thẳng hàng   k 0 : AB k AC • Biểu thị một vectơ theo hai vectơ không cùng phương: Cho hai vectơ a,b không cùng phương và x tùy ý. Khi đó tồn tại duy nhất cặp số h, k ¡ : x ha kb . * Chú ý: • Hệ thức trung điểm đoạn thẳng: Với I là trung điểm của đoạn thẳng AB ta có:   ✓ IA IB 0;    ✓ (MM Atùy Mý).B 2MI • Hệ thức trọng tâm tam giác: Với G là trọng tâm ABC ta có:
Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book    ✓ GA GB GC 0; STUDY TIP     - Trung điểm đoạn thẳng ✓ (MM tùyA ý).MB MC 3MG và trọng tâm tam giác với • Tâm tỉ cự: Điểm I được gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm A , A , , A gắn với các hệ thức là các trường 1 2 n hợp riêng của tâm tỉ cự hệ số 1, 2 , , n mà 1 2 n 0 khi    1 IA1 2 IA2 n IAn 0 B. Các dạng toán điển hình Dạng 1 Các bài toán về khái niệm vectơ Phương pháp: - Sử dụng định nghĩa vectơ, vectơ-không, độ dài vectơ, hai vectơ bằng nhau - Xác định sự cùng phương, cùng hướng của các vectơ. - Áp dụng tính chất hình học của các hình trong hình học phẳng để giải toán. STUDY TIP Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, có thể xác định được bao nhiêu vectơ khác vectơ- không có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh A, B, C? -Với hình n giác ta lập được n n 1 vectơ khác A. 4B. 6 C. 9 D. 12 vectơ-không có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh Lời giải của n giác.       Ta có các vectơ: AB, BA, BC,CB,CA, AC. Đáp án B. Ví dụ 2: Cho hai vectơ không cùng phương a và b . Mệnh đề nào sau đây đúng A. Không có vectơ nào cùng phương với cả hai vectơ a và b B. Có vô số vectơ cùng phương với cả hai vectơ a và b C. Có một vectơ cùng phương với cả hai vectơ a và b , đó là vectơ 0 D. Cả A, B, C đều sai
Chủ đề 8: Vectơ STUDY TIP Lời giải - Hai vectơ bằng nhau khi chúng cùng chiều và cùng Vì vectơ 0 cùng phương với mọi vectơ. Nên có một vectơ cùng phương với cả độ dài. hai vectơ a và b , đó là vectơ 0 . - Hai vectơ cùng chiều thì Đáp án C. cùng phương nhưng hai vectơ cùng phương thì Ví dụ 3: Cho hình lục giác đều ABCDEF tâm O. Số các vectơ khác vectơ không, chưa chắc đã cùng chiều.  cùng phương với vectơ OB có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là A. 4B. 6 C. 8 D. 10 Lời giải  Các vectơ cùng phương với vectơ OB là:       BE, EB, DC,CD, FA, AF. Đáp án B. Ví dụ 4: Cho tứ giác đều ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Mệnh đề nào sau đây là sai?         A. MN QP B. QP M C.N M QD. NP MN AC Lời giải MN //PQ 1 Ta có (do cùng song song và bằng AC ). MN PQ 2 Do đó MNPQ là hình bình hành. Đáp án D. Ví dụ 5: Cho ba điểm A, B, C phân biệt và thẳng hàng. Mệnh đề nào sau đây đúng?     A. AB BC B. và cùng hướng CA CB     C. AB và AC ngược hướngD. và B cùngA phươngBC
Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Lời giải   Với ba trường hợp lần lượt A, B, C nằm giữa thì ta luôn có BA, BC cùng phương. Đáp án D. Ví dụ 6: Cho tam giác ABC với trực tâm H. D là điểm đối xứng với B qua tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây là đúng?         A. HA CD và AD CH B. vàH A CD DA HC         C. HA CD và AD HC D. vàA D HC OB OD Lời giải   Ta có BD là đường kính OB DO . AH  BC, DC  BC AH / /DC (1) Ta lại có CH  AB, DA  AB CH / /DA (2)     Từ (1) và (2) tứ giác HADC là hình bình hành HA CD; AD HC . Đáp án C. Ví dụ 7: Cho ABC với điểm M nằm trong tam giác. Gọi A', B ',C 'lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB và N, P, Q lần lượt là các điểm đối xứng với M qua A', B ',C '. Câu nào sau đây đúng?         A. AM PC và QB NC B. vàA C QN AM PC         C. AB CN và D.AP QN và A B ' BN MN BC Lời giải   Ta có AMCP là hình bình hành AM PC Lại có AQBM và BMCN là hình bình hành NC BM QA   AQNC là hình bình hành AC QN .
Chủ đề 8: Vectơ Đáp án B. Chứng minh đẳng thức vectơ Phương pháp: - Sử dụng các quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành. - Biến đổi vế này thành vế kia. - Biến đổi đẳng thức cần chứng minh thành một đẳng thức đã biết hiển nhiên đúng. - Từ một đẳng thức đúng biến đổi thành đẳng thức cần chứng minh. Ví dụ 1: Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Tìm đẳng thức sai:        A. AM AN AC B. AM AN AB AD        C. AM AN MC NC D. AM AN DB Lời giải    + Tứ giác AMCN là hình bình hành AM AN AC A đúng.      + ABCD là hình bình hành AB AD AC AM AN B đúng.         + AM NC, AN MC AM AN MC NC C đúng. Đáp án D.
Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Ví dụ 2: Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F phân biệt. Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào sai?     A. AB DF BD FA 0     B. BE CE CF BF 0       C. AD BE CF AE BF CD       D. FD BE AC BD AE CF Lời giải          + Ta có: AB DF BD FA AB BD DF FA AA 0 A đúng.       + BE CE CF BF BC CB 0 B đúng.               + AD BE CF AE BF CD AD DC CF AE EB BF AF AF C đúng.        + FD DB BE EA AC FC 0 2FC 0 F  C (mâu thuẫn giả thiết) D sai. Đáp án D. Ví dụ 3: Cho ABC với H, O, G lần lượt là trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp trọng tâm. Hệ thức nào sau đây là đúng?  3     1    A. OH OG B. HO 3O C.G OG D. GH 2 GO 3OH 2 2 Lời giải        Ta có GA GB GC 0 OA OB OC 3OG (1) Gọi I là trung điểm BC, A' đối xứng với A qua O. Dễ thấy HBA'C là hình bình hành          HB HC HA' HA HB HC HA HA' 2HO          3HO OA OB OC 2HO OH OA OB OC (2)
Chủ đề 8: Vectơ         1  Từ (1) và (2) OH 3OG OG GH 3OG GH 2OG OG GH . 2 Đáp án C. Ví dụ 4: Cho 4 điểm A, B, C, D. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Đẳng thức nào sau đây là sai?       A. AB CD 2IJ B. AC BD 2IJ       C. AD BC 2IJ D. 2IJ DB CA 0 Lời giải         + B đúng vì AC BD AI IJ JC BI IJ JD       2IJ AI BI JC JD 2IJ          + C đúng vì AD BC AI IJ JD BI IJ JC 2IJ       + D đúng vì AC BD 2IJ 2IJ CA DB 0 Đáp án A. Ví dụ 5: Cho ABC , M là một điểm trên cạnh BC. Khi đó đẳng thức nào sau đây là đúng?  MC  MB   MA  MB  A. AM .AB .AC B. BM .AC .BC BC BC AB AB  MB  MA   MC  MB  C. 3CM .AB .AC D. 2AM .AB .AC AC AB BC BC Lời giải Kẻ MN / / AC, N AB .  AN  MC  Áp dụng định lí Ta-lét ta có AN .AB .AB AB BC  NM  MB  NM .AC .AC AC BC
Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book    MC  MB  AM AN NM .AB .AC . BC BC Đáp án A. Ví dụ 6: Cho ABC , AM, BN, CP là các trung tuyến. D, E, F là trung điểm của AM, BN và CP. Với O là điểm bất kì. Đẳng thức nào sau đây đúng?       A. OA OB OC OD OE OF       B. 2 OA OB OC 3 OD OE OF       C. OA OB OC 2 OD OE OF       D. OA OB OC 3 OD OE OF Lời giải       Ta có: 2OA OB OC 2OA 2OM 4OD (1)     Tương tự OA 2OB OC 4OE (2)     OA OB 2OC 4OF (3) Cộng vế vói vế (1), (2), (3) ta được đáp án A. Đáp án A. Ví dụ 7: Cho tam giác ABC đều tâm O, M là điểm bất kì trong tam giác. Hình chiếu của M xuống ba cạnh lần lượt là D, E, F. Hệ thức nào sau đây là đúng?    1     2  A. B.M D ME MF MO MD ME MF MO 2 3    3     3  C. MD ME MF MO D. MD ME M F MO 4 2 Lời giải Qua M kẻ các đường thẳng A1B1 / / AB, A2C1 / / AC, B2C2 / /BC Các tam giác đều MB1C1, MA1C2 , MA2 B2
Chủ đề 8: Vectơ  1    1    1   Ta có: MD MB MC , ME MA MC , MF MB MA 2 1 1 2 1 2 2 2 2    1   1   1   MD ME MF MA MA MB MB MC MC 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1    3  MA MB MC MO . 2 2 Đáp án D. Xác định điểm thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp: - Bước 1: Sử dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, tính chất trung điểm,  trọng tâm biến đổi đẳng thức đã cho về dạng OM u trong đó u đã biết trước. - Bước 2: Dựng điểm M, dựng một vectơ bằng vectơ , uđiểm cuối của vectơ chính là M. * Chú ý:   + Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k 1 MA kMB và với điểm O tùy ý thì    OA kOB OM 1 k + Điều kiện cần và đủ để ABC và A' B 'C ' cùng trọng tâm là    AA' BB ' CC ' 0 .
Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book   Ví dụ 1: Cho hai điểm A và B. Tìm điểm I sao cho IA 2IB 0 . 1 A. Điểm I ngoài đoạn AB sao cho IB AB 3 1 B. Điểm I thuộc đoạn AB sao cho IB AB 3 C. Điểm I là trung điểm đoạn AB 1 D. Điểm I nằm khác phía với B đối với A và IB AB . 3 Lời giải     IA 2IB 0 IA 2IB . 1 Vậy I thuộc đoạn AB sao cho IB AB . 3 Đáp án B. Ví dụ 2: Cho đoạn thẳng AB. Hình nào sau đây biểu diễn điểm I sao cho  3  AI BA. 5 A. B. C. D. Đáp án B.
Chủ đề 8: Vectơ Ví dụ 3: Cho ABC có G là trọng tâm. Xác định điểm M sao cho:    MA MB 2MC 0 . A. Điểm M là trung điểm cạnh AC. B. Điểm M là trung điểm cạnh GC. C. Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số 4.   D. Điểm M chia đoạn GC thỏa mãn GC 4GM . Lời giải          MA MB 2MC MG GA MG GB 2MG 2GC 0        4MG GA GB GC GC 0 GC 4GM Đáp án D. Ví dụ 4: Cho ABC , I là trung điểm của AC. Vị trí điểm N thỏa mãn    NA 2NB CB xác định bởi hệ thức:  1     2    A. B.BN BI C. BN 2B ID. BN BI BN 3BI 3 3 Lời giải         Ta có: NA 2NB CB NA NB NB CN NB       2  NA NC NB 2NI NB BN BI 3 Đáp án C. Ví dụ 5: Cho hình bình hành ABCD. Tìm vị trí điểm N thỏa mãn:       NC ND NA AB AD AC . A. Điểm N là trung điểm cạnh ABB. Điểm C là trung điểm cạnh BN C. Điểm C là trung điểm cạnh AMD. Điểm B là trung điểm cạnh NC Lời giải
Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book       Ta có NC ND NA AB AD AC       NC NA ND AB AD AC       AC ND AC AC AC DN ACND là hình bình hành C là trung điểm cạnh BN. Đáp án B. Ví dụ 6: Cho 2 điểm A, B là hai số thực a, b sao cho a b 0 . Xét các mệnh đề:   (I) Tồn tại duy nhất một điểm M thỏa mãn aMA bMB 0 .  b  (II) MA AB . a b (III) M là điểm nằm trên đường thẳng AB. Trong các mệnh đề trên thì: A. (I) và (III) tương đương nhauB. (II) và (III) tương đương nhau C. (I) và (II) tương đương nhauD. (I), (II), (III) tương đương nhau Lời giải       b  aAM bMB 0 aMA b MA AB 0 MA AB a b Do giả thiết M được xác định duy nhất trên đường thẳng AB. Đáp án C. Ví dụ 7: Cho ABC với BC a, AC b, AB c . Nếu điểm I thỏa mãn hệ thức    aIA bIB cIC 0 thì: A. Điểm I là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC . B. Điểm I là tâm đường tròn nội tiếp ABC . C. Điểm I là trực tâm của ABC . D. Điểm I là trọng tâm của ABC .
Chủ đề 8: Vectơ Lời giải A' B c Lấy A' sao cho hay AA' là đường phân giác. A'C b      Ta có: aIA bIB cIC 0 aIA b c IA' 0 IA b c c BA I thuộc đoạn AA' và IA' a ac BA' b c I là tâm đường tròn nội tiếp ABC . Đáp án B. Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện Phương pháp:   - Nếu MA MB với A, B cố định cho trước thì M nằm trên đường trung trực của AB.  - Nếu MA k 0 với A cố định cho trước thì M nằm trên đường tròn tâm A bán kính R k .   - Nếu MA k AB với A, B cố định cho trước thì M nằm trên đường tròn tâm A, bán kính R k.AB,k ¡ .   - Nếu MA k AB với A, B cố định, k là số thực thay đổi thì tập hợp điểm M là đường thẳng AB.   - Nếu MA k BC với A, B, C cố định, k là số thực thay đổi thì tập hợp điểm M là đường thẳng qua A và song song với BC.     - Nếu MA MB MC MD với A, B, C, D cố định cho trước thì tập hợp điểm M nằm trên đường trung trực của IJ với I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD.
Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Ví dụ 1: Gọi G là trọng tâm của ABC . Tập hợp điểm M sao cho    MA MB MC 6 là: A. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. B. Đường tròn tâm G bán kính là 1. C. Đường tròn tâm G bán kính là 2. D. Đường tròn tâm G bán kính là 6. Lời giải       Ta có MA MB MC 3MG 3 MG 6 MG 2 Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm G bán kính là 2. Đáp án C. Ví dụ 2: Cho ABC có trọng tâm G. I là trung điểm của BC. Tập hợp điểm M      sao cho: 2 MA MB MC 3 MB MC là: A. đường trung trực của đoạn GI B. đường tròn ngoại tiếp ABC C. đường thẳng GI D. đường trung trực của đoạn AI Lời giải        Ta có: MA MB MC 3MG, MB MC 2MI   2 3MG 3 2MI   MG MI Tập hợp điểm M là trung trực của GI. Đáp án A.
Chủ đề 8: Vectơ Ví dụ 3: Cho hình chữ nhật ABCD tâm O. Tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng     thức MA MB MC MD là A. một đoạn thẳngB. một đường tròn C. một điểmD. tập hợp rỗng Lời giải         Ta có: MA MB MC MD MA MB MC MD     2MI 2MJ MI MJ với I, J là trung điểm của AB, CD Không có điểm M nào thỏa mãn. Đáp án D. Ví dụ 4: Trên đường tròn C O; R lấy điểm cố định A; B là điểm di động trên    đường tròn đó. Gọi M là điểm di động sao cho OM OA OB . Khi đó tập hợp điểm M là: A. đường tròn tâm O bán kính 2R. B. đường tròn tâm A bán kính R C. đường thẳng song song với OA D. đường tròn tâm C bán kính R 3 Lời giải    Từ giả thiết OM OA OB O, A, M, B theo thứ tự là các đỉnh của hình bình hành. Do AM OB R Tập hợp điểm M là đường tròn tâm A bán kính R. Đáp án B.
Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Ví dụ 5: Cho ABC và điểm M thỏa mãn đẳng thức:      3MA 2MB MC MB MA . Tập hợp điểm M là A. một đoạn thẳngB. nửa đường tròn C. một đường trònD. một đường thẳng Lời giải      Gọi E là trung điểm của AC 3MA 2MB MC MB MA         2 MA MB MA MC AB 2BA 2ME AB   Gọi I là điểm thỏa mãn BA EI      1 2 EI ME AB 2 MI AB MI AB 2 AB Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính . 2 Đáp án C.      Ví dụ 6: Tập hợp điểm M thỏa mãn hệ thức: 3MA 2MB 2MC MB MC AB A. là một đường tròn có bán kính là 2 BC B. là một đường tròn có bán kính là 3 C. là một đường thẳng qua A và song song với BC D. là một điểm Lời giải Chọn điểm I sao cho
Chủ đề 8: Vectơ         3IA 2IB 2IC 0 3AI 2 AB AI 2 AC AI 0       2  3AI 2 AB AC 0 3AI 2CB AI CB 3           3MA 2MB 2MC 3 MI IA 2 MI IB 2 MI IC 3MI      1 3MA 2MB 2MC MB MC 3MI CB MI CB 3 CB Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính . 3 Đáp án B. Ví dụ 7: Tìm tập hợp điểm thỏa mãn hệ thức:    2MA 1 k MB 3kMC 0 , k là giá trị thay đổi trên ¡ . A. Tập hợp điểm M là một đoạn thẳng. B. Tập hợp điểm M là một đường tròn. C. Tập hợp điểm M là một đường thẳng. D. Tập hợp điểm M là một nửa đường tròn. Lời giải     Từ giả thiết 2MA MB k MB 3MC (*)     Gọi I, K là các điểm sao cho 2IA IB 0; KB KC 0 Thì I, K là các điểm cố định: I AB : IB 2IA; K BC : KB 3KC           Từ (*) 2 MI IA MI IB k MK KB 3MK 3KC MI 4kMK Vậy tập hợp điểm M là đường thẳng. Đáp án C.
Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Phân tích vectơ qua hai vectơ không cùng phương. Sự thẳng hàng, song song 1. Phân tích vectơ qua hai vectơ không cùng phương Phương pháp: Cách 1: Từ giả thiết đã cho xác định tính chất hình học rồi từ đó khai triển vectơ cần biểu diễn bằng quy tắc ba điểm, quy tắc hiệu hai vectơ, quy tắc hình bình hành, Cách 2: Chuyển điều kiện ràng buộc thành hệ phương trình và giải hệ điều kiện đó. 2. Sự thẳng hàng, song song Phương pháp:   + Ba điểm A, B, C thẳng hàng AB k AC, k 0    + Ba điểm A, B, C thẳng hàng MC .MA 1 .MB với M , ¡   + AB / /CD AB kCD, k 0  Ví dụ 1: Cho AK và BM là hai trung tuyến của ABC . Hãy phân tích vectơ AB   theo hai vectơ AK và BM .  2    1   A. AB AK BM B. AB AK BM 3 3  3    2   C. AB AK BM D. AB AK BM 2 3 Lời giải Cách 1:        1   1 Ta có: AB AK KB AK KM MB AK AB BM (vì KM AB ) 2 2
Chủ đề 8: Vectơ  1    3     2   AB AB AK BM AB AK BM AB AK BM 2 2 3    Cách 2: Giả sử có cặp số m, n sao cho AB mAK nBM , với G AK  BM     3   3  Ta có AB AG GB, AK AG, BM BG 2 2   3  3  3  3  AG GB mAG nGB m 1 AG n 1 BG (*) 2 2 2 2 3 2 m 1 0 m   2 3 Do AG, BG không cùng phương (*) 2 n 1 0 n 2 3  2   AB AK BM . 3 Đáp án A. 11  5  Ví dụ 2: Cho ABC vuông cân, AB AC . Khi đó vectơ u AB AC 4 2 được vẽ đúng ở hình nào sau đây? A. B. C. D. Lời giải
Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book  11   5  Theo hình vẽ AM AB, AN AC Chọn đáp án D. 4 2 Đáp án D. Ví dụ 3: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N là các điểm nằm trên các cạnh AB 1 1 và CD sao cho AM AB,CN CD . Gọi G là trọng tâm của BMN . Hãy 3 2    phân tích AG theo hai vectơ AB a, AC b .  1 5  1 1 A. AG a b B. AG a b 18 3 18 5  5 1  5 1 C. AG a b D. AG a b 18 3 18 3 Lời giải      1  Ta có AM AN AB 3AG mà AM AB 3  1   1    1 AN AC AD AC AC AB a b 2 2 2  1  1    5   3AG AB AB AC AB AB AC 3 2 6  5 1 AG a b . 18 3 Đáp án C. Ví dụ 4: Cho ABC . Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI 3B Ivà J là     điểm trên tia đối của BC sao cho 5JB 2JC . Tính AI, AJ theo a AB,b AC .   3 2  5 2  3 2  5 2 A. AI a b, AJ a b B. AI a b, AJ a b 5 5 3 3 5 5 3 3  2 3  5 2  3 2  5 2 C. AI a b, AJ a b D. AI a b, AJ a b 5 5 3 3 5 5 3 3
Chủ đề 8: Vectơ Lời giải       Ta có: 2IC 3IB 2 AC AI 3 AB AI     3  2  5AI 3AB 2AC AI AB AC . 5 5       Ta lại có: 5JB 2JC 5 AB AJ 2 AC AJ     5  2  3AJ 5AB 2AC AJ AB AC 3 3 Đáp án A. Ví dụ 5: Cho tứ giác ABCD. Trên AB và CD lần lượt lấy các điểm M, N sao cho        AM k AB , DN k DC , k 1 . Hãy biểu diễn MN theo hai vectơ AD và BC .       A. MN k.AD 1 k .BC B. MN 1 k . AD k.BC       C. MN 1 k .AD k.BC D. MN k.AD k 1 .BC Lời giải      Với điểm O bất kì: OM OA AM OA k AB      OA k OB OA 1 k OA kOB    Tương tự ON 1 k OD kOC          MN ON OM 1 k OD OA k OC OB 1 k AD k BC Đáp án C.
Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Ví dụ 6: Cho ABC có trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm AM và K là điểm 1 trên AC sao cho AK AC . Đẳng thức nào sau đây là điều kiện cần và đủ để ba 3 điểm B, I, K thẳng hàng.  2   4     3  A. BK BI B. BK C.B I B D.K 2BI BK BI 3 3 2 Lời giải     1     Ta có: 2BI BA BM BA BC 4BI 2BA BC (1) 2     1   1   2  1  BK BA AK BA AC BA BC BA BA BC 3 3 3 3    3BK 2BA BC (2)  4  Từ (1) và (2) BK BI B, I, K thẳng hàng. 3 Đáp án B. Ví dụ 7: Cho ABC, E là trung điểm BC, I là trung điểm của AB. Gọi D, I, J, K    1    lần lượt là các điểm thỏa mãn BE 2BD, AJ JC, IK mIJ . Tìm m để A, K, 2 D thẳng hàng. 5 1 1 2 A. m B. C.m D. m m 6 3 2 5 Lời giải     Ta có: A, K, D thẳng hàng AD nAK n AI IK (1)     1   3  1  2AD AB AE AB AB AC AB AC 2 2 2  3   3   9  3  3AI AJ 3AI AI IJ AI IJ 2 2 2 2
Chủ đề 8: Vectơ    9  3   9  3  Mà IK mIJ nên 2AD AI IK AD AI IK (2) 2 2m 4 4m 9 3 1 Từ (1) và (2) m . 4 4m 3 Đáp án B.   Ví dụ 8: Cho ABC . Hai điểm M, N được xác định bởi hệ thức BC MA 0 ,    AB NA 3AC 0 . Đẳng thức nào sau đây là điều kiện cần và đủ để MN / / AC .    1     1  A. MN 2AC B. MN AC.C MN D. 3 AC MN AC 2 3 Lời giải      Ta có: BC MA 0 và AB NA 3AC 0      BC MA AB NA 3AC 0      AC MN 3AC 0 MN 2AC     Ta có: BC MA 0 BC AM ABCM là hình bình hành hay M AC MN / / AC Chọn đáp án A. Đáp án A.     Ví dụ 9: Cho ABC;M và N xác định bởi 3MA 4MB 0 , NB 3NC 0 . PA Trọng tâm ABC là G. Gọi P là điểm trên cạnh AC sao cho 4 . Các đẳng PC thức nào sau đây là điều kiện cần và đủ để M, G, N, P thẳng hàng.     A. 7GM 2GN 0 và 3PG 2PN 0     B. 5GM 2GN 0 và 3PG 2PN 0     C. 7GM 2GN 0 và 2PQ 3PN 0     D. 3GM 2GN 0 và 3PG 2PN 0
Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Lời giải   + Ta có: 3MA 4MB 0        3 MG GA 4 MG GB 0 3GA 4GB 7GM       Tương tự: NB 3NC 0 NG GB 3 NG GC 0       GB 3GC 2NG 0 3GA 4GB 2GN .     Vậy 7GM 2GN 7GM 2GN 0    + Gọi E là trung điểm BC 2AC AE AN  3    3  1  2AC AG AN AC AG AN (1) 2 4 2 PA  1   5  4 PC PA AC AP (2) PC 4 4 3  1  5  Từ (1) và (2) AG AN AP 4 2 4 3   1   5  3  1    AP PG AP PN AP PG PN 0 3PG 2PN 0 . 4 2 4 4 2 Đáp án A. Ví dụ 10: Cho tứ giác ABCD. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm của ADC và BCD . Đẳng thức nào là điều kiện cần và đủ để IJ / / AB .  1   2   1   1  A. IJ AB B. IJ C A B D.IJ AB . IJ AB 3 3 2 4 Lời giải Gọi M là trung điểm ĐƯỢC.  1   1  Ta có: MI MA, MJ MB 3 3   1    1  MJ MI MB MA IJ AB . 3 3
Chủ đề 8: Vectơ Đáp án A. Ví dụ 11: Cho ABC . Gọi M là điểm thuộc cạnh AB; N cạnh AC sao cho  1   3  ON AM AB , AN AC . Gọi O là giao điểm của CM và BN. Tính tỉ số và 3 4 OB OM tương ứng. OC 1 2 1 1 1 1 1 1 A. và B. và C. và D. và 9 3 3 4 4 6 6 9 Lời giải     Giả sử: ON nBN;OM mCM         1   AO AM MO AM mCm AM m AM AC 1 m .AB mAC 3      3   Tương tự: AO AN NO AN nBN 1 n AC nAB 4    Và AO chỉ biểu diễn duy nhất qua AB và AC 1 2 1 m n m 3 3 ON 1 OM 2 ; . 3 1 OB 9 OC 3 1 n m n 4 2 Đáp án A. Ví dụ 12: Cho hình bình hành ABCD. M thuộc AC sao cho: AM kAC . Trên cạnh AB, BC lấy các điểm P, Q sao cho MP / /BC, MQ / / AB . Gọi N là giao điểm AN CN của AQ và CP. Tính tỉ số và theo k. AQ CP AN k CN 1 k AN k CN 1 k A. B. ; ; AQ k 2 k 1 CP k 2 k 1 AQ k 2 k 1 CP k 2 k 1 AN k CN 1 k AN k CN 1 k C. ; D. ; AQ k 2 k 1 CP k 2 k 1 AQ k 2 k 1 CP k 2 k 1
Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Lời giải     Đặt AN xAQ;CN yCP       Ta có: DN DA AN DA x AB BQ   BQ    BQ  DA xDC x .BC DA xDC x .DA BC BC BQ AM    Vì MQ / / AB k DN 1 kx DA x.DC (1) BC AC      BP  Mặt khác: DN DC CN DC yDA y .BA BA BP CM CM AM Vì: MP / /BC 1 k BA CA CA       DN DC yDA y 1 k DC yDA 1 ky y DC (2) k x y 1 kx k 2 k 1 Từ (1), (2) x 1 ky y 1 k y k 2 k 1 Đáp án B. Xác định và tính độ dài vectơ Phương pháp: - Vẽ hình xác định các vectơ thông qua các quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành. - Áp dụng các công thức hình học để tính độ dài vectơ.   - Để tính độ dài a b c d thì ta đi rút gọn biểu thức vectơ a b c d rồi tính độ dài. - Áp dụng vectơ giải một số bài toán thực tế.
Chủ đề 8: Vectơ   Ví dụ 1: Cho ABC . Vectơ BC AC được vẽ đúng ở hình nào sau đây? A. B. C. D. Lời giải      Vì BC AC BC CA BA Đáp án A. Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB 3cm , BC 5cm . Khi đó độ   dài BA BC là: A. 4B. 8C. D. 2 13 13 Lời giải Ta có:    AC BC 2 AB2 4 AI 2; BA BC 2 BI 2 AB2 AI 2 2 13 . Đáp án C. Ví dụ 3: Cho hình thang cân ABCD, có đáy nhỏ và đường cao cùng bằng 2a và    ·ABC 45 . Tính CB AD AC . A. a 3 B. C. 2a 5D. a 5 a 2 Lời giải
Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book          CB AD AC CB DA AC CB DC DB BH 2 DH 2 2a 5 Đáp án B. Ví dụ 4: Cho 2 vectơ a và b tạo với nhau góc 60°. Biết a 6; b 3 . Tính a b a b A. 3 7 5 B. 3 7 3 1 C. 6 5 3 D. 2 3 51 2 Lời giải   Dựng OA a;OB b   Dựng hình bình hành OACB a b OC; a b BA AB 3 3 OAB vuông tại B IB 2 2 63 OI OB2 IB2 OC 63 a b a b 63 3 3 . 2 Đáp án B. Ví dụ 5: Cho tam giác vuông cân OAB với OA OB a . Tính độ dài vectơ 11  3  v OA OB . 4 7 6073 3 2 A. 2aB. C. D.a a a 28 2 2 Lời giải   Biểu diễn vectơ v theo 2 vectơ OA,OB . 2 2 11a 3a 6073 Áp dụng Pitago ta có: v a . 4 7 28
Chủ đề 8: Vectơ Đáp án B.   Ví dụ 6: Một vật nặng (Đ) được kéo bởi hai lực F1 và F2 như hình vẽ. Xác định   hướng di chuyển của (Đ) và tính độ lớn lực tổng hợp của F1 và F2 . Biết     F1 F2 60N và góc giữa F1 và F2 là 60°. A. 50 3N B. 3C.0 3N D. 60N 60 3N Lời giải          Đặt F1 OA; F2 OB;OC OA OB F1 F2 60 3 Ta có: OAB là đều OI , với I AB OC OC 60 3 . 2 Đáp án D. Ví dụ 7: Cho hình thang ABCD có AB song song với CD. Cho AB 2a , CD a . Gọi O là trung điểm của AD. Khi đó:     A. OB OC 3a B. OB OC a   3a   C. OB OC D. OB OC 0 2 Lời giải           OB OC OA AB OD DC AB DC AB DC 3a   (vì AB và DC cùng hướng) Đáp án A. Ví dụ 8: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính độ dài vectơ:     u MA 2MB 3MC 2MD A. u 4a 2 B. u a C.2 D.u 3a 2 u 2a 2
Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Lời giải         u MO OA 2 MO OB 3 MO OC 2 MO OD      OA 2OB 3OC 2OD 2OA u 2OA AC a 2 . Đáp án B. Ví dụ 9: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Gọi H là chân đường cao hạ từ A  1    sao cho BH HC . Điểm M di động trên BC sao cho BM x.BC . Tìm x sao 3   cho độ dài vectơ MA GC đạt giá trị nhỏ nhất. 4 5 6 5 A. x B. C. x D. x x 5 6 5 4 Lời giải      Dựng hình bình hành AGCE. Ta có MA GC MA AE ME   Kẻ EF  BC, F BC MA GC ME EF   Do đó: MA GC nhỏ nhất khi M  F . 3 Gọi P là trung điểm AC, Q là hình chiếu của B trên BC. Ta có BP BE 4 BQ BP 3  4  BPQ ~ BEF BF BQ BF BE 4 3  1   1  Mặt khác: BH HC PQ là đường trung bình của AHC HQ HC 3 2    1  1  5  5   4  5  5 BQ BH HQ HC HC HC BC BF BQ BC x . 3 2 6 8 3 6 6 Đáp án B.
Chủ đề 8: Vectơ Ví dụ 10: Cho ABC đều cạnh a. M là trung điểm BC. Tính độ dài 1   AB 2AC . 2 a 21 a 21 a 21 a 21 A. B. C. D. 3 2 4 7 Lời giải Gọi N là trung điểm của AB, Q là điểm đối xứng với A qua C và P là đỉnh của hình bình hành AQPN.  1       1    AN AB, AQ 2AC; AN AQ AP AB 2AC AP 2 2 Gọi L là hình chiếu của A trên PN. MN / / AC ·ANL M· NB C· AB 60 AL Xét tam giác vuông ANL có: sin ·ANL AN a a 3 a 9a AL .sin 60 NL AN.cos ·ANL PL PN NL 2 4 4 4 a 21 Xét tam giác vuông APL có: AP AL2 PL2 . 2 Đáp án B. Dạng 1: Các bài toán về khái niệm vectơ Câu 3: Hai vectơ được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi: Câu 1: Cho tứ giác ABCD. Có bao nhiêu vectơ khác A. Giá của chúng trùng nhau và độ dài của chúng vectơ-không có điểm đầu và cuối là các đỉnh của tứ bằng nhau giác? B. Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của A. 4B. 8C. 10D. 12 một hình bình hành Câu 2: Cho 5 điểm A, B, C, D, E có bao nhiêu vectơ C. Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của khác vectơ-không có điểm đầu là A và điểm cuối là một tam giác đều một trong các điểm đã cho: D. Chúng cùng hướng và độ dài của chúng bằng nhau A. 4B. 20C. 10D. 12
Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book    Câu 4: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Hãy tìm các A. AB AC B. AB 2a vectơ khác vectơ-không có điểm đầu, điểm cuối là đỉnh    C. AB 2a D. AB AB của lục giác và tâm O sao cho bằng với AB ?       A. FO,OC, FD B. F O, AC, ED Câu 9: Cho tam giác không cân ABC. Gọi H, O lần       lượt là trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp của tam C. BO,OC, ED D. F O,OC, ED giác. M là trung điểm của BC. Mệnh đề nào sau đây là Câu 5: Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là đúng?   trung điểm của AB, BC, CA. Xác định các vectơ cùng A. Tam giác ABC nhọn thì AH ,OM cùng hướng.  phương với MN .         B. AH ,OM luôn cùng hướng. A. AC,CA, AP, PA, PC,CP        C. AH ,OM cùng phương nhưng ngược hướng. B. NM , BC,CB, PA, AP          D. AH ,OM có cùng giá C. NM , AC,CA, AP, PA, PC,CP Câu 10: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là        D. NM , BC,CA, AM , MA, PN ,CP trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Gọi O là giao điểm của các đường chéo của tứ giác MNPQ, Câu 6: Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh a. Gọi M là trung điểm của các đoạn thẳng AC, BD tương ứng là I, trung điểm của AB, N là điểm đối xứng với C qua D.  J. Khẳng định nào sau đây là đúng? Hãy tính độ dài của vectơ MN .   A. B.OI OJ MP NQ  a 15  a 5 A. B.M N MN     2 3 C. MN PQ D. OI OJ  a 13  a 5 µ C. MN D. M N Câu 11: Cho hình thoi tâm O, cạnh bằng a và A 60 . 2 4 Kết luận nào sau đây là đúng? Câu 7: Cho ba điểm A, B, C cùng nằm trên một đường    a 3  A. AO B. OA a thẳng. Các vectơ AB, BC cùng hướng khi và chỉ khi: 2 A. Điểm B thuộc đoạn AC    a 2 C. OA OB D. OA B. Điểm A thuộc đoạn BC 2 C. Điểm C thuộc đoạn AB Câu 12: Điều kiện nào là điều kiện cần và đủ để   D. Điểm A nằm ngoài đoạn BC AB CD Câu 8: Cho tam giác đều cạnh 2a. Đẳng thức nào sau A. ABCD là hình bình hành đây là đúng? B. ACBD là hình bình hành
Chủ đề 8: Vectơ   C. AD và BC có cùng trung điểm (III) BO CO  D. AB CD và AB / /CD Mệnh đề đúng là: Câu 13: Cho hình vuông ABCD, câu nào sau đây là A. Chỉ (I)B. (I) và (III) đúng?     C. (I), (II), (III)D. Chỉ (III) A. AB BC B. AB CD Câu 19: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi P, Q, R     C. AC BD D. AD CB lần lượt là trung điểm của AB, BC, AD. Lấy 8 điểm trên  là gốc hoặc ngọn của các vectơ. Tìm mệnh đề sai? Câu 14: Cho vectơ AB và một điểm C. Có bao nhiêu     A. Có 2 vectơ bằng PR B. Có 4 vectơ bằng AR điểm D thỏa mãn AB CD .   C. Có 2 vectơ bằng BO D. Có 5 vectơ bằng OP A. 1B. 2C. 0D. Vô số   Câu 15: Cho hình bình hành ABCD với O là giao điểm Câu 20: Nếu AB AC thì: của hai đường chéo. Câu nào sau đây là sai? A. tam giác ABC là tam giác cân     A. AB CD B. AD BC B. tam giác ABC là tam giác đều     C. AO OC D. OD BO C. A là trung điểm đoạn BC Câu 16: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là D. điểm B trùng với điểm C   trung điểm của AD, BC và AC. Biết MP PN . Chọn Câu 21: Cho ba điểm M, N, P thẳng hàng, trong đó N câu đúng. nằm giữa hai điểm M và P. Khi đó cặp vectơ nào sau     đây cùng hướng? A. AC BD B. AC BC         A. MN và MP B. và MN PN C. AD BC D. AD BD     C. MP và PN D. và NP NM Câu 17: Cho tam giác ABC có H là trực tâm và O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Gọi D là điểm đối xứng với Dạng 2: Chứng minh đẳng thức vectơ B qua O. Câu nào sau đây đúng? Câu 22: Cho hình bình hành tâm O. Kết quả nào sau     A. AH DC B. AB DC đây là đúng?           C. AD BC D. AO AH A. B.AB OA AB CO OB BA       Câu 18: Cho đường tròn tâm O. Từ điểm A nằm ngoài C. AB AD AC D. AO OD CB O , kẻ hai tiếp tuyến AB, AC tới O . Xét mệnh đề: Câu 23: Cho ABC, D, E, F lần lượt là trung điểm của     các cạnh BC, CA, AB. Đẳng thức nào sau đây là đúng? (I) AB AC (II) OB OC
Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book       A. AD BE CF AB AC BC Câu 27: Cho hai tam giác ABC và A' B 'C ' có       trọng tâm lần lượt là G và G ' . Đẳng thức nào sau đây B. AD BE CF AF CE BD đúng?           C. AD BE CF AE BF CD A. A' A B ' B C 'C 3GG '           D. AD BE CF BA BC AC B. AB ' BC ' CA' 3GG ' Câu 24: Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F bất kì trên mặt     C. AC ' BA' CB ' 3GG ' phẳng. Tìm đẳng thức sai trong các đẳng thức sau:         D. AA' BB ' CC ' 3GG ' A. AB CD AD CB      Câu 28: Cho 5 điểm A, B C, D, E. Đẳng thức nào sau B. AB CD EA ED CB đây là đúng?        C. AB CD EF CA CB ED CF      A. AB CD EA 2 CB ED     D. BA CB DC BD 0    1   B. AB CD EA CB ED Câu 25: Cho ABC , các điểm M, N, P lần lượt là 2 trung điểm của các cạnh AB, AC, BC. Với O là điểm    3   bất kì. Mệnh đề nào sau đây đúng? C. AB CD EA CB ED 2       A. OA OB OC 2 OM ON OP      D. AB CD EA CB ED       B. OA OB OC OM ON OP Câu 29: Cho ABC và một điểm M tùy ý. Chọn hệ       thức đúng? C. 2 OA OB OC OM ON OP      A. 2MA MB 3MC AC 2BC       D. 2 OA OB OC 3 OM ON OP      B. 2MA MB 3MC 2AC BC Câu 26: Cho 4 điểm A, B, C, D. Câu nào sau đây      C. 2MA MB 3MC 2CA CB đúng?          D. 2MA MB 3MC 2CB CA A. AB CD AD CB     Câu 30: Cho hình chữ nhật ABCD, I, K lần lượt là B. AB BC CD DA trung điểm của BC và CD. Chọn đẳng thức đúng.            C. AB BC CD DA A. AI AK 2AC B. AI AK A B AD     D. AB AD CB CD      3  C. AI AK IK D. AI A K AC 2
Chủ đề 8: Vectơ     Câu 31: Cho ABC có trọng tâm G. Gọi A1, B1,C1 lần  nBC mCD  nCD mAD C. BN D. DM lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chọn đẳng thức m n m n sai. Câu 35: Cho ABC và một điểm M bất kì trong tam       giác. Đặt S S , S S , S S . Đẳng thức A. GA1 GB1 GC1 0 B. AG BG CG 0 MBC a MCA b MAB c      nào sau đây đúng? C. AA1 BB1 CC1 0 D. GC 2G C1    A. Sa .MA Sb .MB Sc .MC 0 Câu 32: Cho 4 điểm M, N, P, Q bất kì. Đẳng thức nào    sau đây luôn đúng. B. Sa .AB Sb .BC Sc .CA 0        A. PQ NP MQ MN C. Sa .MC Sb .MB Sc .MA 0     B. NP MN QP MQ    D. Sa .AC Sb .AB Sc .BC 0     C. MN PQ NP MQ Câu 36: Cho ABC với BC a, AC b, AB c . I là     D. NM QP NP MQ tâm đường tròn nội tiếp ABC , đường tròn nội tiếp I tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại M, Câu 33: Cho tứ giác ABCD. I, J lần lượt là trung điểm của AB và DC. G là trung điểm của IJ. Xét các mệnh N, P. Đẳng thức nào sau đây là đúng?    đề: A. a.IM b.IN c.IP 0        (I) AB AC AD 4AG B. a.MA b.NB c.PC 0       (II) IA IC 2IG C. a.AM b.BN c.CP 0       (III) JB ID JI D. a.AB b.BC c.CA 0 Mệnh đề sai là: Dạng 2: Xác định điểm thỏa mãn điều kiện cho A. (I) và (II)B. (II) và (III) trước C. Chỉ (I)D. Tất cả đều sai Câu 37: Cho hai điểm A, B phần biệt. Xác định điểm   Câu 34: Cho tứ giác ABCD, các điểm M, N lần lượt M sao cho MA MB 0 MA NB m thuộc các đoạn AD và BC sao cho . A. M ở vị trí bất kì MD NC n B. M là trung điểm của AB Đẳng thức nào sau đây là đúng?     C. Không tìm được M  nAB mDC  nAC mAB A. MN B. AM m n m n D. M nằm trên đường trung trực của AB
Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Câu 38: Trên đường thẳng MN lấy điểm P sao cho   MN 3MP . Hình vẽ nào sau đây xác định đúng vị trí điểm M. D. A. Câu 41: Cho ABC . Xác định điểm I sao cho: B.    2IA 3IB 3BC . C. A. Điểm I là trung điểm của cạnh AC D. B. Điểm C là trung điểm của cạnh IA Câu 39: Cho đoạn thẳng AB và điểm M là một điểm C. Điểm C chia đoạn IA theo tỉ số 2 1 trong đoạn AB sao cho AM AB . Tìm k để D. Điểm I chia đoạn AC theo tỉ số 2 5   Câu 42: Cho ABC có M là trung điểm AB và N trên MA kMB . cạnh AC sao cho NC 2NA . Xác định điểm K sao cho 1 1    A. k B. k C.4 D.k k 4 3AB 2AC 12AK 0 . 4 4 A. Điểm K là trung điểm cạnh AM Câu 40: Cho ABC . Trên đường thẳng BC lấy điểm   B. Điểm K là trung điểm cạnh BN M sao cho MB 3MC . Điểm M được vẽ đúng trong hình nào sau đây? C. Điểm K là trung điểm cạnh BC D. Điểm K là trung điểm cạnh MN Câu 43: Cho hình bình hành ABCD. Tìm vị trí điểm M     thỏa mãn: MA MB MC AD . A. A. Điểm M là trung điểm cạnh AC B. Điểm M là trung điểm cạnh BD C. Điểm C là trung điểm cạnh AM B. D. Điểm B là trung điểm cạnh MC Câu 44: Cho ABC . Tìm điểm N sao cho:    2NA NB NC 0 . C. A. N là trọng tâm ABC B. N là trung điểm của BC
Chủ đề 8: Vectơ     C. N là trung điểm của AK với K là trung điểm của BC đẳng thức AB AC AD 4AM . Khi đó điểm M D. N là đỉnh thứ tư của hình bình hành nhận AB và AC trùng với điểm: làm 2 cạnh A. O Câu 45: Cho ABC . Xác định điểm M sao cho: B. I là trung điểm đoạn OA    MA 2MB CB . C. I là trung điểm đoạn OC A. M là trung điểm cạnh AB D. C B. M là trung điểm cạnh BC Câu 49: Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng. Gọi    C. M chia đoạn AB theo tỉ số 2 điểm M thỏa mãn đẳng thức MA MB  MC ; ,  ¡ . Nếu M là trọng tâm ABC thì ,  thỏa D. M là trọng tâm ABC mãn điều kiện nào sau đây? Câu 46: Cho ABC có trọng tâm G, điểm M thỏa mãn    A. 2  2 0 2MA MB 3MC 0 . Khi đó điểm M thỏa mãn hệ thức nào sau đây? B. . 1  1   1  A. GM BC B. GM CA C.  0 6 6 D. Cả A, B, C đều đúng  1   1  C. GM AB D. GM CB Câu 50: Cho ABC . Nếu điểm D thỏa mãn hệ thức 6 3     MA 2MB 3MC CD với M tùy ý, thì D là đỉnh của Câu 47: Gọi G là trọng tâm ABC . Nối điểm M thỏa    hình bình hành: mãn hệ thức MA MB 4MC 0 thì M ở vị trí nào trong hình vẽ: A. ABCD B. ACBD C. ABED với E là trung điểm của BC D. ACED với B là trung điểm của EC   Câu 51: Cho đoạn AB và điểm I sao cho 2IA 3IB 0 .   A. Miền (1)B. Miền (2) Tìm số k ¡ sao cho AI k AB . C. Miền (3)D. Ở ngoài ABC 3 3 2 3 A. k B. k C. D. k k 4 5 5 2 Câu 48: Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Điểm M thỏa mãn Dạng 4: Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện
Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Câu 52: Cho ABC . Tập hợp các điểm M thỏa mãn A. Khi M chạy trên O; R thì M ' chạy trên đường    MA MB MC là: thẳng AB A. một đường tròn tâm C B. Khi M chạy trên O; R thì M ' chạy trên đường B. đường tròn tâm I (I là trung điểm của AB) thẳng đối xứng với AB qua O C. một đường thẳng song song với AB C. Khi M chạy trên O; R thì M ' chạy trên một D. là đường thẳng trung trực của BC đường tròn cố định Câu 53: Cho hình chữ nhật ABCD tâm O. Tập hợp các D. Khi M chạy trên O; R thì M ' chạy trên một     điểm M thỏa mãn MA MB MC MD k,k 0 là: đường tròn cố định bán kính R k Câu 57: Cho ABC . Tìm tập hợp điểm M sao cho A. đường tròn tâm O bán kính là     4 MA MB 2MC k BC với k ¡ B. đường tròn đi qua A, B, C, D A. là một đoạn thẳngB. là một đường thẳng C. đường trung trực của AB C. là một đường trònD. là một điểm D. tập rỗng Câu 58: Cho ABC . Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn:       Câu 54: Cho ABC trọng tâm G. Gọi I, J, K lần lượt 4MA MB MC 2MA MB MC là: là trung điểm BC, AB, CA. Quỹ tích các điểm M thỏa      mãn MA MB MC MA MC là: A. đường thẳng qua A 1 A. đường tròn tâm I bán kính JK B. đường thẳng qua B và C 2 C. đường tròn 1 B. đường tròn tâm G bán kính IJ 3 D. một điểm duy nhất    1 C. đường tròn tâm G bán kính CA Câu 59: Tập hợp điểm M mà kMA kMB 2MC , 3 k 1 là: D. trung trực AC A. đường thẳng chứa trung tuyến vẽ từ C Câu 56: Cho đường tròn O; R và hai điểm A, B cố B. đường thẳng chứa trung tuyến vẽ từ B định. Với mỗi điểm M ta xác định điểm M ' sao cho C. đường thẳng chứa trung tuyến vẽ từ A    MM ' MA MB , lúc đó: D. đường trung trực của AB Câu 60: Cho ABC . Tìm quỹ tích điểm M thỏa mãn:
Chủ đề 8: Vectơ      2MA 3MB 4MC MB MA C. Tập hợp điểm I là đường thẳng vớiOO O' và O ' lần lượt là trung điểm của AB, DC AB A. Quỹ tích điểm M là một đường tròn bán kính D. Cả A, B, C đều sai. 3 Câu 63: Cho lục giác đều ABCDEF. Tìm tập hợp điểm AB B. Quỹ tích điểm M là một đường tròn bán kính       4 M sao cho MA MB MC MD ME MF nhận AB giá trị nhỏ nhất. C. Quỹ tích điểm M là một đường tròn bán kính 9 A. Tập hợp điểm M là một đường thẳng AB D. Quỹ tích điểm M là một đường tròn bán kính B. Tập hợp điểm M là một đoạn thẳng 2 C. Tập hợp điểm M là một đường tròn Câu 61: Cho ABC . Tìm quỹ tích điểm M thỏa mãn      D. Là một điểm điều kiện: MA MB k MA 2MB 3MC ,k ¡ . Câu 64: Tập hợp điểm M thỏa mãn hệ thức: A. Tập hợp điểm M là đường trung trực của EF, với    2MA kMB 1 k MC 0,k ¡ là: E, F lần lượt là trung điểm của AB, AC B. Tập hợp điểm M là đường thẳng qua A và song A. đường thẳngB. đường tròn song với BC C. đoạn thẳngD. một điểm AB Dạng 5: Phân tích vectơ qua hai vectơ không cùng C. Tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính 9 phương. Sự thẳng hàng, song song  3  Câu 65: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, vectơ D. Với H là điểm thỏa mãn AH AC thì tập hợp   2 u 3AB 4AC đưuọc vẽ đúng ở hình nào dưới đây? điểm M là đường thẳng đi qua E và song song với HB với E là trung điểm của AB Câu 62: Cho tứ giác ABCD với K là số tùy ý. Lấy cá     điểm M, N sao cho AM k AB, DN k DC . Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn MN khi k thay đổi. A. Tập hợp điểm I là đường thẳng vớiOO O' và O ' lần lượt là trung điểm của AC, BD A. B. B. Tập hợp điểm I là đường thẳng vớiOO O' và O ' lần lượt là trung điểm của AD, BC
Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Câu 69: Cho ABC có trọng tâm G. Gọi I là điểm trên BC sao cho 2CI 3BI và J là điểm trên BC kéo dài    sao cho 5JB 2JC . Tính AG theo AI và AJ  15  1   35  1  C. D. A. B.AG AI AJ AG AI AJ 16 16 48 16 Câu 66: Cho ABC . Gọi M, N, P lần lượt là trung   15  1   35  1  điểm của BC, CA, AB. Phân tích AB theo hai vectơ C. AG AI AJ D. AG AI AJ   16 16 48 16 BN là CP . Câu 70: Cho ABC . Điểm M nằm trên đường thẳng  4  2   4  2    A. AB BN CP B. AB BN CP BC sao cho nBM mBC n,m 0 . Phân tích vectơ 3 3 3 3    AM theo AB, AC  4  2   2  4  C. AB BN CP D. AB BN CP  1  1  3 3 3 3 A. AM AB AC m n m n Câu 67: Cho hình bình hành ABCD có E, N lần lượt là trung điểm của BC, AE. Tìm các số p và q sao cho  m  m     B. AM AB AC DN p AB q AC . m n m n  n  n  5 3 4 2 C. AM AB AC A. p ;q B. p ;q m n m n 4 4 3 3  n  m  4 2 5 3 D. AM AB AC C. p ;q D. p ;q m n m n 3 3 4 4 Câu 71: Cho ABC . Diểm M nằm trên đường thẳng Câu 68: Cho hình bình hành ABCD. Gọi K, L lần lượt      BC sao cho MB kMC k 1 . Phân tích AM theo là trung điểm BC, CD. Biết AK a, AL b . Biểu diễn     BA, BC theo a,b AB, AC .      4 2  2 4  AB k AC  AB k AC A. BA a b, BC a b A. AM B. AM 3 3 3 3 1 k 1 k      1 2  1 4  AB k AC  AB k AC B. BA a b, BC a b C. AM D. AM 3 3 3 3 1 k 1 k  1 2  1 4 Câu 72: Cho với M, N lần lượt là trung điểm C. BA a b, BC a b OAB 3 3 3 3 của OA, OB. Tìm số m, n thích hợp để     4 2  2 4 NA mOA nOB . D. BA a b, BC a b 3 3 3 3
Chủ đề 8: Vectơ 1 1 nào sau đây là điều kiện cần và đủ để M, N, P thẳng A. m 1,n B. m 1,n 2 2 hàng.     1 1 C. m 1,n D. m 1,n A. B.M P 2MN MP 3MN 2 2     C. MP 2MN D. M P 3MN Câu 73: Một đường thẳng cắt các cạnh DA, DC và đường chép DB của hình bình hành ABCD lần lượt tại Câu 77: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N là các   1 các điểm E, F và M. Biết rẳng DE mDA , điểm nằm trên cạnh AB và CD sao cho AM AB ,     3 DF nDC m,n 0 . Hãy biểu diễn DM qua DB 1 CN CD . Gọi G là trọng tâm của BMN . Gọi I là và m, n. 2    m.n   m  điểm xác định bởi BI mBC . Xác định m để AI đi qua A. DM DB B. DM DB m n m n G.  n   m.n  6 11 C. DM DB D. DM DB A. m B. m m n m n 11 6 Câu 74: Cho ABC . Trên BC lấy điểm D sao cho 6 18 C. m D. m  1    5 11 BD BC . Khi đó phân tích AD theo các vectơ AB 3  Câu 78: Cho ABC có trung tuyến AD.Xét các điểm và AC .  1   1    M, N, P cho bởi AM AB, AN AC, AP mAD .  2  1   1  2  2 4 A. AD AB AC B. AD AB AC 3 3 3 3 Tìm m để M, N, P thẳng hàng.   2   5  1  1 1 1 2 C. AD AB AC D. AD AB AC A. m B. m C. D.m m 3 3 3 6 3 4 3 Câu 75: Cho tam giác ABC, hai điểm M, N thỏa mãn Câu 79: Cho ABC . M và N là hai điểm xác định thỏa            hệ thức MA MB MC 0 và 2NA NB NC 0 . mãn: MA 3MC 0 và NA 2NB 3NC 0 . Đẳng    Tìm hai số p,q sao cho MN p AB q AC . thức nào sau đây là điều kiện cần và đủ để M, N, B thẳng hàng? 3 A. B.p q p 2,q 0  1   3  4 A. BM BN B. BN BN 2 2 1 1 3 5 C. p ,q D. p ,q  2   1  2 2 4 4 C. BM BN D. BM BN 3 2 Câu 76: Cho ABC . Lấy các điểm M, N, P sao cho       MB 3MC, NA 3NC 0, PA PB 0 . Đẳng thức
Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Câu 80: Cho ABC với H, O, G lần lượt là trực tâm, AI 8 CI 7 AI 8 CI 21 C. ; D. ; tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm. Đẳng thức nào AN 23 IM 4 AN 23 IM 2 sau đây là điều kiện cần và đủ để H, O, G thẳng hàng? Câu 84: Cho ABC và trung tuyến AM. Một đường  3    thẳng song song với AB cắt các đoạn thẳng AM, AC và A. OH OG B. HO 3OG 2 BC lần lượt tại D, E, và F. Một điểm G nằm trên cạnh ED  1    AB sao cho FG song song với AC. Tính . C. OG GH D. 2G O 3OH 2 GB 1 1 1 Câu 81: Cho ngũ giác ABCDE. Gọi M, N, P, Q lần A. B. C. D. 1 2 3 4 lượt là trung điểm của cạnh AB, BC, CD, DE. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các đoạn MP và NQ. Đẳng Câu 85: Cho tứ giác ABCD có hai đưuòng chéo cắt thức nào sau đây là điều kiện cần và đủ để IJ / / AE ? nhau tại O. Qua trung điểm M của AB dựng đường thẳng MO cắt CD tại N. Biết OA 1,OB 2,OC 3 ,  3   5  A. B.IJ AE IJ AE CN 4 4 OD 4 . Tính . ND  1   1  C. IJ AE D. IJ AE 1 3 5 4 3 A. 1B. C. D. 2 2 2 Câu 82: Cho ABC . Các điểm I, J thỏa mãn hệ thức  1    Dạng 6: Xác định và tính độ lớn vectơ AI AB, AI 3AC . Đẳng thức nào sau đây là điều   3 Câu 86: Cho ABC . Vectơ BC AB được vẽ đúng ở kiện cần và đủ để IC / /BJ ? hình nào dưới đây?  2    A. CI BJ B. CI 3BJ 3  1   1  C. CI BJ D. CI BJ 3 3 A. B. Câu 83: Cho ABC . Trên các cạnh AB, BC lấy các 2 BN 1 điểm M, N sao cho AM MB, . Gọi I là giao 5 NC 3 AI CI điểm của AN và CM. Tính tỉ số và . AN IM AI 3 CI 21 AI 4 CI 7 C. D. A. ; B. ; AN 7 IM 2 AN 11 IM 2 Câu 87: Cho hình thoi ABCD có B· AD 60 và cạnh   là a. Tính độ dài AB AD .
Chủ đề 8: Vectơ a 3 Câu 93: Cho tam giác ABC đều cạnh a, trọng tâm G. A. a 3 B. C. D. 2a a 2   2 Tính độ dài vectơ AB GC . Câu 88: Cho hình vuông ABCD có cạnh là a. O là giao   2a 3 a 2a a 3 điểm của hai đường chéo. Tính OA CB . A. B. C. D. 3 3 3 3 a 3 a 2 Câu 94: Cho tam giác vuông cân OAB với A. a 3 B. C. D. a 2 21   2 2 OA OB a . Tính độ dài vectơ u OA 2,5OB 4 Câu 89: Cho ABC đều cạnh a. Độ dài vectơ tổng:   541 520 AB AC là A. a B. a 4 4 a 3 A. a 3 B. C. 3 D. 2a 3 140 310 2 C. a D. a 4 4 Câu 90: Với a,b độ dài a b : Câu 95: Cho hình vuông ABCD có cạnh là 3. Tính độ   dài AC BD : A. Bao giờ cũng lớn hơn a b A. 6B. C. 126D.2 0 B. Không nhỏ hơn a b Câu 96: Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O và M là   C. Bao giờ cũng nhỏ hơn a b trung điểm AB. Tính độ dài OA OB . D. Không lớn hơn a b a A. aB. 3aC. D. 2a 2 Câu 91: Cho ABC đều cạnh a. Khi đó    Câu 97: Cho ABC vuông cân tại A có BC a 2 , M AC CB AC bằng:   là trung điểm BC. Tính độ dài vectơ AB BM . A. 0B. 3a a 6 a 2 a 3 a 10 C. aD. a 3 1 A. B. C. D. 2 2 2 2 Câu 92: Cho tam giác ABC đều cạnh a. Tính độ dài Câu 98: Cho tam giác đều ABC cạnh a điểm M là   AB BC . trung điểm của BC. Tính độ dài vectơ 3   u MA 2,5MB . a 3 4 A. 0B. aC. D. a 3 2 a 127 a 127 A. B. 4 8
Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book a 127 a 127 C. D. 3 2 Câu 99: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính độ dài     vectơ u 4MA 3MB MC 2MD . a 5 A. u a 5 B. u 2 Trong đó ABC vuông ở C. Người ta treo vào điểm A C. u 3a 5 D. u 2a 5 một vật nặng 10N . Khi đó lực tác dụng vào bức tường tại điểm B: Câu 100: Cho hai lực F1 F2 100N có điểm đặt tại  A. Kéo bức tường theo hướng BA với cường độ O và tạo với nhau góc 60 . Tính cường độ lực tổng hợp của hai lực đó. 10 3N  A. 100NB. 50 3N B. Kéo bức tường theo hướng BC với cường độ 10 2N C. 100 3 D. 25 3N  C. Kéo bức tường theo hướng BA với cường độ Câu 101: Cho tam giác đều ABC cạnh bằng 3. H là trung điểm của BC. Tìm mệnh đề sai. 10 2N      63 D. Kéo bức tường theo hướng BC với cường độ A. AB AC 3 3 B. BA BH 2 10 2N     C. AH HB 3 D. HA HB 3 Câu 102: Cho hai lực F1, F2 . Có điểm đặt tại M. Tìm   cường độ lực tổng hợp của chúng biết F1 và F2 có   cùng cường độ lực là 100N, góc hợp bởi F1 và F2 là 120 . A. 120NB. 60NC. 100ND. 50N Câu 103: Một giá đỡ được gắn vào tường như hình vẽ:
Công Phá Toán - Lớp 10 The Best or Nothing §2. Trục tọa độ và hệ trục tọa độ A. Lý thuyết 1. Trục tọa độ - Trục tọa độ là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm gốc O và một vectơ đơn vị i . Kí hiệu O;i . - Tọa độ của vectơ trên trục u a.i , a là tọa độ của vectơ u trên trục O;i . STUDY TIP    * AB CD AB CD - Tọa độ của điểm trên trục M x :OM x.i , x là tọa độ của vectơ u trên trục    * AB BC AC O;i . AB BC AC (hệ  thức Sa – lơ) - Độ dài đại số của vectơ trên trục AB a AB a.i . Lưu ý:   + Nếu AB cùng hướng với i thì AB AB và nếu AB ngược hướng với i thì AB AB  + Nếu hai điểm A, B có tọa độ lần lượt là a và b thì AB b a và AB AB.i 2. Hệ trục tọa độ - Hệ trục tọa độ O;i; j gồm hai trục O;i và O; j vuông góc với nhau. O là gốc tọa độ. Trục O;i là trục hoành kí hiệu là Ox, trục O; j là trục tung kí hiệu Oy. Các vectơ đơn vị trên Ox, Oy lần lượt là i, j và i j 1 . Hệ trục tọa độ O;i; j còn được kí hiệu là Oxy. - Tọa độ của vectơ trên hệ trục u x; y u x.i y. j  - Tọa độ của điểm trên hệ trục M x; y OM x.i y j - Tính chất: Cho a x; y ,b x '; y' ,k ¡ , A xA; yA , B xB ; yB ,C xC ; yC ta có:
Chủ đề 8: Vectơ The Best or Nothing x x ' + a b y y ' STUDY TIP - Nếu phải biểu tọa độ + a b x x '; y y ' của điểm hoặc của vectơ trên hệ trục tọa độ thì + ka kx;ky phải chú ý khoảng cách đơn vị trên mỗi trục + b cùng phương với a 0 k ¡ :b ka tương ứng bằng nhau. x ' kx x ' y ' (với x 0; y 0 ) y ' ky x y  + AB xB xA; yB yA x x y y + Tọa độ trung điểm I của đoạn AB: x A B ; y A B 1 2 2 2   + Tọa độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ lệ k 1 : MA kMB x kx y ky x A B ; y A B M 1 k A 1 k B. Các dạng toán điển hình Dạng 1 Trục tọa độ Phương pháp: - Sử dụng các kiến thức về trục, tọa độ vectơ trên trục và tọa độ của một điểm trên trục. Ví dụ 1: Trên trục x 'Ox cho 2 điểm A, B lần lượt có tọa độ là a, b. M là điểm   thỏa mãn MA k MB, k 1 . Khi đó tọa độ của điểm M là: ka b kb a a kb kb a A. B. C. D. k 1 k 1 k 1 k 1 Lời giải
Công Phá Toán - Lớp 10 The Best or Nothing Gọi x là độ của điểm M.   kb a Ta có: MA kMB a x k b x k 1 x kb a x ,k 1 STUDY TIP k 1  + Tọa độ vectơ AB : Đáp án B. AB x x A B Ví dụ 2: Trên trục O;i cho ba điểm A, B, C. Nếu biết AB 5, AC 7 thì CB + Tọa độ trung điểm I của bằng: x x AB: x A B 1 2 A. 2 B. 2C. 4 D. 3 + Độ dài đại số của vectơ là tọa độ của vectơ đó. Lời giải Ta có: CB AB AC 5 7 2 Đáp án A.   Ví dụ 2: Trên trục O;i tìm tọa độ x của điểm M sao cho MA 2C 0 , với A, C có tọa độ tương ứng là 1 và 3 5 2 2 5 A. x B. C. x D. x x 3 3 5 2 Lời giải       Từ MA 2MC 0 OA OM 2 OC OM 0 5 Hay 1 x 2 3 x 0 3x 5 x 3 Đáp án A. Ví dụ 4: Trên trục O;i cho 4 điểm A, B, C, D có tọa độ lần lượt là a, b, c, d. Gọi E, F, G, H (có tọa độ lần lượt là e, f, g, h) theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Xét các mệnh đề: I. e f g h a b c d    II. EG EF EH
Chủ đề 8: Vectơ The Best or Nothing   III. AE CF 0 Trong các mệnh đề trên mệnh đề nào đúng? A. Chỉ I B. II và IIIC. I, II, III D. Chỉ III Lời giải + Áp dụng công thức tọa độ trung điểm I đúng. + Lấy E làm gốc trục thì xE e 0 g f h II đúng.   1   + AE CE AB CB chỉ bằng 0 khi B là trung điểm của AB nên III sai. 2 Đáp án B CA DA Ví dụ 5: Cho 4 điểm A, B, C, D trên trục O;i thỏa mãn . Khi sso CB DB mệnh đề nào sau đây là đúng? 2 1 1 2 1 1 A. B. AC AB AD AB AC DA 2 1 1 2 1 1 C. D. AB AC AD AD AB AC Lời giải Gọi a, b, c, d lần lượt là tọa độ của A, B, C, D. Ta có: CA DA AC DA + c b b d b c a d CB DB CB DB ac bd bc ad 2ab 2cd a b c d 2 ad cb 2 1 1 2 1 1 + a b c d 2 ab cd AB AC AD b c c a d a Đáp án C
Công Phá Toán - Lớp 10 The Best or Nothing Ví dụ 6: Trên trục cho bốn điểm A, B, C, D bất kì. Đẳng thức nào sau đây là đúng? A. AB.CD AC.DB AD.BC 0 B. AB.DB AC.BC AD.CD 0 STUDY TIP C. A B.ACD. AD.BC BC.CD 0 BD.BC AD.AC CB.CA 0 - Có thể chọn gốc tọa độ là một trong các điểm của hệ thức để vectơ có tọa độ Lời giải đơn giản    Chọn gốc tọa độ O  A xA 0, xB AB, xC AC, xD AD Từ đáp án A: VT xB xD xC xC xB xD xD xC xB 0 Đáp án A Dạng 2 Tọa độ vectơ Phương pháp: - Sử dụng các công thức tọa độ của tổng, hiệu, tích vectơ với một số, điều kiện cùng phương, 2 vectơ bằng nhau - Biểu diễn một vectơ theo 2 vectơ không cùng phương là giải hệ phương là giải hệ phương trình để tìm 2 hệ số m, n: x ma nb Ví dụ 1: Vectơ a 2; 1 biểu diễn dưới dạng a xi y j được kết quả nào sau đây? A. a 2i j B. a i 2 j C. a 2i j D. a i 2 j Lời giải Ta có: a 2; 1 a 2i j Đáp án A Ví dụ 2: Xác định tọa độ của vectơ c a 3b biết a 2; 1 ,b 3;4 A. c 11;11 B. c 11; 13 C. c 11; 1 3 D. c 7;13
Chủ đề 8: Vectơ The Best or Nothing Lời giải STUDY TIP c a 3b 2; 1 9;12 11;11 a x; y ;b x '; y ' a b Đáp án A x  x '; y y ' Ví dụ 3: Cho a 2;1 ,b 3;4 ,c 7;2 . Tìm vectơ x sao cho x 2a b 3c . A. x 28; 2 B. x 13;5 C. x 1 6;4 D. x 28;0 Lời giải x 2a b 3c x 2a b 3c 28;0 Đáp án D    1   Ví dụ 4: Cho A 3; 2 , B 5;4 ,C ;0 . Tìm x thỏa mãn AB xAC . 3 A. x 3 B. x 3 C. x 2 D. x 4 Lời giải   8   AB 8;6 ; AC ;2 AB 3AC . 3 Đáp án A Ví dụ 5: Trong các cặp vectơ sau, cặp vectơ nào không cùng phương? A. a 2;3 ;b 10; 15 B. u 0;5 ;v 0;8   STUDY TIP C. m 2;1 ;n 6;3 D. c 3;4 ;d 6;9 Vectơ b cùng phương Lời giải với a 0 k ¡ : 3 4  x ' kx Ta có: c và d không cùng phương. b ka y ' ky 6 9 Đáp án D
Công Phá Toán - Lớp 10 The Best or Nothing Ví dụ 6: Cho 2 vectơ u 2m 1 i 3 m j và v 2i 3 j . Tìm m để hai vectơ cùng phương. 5 11 9 8 A. m B. m C. m D. m 11 5 8 9 Lời giải 2m 1 3 m 9 Để 2 vectơ cùng phương thì m . 2 3 8 Đáp án C Ví dụ 7: Trong mặt phẳng Oxy, cho A m 1;2 ; B 2;5 2m ;C m 3;4 . Tìm m để A, B, C thẳng hàng. A. m 3 B. m 2 C. m 2 D. m 1 Lời giải 3 m 3 2m STUDY TIP A, B, C thẳng hàng m 5 2m 1 A, B, C thẳng hàng   3 m 2m 1 3 2m m 5 m 2 AB k AC Đáp án B Ví dụ 8: Trong mặt phẳng Oxy, cho a 2;1 ;b 3;4 ;c 7;2 . Tìm m, n để c ma nb . 22 3 1 3 A. m ,n B. m ,n 5 5 5 5 22 3 22 3 C. m ,n D. m ,n 5 5 5 5 Lời giải
Chủ đề 8: Vectơ The Best or Nothing 22 m 2m 3n 7 5 Ta có c ma nb m 4n 2 3 n 5 Đáp án C Ví dụ 9: Trong hệ trục Oxy, cho 4 điểm A 3; 2 , B 7;1 ,C 0;1 , D 8; 5 . Mệnh đề nào sau đây đúng?     A. AB,CD đối nhauB. ngược hướngAB ,CD   C. AcùngB,C hướngD D. A, B, C, D thẳng hàng Lời giải    1    AB 4;3 ,CD 8; 6 AB CD nên AngượcB,CD hướng 2 Đáp án B Dạng 3 Tọa độ điểm Phương pháp: Sử dụng các công thức tọa độ điểm, tọa độ vectơ khi biết hai điểm, tọa độ trung điểm của đoạn thẳng, tọa độ trọng tâm của tam giác, tọa độ hai vectơ bằng nhau STUDY TIP * Lưu ý: - Các công thức phép toán vectơ. - Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB - Điều kiện ba điểm phân biệt thẳng hàng.   xA xB yA yB - Hai đường thẳng AB và MN song song khi AB kMN và điểm A x1 ; y2 2 2 không thuộc đường thẳng MN. - Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC: Ví dụ 1: Trong hệ tọa độ Oxy, cho A 2; 3 ; B 4;7 . Tìm tọa độ trung điểm I x x x x A B C C 3 của đoạn AB. y y y y A B C C 3 A. I 6;4 B. I 2;10 C. I 3;2 D. I 8; 21 Lời giải
Công Phá Toán - Lớp 10 The Best or Nothing 2 4 3 7 Ta có I ; 3;2 . 2 2 Đáp án C Ví dụ 2: Trong hệ tọa độ Oxy, cho 3 điểm A 2;1 ; B 0; 3 ;C 3;1 . Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành. A. D 5;5 B. D 5; 2 C. D 5; 4 D. D 1; 4 Lời giải   x 2 3 x 5 Gọi D x; y . Ta có: AD BC D 5;5 y 1 4 y 5 Đáp án A Ví dụ 3: Trong hệ tọa độ Oxy, cho A 4;1 ; B 2;4 ;C 2; 2 . Tìm tọa độ điểm D sao cho C là trọng tâm ABD A. D 8;11 B. D 12;11 C. D 8 ; 11 D. D 8; 11 Lời giải Gọi D x; y . C là trọng tâm ABD khi đó: 4 2 x 2 3 x 8 D 8; 11 1 4 y y 11 2 3 Đáp án C Ví dụ 4: Trong hệ tọa độ Oxy, cho 3 điểm A 2;5 ; B 1;1 ;C 3;3 . Tìm điểm E    thuộc mặt phẳng tọa độ thỏa mãn AE 3AB 2AC ? A. E 3; 3 B. E 3;3 C. E 3; 3 D. E 2; 3 Lời giải
Chủ đề 8: Vectơ The Best or Nothing STUDY TIP    Gọi E x; y AE x 2; y 5 , AB 1; 4 , AC 1; 2 Gọi điểm cần tìm có tọa độ x; y , từ hệ thức    x 2 5 x 3 vectơ của đề bài hoặc tính AE 3AB 2AC E 3; 3 y 5 8 y 3 chất các hình ta áp dụng công thức tọa độ để đi Đáp án C đến kết quả. Ví dụ 5: Trong hệ tọa độ Oxy, cho M 2;0 ; N 2;2 ; P 1;3 lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB của ABC .Tọa độ điểm B là: A. B 1;1 B. B 1; 1 C. B 1;1 D. B 1; 1 Lời giải Ta có BPMN là hình bình hành nên STUDY TIP xB xN xP xM xB 2 1 2 xB 1 y y y y y 1 BMNP là hình bình hành B N P M yB 2 3 0 B khi B, M, N, P không   Đáp án C thẳng hàng và BM PN Ví dụ 6: Trong hệ tọa độ Oxy, cho A 2;1 ; B 6; 1 . Tìm điểm M trên Ox sao cho A, B, M thẳng hàng. A. M 2;0 B. M 8;0 C. M 4;0 D. M 4;0 Lời giải M Ox M x;0   AB 4; 2 , AM x 2; 1 x 2 1 Để A, B, M thẳng hàng x 4 4 2 Đáp án D
Công Phá Toán - Lớp 10 The Best or Nothing Ví dụ 7: Trong hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm A 1;0 , B 0,3 ,C 3; 5 . Tìm    điểm M thuộc trục Ox sao cho T 2MA 3MB 2MC bé nhất. A. M 2;0 B. M C. 4 ;0 D. M 4;0 M 2;0 Lời giải    Gọi I x; y thỏa mãn: 2IA 3IB 2IC 0 2 1 x 3 x 2 3 x 0 x 4 2 y 3 3 y 2 5 y 0 19 y 3        Ta có T 2 MI IA 3 MI IB 2 MI IC MI MI Vì I cố định và M Ox T nhỏ nhất khi M là hình chiếu cảu I trên trục Ox M 4;0 Đáp án B STUDY TIP Ví dụ 8: Trong hệ tọa độ Oxy, cho điểm A 1;3 và B 4,7 . Tìm điểm M trên - Nếu hai điểm A, B cùng trục Oy sao cho MA MB là nhỏ nhất. phía thì lấy đối xứng một điểm qua đường thẳng và 19 1 3 11 A. M 0; B. M 0 C.; D.M 0; M 0; điều kiện thẳng hàng. 5 5 5 5 - Nếu hai điểm A, B khác phía thì điều kiện M, A, B Lời giải thẳng hàng. Ta có A, B nằm cùng phía với trục Oy Gọi A' đối xứng với A qua Oy A' 1;3 Giả sử: M 0; y . Ta có MA MB MA' MB A' B MA MB nhỏ nhất khi A' , M, B thẳn hàng   A' B 5;4 , A'M 1; y 3
Chủ đề 8: Vectơ The Best or Nothing 1 y 3 19 19 y M 0; 5 4 5 5 Đáp án A Ví dụ 9: Trong hệ tọa độ Oxy, cho ABC có A 3;4 , B 2;1 ,C 1; 2 . Tìm điểm M có tung độ dương trên đường thẳng BC sao cho SABC 3SABM . A. M 2;2 B. M C. 3 ;2 D. M 3; 2 M 3;3 Lời giải   Gọi M x; y . Ta có: SABC 3SABM BC 3BM BC 3BM   BM x 2; y 1 ; BC 3;3   x 1 - TH1: BC 3BM (loại) y 0   x 3 - TH2: BC 3BM (nhận) M 3;2 y 2 Đáp án B Ví dụ 10: Trong hệ tọa độ Oxy, cho 3 điểm A 1; 1 , B 0;1 ,C 3;0 . Xác định tọa độ giao điểm I của AD và BG với D thuộc BC và 2BD 5DC , G là trọng tâm ABC 5 1 35 35 A. I ;1 B. I C. ;1 D. I ; 2 I ;1 9 9 9 9 STUDY TIP Lời giải     - b x '; y' cùng phương Ta có AB 1;2 , AC 4;1 AB, AC không cùng phương. với a x; y 0 15   xD k ¡ : b ka 2xD 5 3 xD 7 15 2 Ta có 2BD 5DC D ; x ' kx x ' y ' 2 7 7 2 yD 1 5 yD yD y ' ky x y 7 (với x 0; y 0 )
Công Phá Toán - Lớp 10 The Best or Nothing 2 Trọng tâm G ;0 . Gọi I x; y là giao điểm của AD và BG 3   22 9 Ta có AI x 1; y 1 , AD ; cùng phương 7 7 7 x 1 7 y 1 9x 22y 13 0 22 9   1 Ta lại có BI x; y 1 , BG ;0 cùng phương tồn tại số k ¡ 3   35 BI k BG y 1 I ;1 9 Đáp án D
Chủ đề 8: Vectơ The Best or Nothing    C. Bài tập rèn luyện kĩ năng D. AB CD 2IK Xem đáp án chi tiết tại trang 327 Câu 6: Trên trục x 'Ox cho 3 điểm A, B, C có tọa độ Dạng 1: Trục tọa độ lần lượt là 2;1; 2 . Khi đó tọa độ điểm M nguyên 1 1 1 Câu 1: Tên trục O;i cho hai điểm A, B lần lượt có dương thỏa mãn là: MA MB MC tọa độ 1 và 5. Khi đó tọa độ điểm M thỏa mãn   A. 0B. 4C. 2D. 3 2MA 3M 0 là: Câu 7: Trên trục x 'Ox cho 4 điểm A, B, C, D. Đẳng A. 10B. 11C. 12 D. 13 thức nào sau đây là đúng? 2 2 2 Câu 2: Trên trục O;i cho ba điểm A, B, C có tọa độ A. DA .BC DB .CA DC .AB BC.CA.AB 0 lần lượt là 5;2;4 . Khi đó tọa độ điểm M thảo mãn 2 2 2    B. DA .BC DB .CA DC .AB 0 2MA 3MC 4MB 0 là: 2 2 2 C. AB .BC CD .DB DB .CA 0 10 10 5 5 A. B. C. D. 3 9 3 4 D. DA.BC DB.CA CD.AB BC.AB 0 Câu 3: Trên trục x 'Ox cho tọa độ các điểm A, B lần Câu 8: Trên trục x 'Ox cho bốn điểm A, B, C, D có tọa lượt là a, b. Khi đó tọa độ điểm A' đối xứng với A qua độ lần lượt là 3;5; 7;9 . Mệnh đề nào sau đây sai? B là: A. AB 2 B. AC 10 a b A. b a B. C. D. 2a b 2b a 2 C. CD 16 D. AB AC 8 Câu 4: Trên trục x 'Ox cho tọa độ các điểm B, C lần Câu 9: Trên trục x 'Ox có vectơ đơn vị i . Mệnh đề lượt là m 2 và m2 3m 2 . Tìm m để đoạn thẳng nào sau đây sai? BC có độ dài nhỏ nhất.  A. xA là tọa độ điểm A OA xA.i A. m 2 B. m 1 B. x , x là tọa độ của điểm B và C thì BC x x C. m 1 D. m 2 B C B C Câu 5: Trên trục x 'Ox cho 4 điểm A, B, C, D. Gọi I, C. AC CB AB J, K, L lần lượt là trung điểm của AC, DB, AD, BC. OA OB D. M là trung điểm của AB OM Mệnh đề nào sau đây là sai? 2    A. AD CB 2IJ Câu 10: Trên trục O;i cho bốn điểm A, B, C, D có    B. AC DB 2KI tọa độ lần lượt là a, b, c, d và điểm M có tọa độ x. Hỏi C. Trung điểm các đoạn IJ và KL trùng nhau mệnh đề nào sau đây sai?
Công Phá Toán - Lớp 10 The Best or Nothing   a b A. Nếu MA MB 0 thì x Câu 15: Cho A 1;1 , B 1;3 ,C 2;0 . Tìm x sao 2   cho AB xBC    a b c B. Nếu MA MB MC 0 thì x 2 2 3 A. x B. x     3 3 C. Nếu MA MB MC MD 0 thì 3 3 a b c d C. x D. x x 2 2 4     Câu 16: Trong các cặp vectơ sau, cặp vectơ nào không D. MA AB BD MD 0 cùng phương? Câu 11: Trên trục x 'Ox , cho tọa độ của A, B lần lượt A. a 2;3 ,b 6;9 là 2;3 . Khi đó tọa độ điểm M thỏa mãn: OM 2 MA.MB là: B. u 0;5 ,v 0; 1  A. 6B. C. D.6 6 4 C. m 2;1 ,b 1;2  Dạng 2: Tọa độ vectơ D. c 3;4 ,d 6; 8 Câu 12: Vectơ a 5;0 biểu diễn dạng a x.i y. j 2 2 Câu 17: Cho u m 3;2m ,v 5m 3;m . Vectơ được kết quả nào sau đây? u v khi và chỉ khi m thuộc tập hợp: A. a 5i j B. a 5i A. 2 B. C.0; 2 D. 0;2 ;3 3      C. a i 5 j D. a i 5 j  Câu 18: Cho điểm A 2;3 và vectơ AM 3i 2 j . Câu 13: Xác định tọa độ vectơ c 5a 2b biết  a 3; 2 ,b 1;4 Vectơ nào trong hình là vectơ AM ? A. c 2; 11 B. c 2;11 C. c 2;11 D. c 11;2 Câu 14: Cho a 3; 1 ,b 0;4 ,c 5;3 . Tìm vectơ x sao cho x a 2b 3c 0 . A. 18;0 B. 8;18 C. 8;18 D. 8; 18
Chủ đề 8: Vectơ The Best or Nothing     1 A. V1 B. C. V2 D. V3 V4 A. u 2a b và v a 3b 2 Câu 19: Cho a 4; m ,v 2m 6;1 . Tập giá trị 2 B. u a 3b và v 2a 9b của m để hai vectơ a và b cùng phương là: 3 1;1 1;2 2; 1 2;1 3 3 A.  B.  C.  D.  C. u a 3b và v 2a b 5 5 Câu 20: Cho 4 điểm A 1; 2 , B 0;3 ,C 3;4 , 3 1 1 D. u 2a b và v a b D 1;8 . Ba điểm nào trong bốn điểm dã cho thẳng 2 3 4 hàng? Dạng 3: Tọa độ điểm A. A, B, C B. B, C, D Câu 25: Trong hệ tọa độ Oxy, cho ABC có A 3;5 , C. A, B, D D. A, C, D B 1;2 ,C 5;2 . Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác. Câu 21: Cho các vectơ a 4; 2 ,b 1; 1 , A. G 3;4 B. G 4;0 c 2;5 Phân tích vectơ a và c ta được: C. G 2;3 D. G 3;3 1 1 1 1 A. b a c B. b a c 8 4 8 4 Câu 26: Trong hệ tọa độ Oxy, cho M 3; 4 . Gọi 1 1 1 M , M làn lượt là hình chiếu vuông góc của M trên C. b a 4c D. b a c 1 2 8 8 4 Ox, Oy. Khẳng định nào đúng? Câu 22: Cho vectơ a 2;1 ,b 3;4 , c 7;2 . Khi A. OM 3 1 đó c ma nc . Tính tổng m n bằng: B. OM 2 4 A. 5B. C. 3, 8D. 5 3,8   C. OM1 OM 2 3;4 Câu 23: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 4 điểm    A 1; 2 , B 0;3 ,C 3;4 ,D 1;8 . Phân tích CD D. OM1 OM 2 3; 4   qua AB và AC . Đẳng thức nào sau đây đúng? Câu 27: Trong hệ tọa độ Oxy, cho A 3;1 , B 1;4 ,       A. CD 2AB 2AC B. CD 2AB AC C 5;3 . Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình      1  bình hành. C. CD 2AB AC D. CD 2AB AC 2 A. D 1;0 B. D 1;0 Câu 24: Cho 2 vectơ a và b không cùng phương. Hai C. D 0; 1 D. D 0;1 vectơ nào sau đây cùng phương?
Công Phá Toán - Lớp 10 The Best or Nothing Câu 28: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ABC có 1 2 5 1 A. I ; B. I ; 3 3 2 2 M 2;3 , N 0;4 , P 1;6 lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Tìm tọa độ đỉnh A. 1 3 C. I 2;6 D. I ; 2 2 A. A 1;5 B. A 3;7 Câu 33: Trong hệ tọa độ Oxy, cho A 1;3 , B 4;0 . C. A 2; 7 D. A 1; 10    Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn MA MB 3MC 0 Câu 19: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ABC có A. M 1;18 B. M 1;18 A 3;3 , B 1;4 ,C 2; 5 . Tọa độ điểm M thỏa mãn    C. M 18;1 D. M 1; 18 2MA BC 4CM là: 1 5 1 5 A. B.M ; M ; 6 6 6 6 Câu 34: Gọi điểm M là giao điểm của đường thẳng AB và trục hoành biết A 1;2 và B 2;5 . Biết hoành độ 1 5 5 1 C. M ; D. M ; m m 6 6 6 6 điểm M có dạng trong đó tối giản và m,n ¥ . n n Câu 30: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho MNP có 2 2 Tính m n . M 1; 1 ; N 5; 3 và P thuộc trục Oy. Trọng tâm G A. 34B. 41C. 25D. 10 của tam giác nằm trên trục Ox. Tọa độ của điểm P là: Câu 35: Trong hệ tọa độ Oxy, cho M 1;2 , N 3;2 , A. P 0;4 B. P 2;0 P 4; 1 . Tìm tọa độ điểm E thuộc trục Ox sao cho C. P 2;4 D. P 0;2    T EM EN EP nhỏ nhất. Câu 31: Trong hệ tọa độ Oxy, cho A 2; 3 , B 3;4 . A. E 4;0 B. E 2;0 Tìm tọa độ điểm M trên trục hoành sao cho A, B, M thẳng hàng. C. E 4;0 D. E 2;0 A. M 1;0 B. M 4;0 Câu 36: Trong hệ tọa độ Oxy, cho 2 điểm A 3;1 , 5 17 B 5;5 . Tìm điểm M trên trục yOy ' sao cho C. M ;0 D. M ;0 3 7 MA MB lớn nhất. Câu 32: Trong hệ tọa độ Oxy, cho A 2;1 , B 1; 3 . A. M 0; 5 B. M 0;5 Tìm tọa độ giao điểm I của hai đường chéo hình bình hành OABC. C. M 0;3 D. M 0;6
Chủ đề 8: Vectơ The Best or Nothing Câu 37: Trong hệ tọa độ Oxy, cho ABC biết A 2;0 , B 1;1 ,C 1; 2 . Các điểm C ', A', B ' lần lượt chia các đoạn thẳng AB, BC, CA theo tỉ số là 1 1; ; 2 . Khi đó đẳng thức nào sau đây đúng? 2     A. B.A 'C ' 2B 'C ' A'C ' 3B 'C '     C. A'C 3B 'C ' D. A'C 4B 'C ' Câu 38: Trong hệ tọa độ Oxy, tìm trên trục hoành điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M tới các điểm A 1;1 và B 2; 4 là nhỏ nhất. 6 5 A. M ;0 B. M ;0 5 6 5 6 C. M ;0 D. M ;0 6 5 Câu 39: Trong hệ tọa độ Oxy, cho 4 điểm A 0;1 ; B 1;3 ;C 2;7 ; D 0;3 . Tìm giao điểm của 2 đường thẳng AC và BD. 2 1 4 2 A. ;3 B. ; 3 C. ;D.13 ;3 3 3 3 3 Câu 40: Trong hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm A 6;3 ; B 3;6 ;C 1; 2 . Biết điểm E trên cạnh BC sao cho BE 2EC . D nằm trên đường thẳng AB và thuộc trục Ox. Tìm giao điểm của DE và AC. 7 1 3 1 A. I ; B. I ; 2 2 2 2 7 1 7 1 C. I ; D. I ; 4 2 2 2
Công Phá Toán - Lớp 10 The Best or Nothing BÀI KIỂM TRA CHỦ ĐỀ VIII 1  C. AC D. A, B, C đều đúng 2 Xem đáp án chi tiết tại trang 274 Câu 1: Phát biểu nào sau đây đúng? Câu 6: Trong mặt phẳng Oxy, cho A m 1; 1 , A. Hai vectơ không bằng nhau thì độ dài của chúng B 2;2 2m ,C m 3;3 . Tìm giá trị m để A,B, C là không bằng nhau. ba điểm thẳng hàng? B. Hai vectơ không bằng nhau thì chúng không cùng A. m 2 B. m C.0 m D. 3 m 1 phương Câu 7: Trên trục tọa độ O;i . Cho 2 điểm A và B có C. Hai vectơ bằng nhau thì có giá trùng nhau hoặc tọa độ lần lượt a và b. Tìm tọa độ điểm N sao cho song song nhau. 2NA 5NB . D. Hai vectơ có độ dài không bằng nhau thì không 4b 2a 5b 2a cùng hướng. A. x B. x N 7 N 7 Câu 2: Cho tứ giác ABCD. Có thể xác định được bao 5b 4a 5b 3a nhiêu vectơ (khác 0 ) có điểm đầu và điểm cuối là các C. x D. x N 7 N 7 điểm A, B, C, D? Câu 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A 5;2 , A. 4B. 8C. 10D. 12  B 1;2 . Tìm tọa độ điểm C đôi xứng với điểm A qua Câu 3: Cho AB 0 và có một điểm C. Có bao nhiêu   điểm B. điểm D thỏa mãn AB CD ? A. 6;0 B. 3;6 A. 0B. 2C. 1D. Vô số C. 7;2 D. 4;4 Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A 1;2 , B 3; 2 ,C 2;3 xác định tọa độ trọng tâm G Câu 9: Nếu điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số của tam giác ABC. k 1 thì với mọi điểm O ta có:   A. G 2;1 B. G 4;0    OA kOB A. MO k AB B. OM 1 k 3     C. G 3; D. G 6;3  OA k AB  OA kOB 2 C. OM D. OM 1 k 1 k Câu 5: Cho hình vuông ABCD tâm O, cạnh bằng a thì  Câu 10: Cho u 2i j và v i x j . Xác định x sao độ dài vectơ AO bằng: cho u và v cùng phương. a 2  A. B. OB 2
Chủ đề 8: Vectơ The Best or Nothing 1 Câu 15: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ A. x 1 B. x 2 a 1; 1 ;b 0;2 . Xác định tọa độ của vectơ x sao 1 C. x D. x 2 cho x b 2a . 4 A. B.x 2;0 x 2;4 Câu 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với A 2; 1 , B 0; 2 ,C 1;1 . Tìm tọa độ C. x 1;1 D. x 1;3 điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. Câu 16: Cho hình bình hành ABCD. Xác định điểm K     A. D 3; 4 B. D 3;0 sao cho: KA KB KC BC . C. D 1; 2 D. D 1;2 A. Điểm D là trung điểm cạnh AK B. Điểm K là trung điểm cạnh AC Câu 12: Cho ngũ giác đều tâm O. Mệnh đề nào sau đây sai? C. Điểm K chia đoạn DA theo tỉ số 2    D. Điểm D chia đoạn AK theo tỉ số 2 A. OA OB cùng phương với OD .    Câu 17: Cho hình chữ nhật ABCD có A 0;3 , D 2;1 , B. OC OE cùng phương với OD .   I 1;0 là tâm của hình chữ nhật. Tọa độ trung điểm C. AB và EC cùng phương.    BC là: D. BA BC BD A. M 3; 2 B. M 4; 1 Câu 13: Cho A 2; 3 , B 3;4 . Tọa độ điểm M trên B. D.M 2; 3 M 1;2 trục hoành để A, B, M thẳng hàng là:   A. M 1;0 B. M 4;0 Câu 18: Cho hai vectơ a OA,b OB có a b 10 · 5 1 17 , AOB 60 . Xác định vectơ c sao cho a b c 0 C. M ; D. M ;0 3 3 7 A. Vectơ c 0 Câu 14: Cho tam giác ABC đều cạnh a và G là trọng B. Vectơ cùng hướng với vectơ a b và có độ dài là tâm. Gọi I là trung điểm của AG. Tính độ dài của các  40 vectơ BI . C. Vectơ ngược hướng với vectơ a b và có độ dài a 21 a 21 a 2 a A. B. C. D. là 20 3 6 6 6 D. Vectơ c ngược hướng với vectơ a b và có độ dài là10 3
Công Phá Toán - Lớp 10 The Best or Nothing Câu 19: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm Câu 23: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC, a là độ A 1; 2 , B 0;3 ,C 3;4 , D 1;8 . Ba điểm nào dài cho trước. Tập hợp các điểm M sao cho    trong 4 điểm đã cho thẳng hàng. MA MB MC 3a là: A. A, B, CB. B, C, D A. Đường thẳng AB C. A, B, DD. A, C, D B. Đường tròn tâm G, bán kính 3a Câu 20: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi B ', B 'và' C. Đường tròn tâm G, bán kính a B ''' lần lượt là điểm đối xúng của B 2;7 qua trục D. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Ox, Oy và qua gốc tọa độ O. Tọa độ của các điểm Câu 24: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba vectơ B ', B '' và B ''' là: a 1;3 ,b 1; 2 ,c 3; 1 . Biết a xb yc .Tính A. B ' 2; 7 , B '' 2;7 và B ''' 2; 7 A xy x y. B. B ' 7;2 , B '' 2;7 và B ''' 2; 7 A. A 5 B. A C.6 A D. 3 A 1 Câu 25: Cho I, J, K lần lượt là trung điểm của các C. B ' 2; 7 , B '' 2;7 và B ''' 7; 2 cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC. Giả sử M là điểm    D. B ' 2; 7 , B '' 7;2 và B ''' 2; 7 thỏa mãn điều kiện MA 2MB MC 0 . Khi đó vị trí điểm M là: Câu 21: Cho tam giác ABC có D, M lần lượt là trung điểm của AC, BD. Đẳng thức nào sau đây đúng? A. M là tâm của hình bình hành BIKJ.    B. M là đỉnh thứ tư của hình bình hành AIKM. A. MA MC 2MB 0     C. M là trực tâm của tam giác ABC. B. MA MB MC MD 0    D. M là trọng tâm của tam giác IJK. C. MC MA MB 0 Câu 26: Cho ABC . Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn        D. MC MA 2MB 0 2MA 3MB 3MB 2MC ? Câu 22: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A. Quỹ tích điểm M là một đường thẳng. A 1; 1 , B 2;0 ,C 3;5 . Tìm tọa độ điểm D sao cho    B. Quỹ tích điểm M là đường thẳng đi qua A song AB 2AC 3AD 0 song với BC 8 A. D 2; B. D 3;3 C. Quỹ tích điểm M là đường tròn ngoại tiếp tam giác 3 ABC C. D 6;6 D. D 3; 2 D. Cả A, B, C đều sai
Chủ đề 8: Vectơ The Best or Nothing    Câu 27: Cho tứ giác ABCD, O là giao điểm của hai A. AB BC BD 0 đường chéo AC và BD. Gọi G theo thứ tự là trọng tâm      B. AC BD CB DA 0 của tam giác OAB và OCD. Khi đó GG ' bằng:   1   2   C. AD DA 0 A. AC BD B. AC BD    2 3 D. OA BC DO 0   1   C. 3 AC BD D. AC BD Câu 32: Cho tam giác đều ABC tâm H. Đẳng thức nào 3 sau đây là sai? Câu 28: Cho tam giác ABC với phân giác trong AD.     1    A. AH BH CH 0 B. AH AB AC Biết AB 5, BC 6,CA 7 . Khi đó AD bằng: 3       5  7  7  5  A. AB AC B. AB AC C. HA HB HC D. AH HB HC 12 12 12 12 Câu 33: Cho tứ giác ABCD. Xác định điểm G sao cho 7  5  5  7      C. AB AC D. AB AC GA GB GC GD 0 . 12 12 12 12 A. Điểm G trùng với giao điểm AC và BD Câu 29: Cho ABC , I, J, K lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Xét các mệnh đề: B. Điểm G là trọng tâm tam giác ABC    C. Điểm G là trung điểm đoạn thẳng nối hai trung I. AB BC AC 0 điểm AC và BD    II. KB JC AI D. Điểm G là trung điểm đoạn thẳng nối hai trung    III. AK BI CJ 0 điểm AB và CD Mệnh đề sai là: Câu 34: Cho 2 điểm A, B và hai số thực a, b sao cho a b 0 . Xét các mệnh đề: A. Chỉ IB. Chỉ IIC. II và IIID. I và III (I) Tồn tại duy nhất một điểm M thỏa mãn Câu 30: Cho hình binhg hành ABCD. Hai điểm M và   N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Điểm I là giao aMA bMB 0 . điểm của AM và BN, K là giao điểm của DM và CN.  b  (II) MA AB Câu nào sau đây sai? a b     A. B.AM NC DK NI (III) M là điểm nằm trên đường thẳng AB.     Trong các mệnh đề trên thì: C. D.M D BN MN BI A. (I) và (III) tương đương nhau Câu 31: Cho hình chữ nhật ABCD tâm O. Tìm đẳng thức đúng? B. (II) và (III) tương đương nhau
Công Phá Toán - Lớp 10 The Best or Nothing C. (I) và (II) tương đương nhau Câu 38: Cho ABC có ba trung tuyến AM, BN, CP    D. (I), (II), (III) tương đương nhau đồng quy tại G. Khi đó vectơ AM BN CP bằng vectơ nào? Câu 35: Cho ABC có trực tâm H, nội tiếp đường 3       tròn tâm O, M là trung điểm BC, A', B ' lần lượt là A. GA GB CG B. 3 MG NG GP điểm đối xứng của A, B qua O. Xét các mệnh đề sau: 2   1    (I) AB ' BA' C. AB BC AC D. 0 2   (II) HA' CB ' Câu 39: Cho ABC , D là trung điểm của BC, M là   (III) MH MA' trung điểm của AD, N là trung điểm của BM. Xét các đẳng thức: Mệnh đề nào đúng?  3  1  A. Chỉ (I)B. (II) và (III) (I) MB AB AC 4 4 C. (I) và (III)D. Tất cả đều đúng   1  1  (II) AM BN AC BC Câu 36: Cho hình vuông ABCD cạnh a, có H là trung 4 8  điểm của BC. Tính độ dài vectơ AH .  1  3  (III) ND AB BC  a 2  a 3 4 8 A. AH B. AH 2 2 Mệnh đề sai là:  a 5  A. Chỉ (II) C. AH D. AH 2a 2 B. Chỉ (III) Câu 37: Cho ABC , trung tuyến AM và trọng tâm G. C. (I), (II), (III) Hệ thức nào sau đây là đúng? D. Không có mệnh đề nào  2   A. AG AB AC Câu 40: Cho hai điểm A, B phân biệt thuộc đường 3   thẳng xy. Nếu MA kMB 0 k 0 thì điểm M phải:  1    B. MG MA MB MC 3 A. nằm trong đoạn AB   C. AM 3MG B. nằm ngoài đường thẳng xy    C. thuộc Ax D. AM AB AC D. thuộc By
Chủ đề 8: Vectơ The Best or Nothing    Câu 41: Cho lục giác ABCDE. Gọi M, N, P, Q, R, S MH mAB nAC . HỎI cặp số m, n nhận giá trị nào lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, sau đây? FA. Các tam giác nào sau đây có cùng trọng tâm? 5 1 2 1 A. m ,n B. m ,n A. MPR và MDEB. MPR và ABQ 6 6 3 4 C. MPR và NQSD. MNR và PQS 1 5 3 1 C. m ,n D. m ,n     6 6 4 6 Câu 42: Nếu MA MB MC MH (với H là trực tâm của tam giác) thì mệnh đề nào dưới đây là đúng? Câu 46: Cho tứ giác ABCD. Tìm hệ thức của điểm I và hằng số k để hệ thức: A. M trùng với trọng tâm của tam giác      B. M trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MA 2MB 3MC 4MD kMI C. M trùng với trực tâm của tam giác thỏa mãn với mọi M.     D. M là điểm tùy ý A. k 3, AI 2IB 3IC 4ID     Câu 43: ABCD là một hình bình hành. Nếu B. k 2, AI 2IB 3IC 4ID  1  AB CM thì khẳng định nào dưới đây đúng?     2 C. k 1, AI 2IB 3IC 4ID     A. M đối xứng với C qua D D. k 4, AI 2IB 3IC 4ID B. M là trung điểm của CD Câu 47: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho a 2;1 , C. M trùng với D b 3;4 ,c 7;2 . Cho biết c m.a n.b . Khi đó   D. CM và BA ngược hướng. m n bằng: Câu 44: Cho ABC . Tập hợp điểm M thỏa mãn: 22 3 19 24      A. B. C. D. MA MB 2MC MB MC là đường tròn có: 5 5 5 5 Câu 48: Cho hình bình hành ABCD có A 2;3 và A. tâm I bán kính CJ với I là trung điểm BC tâm I 1;1 . Biết điểm K 1;2 nằm trên đường thẳng B. tâm J bán kính BI với J là trung điểm AB AB và điểm D có hoành độ gấp đôi tung độ. Tìm các AB C. tâm B bán kính đỉnh còn lại của hình bình hành. 2 AC A. D 2;1 B. B 0;1 D. tâm C bán kính 2 C. C 4; 1 D. Cả A, B, C đều đúng Câu 45: Cho ABC có trọng tâm G, trung tuyến AM, điểm đối xứng với B qua G là H. Khi đó
Công Phá Toán - Lớp 10 The Best or Nothing Câu 49: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N lầ lượt là hai điểm nằm trên hai cạnh AB và CD sao cho AB 2AM ,CD 2CN và G là trọng tâm tam giác    MNB. Phân tích các vectơ AN, MN, AG qua các vectơ   AB và AC .   1   5   A. AN AC AB B. MN AB AC 2 6  5  1  C. AG AB AC D. Cả A, B, C đều đúng 18 3 Câu 50: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Cho hình thoi ABCD cạnh a và B· AD 60 . Biết A trùng với gốc tọa độ O, C thuộc trục Ox và xB 0, yB 0 .Tìm tọa độ các đỉnh của hình thoi ABCD. a 3 a a 3 a A. A 0;0 , B ; ,C a 3;a , D ; 2 2 2 2 a 3 a a 3 a B. A 0;0 , B ; ,C a 3;0 , D ; 2 2 2 2 a 3 a a 3 a C. A 0;0 , B ; ,C a 3;0 , D ; 2 2 2 2 a 3 a a 3 a D. A 0;0 , B ; ,C a 3;0 , D ; 2 2 2 2
Chủ đề 8: Vectơ The Best or Nothing HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT CHỦ ĐỀ 8 I. Cung và góc lượng giác  a 13 Suy ra MN MN Dạng 1: Các bài toán về khái 2 niệm vectơ Câu 7: Đáp án A Câu 1: Đáp án D Một vectơ khác vectơ không được xác định bởi 2 điểm phân biệt. Do Câu 8: Đáp án C đó có 12 cách chọn 2 điểm trong 4 điểm của tứ giác. Vì tam giác đều nên  Áp dụng định lý Pytago trong tam AB AB 2a Câu 2: Đáp án A giác vuông MAD ta có: Câu 3: Đáp án D 2 Câu 9: Đáp án A 2 2 2 a 2 DM AM AD a Câu 4: Đáp án D 2  5a2 Các vectơ bằng vectơ AB là:    4 FO,OC, ED a 5 DM 2 Qua N kẻ đường thẳng song song với AD cắt AB tại P. Khi đó tứ giác ADNP là hình Thật vậy khi ABC nhọn thì ta vuông và có: a 3a PM PA AM a AH  BC 2 2 AH //OM Câu 5: Đáp án C OM  BC Áp dụng định lý Pytago trong tam Có 3 đường thẳng song song với giác vuông NPM ta có: O, H nằm trong tam giác   MN là AC, AP, PC 2 AH,OM cùng hướng 2 2 2 2 3a Nên có 7 vectơ MN NP PM a 2 Câu 10: Đáp án D        13a2 NM , AC,CA, AP, PA, PC,CP 4 Câu 6: Đáp án C a 13 MN 2
Công Phá Toán - Lớp 10 The Best or Nothing Câu 19: Đáp án D Ta có: MNPQ là hình bình hành 1 Ta có: MP / /DC, MP DC   2 MN QP 1 Ta có: PN / / AB, PN AB 2   1   OI OJ OA OC Mà MP PN 2      1   Ta có: PQ AO OC OD OB AB DC ABCD là hình 2        bình hành AD BC AR RQ PO BQ QC 1   1   OA OB OC OD    2 2 Câu 17: Đáp án A BO OD PR        OM ON 0 OP RA DR CQ QB   OI OJ Câu 20: Đáp án D   Câu 11: Đáp án A AB AC B  C Câu 21: Đáp án A Dạng 2: Chứng minh đẳng thức vectơ Câu 22: Đáp án B Ta có thể chỉ ra được ADCH là Vì µA 60 ABC đều hình bình hành   a 3  a 3 AH DC AO AO 2 2 Câu 18: Đáp án D       CO OB CO OD CD BA Câu 12: Đáp án C Câu 23: Đáp án C Câu 13: Đáp án D Câu 14: Đáp án A Câu 15: Đáp án A Câu 16: Đáp án C Ta có:   OB OC R BO CO
Chủ đề 8: Vectơ The Best or Nothing      1   VT OM ON OP AI AK AB AC    2 AD BE CF Câu 26: Đáp án A 1         AD AC AE ED BF FE CD DF VT 2       AE BF CD ED DF FE          AB CD AD DB CB BD AE BF CD     AD CB DB BD Câu 24: Đáp án D   Ta có: AD DB VP     Câu 27: Đáp án D BA CB BD DC 0     1   3  AA' BB ' CC ' AC AB AD AC       2 2 BC CA BA 0 B  A AG GG ' G ' A'    Câu 31: Đáp án D Vì A, B bất kì D sai. BG GG ' G ' B '     Câu 25: Đáp án B CG GG ' G 'C ' 3GG '   Câu 28: Đáp án D Ta có: GC 2C1G D sai.    AB CD EA Nhận xét: ABC và A B C      1 1 1 AC CB CD ED DA' cùng trọng tâm.      CB ED AC CD DA Câu 32: Đáp án B       CB ED AD DA CB ED Ta có:       Câu 29: Đáp án C NP MN NQ QP MQ QN        2MA MB 3MC QP MQ NQ QN        2MC 2CA MC CB 3MC   QP MQ VP 2CA CB Câu 33: Đáp án B    Câu 30: Đáp án D VT OA OB OC       OM MA ON NB OP PC    Mà NB NM NP    MA NB PC     MA NM NP PC   NA NC 0
Công Phá Toán - Lớp 10 The Best or Nothing AP AN p a BM BP p b Gọi A' AM  BC CN CM p c  A'C  A' B  Ta có MA' MB MC  MB  MB     BC BC Ta có IM .IB .IC AB AC AD BC BC       A'C S S S AG GB AG GC AG GD MA'C MAC b    aIM p c IB p b IC 1     A' B SMA'B SMAB Sc 3AG GB GC GD Tương tự:      A'C S A' B S 4GA GA GB GC GD b ; c    BC S S BC S S bIN p a IC p c IA 2    b c b c    4AG 2I 2GJ 4AG cIP p b IA p a IB 3 (II) và (III) sai vì G không phải là  S  S  MA' b MB c MC * trung điểm của AC và BD. Sb Sc Sb Sc Cộng từng vế (1), (2), (3) ta được: Mặt khác    Câu 34: Đáp án A aIM bIN cIC MA' S S   MA'B MA'C 2 p b c IA 2 p a c IB MA SMAB SMAC  S S S 2 p a b IC MA'B MA'C a    SMAB SMAC Sb Sc aIA bIB cIC 0   Nhận xét: Áp dụng kết quả nếu I Sa Ma ' MA , thay vào là tâm đường tròn nội tiếp ABC Sb Sa thì     (*) ta được: MN MA AB BN       aIA bBI cCI 0 Ta có     S MA S MB S MC MN MD DC CN a b c    Dạng 3: Xác định điểm thỏa     S MA S MB S MC 0 nMN nMA nAB nBN a b c mãn điều kiện cho trước     mMN mMD mDC mCN Câu 36: Đáp án A Câu 37: Đáp án B  m n MN Câu 38: Đáp án C     nMA mMD nAB mDC Ta có: MN 3MP và P, N khác   nBN mCN đối với M   0 nAB mDC 0 Câu 39: Đáp án C    nAB mDC Câu 40: Đáp án B MN m n Câu 41: Đáp án C Câu 35: Đáp án A Gọi p là nửa chu vi ABC , ta có:
Chủ đề 8: Vectơ The Best or Nothing          2IA 3IB 3BC MA MB BA MA 2MB CB              2IA 2IB IB 3BC MA MB MC AD MA MB MB CM MC         2 IA IB 2BC IB BC BA MC AD     MA MB MC 0 M là        2BA 2BC IC CM AD AB AC trọng tâm ABC    2BA 2BC IC Vậy C là trung điểm của AM     Câu 46: Đáp án A 2CA IC CI 2CA Câu 44: Đáp án C    2MA MB 3MC Câu 42: Đáp án D      2 MA MB MC MC MB   6MG BC 0  1  GM BC 6 Gọi K là trung điểm BC Câu 47: Đáp án B       NB NC 2NK Ta có MA MB 4MC 0     M là trung điểm AB nên    Nên 2NA NB NC 0 MA MB MC 3MC       AB 2AM   3MG 3MC MG MC 2NA 2NK 0   AC 2AN   Hay M là trung điểm của GC    NA NK 0 3AB 2AC 12AK 0 Câu 48: Đáp án A N là trung điểm AK    6AM 6AN 12AK 0 Ta có Câu 45: Đáp án D  1       AK AM AN AB AC AD 4AM 2   4AM 2AC K là trung điểm của MN.  1  AM AC M  O Câu 43: Đáp án C 2 Câu 49: Đáp án D Ta có M là trọng tâm thì    MA MB MC 0 So sánh với    MA MB  MC 1; 1