›
›
›

Tuyển tập các đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 (Có đáp án đầy đủ) - Năm học 2013-2014

doc 89 trang thaodu 2660
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tuyển tập các đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 (Có đáp án đầy đủ) - Năm học 2013-2014", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • doctuyen_tap_cac_de_thi_hoc_sinh_gioi_mon_toan_lop_6_co_dap_an.doc

Nội dung text: Tuyển tập các đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 (Có đáp án đầy đủ) - Năm học 2013-2014

  1. Tuyển tập đề thi HSG Toán 6 Năm học 2013-2014 TUYỂN TẬP CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 6 (CÓ ĐÁP ÁN ĐẦY ĐỦ) Gv: Nguyễn Văn Tú 1 Trường THCS Thanh Mỹ
  2. Tuyển tập đề thi HSG Toán 6 Năm học 2013-2014 ĐỀ SỐ 1 Thời gian làm bài 120 phút a3 2a2 1 Câu 1 : (2 điểm) Cho biểu thức A a3 2a2 2a 1 a, Rút gọn biểu thức b, Chứng minh rằng nếu a là số nguyên thì giá trị của biểu thức tìm được của câu a, là một phân số tối giản. Câu 2: (1 điểm) Tìm tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số abc sao cho abc n2 1 và cba (n 2)2 Câu 3: (2 điểm) a. Tìm n để n2 + 2006 là một số chính phương b. Cho n là số nguyên tố lớn hơn 3. Hỏi n2 + 2006 là số nguyên tố hay là hợp số. Câu 4: (2 điểm) a n a a. Cho a, b, n N* Hãy so sánh và b n b 1011 1 1010 1 b. Cho A = ; B = . So sánh A và B. 1012 1 1011 1 Câu 5: (2 điểm) Cho 10 số tự nhiên bất kỳ : a 1, a2, , a10. Chứng minh rằng thế nào cũng có một số hoặc tổng một số các số liên tiếp nhau trong dãy trên chia hết cho 10. Câu 6: (1 điểm) Cho 2006 đường thẳng trong đó bất kì 2 đườngthẳng nào cũng cắt nhau. Không có 3 đường thẳng nào đồng qui. Tính số giao điểm của chúng. ĐÁP ÁN a3 2a2 1 (a 1)(a2 a 1) a2 a 1 Câu 1: Ta có: A = a3 2a2 2a 1 (a 1)(a2 a 1) a2 a 1 Điều kiện đúng a ≠ -1 ( 0,25 điểm). Rút gọn đúng cho 0,75 điểm. b.Gọi d là ước chung lớn nhất của a2 + a – 1 và a2+a +1 ( 0,25 điểm). Vì a2 + a – 1 = a(a+1) – 1 là số lẻ nên d là số lẻ 2 2 Mặt khác, 2 = [ a +a +1 – (a + a – 1) ]  d Nên d = 1 tức là a2 + a + 1 và a2 + a – 1 nguyên tố cùng nhau. ( 0, 5 điểm) Vậy biểu thức A là phân số tối giản. ( 0,25 điểm) Câu 2: abc = 100a + 10 b + c = n2-1 (1) cba = 100c + 10 b + c = n2 – 4n + 4 (2) (0,25 điểm) Từ (1) và (2) 99(a-c) = 4 n – 5 4n – 5  99 (3) (0,25 điểm) Mặt khác: 100  n2-1  999 101  n2  1000 11 n31 39 4n – 5  119 (4) ( 0, 25 điẻm) Từ (3) và (4) 4n – 5 = 99 n = 26 Vậy: abc = 675 ( 0 , 25 điểm) Câu 3: (2 điểm) a) Giả sử n2 + 2006 là số chính phương khi đó ta đặt n 2 + 2006 = a2 ( a Z) a2 – n2 = 2006 (a-n) (a+n) = 2006 (*) (0,25 điểm). + Thấy : Nếu a,n khác tính chất chẵn lẻ thì vế trái của (*) là số lẻ nên không thỏa mãn (*) ( 0,25 điểm). + Nếu a,n cùng tính chẵn hoặc lẻ thì (a-n) 2 và (a+n)  2 nên vế trái chia hết cho 4 và vế phải không chia hết cho 4 nên không thỏa mãn (*) (0,25 điểm). Vậy không tồn tại n để n2 + 2006 là số chính phương. (0,25 điểm). b) n là số nguyên tố > 3 nên không chia hết cho 3. Vậy n2 chia hết cho 3 dư 1 do đó n2 + 2006 = 3m + 1 + 2006 = 3m+2007= 3( m+669) chia hết cho 3. Vậy n2 + 2006 là hợp số. ( 1 điểm). Bài 4: Mỗi câu đúng cho 1 điểm Gv: Nguyễn Văn Tú 2 Trường THCS Thanh Mỹ
  3. Tuyển tập đề thi HSG Toán 6 Năm học 2013-2014 a a a Ta xét 3 trường hợp b 1 b 1 b 1 (0,5 điểm). a 1 a n a n a TH1: b a=b thì b n thì b n = b =1. (0 , vì ,5 điểm). a TH1: b 1 a>b a+m > b+n. a n a b Mà b n có phần thừa so với 1 là b n a a b a b a b a n a b có phần thừa so với 1 là b , vì b n b (0,25 điểm). 1011 1 b) Cho A = ; 1012 1 a a n a (1011 1) 11 1011 10 rõ ràng A A n) ĐPCM. Câu 6: Mỗi đường thẳng cắt 2005 đường thẳng còn lại tạo nên 2005 giao điểm. Mà có 2006 đường thẳng có : 2005x 2006 giao điểm. Nhưng mỗi giao điểm được tính 2 lần số giao điểm thực tế là: (2005x 2006):2 = 1003x 2005 = 2011015 giao điểm. ĐỀ SỐ 2 Thời gian làm bài 120 phút Câu1: a. Tìm các số tự nhiên x, y. sao cho (2x+1)(y-5)=12 b.Tìm số tự nhiên sao cho 4n-5 chia hết cho 2n-1 c. Tìm tất cả các số B= 62xy427, biết rằng số B chia hết cho 99 12n 1 Câu 2. a. chứng tỏ rằng là phân số tối giản. 30n 2 1 1 1 1 b. Chứng minh rằng : + + + + 2x+1 =1 hoặc 2x+1=3 (0,25đ) Gv: Nguyễn Văn Tú 3 Trường THCS Thanh Mỹ
  4. Tuyển tập đề thi HSG Toán 6 Năm học 2013-2014  2x+1=1 => x=0; y-5=12 => y=17 hoặc 2x+1=3=> x=1; y-5=4=>y=9 (0,25đ) vậy (x,y) = (0,17); (1,9) (0,25đ) b.(1đ) Ta có 4n-5 = 2( 2n-1)-3 (0,25đ) để 4n-5 chia hết cho2n-1 => 3 chia hết cho2n-1 (0,25đ) =>* 2n-1=1 => n=1 *2n-1=3=>n=2 (0,25đ) vậy n=1;2 (0,25đ) c. (1đ) Ta có 99=11.9 B chia hết cho 99 => B chia hết cho 11và B chia hết cho 99 (0,25đ) *B chia hết cho 9 => ( 6+2+4+2+7+x+y) chia hết cho 9  (x+y+3) chia hết cho 9=> x+y=6 hoặc x+y =15 B chia hết cho 11=> (7+4+x+6-2-2-y) chia hết cho11=> (13+x-y)chia hết cho 11 x-y=9 (loại) hoặc y-x=2 (0,25đ) y-x=2 và x+y=6 => y=4; x=2 (0,25đ) y-x=2 và x+y=15 (loại) vậy B=6224427 (0,25đ) Câu2: a. Gọi dlà ước chung của 12n+1và 30n+2 ta có 5(12n+1)-2(30n+2)=1 chia hết cho d (0,5đ) vậy d=1 nên 12n+1 và 30n+2 nguyên tố cùng nhau 12n 1 do đó là phân số tối giản (0,5đ) 30n 2 1 1 1 1 b. Ta có < = - 22 2.1 1 2 1 1 1 1 < = - 32 2.3 2 3 1 1 1 1 < = - (0,5đ) 1002 99.100 99 100 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Vậy + + + < - + - + + - 22 32 1002 1 2 2 3 99 100 1 1 1 1 99 + + + <1- = <1 (0,5đ) 22 32 1002 100 100 Câu 3.Số cam còn lại sau lần bán thứ 2 là : (24+3/4): 3/3 =33(quả) (1đ) Số cam còn lại sau lần bán thứ nhất . (33+1/3) : 2/3 =50 (quả) (1đ) Số cam bác nông dân mang đi bán . (50+1/2) : 1/2 =1001 ( quả) (1đ) Câu 4(1đ) . Mỗi đường thẳng cắt 100 đường tẳng còn lại tạo nên 100 giao điểm . có 101 đường thẳng nên có 101.100 giao điểm . nhưng mỗi giao điểm đã được tính hai lần nên chỉ có 101.100:2= 5050 ( giao điểm) ĐỀ SỐ 3 Thời gian làm bài: 120’ Bài 1:(1,5đ) Tìm x a) 5x = 125; b) 32x = 81 ; c) 52x-3 – 2.52 = 52.3 Bài 2: (1,5đ) Cho a là số nguyên. Chứng minh rằng: a 5 5 a 5 Bài 3: (1,5đ) Cho a là một số nguyên. Chứng minh rằng: Gv: Nguyễn Văn Tú 4 Trường THCS Thanh Mỹ
  5. Tuyển tập đề thi HSG Toán 6 Năm học 2013-2014 a. Nếu a dương thì số liền sau a cũng dương. b. Nếu a âm thì số liền trước a cũng âm. c. Có thể kết luận gì về số liền trước của một số dương và số liền sau của một số âm? Bài 4: (2đ) Cho 31 số nguyên trong đó tổng của 5 số bất kỳ là một số dương. Chứng minh rằng tổng của 31 số đó là số dương. Bài 5: (2đ) Cho các số tự nhiên từ 1 đến 11 được viết theo thứ tự tuỳ ý sau đó đem cộng mỗi số với số chỉ thứ tự của nó ta được một tổng. Chứng minh rằng trong các tổng nhận được, bao giờ cũng tìm ra hai tổng mà hiệu của chúng là một số chia hết cho 10. Bài 6: (1,5đ) Cho tia Ox. Trên hai nữa mặt phẳng đối nhău có bờ là Ox. Vẽ hai tia Oy và Oz sao cho góc xOy và xOz bắng 1200. Chứng minh rằng: a. x Oy x Oz yOz b. Tia đối của mỗi tia Ox, Oy, Oz là phân giác của góc hợp bởi hai tia còn lại. ĐÁP ÁN Bài 1 (1,5đ) a).5x = 125  5x = 53 => x= 3 b) 32x = 81 => 32x = 34 => 2x = 4 => x = 2 c). 52x-3 – 2.52 = 52.3 52x: 53 = 52.3 + 2.52 52x: 53 = 52.5 52x = 52.5.53  52x = 56 => 2x = 6 => x=3 Bài 2. Vì a là một số tự nhiên với mọi a Z nên từ a a = {0,1,2,3,4}. Nghĩa là a ={0,1,-1,2,-2,3,-3,4,-4}. Biểu diễn trên trục số cácc số này đều lớn hơn -5 và nhỏ hơn 5 do đó -5 0 số liền sau a lớn hơn a nên cũng lớn hơn 0 nên là số dương b)Nếu a âm thì số liền trước a cũng âm. Ta có: Nếu a âm thì a<0 số liền trước a nhỏ hơn a nên cũng nhỏ hơn 0 nên là số âm. Bài 4 (2đ). Trong các số đã cho ít nhất có 1 số dương vì nếu trái lại tất cả đều là số âm thì tổng của 5 số bất kỳ trong chúng sẽ là số âm trái với giả thiết. Tách riêng số dương đó còn 30 số chi làm 6 nhóm. Theo đề bài tổng các số của mỗi nhóm đều là số dương nên tổng của 6 nhóm đều là số dương và do đó tổng của 31 số đã cho đều là số dương. Bài 5 (2đ): Vì có 11 tổng mà chỉ có thể có 10 chữ số tận cùng đều là các số từ 0 , 1 ,2, ., 9 nên luôn tìm được hai tổng có chữ số tận cùng giống nhau nên hiệu của chúng là một số nguyên có tận cùng là 0 và là số chia hết cho 10. Bài 6 (1,5đ).Ta có: x 'Oy 600 , x 'Oz 600 và tia Ox’ nằm giữa hai tia Oy, Oz nên yOz yOx' x 'Oz 1200 vậy x Oy yOz z Ox Do tia Ox’ nằm giữa hai tia Oy, Oz và x 'Oy x 'Oz nên Ox’ là tia phân giác của góc hợp bởi hai tia Oy, Oz. Tương tự tia Oy’ (tia đối của Oy) và tia Oz’ (tia đối của tia Oz) là phân giác của góc xOz và xOy ĐỀ SỐ 4 Thời gian làm bài 120 phút Câu 1. Tính: Gv: Nguyễn Văn Tú 5 Trường THCS Thanh Mỹ
  6. Tuyển tập đề thi HSG Toán 6 Năm học 2013-2014 a. A = 4 + 2 2 + 2 3 + 2 4 +. . . + 2 20 b. tìm x biết: ( x + 1) + ( x + 2) + . . . + ( x + 100) = 5750. Câu 2. a. Chứng minh rằng nếu: ab cd eg  11 thì abcdeg  11. 28 b. Chứng minh rằng: 10 + 8  72. Câu 3. Hai lớp 6A;6B cùng thu nhặt một số giấy vụn bằng nhau. Lớp 6A có 1 bạn thu được 26 Kg còn lại mỗi bạn thu được 11 Kg ; Lớp 6B có 1 bạn thu được 25 Kg còn lại mỗi bạn thu được 10 Kg . Tính số học sinh mỗi lớp biết rằng số giấy mỗi lớp thu được trong khoảng 200Kg đến 300 Kg. Câu 4. 6 9 2 Tìm 3 số có tổng bằng 210, biết rằng số thứ nhất bằng số thứ 2 và bằng số thứ 3. 7 11 3 Câu 5. Bốn điểm A,B,C,Dkhông nằm trên đường thẳng a . Chứng tỏ rằng đường thẳng a hoặc không cắt, hoặc cắt ba, hoặc cắt bốn đoạn thẳng AB, AC, AD, BC, BD, CD. ĐÁP ÁN Câu 1. a). 2A = 8 + 2 3 + 2 4 + . . . + 2 21. => 2A – A = 2 21 +8 – ( 4 + 2 2 ) + (2 3 – 2 3) +. . . + (2 20 – 2 20). = 2 21. b). (x + 1) + ( x + 2 ) + . . . . . . . . + (x + 100) = 5750 => x + 1 + x + 2 + x + 3 + . . . . . . . . . . + x + 100 = 5750 => ( 1 + 2 + 3 + . . . + 100) + ( x + x + x . . . . . . . + x ) = 5750 101 x 50 + 100 x = 5750 100 x + 5050 = 5750 100 x = 5750 – 5050 100 x = 700 x = 7 Câu 2. a) abcdeg 10000ab 100 cd eg = 9999 ab 99cd + ab cd eg  11. 28 28 b). 10 + 8  9.8 ta có 10 + 8  8 (vì có số tận cùng là 008) 28 28 nên 10 + 8  9.8 vậy 10 + 8  72 Câu 3. Gọi số giấy mỗi lớp thu được là x (Kg) thì ( x-26)  11 và ( x-25)  10. Do đó (x-15) BC(10;11) và 200 x 300 => x-15 = 220 => x = 235. Số học sinh lớp 6A là: (235 – 26) : 11 + 1 = 20. hs Số học sinh lớp 6B là: (235 – 25) : 10 + 1 = 22 hs. 9 6 21 Câu 4. Số thứ nhất bằng: : = (số thứ hai) 11 7 22 9 2 27 Số thứ ba bằng: : = (số thứ hai) 11 3 22 22 21 27 70 Tổng của 3 số bằng (số thứ hai) = (số thứ hai) 22 22 70 21 27 Số thứ hai là : 210 : = 66 ; số thứ nhất là: . 66 = 63 ; số thứ 3 là: .66 = 81 22 22 22 Câu5: Đường thẳng a chia mặt phẳng ra hai nửa mặt phẳng Xét 3 trường hợp a). Nếu cả 4 điểm A, B, CD thuộc cùng một nửa mặt phẳng thì a không cắt đoạn thẳng nào. b). Nếu có 1 điểm ( Chẳng hạn điểm A thuộc nửa mặt phẳng) ba điểm B, C, D thuộc nửa mặt phẳng đối thì đường thẳng a cắt ba đoạn thẳng AB, AC, AD Gv: Nguyễn Văn Tú 6 Trường THCS Thanh Mỹ
  7. Tuyển tập đề thi HSG Toán 6 Năm học 2013-2014 c). Nếu có 2 điểm chẳng hạn (A và B) thuộc một nửa mặt phẳng hai điểm kia (C và D) thuộc mỗi mặt phẳng đối thì a cắt bốn đoạn thẳng AC, AD, BC, BD ĐỀ SỐ 5 Thời gian làm bài 120 phút Bài 1 (3đ): a) So sánh: 222333 và 333222 b) Tìm các chữ số x và y để số 1x8y2 chia hết cho 36 c) Tìm số tự nhiên a biết 1960 và 2002 chia cho a có cùng số dư là 28 Bài 2 (2đ): Cho : S = 30 + 32 + 34 + 36 + + 32002 a) Tính S b) Chứng minh S  7 Bài 3 (2đ): Tìm số tự nhiên nhỏ nhất, biết rằng khi chia số này cho 29 dư 5 và chia cho 31 dư 28 Bài 4 (3đ): Cho góc AOB = 1350. C là một điểm nằm trong góc AOB biết góc BOC = 900 a) Tính góc AOC b) Gọi OD là tia đối của tia OC. So sánh hai góc AOD và BOD HƯỚNG DẪN Bài 1 (3đ): a) Ta có 222333 = (2.111)3.111 = 8111.(111111)2.111111 (0,5đ) 333222 = (3.111)2.111 = 9111.(111111)2 (0,5đ) Suy ra: 222333 > 333222 b) Để số 1x8y2  36 ( 0 x, y 9 , x, y N ) (1 x 8 y 2)9 (0,5đ) y24 y24 y 1;3;5;7;9 (x+y+2)  9 => x+y = 7 hoặc x+y = 16 => x = 6;4;2;0;9;7 (0,25đ) Vậy ta có các số: 16812; 14832; 12852; 10872; 19872; 17892 (0,25đ) c) Ta có a > 28 => ( 2002 - 1960 )  a => 42  a (0,5đ) => a = 42 (0,5đ) Bài 2 (2đ): a) Ta có 32S = 32 + 34 + + 32002 + 32004 (0,5đ) 32004 1 Suy ra: 8S = 32004 - 1 => S = (0,5đ) 8 b) S = (30 + 32 + 34 ) + 36(30 + 32 + 34 ) + + 31998(30 + 32 + 34 ) = = (30 + 32 + 34 )( 1 + 36 + + 31998 ) 6 1998 = 91( 1 + 3 + + 3 ) (0,75đ) suy ra: S  7 (0,25đ) Bài 3 (2đ): Gọi số cần tìm là: a Ta có a = 29q + 5 = 31p +28 (0,5đ) 29(q - p) = 2p + 23 Vì 2p + 23 lẻ nên( q - p) lẻ => q - p 1. (0,75đ) Vì a nhỏ nhất hay q - p = 1 => p = 3; => a = 121 (0,5đ) Vậy số cần tìm là 121 (0,25đ) Bài 4 (3đ): a) theo giả thiết C nằm trong góc AOB nên tia OC nằm giữa hai tia OB và OA => góc AOC + góc BOC = góc AOB Gv: Nguyễn Văn Tú 7 Trường THCS Thanh Mỹ
  8. Tuyển tập đề thi HSG Toán 6 Năm học 2013-2014 => góc AOC = góc AOB - góc BOC => góc AOC = 1350 - 900 = 450 b) vì OD là tia đối của tia OC nên C, O, D thẳng hàng. Do đó góc DOA + góc AOC = 180 0 (hai góc kề bù) => góc AOD = 1800 - góc AOC = 1800 - 450 => góc AOD = 1350 góc BOD = 1800 - 900 = 900 Vậy góc AOD > góc BOD ĐỀ SỐ 6 Thời gian làm bài 120 phút Bài 1( 8 điểm 1. Tìm chữ số tận cùng của các số sau: a) 571999 b) 931999 2. Cho A= 9999931999 - 5555571997. Chứng minh rằng A chia hết cho 5. a 3 . Cho phân số (0 0) vào tử và mẫu thì phân số mới lớn hơn b a hay bé hơn ? b 4. Cho số 155*710* 4*16 có 12 chữ số . chứng minh rằng nếu thay các dấu * bởi các chưc số khác nhau trong ba chữ số 1,2,3 một cách tuỳ thì số đó luôn chia hết cho 396. 5. chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 99 100 3 a) ; b) 2 4 8 16 32 64 3 3 32 33 34 399 3100 16 Bài 2: (2 điểm ) Trên tia Ox xác định các điểm A và B sao cho OA= a(cm), OB=b (cm) a) Tính độ dài đoạn thẳng AB, biết b< a 1 b) Xác định điểm M trên tia Ox sao cho OM = (a+b). 2 ĐÁP ÁN Bài 1: 1. Tìm chữ số tận cùng của các số sau: ( 1 điểm ) Để tìm chữ số tận cùng của các số chỉ cần xét chữ số tận cùng của từng số : a) 571999 ta xét 71999 Ta có: 71999 = (74)499.73 = 2041499. 343 Suy ra chữ số tận cùng bằng 3 ( 0,25 điểm ) ỵVậy số 571999 có chữ số tận cùng là : 3 b) 931999 ta xét 31999 Ta có: 31999 = (34)499. 33 = 81499.27 Suy ra chữ số tận cùng bằng 7 (0,25 điểm ) 2. Cho A = 9999931999 - 5555571997 . chứng minh rằng A chia hết cho 5 Để chứng minh A chia hết cho 5 , ta xét chữ số tận cùng của A bằng việc xét chữ số tận cùng của từng số hạng. Theo câu 1b ta có: 9999931999 có chữ số tận cùng là 7 Tương tự câu 1a ta có: (74)499.7 =2041499.7 có chữ số tận cùng là 7 ( 0,25 điểm ) Vậy A có chữ số tận cùng là 0, do đó A chia hết cho 5. ( 0,25 điểm ) 3 (1 điểm )Theo bài toán cho a < b nên am < bm ( nhân cả hai vế với m) ( 0,25 điểm ) ab +am < ab+bm ( cộng hai vế với ab) ( 0,25 điểm ) a(b+m) < b( a+m) a a m b b m Gv: Nguyễn Văn Tú 8 Trường THCS Thanh Mỹ
  9. Tuyển tập đề thi HSG Toán 6 Năm học 2013-2014 4.(1 điểm ) Ta nhận thấy , vị trí của các chữ số thay thế ba dấu sao trong số trên đều ở hàng chẵn và vì ba chữ số đó đôi một khác nhau, lấy từ tập hợp 1;2;3 nên tổng của chúng luôn bằng 1+2+3=6. Mặt khác 396 = 4.9.11 trong đó 4;9;11 đôi một nguyên tố cùng nhau nên ta cần chứng minh A = 155*710* 4*16 chia hết cho 4 ; 9 và 11. Thật vậy : +A  4 vì số tạo bởi hai chữ số tận cùng của A là 16 chia hết cho 4 ( 0,25 điểm ) + A  9 vì tổng các chữ số chia hết cho 9 : 1+5+5+7+1+4+1+6+(*+*+*)=30+6=36 chia hết cho 9 ( 0,25 điểm ) + A  11 vì hiệu số giữa tổng các chữ số hàng chẵn và tổng các chữ số hàng lẻ là 0, chia hết cho 11. {1+5+7+4+1)-(5+1+6+(*+*+*)}= 18-12-6=0 ( 0,25 điểm ) Vậy A  396 5(4 điểm ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a) (2 điểm ) Đặt A= (0,25 điểm ) 2 4 8 16 32 64 2 22 23 24 25 26 1 1 1 1 1 2A= 1 (0,5 điểm ) 2 22 23 24 25 1 26 1 2A+A =3A = 1- 1 (0,75 điểm ) 26 26 1 3A < 1 A < (0,5 điểm ) 3 1 2 3 4 99 100 2 3 3 4 99 100 b) Đặt A= 3A= 1- 3 32 33 34 399 3100 3 32 33 33 398 399 (0,5 điểm ) 1 1 1 1 1 100 1 1 1 1 1 4A = 1- 4A< 1- (1) (0,5 điểm ) 3 32 33 398 399 3100 3 32 33 398 399 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Đặt B= 1- 3B= 2+ (0,5 điểm ) 3 32 33 398 399 3 32 397 398 1 3 4B = B+3B= 3- < 3 B < (2) 399 4 3 3 Từ (1)và (2) 4A < B < A < (0,5 điểm ) 4 16 Bài 2 ( 2 điểm ) a) (1 điểm )Vì OB <OA ( do b<a) nên trên tia Ox thì điểm B nằm giữa điểm O và điểm A. Do đó: OB +OA= OA Từ đó suy ra: AB=a-b. O B A x 1 a b 2b a b a b b)(1 điểm )Vì M nằm trên tia Ox và OM = (a b) b 2 2 2 2 OA OB 1 = OB + OB AB 2 2 M chính là điểm thuộc đoạn thẳng AB sao cho AM = BM ĐỀ SỐ 7 Thời gian làm bài: 120 phút. A – Phần số học : (7 điểm ) Câu 1:( 2 điểm ) Gv: Nguyễn Văn Tú 9 Trường THCS Thanh Mỹ
  10. Tuyển tập đề thi HSG Toán 6 Năm học 2013-2014 a, Các phân số sau có bằng nhau không? Vì sao? 23 23232323 2323 232323 ; ; ; 99 99999999 9999 999999 b, Chứng tỏ rằng: 2x + 3y chia hết cho 17 9x + 5y chia hết cho 17 Câu 2:( 2 điểm ) Tính giá trị của biểu thức sau: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A = ( + - ):( + - + . . ) + 1:(30. 1009 – 160) 7 23 1009 23 7 1009 7 23 1009 Câu 3 :( 2 điểm ) 1 1 1 23 a, Tìm số tự nhiên x , biết : ( + + . . . + ).x = 1.2.3 2.3.4 8.9.10 45 b,Tìm các số a, b, c , d N , biết : 30 1 = 1 43 a 1 b 1 c d Câu 4 : ( 1 điểm ) Một số tự nhiên chia cho 120 dư 58, chia cho 135 dư 88. Tìm a, biết a bé nhất. B – Phần hình học ( 3 điểm ) : Câu1: ( 2 điểm ) Góc tạo bởi 2 tia phân giác của 2 góc kề bù, bằng bao nhiêu? Vì sao? Câu 2: ( 1 điểm) Cho 20 điểm, trong đó có a điểm thẳng hàng. Cứ 2 điểm, ta vẽ một đường thẳng. Tìm a , biết vẽ được tất cả 170 đường thẳng. ĐÁP ÁN A. PHẦN SỐ HỌC 23 23.101 2323 23 23.10101 232323 Câu 1: a, Ta thấy; 99 99.101 9999 99 99.10101 999999 23 23.1010101 23232323 99 99.1010101 99999999 23 2323 232323 23232323 Vậy; 99 9999 999999 99999999 b, Ta phải chứng minh , 2. x + 3 . y chia hết cho 17, thì 9 . x + 5 . y chia hết cho 17 Ta có 4 (2x + 3y ) + ( 9x + 5y ) = 17x + 17y chia hết cho 17 Do vậy ; 2x + 3y chia hết cho 17 4 ( 2x +3y ) chia hết cho 17 9x + 5y chia hết cho 17 Ngược lại ; Ta có 4 ( 2x + 3y ) chia hết cho 17 mà ( 4 ; 17 ) = 1 2x + 3y chia hết cho 17 Câu 2 ; Ta viết lại A như sau : 1 1 1 ( ).23.7.1009 1 A=23 7 1009 + 1 1 1 1 1 1 ( . . ).23.7.1009 (23 7).1009 161 1 23 7 1009 23 7 1009 7.1009 23.1009 23.7 1 = + = 1 7.1009 23.1009 23.7 1 23.1009 7.1009 23.7 1 1 1 1 1 1 1 23 Câu 3; a, ( ) . x = 2 1.2 2.3 2.3 3.4 9.10 45 1 1 1 23 .( ) . x = x = 2 2 2 90 45 Gv: Nguyễn Văn Tú 10 Trường THCS Thanh Mỹ
  11. Tuyển tập đề thi HSG Toán 6 Năm học 2013-2014 30 1 1 1 1 b, = 43 13 1 1 43 1 1 1 4 1 30 30 2 2 1 13 3 4 => a =1 ; b = 2 ; c = 3 ; d = 4 a 120.q1 58 9a 1080q1 522 Câu 4; Ta có (q1, q2 N ) a 135.q2 88 8a 1080.q2 704 Từ ( 2 ) , ta có 9 . a = 1080 . q2 + 704 + a ( 3 ) Kết hợp ( 1 ) với ( 2 ) , ta được a = 1080 . q – 180 Vì a nhỏ nhất, cho nên, q phải nhỏ nhất y => q = 1 => a = 898 t B- PHẦN HÌNH HỌC Câu 1; Gọi Ot , Ot, là 2tia phân giác của 2 t’ kề bù góc xOy và yOz Giả sử , xOy = a ; => yOz = 180 – a 1 1 Khi đó ; tOy = a t,Oy = ( 180 – a) 2 2 x 1 1 z => tOt, = a (180 a ) = 900 O 2 2 Câu 2; Giả sử trong 20 điểm, không có 3 điểm nào thẳng hàng. Khi đó, số đường thẳng vẽ được là; 19 . 20:2 = 190 Trong a điểm, giả sử không có 3 điểm nào thẳng hàng.Số đường thẳng vẽ được là ; (a – 1 ) a : 2 . Thực tế, trong a điểm này ta chi vẽ được 1 đường thẳng. Vậy ta có ; 190 – ( a- 1)a : 2 + 1 = 170 => a = 7 ĐỀ SỐ 8 Thời gian làm bài : 120’ Bài 1 : (3 đ) Người ta viết các số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1 đến 2006 liền nhau thành một số tự nhiên L . Hỏi số tự nhiên L có bao nhiêu chữ số . Bài 2 : (3đ) Có bao nhiêu chữ số gồm 3 chữ số trong đó có chữ số 4 ? Bài 3 : (4đ) Cho băng ô gồm 2007 ô như sau : 17 36 19 Phần đầu của băng ô như trên . Hãy điền số vào chố trống sao cho tổng 4 số ở 4 ô liền nhau bằng 100 và tính : a) Tổng các số trên băng ô . b) Tổng các chữ số trên băng ô . c) Số điền ở ô thứ 1964 là số nào ? ĐÁP ÁN Bài 1 : Có 9 số có 1 chữ số từ 1 đến 9 ( 0.25đ) Có 90 số có 2 chữ số từ 10 đến 99 (0.5đ) Có 900 số có 3 chữ số từ 100 đến 999 (0.5đ) Gv: Nguyễn Văn Tú 11 Trường THCS Thanh Mỹ
  12. Tuyển tập đề thi HSG Toán 6 Năm học 2013-2014 Các số có 4 chữ số là từ 1000 đến 2006 có : 2006 - 1000 + 1 = 1007 số (0.5đ) Số chữ số của số tự nhiên L là : 9 + 90.2 + 900.3 + 1007.4 = 6917 (chữ số ) (1.25đ) Bài 2 : Có 900 số có 3 chữ số từ 100 đến 999 (0.25đ) Ta chia 900 sô thành 9 lớp , mỗi lớp có 100 số (0.25đ) có cùng chữ số hàng trăm . Lớp thứ nhất gồm 100 số từ 100 đến 199 Lớp thứ hai gồm 100 số từ 200 đến 299 Lớp thứ 9 gồm 100 số từ 900 đến 999 (05đ) Xét 9 lớp thì lớp thứ 4 cả 100 số đều có chữ số 4 ở hàng trăm . 8 lớp còn lại hàng trăm khác 4 nên chữ số 4 nếu có thì ở hàng chục và hàng đơn vị (0.25đ) . Xét lớp thứ nhất thì các số có chữ số 4 làm hàng đơn vị gồm : 104, 114 194 (có 10 số ) (05đ) các số có 4 chữ số làm hàng chục là 140,141,142, 149 (có 10 số) (0.5đ) Nhưng số 144 có mặt ở trong cả 2 trờng hợp vậy ở lớp thứ nhất số lợng số có chữ số 4 là : 10 + 10 - 1 = 19 (số) (0.25đ) Bảy lớp còn lại cũng theo quy luật ấy . Vậy số lợng số có 3 chữ số có chữ số 4 là : 100 + 19.8 = 252 số (0.5đ) Bài 3 : Ta dùng các số 1; 2; 3 .để đánh số cho các ô phần đầu băng ô (0.25đ) . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 28 17 19 36 28 17 19 36 28 17 Vì các ô số 4; 5; 6; 7 và 3; 4; 5; 6 nên số ở ô số 3 và ô số 7 bằng nhau ô số 3 là 19 (0.5đ) 100 - (17 + 19 + 36) = 28 Vậy ô số 1 là số 28 ( 0.25đ) 100 - (17 + 19 + 36) = 28 . Vậy số điền ô thứ 5 là số 28 ( 0.25đ) số điền ở ô số 6 cũng là số 17 (0.25đ) Ta có : 2007 = 501.4 + 3 Vậy ta có 501 nhóm 4 ô , d 3 ô cuối là ô thứ 2005; 2006; 2007 với các số 28; 17; 19 (0.5đ) a) Tổng các số trên băng ô là : 100.501 + 28 +17 +19 = 50164 (1đ) b) Tổng các chữ số ở mỗi nhóm ô là : 2 + 8 +1 + 7 +1 +9 + 3 + 6 = 37 (0.5đ) Tổng các chữ số trên băng ô là : 37.501 + 2 + 8 + 1 + 7 +1 +9 = 18567 c) 1964  4 . vậy số điền ở ô thứ 1964 là số 36 . (0.5đ) ĐỀ SỐ 9 Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (1 điểm)Điền dấu thích hợp vào ô trống: Nếu ab và b10 a 10 Viết tập hợp M các số chẵn a thỏa mãn a 10 Có bao nhiêu số chẵn nhỏ hơn n (nN) Bài 2: (2 điểm)Cho A = 3 + 32 + 33 + 34 + 3100 chứng minh A chia hết cho 120. Bài 3: (2 điểm)Cho các số 0; 1; 3; 5; 7; 9. Hỏi có thể thiết lập được bao nhiêu số có 4 chữ số chia hết cho 5 từ sáu chữ số đã cho. Bài 4: (2 điểm) Tổng số trang của 8 quyển vở loại 1 ; 9 quyển vở loại 2 và 5 quyển vở loại 3 là 1980 trang. Số trang của một quyển vở loại 2 chỉ bằng số trang của 1 quyển vở loại 1. Số trang của 4 quyển vở loại 3 bằng số trang của 3 quyển vở loại 2. Tính số trang của mỗi quyển vở mỗi loại. Gv: Nguyễn Văn Tú 12 Trường THCS Thanh Mỹ
  13. Tuyển tập đề thi HSG Toán 6 Năm học 2013-2014 Bài 5: (1,5 điểm)Cho có số đo bằng 1250. Vẽ tia oz sao cho = 350. Tính trong từng trường hợp. Bài 6: (1,5 điểm) Cho ba điểm A, B, C nằm ngoài đường thẳng a. Biết rằng cả hai đoạn thẳng BA, BC đều cắt đường thẳng a. Hỏi đường thẳng a có cắt đoạn thẳng AC không? Vì sao? HƯỚNG DẪN Bài 1: (1 điểm) Điền dấu thích hợp vào ô trống là ( Nếu ab và b10 a 10) 0,25 đ M = 0; 2; 4; 6; 8; 10 0,25 đ Ta phải xét hai trường hợp: + Số n là số chẵn, lúc đó số chẵn nhỏ hơn n là0,25 đ + Số n là số lẻ, lúc đó số chẵn nhỏ hơn n là0,25 đ Bài 2: (2 điểm) Ta nhóm làm 25 nhóm, mỗi nhóm 4 số hạng như sau: A = (3 + 32 + 33+ 34) + + (397+398+399+3100) = 3 (1 + 3 + 32+33)+ .+ 397(1+3+32+33) 0,5 đ Ta lại thấy: 1 + 3 + 32+33 = 40 Nên A = 40. (3 + 35 +39 + +397 ) 0,5đ = 40.3 (30 + 34 +38 + +396 ) 0,5đ = 120. (30 + 34 +38 + +396 ) Điều này chứng tỏ A120 (đpcm) 0,5đ Bài 3: (2 điểm) Mỗi số có dạng: ; 0,25đ * Với - Có 5 cách chọn chữ số hàng nghìn (vì chữ số hàng nghìn phải khác 0). 0,5đ - Có 6 cách chọn chữ số hàng trăm. - Có 6 cách chọn chữ số hàng chục 0,25đ Vậy dạng có 5.6.6 = 180 số. 0,5đ * Với Cách chọn tương tự và cũng có 180 số. Số thiết lập được là 180+180=360 số 0,5đ (có 4 chữ số chia hết cho 5 từ 6 chữ số đã cho) Bài 4: (2 điểm) Ta ký hiệu: Loại 1: LI; Loại 2 : LII; Loại 3: LIII Vì số trang của mỗi quyển vở LII bằng số trang của 1 quyển LI , nên số trang của 3 quyển LII bằng số trang của 2 quyển LI 0,5đ Mà số trang ĐỀ SỐ 10 Thời gian làm bài: 150 phút (Năm học 1998-1999) Bài 1: (4 Điểm) Cho A = 7 + 73 + 75 + + 71999 Chứng minh rằng A chia hết cho 35. Bài 2: (4 Điểm) Tìm số nguyên tố p để p + 10 và p + 14 đều là các số nguyên tố. Bài 3: (4 Điểm) m 1 1 1 Cho 1 với m, n là số tự nhiên. n 2 3 1998 Chứng minh rằng m chia hết cho 1999. Nêu bài toán tổng quát. Bài 4: (4 Điểm) 199919991999 1999 Cho phân số A và phân số B 200020002000 2000 So sánh A và B. Gv: Nguyễn Văn Tú 13 Trường THCS Thanh Mỹ
  14. Tuyển tập đề thi HSG Toán 6 Năm học 2013-2014 Bài 5: (4 Điểm) Ô tô A đi từ Hà Nội về Phủ Lý, ô tô B đi từ Phủ Lý lên Hà Nội, chúng gặp nhau lần thứ nhất tại một địa Điểm cách Hà Nội 25 Km. Khi xe đến Phủ Lý thì lập tức quay trở lại Hà Nội, còn xe kia đến Hà Nội lập tức quay trở về Phủ Lý Cứ như vậy cho đến lần gặp nhau lần thứ 3 thì hai xe ở cách Hà Nội là 5 Km. Tính quãng đường từ Phủ Lý đi Hà Nội. ĐÁP ÁN Bài 1: A = 7 + 73 + 75 + + 71999 = (7 + 73) + (75 + 77) + + (71997 +71999) A = 7(1 + 72) + 75(1 + 72) + + 71997(1 + 72) A = 7.50 + 75 .50 + 79.50 + + 71997.50 => A Chia hết cho 5 (1) A = 7 + 73 + 75 + + 71999 = 7.( 70 + 72 + 74 + + 71998) => A Chia hết cho 7 (2) Mà ƯCLN(5,7) = 1 => A Chia hết cho 35. Bài 2: Nếu p là số nguyờn tố chẵn => p = 2. Khi đó: p + 10 = 12 không là số nguyờn tố. Vậy p = 2 loại. Nếu p là số nguyờn tố lẻ => p =3 hoặc p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2. +./ p = 3 => p + 10 = 13 là số nguyờn tố và p + 14 = 17 là số nguyờn tố. Vậy p = 3 là số nguyờn tố thoả mãn điều kiện đầu bài. +./ p = 3k + 1 (k N*) => p + 14 = 3k + 15 = 3(k + 5) Chia hết cho 3 và k + 5 > 5 Nên p + 14 là hợp số. Vậy p = 3k + 1 loại +./ p = 3k + 2 (k N*) => p + 10 = 3k + 12 = 3(k + 4) Chia hết cho 3 và k + 4 > 4 Nên p + 10 là hợp số. Vậy p = 3k + 2 loại Bài 3: m 1 1 1 1 . Từ 1 đến 1998 có 1998 số Nên vế phải có 1998 số hạng ta n 2 3 1998 ghép thành 999 cặp như sau: m 1 1 1 1 1 1 1 1 n 1998 2 1997 3 1996 999 1000 1999 1999 1999 1999 . 1.1998 2.1997 3.1996 999.1000 Quy đồng tất cả 999 phaan số này ta được: m 1999.a 1999.a 1999.a 1999.a 1999.a 1999.a 1 2 3 997 998 999 n 1.2.3.4.5.6.7.8.9 1996.19978.1998 Với a1 , a2 , a3 , , a998 , a999 N m 1999.(a a a a a a ) 1 2 3 997 998 999 n 1.2.3 1996.1997.1998 Vì 1999 là số nguyên tố. Nên sau khi rút gọn, đưa về dạng phân số tối giản thì tử số vẫn còn thừa số 1999. Vậy m Chia hết cho 1999. Bài 4: 199919991999 1999000000 19990000 1999 A 200020002000 2000000000 20000000 2000 1999(100000000 10000 1) 1999.100010001 1999 B 2000(100000000 10000 1) 2000.100010001 2000 Vậy A = B. Bài 5: Hai xe đi ngược chiều nhau, gặp nhau lần thứ nhất thì cả 2 xe đi được 1 lần quãng đường Hà Nội - Phủ Lý. Vì cả hai xe ở cách Hà Nội 25 Km vậy xe đi từ Hà Nội về đã đi được quãng đường 25 Km. Vì 2 xe lại quay lại đoạn đường trên nên phải gặp nhau lần 2, ở lần gặp này cả 2 xe đã đi được 3 lần quãng đường Hà Nội - Phủ Lý và như vậy ở lần gặp thứ 3 thì 2 xe đã đi được 5 lần quãng đường Hà Nội - Phủ Lý. Gv: Nguyễn Văn Tú 14 Trường THCS Thanh Mỹ
  15. Tuyển tập đề thi HSG Toán 6 Năm học 2013-2014 1 lần quãng đường Hà Nội - Phủ Lý thì xe ô tô từ Hà Nội về đã đi được 25 Km. Vậy 5 lần quãng đường Hà Nội - Phủ Lý thì xe đó đi được quãng đường là: 25 Km x 5 = 125 Km. Thực tế thì xe đó đã đi được 2 lần quãng đường Hà Nội - Phủ Lý và thêm 5 Km. Vậy quãng đường Hà Nội - Phủ Lý là: (125 - 5) : 2 = 60 (Km). Đáp số: 60 Km. ĐỀ SỐ 11 Thời gian làm bài: 120 phút I. TRẮC NGIỆM: Điền dấu x vào ô thích hợp:( 1 điểm) Câu Đúng Sai 1 1 a. Số -5 bằng –5 + 5 5 (0.25 điểm) 3 80 . Số 11 bằng (0.25 điểm) 7 7 5 5 c) Số -11 bằng –11- 4 4 (0.25 điểm) 1 2 13 d) Tổng -3 + 2 bằng -1 5 3 15 (0.25 điểm) II. TỰ LUẬN: Câu 1:Thực hiện các phép tính sau: (4 điểm) 2181.729 243.81.27 a. 32.92.234 18.54.162.9 723.729 1 1 1 1 1 b. 1.2 2.3 3.4  98.99 99.100 1 1 1 1 c. 1 22 32 42  1002 5.415 99 4.320.89 d. 5.29.619 7.229.276 1 Câu 2: (2 điểm) Một quãng đường AB đi trong 4 giờ. Giờ đầu đi được quãng đường AB. Giờ thứ 2 đi 3 1 1 kém giờ đầu là quãng đường AB, giờ thứ 3 đi kém giờ thứ 2 quãng đường AB. Hỏi giờ thứ tư đi 12 12 mấy quãng đường AB? Câu 3: (2 điểm) a. Vẽ tam giác ABC biết BC = 5 cm; AB = 3cm ;AC = 4cm. b. Lấy điểm O ở trong tam giác ABC nói trên.Vẽ tia AO cắt BC tại H, tia B0 cắt AC tại I,tia C0 cắt AB tại K. Trong hình đó có có bao nhiêu tam giác. Câu 4: (1 điểm) a. Tìm hai chữ số tận cùng của các số sau: 2100; 71991 b.Tìm bốn chữ số tận cùng của số sau: 51992 ĐÁP ÁN I - TỰ LUẬN. Câu 1: Thực hiện các phép tính. Gv: Nguyễn Văn Tú 15 Trường THCS Thanh Mỹ
  16. Tuyển tập đề thi HSG Toán 6 Năm học 2013-2014 Câu a. 2181.729 243.3 81.9 2181.729 7292 32.92 .243 93.2.6.162 723.729 729.243 729.1944 723.729 729(2181 729) 729.2910 1 729(243 1944 723) 729.2910 Câu b. Ta có: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ; ; ; ; ; 1.2 1 2 2.3 2 3 3.4 3 4 98.99 98 99 99.100 99 100 Vậy 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1.2 2.3 3.4  98.99 99.100 1 2 2 3 3 4  98 99 99 100 1 99 1 . 100 100 Câu c. Ta có: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ; ; ; ; 22 1.2 1 2 32 2.3 2 3 42 3.4 3 4 1002 99.100 99 100; 1 1 1 1 1 1 1 1 Vậy 22 32 42  10 02 1.2 2.3 3.4  99.100 1 1 1 1 1 1 1 1 99 1 1 1. 2 2 3 3 4  99 100 2 100 5 .2 3 0 .3 1 8 2 2 .3 2 0 .2 2 7 2 2 9 .3 1 8 ( 5 .2 3 ) Câu d: 2 5 .2 9 .2 1 9 .3 1 9 7 .2 2 9 .3 1 8 2 2 8 .3 1 8 ( 5 .3 7 .2 ) Câu 2: Quãng đường đi được trong 3 giờ đầu là: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 12 3 12 12 3 3 3 12 12 12 4 1 Quãng đường đi trong giờ thứ tư là quãng đường 4 A Câu 3: I K a. Vẽ đoạn thẳng BC=5cm O Vẽ cung tròn (B;3cm) B C B C Vẽ cung tròn (C;4cm) H H Lấy giao đIểm A của hai cung trên. Vẽ các đoạn thẳng AB, AC ta được tam giác ABC. b. Có 6 tam giác” đơn” là AOK; AOI; BOK; BOH; COH; và COI. Có 3 tam giác “Ghép đôi” là AOB; BOC; COA. Có 6 tam giác “Ghép ba” Là ABH; BCI; CAK; ABI; BCK; CAH. Có một tam giác “Ghép 6” là tam giác ABC. Vậy trong hình có tất cả 6+3+1+6 = 16(Tam giác). Câu 4: a.Tìm hai số tận cùng của 2100. 210 = 1024, bình phương của hai số có tận cùng bằng 24 thì tận cùng bằng 76, có số tận cùng bằng 76 nâng lên lũy thừa nào( khác 0) cũng tận cùng bằng 76. Do đó: 2100 = (210)10= 1024 = (10242)5 = ( 76)5 = 76. Vậy hai chữ số tận cùng của 2100 là 76. * Tìm hai chữ số tận cùng của 71991. Ta thấy: 74=2401, số có tận cùng bằng 01 nâng lên lũy thừa nào cũng tận cùng bằng 01. Do đó: Gv: Nguyễn Văn Tú 16 Trường THCS Thanh Mỹ
  17. Tuyển tập đề thi HSG Toán 6 Năm học 2013-2014 71991 = 71988. 73= (74)497. 343 = ( 01)497. 343 = ( 01) x 343 = 43 Vậy 71991 có hai số tận cùng là 43. Tìm 4 số tận cùng của 51992. 51992 = (54)498 =0625498= 0625 ĐỀ SỐ 12 Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1( 8 điểm ) 1. Tìm chữ số tận cùng của các số sau: a) 571999 b) 931999 2. Cho A= 9999931999 - 5555571997. Chứng minh rằng A chia hết cho 5. a a 3 . Cho phân số ( a<b) cùng thêm m đơn vị vào tử và mẫu thì phân số mới lớn hơn hay bé hơn ? b b 4. Cho số 155*710* 4*16 có 12 chữ số . chứng minh rằng nếu thay các dấu * bởi các chưc số khác nhau trong ba chữ số 1,2,3 một cách tuỳ thì số đó luôn chia hết cho 396. 5. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 1 a) 2 4 8 16 32 64 3 1 2 3 4 99 100 3 b) 3 32 33 34 399 3100 16 Bài 2( 2 điểm ) Trên tia Ox xác định các điểm A và B sao cho OA= a(cm), OB=b (cm) a) Tính độ dài đoạn thẳng AB, biết b< a 1 b) Xác định điểm M trên tia Ox sao cho OM = (a+b). 2 ĐÁP ÁN Bài 1: 1. Tìm chữ số tận cùng của các số sau: ( 1 điểm ) Để tìm chữ số tận cùng của các số chỉ cần xét chữ số tận cùng của từng số : a) 571999 ta xét 71999 Ta có: 71999 = (74)499.73 = 2041499. 343 Suy ra chữ số tận cùng bằng 3 ( 0,25 điểm ) ỵVậy số 571999 có chữ số tận cùng là : 3 b) 931999 ta xét 31999 Ta có: 31999 = (34)499. 33 = 81499.27 Suy ra chữ số tận cùng bằng 7 (0,25 điểm ) 2. Cho A = 9999931999 - 5555571997 . chứng minh rằng A chia hết cho 5 Để chứng minh A chia hết cho 5 , ta xét chữ số tận cùng của A bằng việc xét chữ số tận cùng của từng số hạng. Theo câu 1b ta có: 9999931999 có chữ số tận cùng là 7 Tương tự câu 1a ta có: (74)499.7 =2041499.7 có chữ số tận cùng là 7 ( 0,25 điểm ) Vậy A có chữ số tận cùng là 0, do đó A chia hết cho 5. ( 0,25 điểm ) 3 (1 điểm )Theo bài toán cho a <b nên am < bm ( nhân cả hai vế với m) ( 0,25 điểm ) ab +am < ab+bm ( cộng hai vế với ab) ( 0,25 điểm ) a(b+m) < b( a+m) a a m b b m 4.(1 điểm ) Ta nhận thấy , vị trí của các chữ số thay thế ba dấu sao trong số trên đều ở hàng chẵn và vì ba chữ số đó đôi một khác nhau, lấy từ tập hợp 1;2;3 nên tổng của chúng luôn bằng 1+2+3=6. Mặt khác 396 = 4.9.11 trong đó 4;9;11 đôi một nguyên tố cùng nhau nên ta cần chứng minh A = 155*710* 4*16 chia hết cho 4 ; 9 và 11. Thật vậy : Gv: Nguyễn Văn Tú 17 Trường THCS Thanh Mỹ
  18. Tuyển tập đề thi HSG Toán 6 Năm học 2013-2014 +A  4 vì số tạo bởi hai chữ số tận cùng của A là 16 chia hết cho 4 ( 0,25 điểm ) + A  9 vì tổng các chữ số chia hết cho 9 : 1+5+5+7+1+4+1+6+(*+*+*)=30+6=36 chia hết cho 9 ( 0,25 điểm ) + A  11 vì hiệu số giữa tổng các chữ số hàng chẵn và tổng các chữ số hàng lẻ là 0, chia hết cho 11. {1+5+7+4+1)-(5+1+6+(*+*+*)}= 18-12-6=0 ( 0,25 điểm ) Vậy A  396 5(4 điểm ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a) (2 điểm ) Đặt A= (0,25 điểm ) 2 4 8 16 32 64 2 22 23 24 25 26 1 1 1 1 1 2A= 1 (0,5 điểm ) 2 22 23 24 25 1 26 1 2A+A =3A = 1- 1 (0,75 điểm ) 26 26 1 3A 41 42 43 79 80 12 Bài 2 ( 2,5 điểm) Gv: Nguyễn Văn Tú 18 Trường THCS Thanh Mỹ
  19. Tuyển tập đề thi HSG Toán 6 Năm học 2013-2014 Tổng số trang của 8 quyển vở loại 1 ; 9 quyển vở loại 2 và 5 quyển vở loại 3 là 1980 trang. Số trang 2 của một quyển vở loại 2 chỉ bằng số trang của 1 quyển vở loại 1. Số trang của 4 quyển vở loại 3 bằng 3 số trang của 3 quyển vở loại 2. Tính số trang của mỗi quyển vở mỗi loại. Bài 3: (2 Điểm). Tìm số tự nhiên n và chữ số a biết rằng: 1+ 2+ 3+ .+ n = aaa Bài4 ; (2,5 điểm) a, Cho 6 tia chung gốc. Có bao nhiêu góc trong hình vẽ ? Vì sao. b, Vậy với n tia chung gốc. Có bao nhiêu góc trong hình vẽ. ĐÁP ÁN Bài1: a, 1,5 điểm. để chứng minh A  ta xét chữ số tận cùng của A bằng việc xét chữ số tận cùng của từng số hặng Ta có: 31999 = ( 34)499 . 33 = 81499 . 27 Suy ra: 31999 có tận cùng là 7 71997 = ( 74)499 .7 = 2041499 . 7 7 1997 Có tận cùng là 7 Vậy A có tận cùng bằng 0 A  5 1 1 b, (1,5 điểm) Ta thấy: đến có 40 phân số. 41 80 1 1 1 1 1 1 Vậy 41 42 43 78 79 80 1 1 1 1 1 1 1 1 = + .+ (1) 41 42 59 60 61 62 79 80 1 1 1 1 1 1 Vì . > và > > > (2) 41 42 60 61 62 80 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta có .+ + + + .+ 60 60 60 60 80 80 80 80 20 20 1 1 4 3 7 = (3) 60 80 3 4 12 12 Từ (1) , (2), (3) Suy ra: 1 1 1 1 1 1 7 > 41 42 43 78 79 80 12 2 Bài 2: Vì số trang của mỗi quyển vỡ loại 2 bằng số trang của 1 quyển loại 1. Nên số trang của 3 3 quyển loại 2 bằng số trang của 2 quyển loại 1 Mà số trang của 4 quyển loại 3 bằng 3 quyển loại 2. Nê số trang của 2 quyển loại 1 bằng số trang của 4 quyển loại 3 Do đó số trang của 8 quyển loại 1 bằng : 4 .8 : 2 = 16 ( quyển loại 3) Số trang của 9 quyển loại 2 bằng 9 .4 : 3 = 12 (quỷên loại 3) Vậy 1980 chính là số trang của 16 + 12+ 5 = 33(quyển loại 3) Suy ra: Số trang 1 quyển vở loại 3 là 1980 : 33 = 60 ( trang) 60.4 Số trang 1 quyển vở loại 2 là 80 (trang) 3 80.3 Số trang 1 quyển vở loại1 là; 120 ( trang) 2 Bài 3: Từ 1; 2; ; n có n số hạng (n 1).n Suy ra 1 +2 + + n = 2 Gv: Nguyễn Văn Tú 19 Trường THCS Thanh Mỹ
  20. Tuyển tập đề thi HSG Toán 6 Năm học 2013-2014 Mà theo bài ra ta có 1 +2 +3+ +n = aaa (n 1).n Suy ra = aaa = a . 111 = a . 3.37 2 Suy ra: n (n+1) = 2.3.37.a Vì tích n(n+1) Chia hết cho số nguyên tố 37 nên n hoặc n+1 Chia hết cho 37 (n 1).n Vì số có 3 chữ số Suy ra n+1 < 74 n = 37 hoặc n+1 = 37 2 37.38 +) Với n= 37 thì 703 ( loại) 2 36.37 +) Với n+1 = 37 thì 666 ( thoả mãn) 2 Vậy n =36 và a=6 Ta có: 1+2+3+ + 36 = 666 Bài 4 : A, 1,5 điểm Vì mỗi tia với 1 tia còn lại tạo thành 1 góc. Xét 1 tia, tia đó cùng với 5 tia còn lại tạo thành 5 góc. 5.6 Làm như vậy với 6 tia ta được 5.6 góc. Nhưng mỗi góc đã được tính 2 lần do đó có tất cả là 1 5 2 góc n 1 B, 1 điểm . Từ câu a suy ra tổng quát. Với n tia chung gốc có n( ) (góc). 2 ĐỀ SỐ 14 Thời gian làm bài 120 phút Bài 1(3 điểm). a.Tính nhanh: 1.5.6 2.10.12 4.20.24 9.45.54 A = 1.3.5 2.6.10 4.12.20 9.27.45 b.Chứng minh : Với k N* ta luôn có : k k 1 k 2 k 1 k k 1 3.k k 1 . Áp dụng tính tổng : S = 1.2 2.3 3.4 n. n 1 . Bài 2: (3 điểm). a.Chứng minh rằng : nếu ab cd eg 11 thì : abc deg11 . 2 3 60 b.Cho A = 2 2 2 2 . Chứng minh : A  3 ; 7 ; 15. Bài 3(2 điểm). Chứng minh : 1 1 1 1 < 1. 22 23 24 2n Bài 4(2 điểm). a.Cho đoạn thẳng AB = 8cm. Điểm C thuộc đường thẳng AB sao cho BC = 4cm. Tính độ dài đoạn thẳng AC. b.Cho 101 đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau và không có ba đường thẳng nào cùng đi qua một điểm. Tính số giao điểm của chúng. ĐÁP ÁN Bài 1. 1.5.6 2.10.12 4.20.24 9.45.54 1.5.6 1 2.2.2 4.4.4 9.9.9 1.5.6 a. = 2 . 1.3.5 2.6.10 4.12.20 9.27.45 1.3.5 1 2.2.2 4.4.4 9.9.9 1.3.5 b.Biến đổi : k k 1 k 2 k 1 k k 1 k k 1  k 2 k 1  3k k 1 Áp dụng tính : Gv: Nguyễn Văn Tú 20 Trường THCS Thanh Mỹ
  21. Tuyển tập đề thi HSG Toán 6 Năm học 2013-2014 3. 1.2 1.2.3 0.1.2. 3. 2.3 2.3.4 1.2.3. 3. 3.4 3.4.5 2.3.4. 3.n n 1 n n 1 n 2 n 1 n n 1 Cộng lại ta có : n n 1 n 2 3.S n n 1 n 2 S . 3 Bài 2. a.Tách như sau : abc deg 10000ab 100cd eg 9999ab 99cd ab cd eg . Do 999911;9911 9999ab 99cd 11 Mà : ab cd eg 11 (theo bài ra) nên : abc deg11. b.Biến đổi : *A = 2 22 23 24 23 24 259 260 2 1 2 23 1 2 259 1 2 3 59 =3 2 2 2 3. *A = 2 22 23 24 25 26 258 259 260 = 2 4 2 58 2 4 58 =2. 1 2 2 2 . 1 2 2 2 . 1 2 2 = 7 2 2 2 7 . *A = 2 22 23 24 25 26 27 28 257 258 259 260 = =2 1 2 22 23 25 1 2 22 23 257 1 2 22 23 = 5 57 =15. 2 2 2 15. 1 1 1 1 Bài 3. Ta có : . n2 n n 1 n 1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 Áp dụng : 1 ; ; ; . 22 2 32 2 3 n2 n 1 n 1 1 1 1 1 BC) AC + BC = AB AC = AB - BC = 4 cm. b. - Mỗi đường thẳng cắt 100 đường thẳng còn lại nên tạo ra 100 giao điểm. - Có 101 đường thẳng nên có : 101.100 = 10100 giao diểm. -Do mỗi giao điểm được tính hai lần nên số giao điểm là : 10100 : 2 = 5050 giao điểm. Lưu ý : Học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. Bài hình không vẽ hình không chấm điểm. ĐỀ SỐ 15 Thời gian làm bài 120 phút Câu 1: Cho S = 5 + 52 + 53 + + 52006 a, Tính S b, Chứng minh S 126 Gv: Nguyễn Văn Tú 21 Trường THCS Thanh Mỹ
  22. Tuyển tập đề thi HSG Toán 6 Năm học 2013-2014 Câu 2. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho số đó chia cho 3 dư 1; chia cho 4 dư 2 ; chia cho 5 dư 3; chia cho 6 dư 4 và chia hết cho 11. 3n 2 Câu 3. Tìm các giá trị nguyên của n để phân số A = có giá trị là số nguyên. n 1 Câu 4. Cho 3 số 18, 24, 72. a, Tìm tập hợp tất cả các ước chung của 3 số đó. b, Tìm BCNN của 3 số đó Câu 5. Trên tia õ cho 4 điểm A, B, C, D. biết rằng A nằm giữa B và C; B nằm giữa C và D ; OA = 5cm; OD = 2 cm ; BC = 4 cm và độ dài AC gấp đôi độ dài BD. Tìm độ dài các đoạn BD; AC. ĐÁP ÁN Câu 1. (2đ). a, Ta có 5S = 52 + 53 +54 + +52007 5S –S = (52 + 53 +54 + +52007) – (5 + 52 + 53 + + 52006) 4S = 52007-5 52007 5 Vậy S = 4 b, S = (5 + 54) + (52 + 55) +(53 + 56) + + (52003 +52006) Biến đổi được S = 126.(5 + 52 + 53 + + 52003) Vì 126  126 S  126 Câu 2. (3đ) Gọi số phải tìm là x. Theo bài ra ta có x + 2 chia hết cho 3, 4, 5, 6. x + 2 là bội chung của 3, 4, 5, 6 BCNN(3;4;5;6) = 60 . nen x + 2 = 60.n Do đó x = 60.n – 2 (n = 1;2;3 ) Mặt khác x 11 lần lượt cho n = 1;2;3 . Ta thấy n = 7 thì x = 418  11 Vậy số nhỏ nhất phải tìm là 418. 3n 2 3n 3 5 3(n 1) 5 5 Câu 3. (1đ). Ta có 3 n 1 n 1 n 1 n 1 5 Để A có giá trị nguyên nguyên. n 1 5 Mà nguyên 5 (n-1) hay n-1 là ước của 5 n 1  Do Ư5 =  1; 5 Ta tìm được n =2 n =0 n =6 n = -4 Câu 4 (2đ) A, Tìm được các Ư(18); Ư (24) ; Ư(72) đúng cho 0,5đ ƯC (18;24;72)= 1; 2; 3; 6 b, Ta có 72 B(18) 72 B(24) BCNN (18;24;72) = 72. Câu 5. (2đ) O D B A C x Vì A nằm giữa B và C nên BA +AC = BC BA +AC =4 (1) Lâp. luân B nằm giữa A và D. Theo gt OD < OA D nằm giữa O và A. (0,5đ) Mà OD + DA = OA 2 + DA =5 DA =3 cm Ta có DB + BA = DA DB +BA =3 (2) (0,25đ) (1) –(2) AC – DB = 1 (3) (0,25đ) Gv: Nguyễn Văn Tú 22 Trường THCS Thanh Mỹ
  23. Tuyển tập đề thi HSG Toán 6 Năm học 2013-2014 theo đề ra : AC = 2BD thay và (3) Ta có 2BD – BD = 1 BD = 1 (0,25đ) AC = 2BD AC = 2 cm (0,25đ) ĐỀ SỐ 16 Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1: (2 điểm) Cho 2 tập hợp A = n N / n (n + 1) ≤12. B = x Z / x < 3. a. Tìm giao của 2 tập hợp. b. có bao nhiêu tích ab (với a A; b B) được tạo thành, cho biết những tích là ước của 6. Câu 2: ( 3 điểm). a. Cho C = 3 + 32 + 33 + 34 + 3100 chứng tỏ C chia hết cho 40. b. Cho các số 0; 1; 3; 5; 7; 9. Hỏi có thể thiết lập được bao nhiêu số có 4 chữ số chia hết cho 5 từ sáu chữ số đã cho. Câu 3: (3 điểm). Tính tuổi của anh và em biết rằng 5/8 tuổi anh hơn 3/4 tuổi em là 2 năm và 1/2 tuổi anh hơn 3/8 tuổi em là 7 năm. Câu 4: (2 điểm). a. Cho góc xoy có số đo 1000. Vẽ tia oz sao cho góc zoy = 350. Tính góc xoz trong từng trường hợp. b. Diễn tả trung điểm M của đoạn thẳng AB bằng các cách khác nhau. ĐÁP ÁN Câu 1: Liệt kê các phần từ của 2 tập hợp a. A =  0, 1, 2, 3 B =  - 2, -1, 0, 1, 2,  0,5 điểm A ∩ B =  0, 1, 2, 0,5 điểm. b. Có 20 tích được tạo thành -2 -1 0 1 2 0 0 0 0 0 0 1 -2 -1 0 1 2 2 -4 -2 0 2 4 3 -6 -3 0 3 6 Những tích là ước của 6: +1; + 2 + 3 + 6 0,5 điểm Câu 2: a. B = (3 + 32 + 33+ 34) + + (397+398+399+3100) = 3 (1 + 3 + 32+33)+ .+ 397(1+3+32+33) 0,5 điểm = 40. (3 + 35 +39 + +397 ) : 40 0,5 điểm b. Mỗi số có dạng abc0, abc5. Với abc0 - Có 5 cách chọn chữ số hạng nghìn (vì chữ số hàng nghìn không phải là số 0). - Có 6 cách chọn chữ số hàng trăm. - Có cách chọn chữ số hàng chục. Vậy 5 . 6 . 6 = 180 số. Với abc5 Cách chọn tương tự và cũng có 180 số. Vậy ta thiết lập được 360 số có 4 chữ số chia hết cho 5 từ 6 chữ số đã cho 0,5 điểm. Câu 3: 1/2 tuổi anh thì hơn 3/8 tuổi em là 7 năm. Vậy tuổi anh hơn 6/8 tuổi em là 14 năm 0,5 điểm. Mà 5/8 tuổi anh lớn hơn 3/4 tuổi em là 2 năm, nên 1-5/8 = 3/8 tuổi anh = 14-2 = 12 năm. 1 điểm Gv: Nguyễn Văn Tú 23 Trường THCS Thanh Mỹ
  24. Tuyển tập đề thi HSG Toán 6 Năm học 2013-2014 Vậy tuổi anh là: 12:3/8 = 32 tuổi. 0,5 điểm 3/4 tuổi em = 32 – 14 = 18 tuổi 0,5 điểm Tuổi em là: 18:3/4 = 24 tuổi 0,5 điểm Câu 4: a, Có 2 cách vẽ tia OZ (có hình vẽ) Góc XOZ = 650 hoặc 1350 1 điểm b, Có thể diễn tả trung điểm M của đoạn thẳng AB bằng 3 cách khác nhau M là trung điểm MA+MB=AB MA=MB=AB/2 Của đoạn thẳng AB MA=MB ĐỀ SỐ 17 Thời gian làm bài: 120 phút A/. ĐỀ BÀI Câu 1: (2,5 điểm) Có bao nhiêu số có 3 chữ số trong đó có đúng một chữ số 5? Câu 2: Tìm 20 chữ số tận cùng của 100! . Câu 3: Người ta thả một số Bèo vào ao thì sau 6 ngày bèo phủ kín đầy mặt ao. Biết rằng cứ sau một ngày thì diện tích bèo tăng lên gấp đôi. Hỏi : a/. Sau mấy ngày bèo phủ được nửa ao? b/. Sau ngày thứ nhất bèo phủ được mấy phần ao? Câu 4: Tìm hai số a và b ( a < b ), biết: ƯCLN( a , b ) = 10 và BCNN( a , b ) = 900. Câu 5: Người ta trồng 12 cây thành 6 hàng, mỗi hàng có 4 cây. Hãy vẽ sơ đồ vị trí của 12 cây đó. ĐÁP ÁN Câu 1: (2,5 điểm) Chia ra 3 loại số: * 5ab . Trong đó số a có 9 cách chọn ( từ 0 đến 9, trừ số 5 ). Số b cũng vậy.Nên các số thuộc loại này có : 9.9 = 81 ( số ) (1 điểm) * a5b . Trong đó số a có 8 cách chọn ( từ 1 đến 8, trừ số 5 ).Số b có 9 cách chọn. Nên các số thuộc loại này có: 9.8 = 72 ( số ) (0,5 điểm) * ab5 . Trong đó số a có 8 cách chọn , số b có 9 cách chọn.Nên các số thuộc loại này có : 8.9 = 72 ( số ) (0,5 điểm) Vì 3 dạng trên bao gồm tất cả các dạng số phảI đếm và 3 dạng là phân biệt.Nên số lượng các số tự nhiên có 3 chữ số trong đó có đúng một chữ số 5 là: 81 + 72 + 72 = 225 ( số ) Đáp số: 225 ( số ) (0,5 điểm) Câu 2: ( 2,5 điểm) 100 100 * Các thừa số 5 trong 100! ( khi phân tích các thừa số chia hết cho 5 ) là: 24 ( thừa 5 25 số) (1 điểm) * Các thừa số 2 có trong 100! là: 100 100 100 100 100 100         2 4  8   16   32   64  = 50 + 25 + 12 + 6 + 3 + 1 = 97 ( số ) (1 điểm) Tích của mỗi cặp thừa số 2 và 5 tận cùng bằng một chữ số 0. Do đó: 100! Có tận cùng bằng 24 chữ số 0. Gv: Nguyễn Văn Tú 24 Trường THCS Thanh Mỹ
  25. Tuyển tập đề thi HSG Toán 6 Năm học 2013-2014 Vậy 20 chữ số tận cùng của 100! là 20 chữ số 0. Câu 3: (1,5 điểm) a/. Vì 6 ngày bèo phủ kín ao và cứ sau 1 ngày diện tích bèo tăng lên gấp đôi nên để phủ kín nửa ao thì phải sau ngày thứ 5. (0,5 điểm) b/. Sau ngày thứ x số phần ao bị che phủ là: 1 Với x = 5, ta có: 1 : 2 = (ao) 2 1 1 Với x = 4, ta có: : 2 = (ao) 2 4 1 1 Với x = 3, ta có: : 2 = (ao) 4 8 1 1 Với x = 2, ta có: : 2 = (ao) 8 16 1 1 Với x = 1, ta có: : 2 = (ao) (0,5 điểm) 16 32 1 Vậy sau ngày thứ nhất thì bèo phủ được: (ao) (0,5 điểm) 32 Câu 4: (1,5 điểm) Vì ƯCLN( a, b)= 10, suy ra : a = 10x ; b = 10y (với x < y và ƯCLN(x, y)= 1 ) (0,5 điểm) Ta có : a.b = 10x . 10y = 100xy (1) Mặt khác: a.b = ƯCLN(a, b) . BCNN(a, b) a.b = 10 . 900 = 9000 (2) (0,5 điểm) Từ (1) và (2), suy ra: xy = 90 Ta có các trường hợp sau: X 1 2 3 5 9 y 90 45 30 18 10 Từ đó suy ra a và b có các trường hợp sau: a 10 20 30 50 90 y 900 450 300 180 100 Câu 5: (1 điểm) Ta có sơ đồ : ĐỀ SỐ 18 Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1: (2đ) Với q, p là số nguyên tố lớn hơn 5 chứng minh rằng: 4 4 P – q  240 8n 193 Câu 2: (2đ) Tìm số tự nhiên n để phân bố A 4n 3 a. Có giá trị là số tự nhiên b. Là phân số tối giản c. Với giá trị nào của n trong khoảng từ 150 đến 170 thì phân số A rút gọn được. Câu 3: (2đ) Tìm các nguyên tố x, y thỏa mãn : (x-2)2 .(y-3)2 = - 4 Câu 4: (3đ) Cho tam giác ABC và BC = 5cm. Điểm M thuộc tia đối của tia CB sao cho CM = 3 cm. a. Tình độ dài BM b. Cho biết góc BAM = 800 , góc BAC = 600 . Tính góc CAM. c. Vẽ các tia Ax, Ay lần lượt là tia phân giác của góc BAC và CAM . Tính góc xAy. d. Lấy K thuộc đoạn thẳng BM và CK = 1 cm. Tính độ dài BK. Câu 5: (1đ) Gv: Nguyễn Văn Tú 25 Trường THCS Thanh Mỹ
  26. Tuyển tập đề thi HSG Toán 6 Năm học 2013-2014 2 2 2 2 Tính tổng: B = 1.4 4.7 7.10 97.100 ĐÁP ÁN Câu 1: (2đ) Ta có: p4 - q4 = (p4 – 1 ) – (q4- 1); 240 = 8 .2.3.5 4 Chứng minh p –1  240 - Do p >5 nên p là số lẻ (0,25đ) + Mặt khác: p4 –1 = (p-1) (p+1) (p2 +1) (0,25đ) > (p-1 và (p+1) là hai số chẵn liên tiếp => (p-1) (p+1)  8 (0,25đ) 2 2 + Do p là số lẻ nên p là số lẻ -> p +1  2 (0,25đ) - p > 5 nên p có dạng: 4 + p = 3k +1 > p – 1 = 3k + 1 – 1 = 3k  3 > p – 1  3 4 + p = 3k + 2 > p + 1 = 3k + 2 + 1 = 3k +3  3 > p -1  3 (0,25đ) - Mặt khác, p có thể là dạng: 4 + P = 5k +1 > p – 1 = 5k + 1 - 1 = 5k  5 > p - 1  5 2 2 2 4 + p = 5 k+ 2 > p + 1 = (5k +2) +1 = 25k + 20k +5  5 > p - 1  5 (0,25 đ) 2 2 4 + p = 5k +3 > p +1 = 25k + 30k +10 > p –1  5 4 + p = 5k +4 > p + 1 = 5k +5  5 > p – 1  5 (0,25đ) 4 4 Vậy p – 1  8 . 2. 3 . 5 hay p – 1  240 4 Tương tự ta cũng có q - 1  240 (0,25đ) 4 4 4 4 Vậy: (p - 1) – (q –1) = p – q  240 Câu 2: (2đ) 8n 193 2(4n 3) 187 187 a. A 2 4n 3 4n 3 4n 3 Để A N thì 187  4n + 3 => 4n +3 17;11;187 (0,5đ) + 4n + 3 = 11 -> n = 2 + 4n +3 = 187 > n = 46 + 4n + 3 = 17 -> 4n = 14 -> không có n N (0,5đ) Vậy n = 2; 46 b.A là tối giản khi 187 và 4n + 3 có UCLN bằng 1 -> n 11k + 2 (k N) -> n 17m + 12 (m N) (0,5đ) 77 c) n = 156 -> A ; 19 89 n = 165 -> A 39 139 n = 167 -> A (0,5đ) 61 Câu 3: (2đ) Do –4 = 12 . (- 4) = 22.(-1) nê có các trường hợp sau: (x 2) 2 1 x 2 1 x 3 a. (0,5đ) y 3 4 y 1 y 1 x 2 1 x 1 hoặc (0,5đ) y 1 y 1 (x 2) 2 2 2 x 2 2 x 4 b. (0,5đ) y 3 1 y 2 y 2 x 2 2 x 0 hoặc (0,5đ) y 2 y 2 A Câu 4: (3đ) a. M, B thuộc 2 tia đối nhau CB và CM Gv: Nguyễn Văn Tú 26 Trường THCS Thanh Mỹ M B K C x y
  27. Tuyển tập đề thi HSG Toán 6 Năm học 2013-2014 -> C nằm giữa B và M. ->BM = BC + CM = 8 (cm) (0,5đ) b. C nằm giữa B,M -> Tia AC nằm giữa tia AB, AM ->  CAM = BAM -  BAC = 200 (0,75đ) 1 1 c. Có  xAy =  x AC +  CAy =  BAC +  CAM 2 2 1 1 1 = ( BAC +  CAM) =  BAM = .80 = 400 (0,75đ) 2 2 2 d. + Nếu K tia CM -> C nằm giữa B và K1 -> BK1 = BC + CK1 = 6 (cm) (0,5đ) + Nếu K tia CB -> K2 nằm giữa B và C -> BK2 = BC = CK2 =4 (cm) (0,5 đ) Câu 5: (1đ) 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 Ta có ( ) ( ) ( ); ( ); 1.4 3 1 4 1.4 3 1 4 4.7 3 4 7 7.10 3 7 10 2 2 1 1 ; ( ) (0,5đ) 97.100 3 99 100 2 1 1 1 1 1 1 1 1 B= ( ) 3 1 4 4 7 7 10 99 100 2 1 1 2 99 33 B= ( ) . (0,5đ) 3 1 100 3 100 50 ĐỀ SỐ 19 (Vòng trường 09 10) (Thời gian làm bài 150 phút) Cõu 1: a, cho A = 4 + 22 + 23 + 24 + + 220 Hỏi A có chia hết cho 128 không? b, Tính giá trị biểu thức 212.13 212.65 310.11 310.5 + 210.104 39.24 Bài 2 : a, Cho A = 3 + 32 + 33 + + 32009 Tìm số tự nhiên n biết rằng 2A + 3 = 3n b, Tìm số tự nhiên có ba chữ số chia hết cho 5 và 9 biết rằng chữ số hàng chục bằng trung bình cộng của hai chữ số kia Bài 3 : Cho p và p + 4 là các số nguyên tố( p > 3) . Chứng minh rằng p + 8 là hợp số Bài 4 : Tìm hai số tự nhiên biết tổng của chúng bằng 84 ,ƯCLN của chúng bằng 6. Bài 5: Gọi A và B là hai điểm trên tia Ox sao cho OA = 4 cm ; OB = 6 cm . Trên tia BA lấy điểm C sao cho BC = 3 cm .So sánh AB với AC HƯỚNG DẪN CHẤM Bài Hưạng dạn chạm Điạm a, 2A – A = 221 27 0.5  0.5 1 A 128 0.5 Gv: Nguyễn Văn Tú 27 Trường THCS Thanh Mỹ
  28. Tuyển tập đề thi HSG Toán 6 Năm học 2013-2014 212.78 310.16 b, = + 210.104 39.16 0.5 = 3 + 3 = 6 a, Tìm đưạc n = 2010 1 0.5 b, Gại sạ phại tìm là abc theo bài ra ta có a + b + c  9 và 2b = a + c nên 3b 9 b 3 vạy b 0;3;6;9 2   abc  5 c 0;5 Xét sạ abo ta đưạc sạ 630 0.5 Xét sạ ab5 ta đưạc sạ 135 ; 765 P có dạng 3k + 1; 3k + 2 k N 0.5 Dạng p = 3k + 2 thì p + 4 là hạp sạ trái vại đạ bài 0.5 3 0.5 p = 3k + 1 p + 8 = 3k + 9  3 p + 8 là hạp sạ 0.5 Gại 2 sạ phại tìm là a và b ( a b) ta có (a,b) = 1 nên a = 6a’ b= 0.5 6b’ trong đó (a’,b’) = 1 ( a,b,a’,b’ N) a’ + b’ = 14 0.5 ’ 4 a 1 3 5 a’ 13 11 9 1 A 6 18 30 B 78 66 54 O C A B x 0.5 Hai điạm A và B trên tia Ox mà OA AC ( 2 >1) ĐỀ SỐ 20 Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1: (2đ) Thay (*) bằng các số thích hợp để: a) 510* ; 61*16 chia hết cho 3. b) 261* chia hết cho 2 và chia 3 dư 1 Câu 2: (1,5đ) Tính tổng S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100 Câu 3: (3,5 đ) Trên con đường đi qua 3 địa điểm A; B; C (B nằm giữa A và C) có hai người đi xe máy Hùng và Dũng. Hùng xuất phát từ A, Dũng xuất phát từ B. Họ cùng khởi hành lúc 8 giờ để cùng đến C vào lúc 11 giờ cùng ngày. Ninh đi xe đạp từ C về phía A, gặp Dũng luc 9 giờ và gặp Hùng lúc 9 giờ 24 phút. Biết quãng đường AB dài 30 km, vận tốc của ninh bằng 1/4 vận tốc của Hùng. Tính quãng đường BC Câu 4: (2đ) Gv: Nguyễn Văn Tú 28 Trường THCS Thanh Mỹ
  29. Tuyển tập đề thi HSG Toán 6 Năm học 2013-2014 Trên đoạn thẳng AB lấy 2006 điểm khác nhau đặt tên theo thứ từ từ A đến B là A 1; A2; A3; ; A2004. Từ điểm M không nằm trên đoạn thẳng AB ta nối M với các điểm A; A 1; A2; A3; ; A2004 ; B. Tính số tam giác tạo thành Câu 5: (1đ) 8 56 Tích của hai phân số là . Thêm 4 đơn vị vào phân số thứ nhất thì tích mới là . Tìm hai 15 15 phân số đó. ĐÁP ÁN Câu 1 a) Để 510* ; 61*16 chia hết cho 3 thì: 5 + 1 + 0 + * chia hết cho 3; từ đó tìm được * = 0; 3; 6; 9 (1đ) b) Để 261* chia hết cho 2 và chia 3 dư 1 thì: * chẵn và 2 + 6 + 1 + * chia 3 dư 1; từ đó tìm được * = 4 (1đ) Câu 2 S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100 3.S = (1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100).3 (0,5đ) = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + + 99.100.3 = 1.2.3 +2.3.(4 - 1) + 3.4.(5 - 2) + + 99.100.(101 - 98) (0,5đ) = 1.2.3 - 1.2.3 + 2.3.4 - 2.3.4 + 3.4.5 - - 98.99.100 + 99.100.101 S = 99.100.101: 3 = 33. 100 . 101 = 333300 (0,5đ) Câu 3 Thời gian đi từ A đến C của Hùng là: 11 - 8 = 3 (giờ) Thời gian đi từ B đến C của Dũng là:11 - 8 = 3 (giờ) Quãng đường AB là 30 km do đó cứ 1 giờ khoảng cách của Hùng và Dũng bớt đi 10 km. Vì vậy lúc 9 giờ Hùng còn cách Dũng là 20 km, lúc đó Ninh gặp Dũng nên Ninh cũng cách Hùng 20 km. Đến 9 giờ 24 phút, Ninh gặp Hùng do đó tổng vận tốc của Ninh và Hùng là: 24 20.60 20 : 50(km / h) 60 24 Do vận tốc của Ninh bằng 1/4 vận tốc của Hùng nên vận tốc của Hùng là: [50 : (1 + 4)] . 4 = 40 (km/h) Từ đó suy ra quãng đường BC là: 40 . 3 - 30 = 90 (km) Đáp số: BC = 90 km Câu 4: (2đ) Trên đoạn thẳng AB có các điểm A; A 1; A2; A3; ; A2004 ; B do đó, tổng số điểm trên AB là 2006 điểm suy ra có 2006 đoạn thẳng nối từ M đến các điểm đó. Mỗi đoạn thẳng (ví dụ MA) có thể kết hợp với 2005 đoạn thẳng còn lại và các đoạn thẳng tương ứng trên AB để tạo thành 2005 tam giác. Do đó 2006 đoạn thẳng sẽ tạo thành 2005 . 2006 = 4022030 tam giác (nhưng lưu ý là MA kết hợp với MA1 để được 1 tam giác thì MA1 cũng kết hợp với MA được 1 tam giác và hai tam giác này chỉ là 1) Do đó số tam giác thực có là: 4022030 : 2 = 2011015 Câu 5: (1đ) 8 56 Tích của hai phân số là . Thêm 4 đơn vị vào phân số thứ nhất thì tích mới là suy ra tích 15 15 56 8 48 48 mới hơn tích cũ là - = đây chính là 4 lần phân số thứ hai. Suy ra phân số thứ hai là : 4 = 15 15 15 15 12 4 = . 15 5 8 4 2 Từ đó suy ra phân số thứ nhất là: : = 15 5 3 Gv: Nguyễn Văn Tú 29 Trường THCS Thanh Mỹ
  30. Tuyển tập đề thi HSG Toán 6 Năm học 2013-2014 ĐỀ SỐ 21 Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1: (1.5đ) Chứng minh các phân số sau đây bằng nhau: 25 2525 252525 ; ; 53 5353 535353 Câu 2: (1,5đ) Không quy đồng mẫu hãyáo sánh hai phân số sau: 37 377 và 67 677 Câu 3: (2đ) Tìm số tự nhiên x, biết: 30 20x (x 5) 5 100 100 Câu 4: (3đ) Tuổi trung bình của một đội văn nghệ là 11 tuổi. Người chỉ huy là 17 tuổi. Tuổi trung bình của đội đang tập (trừ người chỉ huy) là 10 tuổi. Hỏi đội có mấy người. Câu 5: (2đ) Cho góc xOy và góc yOz là hai góc kề bù nhau. Góc yOz bằng 300 . a.Vẽ tia phân giác Om của góc xOy và tia phân giác On của góc yOz. b.Tính số đo của góc mOn. ĐÁP ÁN Câu 1: 2525 25.101 25 (0.5đ) 5353 53.101 53 252525 25.10101 25 (0.5đ) 535353 53.10101 53 25 2525 252525 Vậy (0.5đ) 53 5353 535353 Câu 2: 300 300 300 30 30 300 mà (1) (0.5đ) 670 677 670 67 67 677 37 30 377 300 Ta có : 1 và 1 (2) (0.5đ) 67 67 677 677 377 37 Từ (1) và (2) (0.5đ) 677 67 Câu 4: Giả sử đội văn nghệ có n người. Tổng số tuổi đội văn nghệ trừ người chỉ huy là m. m 17 m Ta có: 11 (1) và 10 (2) (1đ) n n 1 Từ (1) m = 11n – 17 (3) (2) m = 10n – 10 (4) (1đ) Từ (3) và (4) 11n – 17 = 10n –10 n =7 (1đ) Đáp số: Số người trong đội văn nghệ là: 7 Câu 5: a.Tính được yOn = 150 ; mOy = 750 (1đ) Chỉ ra cách vẽ và vẽ đúng. (0.5đ) b.Tính được mOn = 900 (0.5đ) m y n Gv: Nguyễn Văn Tú 30 Trường THCS Thanh Mỹ x O z
  31. Tuyển tập đề thi HSG Toán 6 Năm học 2013-2014 ĐỀ SỐ 22 Thời gian làm bài: 120 phút. Câu I : 3đ Thực hiện phép tính bằng cách hợp lí : 636363.37 373737.63 1) A = 1 2 3 2006 12 12 12 4 4 4 12 4 6 124242423 2) B= 1 . 19 37 53 : 17 19 2006 . 41 1 3 3 5 5 5 237373735 3 5 3 37 53 17 19 2006 Câu II : 2đ Tìm các cặp số (a,b) sao cho : 4a5b45 Câu III : 2đ Cho A = 31 +32+33 + + 32006 a, Thu gọn A b, Tìm x để 2A+3 = 3x Câu IV : 1 đ 20052005 1 20052004 1 So sánh: A = và B = 20052006 1 20052005 1 Câu V: 2đ 2 Một học sinh đọc quyển sách trong 3 ngày. Ngày thứ nhất đọc được số trang sách; ngày thứ 2 đọc 5 3 được số trang sách còn lại; ngày thứ 3 đọc được 80% số trang sách còn lại và 3 trang cuối cùng. Hỏi 5 cuốn sách có bao nhiêu trang? ĐÁP ÁN CÂU I : 1) 1,5đ 636363.37 373737.63 63.(10101.37) 37.(10101.63) 37.63.(10101 10101) A = = = 0 1 2 3 2006 1 2 3 2006 1 2 3 2006 12 12 12 4 4 4 12 4 6 124242423 2) B = 1 . 19 37 53 : 17 19 2006 . 41 1 3 3 5 5 5 237373735 3 5 3 37 53 17 19 2006 1 1 1 1 1 1 12. 1 4 1 47 19 37 53 17 19 2006 41.3.1010101 = . : . 41 1 1 1 1 1 1 47.5.1010101 3 1 5 1 19 37 53 17 19 2006 47 5 41.3 = .(4. ). = 3 (1,5đ) 41 4 47.5 CÂU 2: 2đ - b=0 => 9+a  9 => a = 0 - B =5 => 14+a  9 => a = 4 CÂU III: 2 đ Gv: Nguyễn Văn Tú 31 Trường THCS Thanh Mỹ
  32. Tuyển tập đề thi HSG Toán 6 Năm học 2013-2014 32007 3 a) A = 31 +32+33 + + 32006 3A =32+33 +34+ + 32007 3A – A = 32007 -3 A = 2 (1đ) 32007 3 b) Ta có : 2. +3 = 3x => 2 32007 -3 +3 = 3x => 32007 = 3x => x = 2007 (1đ) CÂU IV: 1đ 20052005 1 20052005 1 2004 2005(20052004 1) 20052004 1 A = x =625 trang 5 25 125 ĐS 625 trang ĐỀ SỐ 23 Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1 (1,5đ): Dùng 3 chữ số 3; 0; 8 để ghép thành những số có 3 chữ số: a. Chia hết cho 2 b. Chia hết cho 5 c. Không chia hết cho cả 2 và 5 Bài 2 (2đ): a. Tìm kết quả của phép nhân A = 33 3 x 99 9 50 chữ số 50 chữ số b. Cho B = 3 + 32 + 33 + + 3100 Tìm số tự nhiên n, biết rằng 2B + 3 = 3n Bài 3 (1,5 đ): Tính 101 100 99 98 3 2 1 a. C = 101 100 99 98 3 2 1 3737.43 4343.37 b. D = 2 4 6 100 Bài 4 (1,5đ): Tìm hai chữ số tận cùng của 2100. Bài 5 (1,5đ): Cho ba con đường a 1, a2, a3 đi từ A đến B, hai con đường b 1, b2 đi từ B đến C và ba con đường c1, c2, c3, đi từ C đến D (hình vẽ). a1 b1 c1 A a2 B C c2 D Gv: Nguyễn Văn Tú 32 b 2 Trường THCS Thanh Mỹ a3 c3
  33. Tuyển tập đề thi HSG Toán 6 Năm học 2013-2014 Viết tập hợp M các con đường đi từ A dến D lần lượt qua B và C Bài 6 (2đ): Cho 100 điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua 2 điểm ta vẽ một đường thẳng. có tất cả bao nhiêu đường thẳng. ĐÁP ÁN Bài 1 (1,5đ): a. 308; 380; 830 (0,5đ) b. 380 830 (0,5đ) c. 803 Bài 2 (2đ): a) (1đ) A = 333 3 x 1 00 0 - 1 = 33 300 0 - 33 3 (0,5đ)     50 chu so 50 chu so 50 chu so 50 chu so 50 chu so 33 33 00 00 = 33 33 (0,25đ). Vậy A = 33 3266 67 (0,25đ)   33 32 66 67 49 chu so 49 chu so   49 chu so 49 chu so b) (1 đ)B = 3 + 32 + 33 + + 399 + 3100 (1) 3B = 32 + 33 + + 3100 + 3101 (2) (0,25đ) Lấy (2) trừ (1) ta được: 2B = 3101 - 3 (0,25đ) Do đó: 2B + 3 = 3101 (0,25đ) Theo đề bài 3B + 3 = 3n . Vậy n = 101 (0,25đ) Bài 3 (1,5đ): a) (0,75đ) 101 100 99 98 3 2 1 C = 101 100 99 98 3 2 1 Ta có: *, 101 + (100 + 99 + + 3 + 2 + 1) =101 + 101.100 : 2 = 101 + 5050 = 5151 (0,25đ) *, 101 - 100 + 99 - 98 + + 3 - + 1 = (101 - 100) + (99 - 98) + + (3 - 2) + 1 = 50 + 1 = 51 (0,25đ)  50 cap 5151 Vậy C = 101 (0,25đ) 51 b) (0,75đ) 3737.43 4343.37 B = 2 4 6 100 Ta có: 3737.43 - 4343.37 = 34.43.101 - 43.101.37 = 0 (0,5đ) Vậy B = 0 ( vì 2 = 4 + 6 + + 100 0) (0,25đ) Bài 4 ( 1,5đ): Ta có: 210 = 1024 (0,25đ) 10 5 2100 = 210 = 102410 = 10242 (0,75đ) =( 76)5 = 76 (0,5đ) Vậy hai chữ số tận cùng của 2100 là 76 Bài 5 (1,5đ): Nếu đi từ A đến D bằng con đường a1: a1 b1 c1; a1 b1 c2; a1 b1 c3; a1 b2 c1; a1 b2 c2; a1 b2 c3; (0,5đ) Đi từ A đến D bằng con đường a2: Gv: Nguyễn Văn Tú 33 Trường THCS Thanh Mỹ
  34. Tuyển tập đề thi HSG Toán 6 Năm học 2013-2014 a2 b1 c1; a2 b1 c2; a2 b1 c3; a2 b2 c1; a2 b2 c2; a2 b2 c3; (0,5đ) Đi từ A đến D bằng con đường a3: a3 b1 c1; a3 b1 c2; a3 b1 c3; a3 b2 c1; a3 b2 c2; a3 b2 c3; (0,5đ) Vậy tập hợp M: M = { a1 b1 c1; a1 b1 c2; a1 b1 c3; a1 b2 c1; a1 b2 c2; a1 b2 c3; a2 b1 c1; a2 b1 c2; a2 b1 c3; a2 b2 c1; a2 b2 c2; a2 b2 c3; a3 b1 c1; a3 b1 c2; a3 b1 c3; a3 b2 c1; a3 b2 c2; a3 b2 c3;} Bài 6 ( 2đ):Chọn một điểm. Qua điểm đó và từng điểm trong 99 điểm còn lại, ta vẽ được 99 đường thằng (0,5đ) Làm như vậy với 100 điểm ta được 99.100 đường thẳng (0,5đ) Nhưng mỗi đường thẳng được tính 2 lần, do đó tất cả có 99.100 : 2 = 4950 đường thẳng (1đ) ĐỀ SỐ 24 Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1(2đ) 27 4500 135 550.2 a. Tính tổng S = 2 4 6 14 16 18 2006 2006 1 2006 2005 1 b. So sánh: A = và B = 2007 2007 1 2006 2006 1 Bài 2 (2đ) a. Chứng minh rằng: C = 2 + 22 + 2 + 3 + + 299 + 2100 chia hết cho 31 b. Tính tổng C. Tìm x để 22x -1 - 2 = C Bài 3 (2đ) Một số chia hết cho 4 dư 3, chia cho 17 dư 9, chia cho 19 dư 13. Hỏi số đó chia cho1292 dư bao nhiêu Bài 4 (2đ) Trong đợt thi đua, lớp 6A có 42 bạn được từ 1 điểm 10 trở lên, 39 bạn được 2 điểm 10 trở lên, 14 bạn được từ 3 điểm 10 trở lên, 5 bạn được 4 điểm 10, không có ai được trên 4 điểm 10. Tính xem trong đợt thi đua lớp 6A được bao nhiêu điểm 10 Câu 5 (2đ) Cho 25 điểm trong đó không có 3 điểm thẳng hàng. Cứ qua 2 điểm ta vẽ một đường thẳng. Hỏi có tất cả bao nhiêu đường thẳng? Nếu thay 25 điểm bằng n điểm thì số đường thẳng là bao nhiêu. ĐÁP ÁN Bài 1 270.450 270.550 270(450 550) 270000 a. S = 3000 (2 18).9 90 90 2 a a a n 20062006 1 20062006 1 2005 b. Ta có nếu 1 thì (n N * ) A b b b n 20062007 1 20062007 2005 1 20062006 2006 2006(20062005 1) 20062005 1 B 20062007 2006 2006(20062006 1) 20062006 1 Vậy A < B Bài 2 2 3 99 100 a. C = 2 + 2 + 2 + + 2 + 2 = 2(1 +2 + 22+ 23+ 24) + 26(1 + 2 + 22+ 23+ 24)+ + (1 + 2 + 22+ 23+ 24).296 = 2 . 31 + 26 . 31 + + 296 . 31 = 31(2 + 26 + +296). Vậy C chia hết cho 31 2 3 99 100 2 3 4 100 101 b. C = 2 + 2 + 2 + + 2 + 2 2C = 2 + 2 + 2 + + 2 + 2 Ta có 2C – C = 2101 – 2 2101 = 22x-1 2x – 1 = 101 2x = 102 x = 51 Bài 3: Gọi số cần tìm là A: Gv: Nguyễn Văn Tú 34 Trường THCS Thanh Mỹ
  35. Tuyển tập đề thi HSG Toán 6 Năm học 2013-2014 A = 4q1 + 3 = 17q2 + 9 = 19q3 + 13 (q1, q2, q3 thuộc N) A + 25 = 4(q1 +7) = 17(q2 +2) = 19(q3 + 2) A + 25 chia hết cho 4; 17; 19 A + 25 =1292k A = 1292k – 25 = 1292(k + 1) + 1267 khi chia A cho 1292 dư 1267 Bài 4 Tổng số điểm của 10 lớp 6A là (42 - 39) . 1 + (39 - 14) . 2 + (14 - 5) . 3 + 5 . 4 = 100(điểm 10) Bài 5: 24 25 n(n 1) Có 300 đường thẳng. Với n điểm có đường thẳng 2 2 ĐỀ SỐ 25 Thời gian làm bài: 120 phút 1. Tính các giá trị của biểu thức. a. A = 1+2+3+4+ +100 1 3 3 4 4 4 4(3 ) 4 1 b. B = -1 . 3 7 53 : 17 19 2003 . 5 1 3 3 5 5 5 3 5 3 37 53 17 19 2003 1 1 1 1 1 c. C = 1.2 2.3 3.4 4.5 99.100 2. So sánh các biểu thức : a. 3200 và 2300 121212 2 404 10 b. A = với B = . 171717 17 1717 17 3. Cho 1số có 4 chữ số: *26* Điền các chữ số thích hợp vào dấu (*) để được số có 4 chữ số khác nhau chia hết cho tất cả 4số : 2; 3 ; 5 ; 9. 4. Tìm số tự nhiên n sao cho : 1! +2! +3! + +n!. là số chính phương? 5. Hai xe ôtô khởi hành từ hai địa điểm A,B đi ngược chiều nhau. Xe thứ nhất khởi hành từ A lúc 7 giờ. Xe thứ hai khởi hành từ B lúc 7 giờ 10 phút. Biết rằng để đi cả quãng đường AB . Xe thứ nhất cần 2 giờ , xe thứ hai cần 3 giờ. Hỏi sau khi đi 2 xe gặp nhau lúc mấy giờ? 6. Cho góc xOy có số đo bằng 120 0 . Điểm A nằm trong góc xOy sao cho: A Oy =750 . Điểm B nằm ngoài góc xOy mà :B Ox =1350 . Hỏi 3 điểm A,O,B có thẳng hàng không? Vì sao? ĐÁP ÁN Câu 1 : Tính giá trị biểu thức : a) Tổng : S =1 +2 +3 + +100 có 100 số hạng . S = ( 1+ 100) + (2 +99) + (3 + 98) + + 950 + 51) có 50 cặp . = 50 . 10 = 5050 1 3 3 4 4 4 4(3 ) 4 1 b) A = 1 . 3 37 53 : 17 19 2003 5 1 3 3 5 5 5 (3 ) 5 3 37 53 17 19 2003 1 1 1 4(1 ) 6 4 6 4 4 6 4.5 Ta có : A = - . : 17 19 2003 = - . : . 6 5 1 1 1 1 5 1 5 5 4 5(1 ) 17 19 2003 1 1 1 1 1 c). B = + + + + + 2.3 3.4 4.5 5.6 99.100 Gv: Nguyễn Văn Tú 35 Trường THCS Thanh Mỹ
  36. Tuyển tập đề thi HSG Toán 6 Năm học 2013-2014 1 1 1 1 1 1 1 1 99 Ta có : B = 1 - + - + - + + - = 1 - = 2 2 3 3 4 99 100 100 100 2) Câu2. So sánh . a) Ta có : 3200 =(32)100 = 9100 2300 =(23)100 =8100 Vì 9100 > 8100 Nên 3200 > 2300 121212 2 404 121212 :10101 2 404 :101 12 2 4 12 2 4 b) A = A 171717 17 1717 171717 :10101 17 1717 :101 17 17 17 17 10 10 Vậy A = hay A =B = 17 17 3). Để số có 4 chử số *26*, 4chữ số khác nhau mà 4 chữ số *26* chia hết cho cả 4 số 2; 5;3;9 .Ta cần thoả mản : Số đó đảm bảo chia hết cho 2 nên số đó là số chẳn. Số đó chia hết cho 5 nên số đó phải có chữ số tận cùng là số 0 hoặc 5.Số đó vừa chia hết cho 3 và9 .Nên số đó phải có tổng các chữ số chia hết cho 9. Vậy : Chữ số tận cùng của số đó là 0 *260 . Chữ số đầu là số 1 Do đó số đã cho là 1260 4 ) Bài 4. Tìm số tự nhiên n . Mà 1! +2!+3! + +n! là bình phương của một số tự nhiên. Xét : n = 1 1! = 12 n = 2 1! +2! = 3 n=3 1! + 2! + 3! = 9 =32 n = 4 1!+ 2! +3! + 4! =33 Với n >4 thì n! = 1.2.3 n là mội số chẳn .Nên 1!+2!+ +n! =33 cộng với một số chẳn bằng sốcó chữ số tận cùng của tổng đó là chữ số 3 .Nên nó không phải là số chính phương. Vậy chỉ có hai giá trị n=1 hoặc n=3 thì 1! +2! + 3! +4! + +n!là số chính phương. 5 ) Giải 1 1 giờ xe thứ nhất đi đươc quảng đường AB. 2 1 1 giờ xe thứ 2 đi được quảng đường AB . 3 1 1 5 1 giờ cả 2 xe đi được + = quảng đương AB. 2 3 6 1 1 1 1 Sau 10 phút = giờ : Xe thứ nhất đi được . = quảng đường AB. 6 6 2 12 Quảng đường còn lại là: 1 11 1 - (của AB) 12 12 Thời gian hai xe cùng đi quảng đường còn lại là: 11 5 11 : = giờ = 1 giờ 6 phút. 12 6 10 Hai xe gặp nhau lúc 7 giờ 10 phút + 1 giờ 6 phút = 8 giờ 16 phút . Đáp án : 8 giờ 16 phút. (0,25đ) 6) Hình học. (tự vẽ hình) (2đ) Vì : x Oy = 1200 , A Oy = 750, điểm A nằm trong góc xOy nên tia OA nằm giữa hai tia Ox và Oy. Ta có : x OA = x Oy - A Oy =1200 - 750 = 450 Điểm B có thể ở hai vị trí : B và B’. (0,75đ) +, Tại B thì tia OB nằm ngoài hai tia Ox, OA nên B Ox + x OA = 1350 + 450 = 1800 . Do đó BOA = B Ox + x OA =1800 . Nên 3 điểm A,O,B thẳng hàng. (0,75đ) +, Còn tại B’ thì : x OB' = 1350 < 1800, A OB' = x OB' - x OA = 1350 - 450 = 900 . Nên 3 điểm A,O, B’ không thẳng hàng.(0,5đ) ĐỀ SỐ 26 Gv: Nguyễn Văn Tú 36 Trường THCS Thanh Mỹ
  37. Tuyển tập đề thi HSG Toán 6 Năm học 2013-2014 Thời gian làm bài: 120 phút 1 1 1 1 Câu 1: Tính tổng A 3 32 33 3100 Câu 2: Tìm số tự nhiên a, b, c, d nhỏ nhất sao cho: a 5 b 12 c 6 ; ; b 3 c 21 d 11 Câu 3: Cho 2 dãy số tự nhiên 1, 2, 3, , 50 a-Tìm hai số thuộc dãy trên sao cho ƯCLN của chúng đạt giá trị lớn nhất. b-Tìm hai số thuộc dãy trên sao cho BCNN của chúng đạt giá trị lớn nhất. Câu 4: Cho bốn tia OA, OB, OC, OD, tạo thành các góc AOB, BOC, COD, DOA không có điểm chung. Tính số đo của mổi góc ấy biết rằng: B OC = 3 A OB ; C OD = 5 A OB ; D OA = 6 A OB HƯỚNG DẪN Câu 1: Ta có 3A = 1 + 1/3 + 1/32 + + 1/399 vậy: 3A-A = (1 + 1/3 + 1/32 + + 1/399)-(1/3 + 1/32 + + 1/3100) 2A= 1-1/3100 = (3100-1)/ 3100 suy ra A= (3100-1) )/ 2.3100 Câu 2: Ta có 12/21= 4/7, các phân số 3/5, 4/5, 6/11 tối giãn nên tồn tại các số tự nhiên k, l, m sao cho a=3k, b=5k, b=4n, c=7n, c= 6m, d=11m. Từ các đẳng thức 5k=4n, và 7k = 6m ta có 4n 5 và 7n 6 mà (4,5)=1; (7,6)=1 nên n 5, n 6 mặt khác (5,6) =1 do đó n 30 để các số tự nhiên a, b, c, d nhỏ nhất và phải khác 0 , ta chọn n nhỏ nhất bằng 30 suy ra: k =24, m=35 vậy a=72, b=120, c=210, d=385. câu 3: Gọi a và b là hai số bất kì thuộc dãy 1, 2, 3, , 50. Giả sử a>b. a.Gọi d thuộc ƯC(a,b) thì a-b d ta sẽ chứng minh d ≤ 25 thật vậy giả sử d>25 thì b>25 ta có a ≤ 50 mà b>25 nên 0 1800 vì nếu trái lại thì góc AOD có điểm trong chung với ba góc kia. Đặt A OB = ỏ ta có: A OB + B OC + A OD + C OD = 3600 ỏ +3ỏ+5ỏ+6ỏ=3600 ỏ = 240. Vậy: A OB = 240 ; B OC =720 ; C OD = 1200 ; D OA = 1440 ĐỀ SỐ 27 Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1: (3đ). a. Kết quả điều tra ở một lớp học cho thấy: Có 20 học sinh thích bóng đá, 17 học sinh thích bơi, 36 học sinh thích bóng chuyền, 14 học sinh thích đá bóng và bơi, 13 học sinh thích bơi và bóng chuyền, 15 học sinh thích bóng đá và bóng chuyền, 10 học sinh thích cả ba môn, 12 học sinh không thích môn nào. Tính xem lớp học đó có bao nhiêu học sinh? b. Cho số: A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 .58 59 60. - Số A có bao nhiêu chữ số? - Hãy xóa đi 100 chữ số trong số A sao cho số còn lại là: + Nhỏ nhất + Lớn nhất Câu 2: (2đ). a. Cho A = 5 + 52 + + 596. Tìm chữ số tận cùng của A. b.Tìm số tự nhiên n để: 6n + 3 chia hết cho 3n + 6 Gv: Nguyễn Văn Tú 37 Trường THCS Thanh Mỹ
  38. Tuyển tập đề thi HSG Toán 6 Năm học 2013-2014 Câu 3: (3đ). a. Tìm một số tự nhiên nhỏ nhất biết rằng khi chia số đó cho 3 dư 2, cho 4 dư 3, cho 5 dư 4 và cho 10 dư 9. b. Chứng minh rằng: 11n + 2 + 122n + 1 Chia hết cho 133. Câu 4: (2đ). Cho n điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng . Cứ qua hai điểm ta vẽ 1 đường thẳng. Biết rằng có tất cả 105 đường thẳng. Tính n? ĐÁP ÁN Câu 1: (3đ). a. Vẽ được sơ đồ cho (1,5đ). - Số học sinh thích đúng 2 môn bóng đá và bơi: 14 – 10 = 4 (hs) - Số học sinh thích đúng hai môn bơi và bóng chuyền: 13 – 10 = 3 (hs). - Số học sinh thích đúng hai môn bóng đá và bóng chuyền: 15 – 10 = 5 (hs) - Số học sinh chỉ thích bóng đá: 20 – (4 + 10 + 5) = 1 (hs) - Số học sinh chỉ thích bơi: 17 – (4 + 10 + 3) = 0 (hs). - Số học sinh chỉ thích bóng chuyền: 36 – (5 + 10 + 3) = 18 (hs). Vậy: Số học sinh của lớp là: 1 + 0 + 18 + 4 + 10 + 5 + 3 + 12 + = 53 (hs). b. (1,5 đ) A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 58 59 60. * Từ 1 đến 9 có : 9 chữ số Từ 10 đến 60 có: 51 . 2 = 102 chữ số. Vậy: Số A có 9 + 102 = 111 chữ số. (0,5đ) * Nếu xóa 100 chữ số trong số A thì số A còn 11 chữ số. Trong số A có 6 chữ số 0 nhưng có 5 chữ số 0 đứng trước các chữ số 51 52 53 . 58 59 60. Trong số nhỏ nhất có 5 chữ số 0 đứng trước số nhỏ nhất là số có 6 chữ số. Số nhỏ nhất là 00000123450 = 123450 (0,5đ). * Trong số A có 6 chữ số 9. Nếu số lớn nhất có 6 chữ số 9 đứng liền nhau thì số đó là: 99999960 Số này chỉ có 8 chữ só không thỏa mãn. Số lớn nhất chỉ có 5 chữ số 9 liền nhau số đó có dạng 99999 . Các chữ số còn lại 78 59 60. Vậy số lớn nhất: 99999785860. Câu 2: (2,5đ). a.(1,5đ). A = 5 + 52 + + 596 5A =52 + 53 + + 596 + 597 597 - 5 5A – A = 597 - 5 A = 4 Tacó: 597 có chữ số tận cùng là 5 597 – 5 có chữ số tận cùng là 0. Vậy: Chữ số tận cùng của A là 0. b. (1đ). Có: 6n + 3 = 2(3n + 6) – 9 6n + 3 chia hết 3n + 6 2(3n + 6) – 9 chia hết 3n + 6 9 chia hết 3n + 6 3n + 6 = 1 ; 3 ; 9 3n + 6 - 9 - 3 - 1 1 3 9 n - 5 - 3 - 7/3 - 5/3 - 1 1 Vậy; Với n = 1 thì 6n + 3 chia hết cho 3n + 6. Câu 3: (2,5đ). a. (1đ). Gọi số tự nhiên cần tìm là a (a > 0, a N) Theo bài ra ta có: - a chia cho 3 dư 2 a – 2 chia hết cho 3 - a chia cho 4 dư 3 a – 3 chia hết cho 4 - a chia cho 5 dư 4 a – 4 chia hết cho 5 - a chia cho 10 dư 9 a – 9 chia hết cho 10 Gv: Nguyễn Văn Tú 38 Trường THCS Thanh Mỹ
  39. Tuyển tập đề thi HSG Toán 6 Năm học 2013-2014 a = BCNN(3, 4, 5, 10) = 60. b.(1,5đ). 11n + 2 + 122n + 1 = 121 . 11n + 12 . 144n =(133 – 12) . 11n + 12 . 144n = 133 . 11n + (144n – 11n) . 12 Tacó: 133 . 11n chia hết 133; 144n – 11n chia hết (144 – 11) 144n – 11n chia hết 133 11n + 1 + 122n + 1 Câu 4: (2đ). n n 1 Số đường thẳng vẽ được qua n điểm: 105 2 n .(n – 1) = 210 = 2 . 5 . 3 . 7 = 10 . 14 n. (n – 1) = 6 . 35 = 15 . 14. Vì n và n – 1 là 2 số tự nhiên liên tiếp nên: n = 14 Vậy n = 14. ĐỀ SỐ 28 Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1:(2,25 điểm) Tìm x biết 1 7 4 5 a) x+ b) x- c)(x-32).45=0 5 25 9 11 Bài 2:(2,25 điểm) Tính tổng sau bằng cách hợp lý nhất: a) A = 11 + 12 + 13 + 14 + + 20. b) B = 11 + 13 + 15 + 17 + + 25. c) C = 12 + 14 + 16 + 18 + + 26. Bài 3:(2,25 điểm) Tính: 5 5 5 5 a) A= 11.16 16.21 21.26 61.66 1 1 1 1 1 1 b) B= 2 6 12 20 30 42 1 1 1 1 c) C = 1.2 2.3 1989.1990 2006.2007 Bài 4:(1 điểm) 102001 1 102002 1 Cho: A= ; B = . 102002 1 102003 1 Hãy so sánh A và B. Bài 5:(2,25 điểm) Cho đoạn thẳng AB dài 7cm. Trên tia AB lấy điểm I sao cho AI = 4 cm. Trên tia BA lấy điểm K sao cho BK = 2 cm. a) Hãy chứng tỏ rằng I nằm giữa A và K. b) Tính IK. ĐÁP ÁN Bài 1:(2,25 điểm) 7 1 2 5 4 45 44 89 a) x= ; b) x= ; c) x = 32 25 5 25 11 9 99 99 Bài 2:(2,25 điểm) Tính tổng sau bằng cách hợp lý nhất: a) A = (11 + 20) + (12 + 19) + (13 + 18) + (14 + 17) + (15+ 16) = 31 + 31 + 31 +31+ 31 = 31.5= 155 b) B = (11+25)+(13+23)+(15 + 21)+(17 +19) = 36.4 = 144. c) C = (12 +26)+(14+24)+(16 +22)+(18 +20) = 38.4 = 152. Gv: Nguyễn Văn Tú 39 Trường THCS Thanh Mỹ
  40. Tuyển tập đề thi HSG Toán 6 Năm học 2013-2014 Bài 3:(2,25 điểm) Tính: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 a) A= 11 16 16 21 21 26 61 66 11 66 66 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 6 b) B= 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 7 1 1 1 1 1 1 1 1 2006 c) C = 1 1 2 2 3 1989 1990 2006 2007 2007 2007 Bài 4:(1 điểm) 102002 10 9 Ta có: 10A = = 1 + (1) 102002 1 102002 1 102003 10 9 Tương tự: 10B = = 1 + (2) 102003 1 102003 1 9 9 Từ (1) và (2) ta thấy : 10A > 10B A > B 102002 1 102003 1 Bài 5:(2,25 điểm) A a) Trên tia BA ta có BK = 2 cm. BA = 7cm nên BK< BA do đó điểm K nằm giữa A và B. Suy ra AK + KB = AB hay AK + 2 = 7 AK = 5 cm. Trên tia AB có điểm I và K mà AI < AK (và 4 <5) nên điểm I nằm giữa A và K b) Do I nằm giữa A và K nên AI + IK = AK. Hay 4 + IK = 5 IK = 5- 4 = 1. ĐỀ SỐ 29 Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: ( 3 điểm) a. Chứng tỏ rằng tổng sau khôngm chia hết cho 10: A = 405n + 2405 + m2 ( m,n N; n # 0 ) b. Tìm số tự nhiên n để các biểu thức sau là số tự nhiên: 2n 2 5n 17 3n B = n 2 n 2 n 2 c. Tìm các chữ số x ,y sao cho: C = x1995y chia hết cho 55 Bài 2 (2 điểm ) 10 10 10 10 a. Tính tổng: M = 56 140 260 1400 3 3 3 3 3 b. Cho S = . Chứng minh rằng : 1< S < 2 10 11 12 13 14 Bài 3 ( 2 điểm) Hai người đi mua gạo. Người thứ nhất mua gạo nếp , người thứ hai mua gạo tẻ. Giá gạo tẻ rẻ hơn giá gạo nếp là 20%. Biết khối lượng gạo tẻ người thứ hai mua nhiều hơn khối lượng gạo nếp là 20%. Hỏi người nào trả tiền ít hơn? ít hơn mâya % so với người kia? Bài 4 ( 3 điểm) Cho 2 điểm M và N nằm cùng phía đối với A, năm cùng phía đối với B. Điểm M nằm giữa A và B. Biết AB = 5cm; AM = 3cm; BN = 1cm. Chứng tỏ rằng: a. Bốn điểm A,B,M,N thẳng hàng b. Điểm N là trung điểm của đoạn thẳng MB c. Vẽ đường tròn tâm N đi qua B và đường tròng tâm A đi qua N, chúng cắt nhau tại C, tính chu vi của CAN . ĐÁP ÁN Bài 1 ( 3 điểm) Gv: Nguyễn Văn Tú 40 Trường THCS Thanh Mỹ
  41. Tuyển tập đề thi HSG Toán 6 Năm học 2013-2014 a.(1 điểm) Ta có 405n = .5 ( 0,25 điểm) 2405 = 2404. 2 = ( .6 ).2 = .2 ( 0,25 điểm) m2 là số chính phương nên có chữ số tận cùng khác 3. Vậy A có chữ số tận cùng khác không A  10 b. ( 1điểm) 2n 9 5 n 17 3n 2n 9 5n 17 3n 4n 26 B = ( 0,25 điểm) n 2 n 2 n 2 n 2 n 2 4n 26 4(n 2) 18 18 B = 4 (0,25 điểm ) n 2 n 2 n 2 18 Để B là số tự nhiên thì là số tự nhiên n 2 18  (n+2) => n+2 ư ( 18) = 1;2;3;6;9;18 (0,25 điểm) +, n + 2= 1 n= - 1 (loại) +, n + 2= 2 n= 0 +, n + 2= 3 n= 1 +, n + 2= 6 n= 4 +, n + 2= 9 n= 7 +, n + 2= 18 n= 16 Vậy n 0;1;4;7;16 thì B N (0,25điểm) c. (1 điểm) Ta có 55 =5.11 mà (5 ;1) = 1 (0,25 điểm) 1 C5 Do đó C =x1995y 55 (0.25 điểm) C11 2 (1) => y = 0 hoặc y = 5 +, y= 0 : (2) => x+ 9+5 – ( 1+9 +0) 11 => x = 7 (0,25 điểm) +, y =5 : (2) = > x+9 +5 – (1+9+5 )  11 => x = 1 (0,25 điểm) Baì 2 (2 điểm) a( 1điểm) 10 10 10 10 5 5 5 5 M = = (0,25 điểm) 56 140 260 1400 4.7 7.10 10.13 25.28 5 1 1 1 1 1 1 1 1 =. ( 0, 25 điểm) 3 4 7 7 10 10 13 25 28 5 1 1 5 6 5 = . . ( 0,5 điểm) 3 4 28 3 28 14 b. (1 điểm) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 15 S = => S > 1 (1) ( 0,5điểm) S= 10 11 12 13 14 15 15 15 15 15 15 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 15 20 => S 1 < S < 2 Bài 3: Gọi giá gạo nếp là a (đồng/kg) ; khối lượng gạo nếp đã mua là b (kg) (0,25 điểm) 80 120 Suy ra giá gạo tẻ là .a ; khối lượng gạo tẻ đã mua là .b ( 0,25 điểm) 10 100 Số tiền người thứ nhất phải trả là a.b (đồng) (0,25 điểm) 80 120 96 Số tiềng người thứ hai phải trả là .a. .b. a.b (0.75điểm) 100 100 100 Vậy người thứ hai trả ít tiền hơn người thứ nhất . Tỉ lệ % ít hơn là: Gv: Nguyễn Văn Tú 41 Trường THCS Thanh Mỹ
  42. Tuyển tập đề thi HSG Toán 6 Năm học 2013-2014 96 a.b .a.b : a.b 4% (0,5 điểm) 100 BÀI 4 Vẽ hình chính xác (0,5 điểm) a. Bốn điểm A,B, M, N thẳng hàng vì chúng cùng nằm trên đường thẳng MN (0,5 điểm) b. (1 điểm) BM = AB – AM = 2 (cm) (0,25điểm) M,N tia AB mà BM > BN ( 2 > 1) => N năm giữa B và M. ( 0,25 điểm) MN = BM – BN = 1 cm = BN.=> N là đường trung điểm của BM . (0,5 điểm). c. Đường tròn tâm N đi qua B nên CN = NB = 1 cm (0,25 điểm) Đường tròn tâm A đi qua N nên AC = AN = AM + MN = 4 cm (0.25 điểm) Chu vi CAN = AC + CN = NA = 4 + 4+1= 9 (cm) (0,5 điểm) ĐỀ SỐ 30 Bài 1 : Tìm x biết a ) x + (x+1) +(x+2) + +(x +30) = 620 b) 2 +4 +6 +8 + +2x = 210 Bài 2 : a) chứng tỏ rằng trong 3 số tự nhiên liên tiếp luôn có 1 số chia hết cho 3 n n b) cho A =( 17 +1 )(17 +2 ) 3 với mọi n N Bài 3: Cho S = 1+3+32 +33+ +348 +349 a ) chứng tỏ S chia hết cho 4 b) Tìm chữ số tận cùng của S 350 1 c) Chứng tỏ S = 2 Bài 4 : Tìm 2 số a ,b N thoả mãn : 12a + 36b = 3211 Bài 5 : Cho (2a + 7b) 3 ( a,b N ) Chứng tỏ : (4a + 2b ) 3 Bài 6 : Lấy 1 tờ giấy cắt ra thành 6 mảnh .Lấy 1 mảnh bất kỳ cắt ra thành 6 mảnh khác . Cứ như thế tiếp tục nhiều lần a) Hỏi sau khi đã cắt một số mảnh nào đó ,có thể được tất cả 75 mảnh giấy nhỏ không ? b) Giả sử cuối cùng đếm được 121 mảnh giấy nhỏ .Hỏi đã cắt tất cả bao nhiêu mảnh giấy ? Bài 7 : Cho đoạn thẳng AB .Hãy xác định vị trí của điểm C trên đoạn thẳng AB sao cho CA CB Bài 8 : Vẽ đoạn thẳng AB =5 cm .Lấy 2 điểm C ,D nằm giữa A và B sao cho : AC +BD=6 cm a) chứng tỏ điểm C nằm giữa B và D b) Tính độ dài đoạn thẳng CD ĐÁP ÁN Bài 1 : (1 30)30 a) 31x + 620 31x 620 31.15 155 2 x= 155 :31 = 5 (2x 2)x b) 210 (x 1)x 210 210=2.3.5.7 =(2.7)(3.5)=14.15 2 Vậy x= 14 Bài 2 : a) gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là x ,x+1, x+2 ( x N) - Nếu x = 3k ( thoả mãn ) .Nếu x= 3k +1 thì x+2 =3k+1+2 =(3k +3 )3 - Nếu x = 3k +2 thì x +1 = 3k+1 +2 = (3k +3 ) 3 Gv: Nguyễn Văn Tú 42 Trường THCS Thanh Mỹ
  43. Tuyển tập đề thi HSG Toán 6 Năm học 2013-2014 Vậy trong 3 số tự nhiên liên tiếp có 1 số chia hết cho 3 b )Nhận thấy 17n , 17n +1 , 17n + 2 là 3 số tự nhiên liên tiếp mà 17n không chia hết cho 3 ,Nên trong 2 số còn lại 1 số phải 3 n n Do đó : A =( 17 +1 )(17 +2 ) 3 Bài 3: 2 3 48 49 2 48 a )Ta có : S = (1+3)+(3 +3 )+ +(3 +3 ) = 4+3 (1+3)+ + 3 (1+4) 4 b ) S = (1+3+32 +33)+(34+35+36+37)+ +(344+345+346+347) +348 +349 Các tổng 4 số hạng đều chia hết cho 10 ,do đó tận cùng bằng 0 Mặt khác 338 + 349 = 34.12 + 348 .3 = 1 + 1 .3 = 4 Vậy S có tận cùng bằng 4 c ) S = 1+3+32 +33+ +348 +349 3S = 3 +3+32 +33+ +348 +349+ 350 3s s = 350 – 1 350 1 2S = 350 – 1 Suy ra S = 2 Bài 4 : Nhận thấy 12 a 4 và 36 b 4 mà 3211 không chia hết cho 4 , Vậy không có 2 số tự nhiên nào thoả mãn Bài 5 : Ta có ( 6a + 9b ) 3 hay ( 2a + 7b +4a + 2b ) 3 .Mà (2a +7b ) 3 Nên (4a + 2b ) 3 Bài 6 : a) Khi ta cắt 1 tờ giấy thành 6 mảnh thì số mảnh giấy tăng thêm 5 .Cắt nhiều lần như thế thì tổng số mảnh giấy tăng thêm 5k (k là tờ giấy đem cắt ) .Ban đầu chỉ có 1tờ giấy ,Vậy tổng số các mảnh giấy là 5k + 1 Số này chia 5 dư 1 : vậy không thể có được tất cả 75 mảnh giấy nhỏ ( vì 755 ) b) Ta có 5k +1 = 121 k=24 .Vậy ta đã cắt được tất cả 24 mảnh giấy Bài 7 : A C M B - Gọi M là trung điểm của AB suy ra MA = MB và M AB Xét 3 trừơng hợp a ) C  M ta có MA = MB suy ra CA = CB b ) C nằm giữa A và M CA < MA CA < MB (1) M nằm giữa C và B nên MB < CB (2) Từ (1) & (2) CA < CB c ) C nằm giữa M và B CB < MB CB < MA ( 3) M nằm giữa A và C nên MA < CA (4) Từ (3) và (4) CA < CB Tóm lại C MA thì ta luôn có CA CB Bài 8 : A D C B C nằm giữa A và B nên : AC + CB = AB = 5 Và AC + BD = 6 AC + CB < AC + BD CB < BD C nằm giữa D và B b ) BD = BC + CD Gv: Nguyễn Văn Tú 43 Trường THCS Thanh Mỹ
  44. Tuyển tập đề thi HSG Toán 6 Năm học 2013-2014 vì AC + BD = 6 nên AC + BC + CD = 6 (BC + AC) + CD = 6 CD = 6 – AB = 6 -5 =1 Vậy CD = 1 ĐỀ SỐ 31 Thời gian làm bài: 150 phút Năm học 2009 - 2010 Câu 1 (2 điểm) Tính 101 100 99 98 . . . 3 2 1 423134 . 846267 423133 a/ A = b/ B = 101 100 99 98 . . . 3 2 1 423133 . 846267 423134 Câu 2 (2 điểm) a/ Chứng minh rằng: 1028 + 8 chia hết cho 72 b/ Cho A = 1 + 2 + 22 + 23 + . . . + 22001 + 22002 B = 22003 So sánh A và B c/ Tìm số nguyên tố p để p + 6; p + 8; p + 12; p + 14 đều là các số nguyên tố. Câu 3 (2 điểm) Người ta chia số học sinh lớp 6A thành các tổ, nếu mỗi tổ 9 em thì thừa 1 em, còn nếu mỗi tổ 10 em thì thiếu 3 em. Hỏi có bao nhiêu tổ, bao nhiêu học sinh ? Câu 4 (3 điểm) Cho +ABC có BC = 5,5 cm. Điểm M thuộc tia đối của tia CB sao cho CM = 3 cm. a/ Tính độ dài BM b/ Biết BAM = 800; BAC = 600. Tính CAM Biết B AM = 800; B AC = 600. Tính C AM c/ Tính độ dài BK thuộc đoạn BM biết CK = 1 cm. 1 1 1 1 Câu 5 (1 điểm)Chứng minh rằng: 1 22 32 42 1002 ĐÁP ÁN Câu 1: 101. 51 a/ A = 101 (1 điểm) 51 423133 . 846267 846267 423133 b/ B = 1 (1 điểm) 423133 . 846267 423134 Câu 2: a/ Vì 1028 + 8 có tổng các chữ số chia hết cho 9 nên tổng đó chia hết cho 9 Lại có 1028 + 8 có 3 chữ số tận cùng là 008 nên chia hết cho 8 Vậy 1028 + 8 chia hết cho 72 (1/2 điểm) b/ Có 2A = 2 + 22 + 23 + . . . + 22002 + 22003 => 2A – A = 22003 – 1 => A = B – 1. Vậy A 0) + Nếu p = 5k thì do p nguyên tố nên k = 1 => p = 5 + Nếu p = 5k + 1 => p + 14 = 5(k + 3)  5 và lớn hơn 5 nên là hợp số (loại) + Nếu p = 5k + 2 => p + 8 = 5(k + 2)  5 và lớn hơn 5 nên là hợp số (loại) + Nếu p = 5k + 3 => p + 12 = 5(k + 3)  5 và lớn hơn 5 nên là hợp số (loại) + Nếu p = 5k + 4 => p + 6 = 5(k + 2)  5 và lớn hơn 5 nên là hợp số (loại) Thử lại với p = 5 thoả mãn (1 điểm) Câu 3:Giả sử có thêm 4 học sinh nữa thì khi chia mỗi tổ 10 em thì cũng còn thừa 1 em như khi chia mỗi tổ 9 em. Vậy cách chia sau hơn cách chia trước 4 học sinh. Mỗi tổ 10 học sinh hơn mỗi tổ 9 học sinh là: 10 - 9 = 1 (học sinh) (1 điểm) Do đó số tổ là: 4 : 1 = 4 (tổ) (1/2 điểm) Số học sinh là: 4 . 10 – 3 = 37 (học sinh) (1/2 điểm) Câu 4: Vẽ hình, ghi giả thiết + kết luận (1/2 điểm) Gv: Nguyễn Văn Tú 44 Trường THCS Thanh Mỹ
  45. Tuyển tập đề thi HSG Toán 6 Năm học 2013-2014 a/ C nằm giữa B và M => BC + CM = BM (1/2 điểm) => BM = 3 + 5,5 = 8,5 (1/2 điểm) b/ C nằm giữa B và M =>AC là tia nằm giữa 2 tia AB và AM (1/2 điểm) => BAC + CAM = BAM => C AM = B AM – B AC => C AM = 800 – 600 = 200(1/2 điểm) c/ Xét 2 trường hợp: + Nếu K nằm giữa C và M tính được BK = BC + CK = 5,5 + 1 = 6,5 (cm) + Nếu K nằm giữa C và B tính được BK = 4,5 (cm) (1/2 điểm) Câu 5:Ta có: 1 1 1 2 2 1 2 1 1 1 32 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 99 . . . 1 1 42 3 4 (1/2 điểm) 22 32 42 1002 100 100 1 1 1 (1/2 điểm) 2 99 100 100 ĐỀ SỐ 32 Đề th chọn học sinh giỏi lớp 6 chuyên toán ( Quận Ba Đình - Năm học 1991-1992) Bài 1: ( 5 điểm ) 39 33 21 0,415 : 21 3 65 600 9 : 15 17 54 75 72 18,25 13 16 36 102 Bài 2: ( 5 điểm ) Tìm hai số tự nhiên a,b thoả mãn điều kiện: a + 2b = 48 và (a,b) + 3 [a,b] = 114 Bài 3: Hình học ( 6 điểm ) 1. Cho 3 điểm A,B,C thẳng hàng và AB + BC =AC. Điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại? Tại sao? 2. Cho góc aOb và tia 0c nằm giữa hai tia Oa và Ob. Od là tia đối của tia Oc .Chứng minh rằng: a. Tia Od không nằm giữa hai tia Oa và Ob. b. Tia Ob không nằm giữa hai tia Oa và Od. A Bài 4: ( 4 điểm ) Tính tỷ số biết B 4 6 9 7 7 5 3 11 A B 7.31 7.41 10.41 10.57 19.31 19.43 23.43 23.57 ĐÁP ÁN Bài 1 Gv: Nguyễn Văn Tú 45 Trường THCS Thanh Mỹ
  46. Tuyển tập đề thi HSG Toán 6 Năm học 2013-2014 7 0,96. 21 3 21 3 2,24 8 : 3 : 9 5 1 54 75 30 13 16 54 75 28 9 12 12 6 Bài 2: a 2b 48 a 2 ;144 3; 3a,b 3 a,b 3 a 3 a6 ; a 2b 48 a 48 a 6;12;18; 24; 30;36;42 A 6 12 18 24 30 36 42 B 21 18 15 12 9 6 3 (a,b) 3 6 3 12 3 6 3 [a,b] 42 36 90 24 90 36 42 (a,b) + [a,b] 129 114 273 84 114 114 129 Vậy a = 12; b = 18 hoặc a = 36 ; b = 6 Bài 4: 1 4 6 9 7 1 1  A 5 7.31 35.41 50.41 50.57 31 57 1 1 A 5  A B 1 7 5 3 11 1 1 5 2 B 2 B 2 19.31 19.43 23.43 23.57 31 57 ĐỀ SỐ 33 Đề thi học sinh giỏi lớp 6 chuyên toán ( Quận Ba Đình - Năm học 1993-1994) Câu 1: (6 điểm) Thực hiện tính dãy 3 21 21 3 54 18 17 13 : 67 56 45 5 22 44 65 65 72 3 3 29 :100 (29 : 0,47) Câu 2: (5 điểm) Tìm 2 số tự nhiên thoả mãn: - Tổng của BSCNN và ƯSCLN của 2 số ấy là 174. - Tổng của số nhỏ và trung bình cộng của 2 số ấy là 57 Câu 3 : (4 điểm) Cho 5 điểm A, B, C, D, E trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. - Có bao nhiêu đoạn thẳng mà mỗi đoạn thẳng nối 2 trong 5 điểm đã cho.Kể tên các đạon thẳng ấy. - Có thể dựng được một đường thẳng không đi qua điểm nào trong 5 điểm đã cho mà cắt đúng 5 đoạn thẳng trong các đoạn thẳng nói trên không? Giải thích vì sao: Câu 4 : (5 điểm) Lúc 8 giờ, một người đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 12km /h. Lát sau người thứ 2 cũng đi từ A đến B với vận tốc 20km /h. Tính ra hai người sẽ gặp nhau tại B. Người thứ 2 đi được nửa quãng đường AB thì tăng vận tốc lên thành 24km /h. Vì vậy 2 người gặp nhau cách B 4 km.Hỏi 2 người gặp nhau lúc mấy giờ? ĐÁP ÁN 7 Bài 1: = 36 Bài 2: (a,b) + [a,b] = 174 ; 3a + b = 114 b  3 ; [a,b]  3 và 174  3 (a,b)  3 a  3 Mà 3a + b = 114 3a < 114 a < 38 a 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 b 105 96 87 78 69 60 51 42 33 24 15 6 (a,b) 3 6 3 6 3 6 3 6 3 6 3 6 [a,b] 105 96 261 156 345 180 357 168 297 120 165 36 Gv: Nguyễn Văn Tú 46 Trường THCS Thanh Mỹ
  47. Tuyển tập đề thi HSG Toán 6 Năm học 2013-2014 Tổng 108 112 264 162 348 186 360 174 300 126 168 42 Bài 4: Hiệu vận tốc trên nửa quãng đường đầu là : 20 - 12 = 8 (km/h) Hiệu vận tốc trên nửa quãng đường sau là : 24 - 12 = 12 (km/h) Hiệu vận tốc của nửa quãng đường đầu theo dự định bằng 2/3hiệu vận tốc trên nữa quãng đường sau. Chỉ xét nửa quãng đường sau thời gian xe II đuổi kịp xe I trên thực tế bằng 2/3thời gian xe hai đuổi kịp xe I theo dự định 1 Thời gian hai xe đuổi kịp nhau sớm hơn là : 4: 12 = h = 20 ' 3 Thời gian hai xe đuổi kịp nhau theo dự định: 20 . 3 = 60 ' = 1h Thoì gian xe hai cần để đuổi kịp xe một trên cả quãng đường : 1 . 2 = 2h 4 Quãng đường xe I đi trước là: 16 : 2 = h = 1h 20' 3 Thời gian hai xe gặp nhau theo dự định: 8 h + 1h 20' +2h = 11h 20' Do hai xe trên thực tế gặp nhau sớm hơn dự định 20' Hai xe gặp nhau lúc 11h 20' - 20' = 11h ĐỀ SỐ 34 Đề thi chịn học sinh giỏi lớp 6 chuyên toán ( Quận Ba Đình - Năm học 1993-1994) Bài1: ( 4 điểm ) Cho 34 51 85 68 39 65 52 26 A B 7.13 13.22 22.37 37.49 7.16 16.31 31.43 43.49 A Tính tỷ số B Bài 2: ( 4 điểm ) Tìm các chữ số a,b sao cho số 7a4b chia hết cho 4 và chia hết cho 7. Bài 3 : ( 4 điểm ) Lúc 8 giờ một người đi từ A dến B với vận tốc 25 km/h. Khi còn cách B 20km người ấy tăng vận tốc lên 30 km/h. Sau khi làm việc ở B trong 30 phút, rồi quay trở về A với vận tốc không đổi 30 km/h và đến Alúc 12 giờ 2 phút. Tính chiều dài quãng đường AB. Bài 4: ( 4 điểm ) Trên tia Ax ta lấy các điểm B, C, Dsao cho AB = 5cm; AC = 1cm; AD = 3 cm. Chứng minh rằng điểm D nằm giữa hai điểm C và B. Trên đoạn thăng AB lấy điểm M sao cho CM = 3 cm . Chứng minh rằng điểm C nằm giữa hai điểm A và M a 4 a 2 Bài5: ( 4 điểm ) Tìm phân số thoả mãn điều kiện: và 7a + 4b = 1994 b 7 b 3 ĐÁP ÁN Bài 1: 34 51 85 68 34 1 1 68 1 1 17 1 1 A 7.13 13.22 22.37 37.49 6 7 13 12 37 49 3 7 49 39 65 52 26 39 1 1 26 1 1 13 1 1 B 7.16 16.31 31.43 43.49 9 7 16 6 43 49 3 7 49 A 34 26 17 : B 49 49 3 Bàì 2: 7a4b 4 4b4 b 0;4;8 7a4b7 a4b 7 7040 100a b 7 2a b 5 7 : b 0 2a 5 7 a 1;8 b 4 2a 9 7 a 6 b 8 2a 13 7 a 4 Gv: Nguyễn Văn Tú 47 Trường THCS Thanh Mỹ
  48. Tuyển tập đề thi HSG Toán 6 Năm học 2013-2014 Vậy số đó là: 7140 ; 7840 ; 7644 hoặc 7448 Bài 3: Gọi điểm cách B 20km là C. Thời gian đi quãng đường CB và BC là: ( 20 . 2 ) : 30 = 1h 20' Thời gian đi quãng đường AC và CA là: 12h 2' - 8h - 30' -1h 20' = 132' 5 Tỷ số vận tốc trên qãng đường AC và CA là nên tỷ số vận tốc trên quảng đường AC và CA là 6 6 5 6 Thời gian đi quãng đường AC là : 132 : 11 . 6 = 72' = h 5 6 Chiều dài quãng đường AC là . 25 = 30 (km) 5 Chiều dài quãng đường AB là : 50 km Bài 5: 1994 4b a 1994 4b 4 1994 4b 2 1994 4b 14 7a 4b 1994 a 4 7 b 7b 7 7b 3 b 3 1994 1994 1994 1 4 4 8 b b 294 b b 8 4 231 b 249 1994 14 1994 26 1 4 b 230 b 3 b 3 13 7k 6 7a 4b 1994 4b 7k 6 k N b ;b N k 4l 2(l N) b 7l 5 4 236 244 231 7l 5 249 l l 34 b 243 a 146 7 7 ĐỀ SỐ 35 ( Quận Ba Đình - Năm học 1994-1995) Bài 1: ( 6 điểm ) Thực hiện dãy tính: 5 7 24 21 39 23 22 9 12 42 165 143 3,12 8,76 Bài 2: ( 5 điểm ) Tìm số tư nhiên nhỏ nhất có chữ số hàngđơn vị là 5, chia cho 11 dư 4, chia cho 13 dư 6 và chia hết cho 7. Bài 3: ( 5 điểm ) Trên tia Ox cho ba điểm A, B, C phân biệt. Chứng minh rằng: a. Nếu OA + OB < OC thi điểm B Nằm giữa hai điểm O và C. b. Nếu OA + AB + BC = OC thì điểm Bnằm giữa hai điểm A và C. Bài 4: ( 4 điểm ) Ba máy bơm cùng bơm vào một bể lớn , nếu dùng cả máy một và máy hai thì sau 1 giờ 20 phút bể sẽ đầy, dùng máy hai và máy ba thì sau 1 giờ 30 phút bể sẽ đầy còn nếu dùng máy một và máy ba thì bể sẽ đầy sau 2 giờ 24 phút. Hỏi nếu mỗi máy bơm được dùng một mình thì bể sẽ đầy sau bao lâu? ĐÁP ÁN 10 Bài 1: 9 Bài 2: Gv: Nguyễn Văn Tú 48 Trường THCS Thanh Mỹ
  49. Tuyển tập đề thi HSG Toán 6 Năm học 2013-2014 Gọi số đó là x 11k 4 x 5; x 7 x 35 x 35q 2q 11k 4 q k 2 k 2n n N q 11n 2    2  13l 6 9r 3 35q 13q' 6 9q 13l 6 q 4l 6 9 4l 9r 3 l r 3 4 9  4  13m 3 r 4m 1 m N l 9m 3 q 13m 5 11n 2 13m 5 n 2m 3 11 11  Theo đề bài x là giá trị nhỏ nhát 2m + 3 = 11 m = 4 q = 57 x = 35 . 57 =1985 Bài 4: 3 2 5 Một giờ máy một và hai bơm được bể , máy hai và ba bơm bể, máy một và ba bơm bể. 4 3 12 3 2 5 11 một giờ cả ba máy bơm :2 bể. 4 3 12 12 Máy ba bơm một mình 6 giờ sẽ đầy bể Máy một bơm một mình 4 giờ sẽ đầy bể Máy hai bơm một mình 2 giờ sẽ đầy bể ĐỀ SỐ 36 Đề thi vào lớp 7 chuyên toán ( Quận Ba Đình - Năm học 1992-1993) Bài 1: ( 6 điểm) Tìm x biết: 5 4 3 19 3 1 1 27 26 19 13 4 59 118 13.16 14 .17 3 27 1 1 1 x 4 33 13.15 14 .16 15 .17 Bài 2: ( 5 điểm ) Tìm số tự nhiên a, b thoả mãn điều kiện: a + 2b = 49 và [a,b] + (a,b) = 56 Bài 3: ( 3 điểm ) Tìm các chữ số a,b sao cho số 2a3b chia hết cho 6 và chia hết cho 7. Bài 4: ( 5 điểm ) Cho góc AMC = 600. Tia Mx là tia đối của tia MA, My là phân giác của góc CMx, Mt là tia phân giác của góc xMy. a. Tính góc AMy. b. Chứng minh rằng MC vuông góc với Mt. Bài 5: ( 2 điểm ) Chứng minh rằng: 2 1993 < 7 714 ĐÁP ÁN Bài 1: Tử số vế trái = 1 Tử số vế phải: 1 1 1 1 1 1 1 13.16 14.17 3 13 16 14 17 Mâ số vế phải 1 2 3 27 3 13 1 1 1 1 1 x . x 3 27 3 4 33 2 12 2 13 16 14 17 x . 4 33 Bài 2: Gọi (a,b) = d Gv: Nguyễn Văn Tú 49 Trường THCS Thanh Mỹ
  50. Tuyển tập đề thi HSG Toán 6 Năm học 2013-2014 a + 2b = 49 49 d ; [a,b] + d = 56 56  d (56,49)  d d 0 ; 7 Nếu d = 1 ab = [a,b] [a,b] + 1 = 56 [a,b] = 55 ab = 55 A 1 55 5 11 B 55 1 11 5 Thay vào a + 2b = 49 cả 4 giá trị trên đều không thoả mãn Nếu d = 7 ab = 7. [a,b] a = 7a' ; b = 7b' (a',b') =1 a'b' = 7 a' =1 ; b' = 7 a =7 ; b = 49 (loại) a' =7 ; b' = 1 a =49 ; b = 7 (loại) Vậy không có hai số a và b thoả mãn điều kiện đề bài. Bài 3: 2a3b7 , 6 b 0;2;4;6;8 2a3b3 2030 10a b 3 a b 2 3 a b 1;4;7;10;13;16 2030 10a b 7 2a b 7 b 0 2a 7 a 0;7 a b 0;7  a 7 b 2 2a 2 7 a 6 a b 8 b 4 2a 4 7 a 5 a b 9 b 6 2a 6 7 a 4 a b 10 b 8 2a 8 7 a 3 a b 11 Vậy a = 7 ; b = 0 hoặc a= 4 ; b = 6 Bài 5 10 2 1025 238 238 210 3.73 210 3238 . 73 22380 3238 .7714 3 7 343 28 256 35 28 5 3 243 47 47 Matkhac 3238 33 .3235 33 . 35 33 28 25.2376 2381 3238 2381 22380 3238 .7714 22380 2381 .7714 21999 7714 ĐỀ SỐ 37 Đề thi vào lớp 7 chuyên toán ( Quận Ba Đình - Năm học 1995-1996) 7 5 13.46. 28 27 13 18 Bài 1: Thực hiện dãy tính: (5 điểm) 5 5 5 5 59.212 14 84 204 374 Bài 2: (5 điểm) Tìm các chữ số 14a8b chia cho 7 và chia cho 8 đều dư 2. Bài 3: (5 điểm) Cho tam giác ABC có AB = BC và M, N là các điểm nằm giữa 2 điểm A và C sao cho AM + NC < AC. a) Chứng minh điểm M nằm giữa 2 điểm A và N. b) Chứng minh AM = NC thì BM = BN a 4 a 10 Bài 4: Tìm phân số thoả mãn các điều kiện: (3 điểm) và 5a - 2b = 3 b 9 b 21 Bài 5: (2 điểm) Cho 4 số tự nhiên tuỳ ý. Chứng minh rằng ta có thể chọn được hai số mà tổng hoặc hiệu của chúng chia hết cho 5. ĐÁP ÁN Gv: Nguyễn Văn Tú 50 Trường THCS Thanh Mỹ
  51. Tuyển tập đề thi HSG Toán 6 Năm học 2013-2014 Bài 1: 295 13.46 . 13.18 212 .295 2.11.17 187 A 12 . 12 1 1 1 1 59.5.2 .18 5.7 315 59.2 .5. 2.7 2.3.7 2.3.17 2.11.17 Bài 2: 14a8b :7 và :8 dư 2 Xét b 2 (14a8b –2 ) 7, 8 14a8c 7, 8 ( c 11 n  0;1;2 n=2 a 5 Vậy n = 2 b 11 Bài 5. Nếu trong 4 số ta chọn có 2 số có cùng số dư trong pháp chia cho 5 Hiệu của chúng chia hết cho 5 đpcm Xét 4 số có số dư khác nhau trong phép chia cho 5 + Số dư là 0,1,2,3 tổng 2 số có số dư là 2 và 3 chia hết cho 5 + Số dư là 0,1,2,4 tổng 2 số có số dư là 1 và 4 chia hết cho 5 + Số dư là 0,1,3,4 tổng 2 số có số dư là 1 và 4 chia hết cho 5 + Số dư là 0,2,3,4 tổng 2 số có số dư là 2 và 3 chia hết cho 5 + Số dư là 1,2,3,4 tổng 2 số có số dư là 2 và 3 chia hết cho 5 Vậy khẳng định đề bài cho là đúng. ĐỀ SỐ 38 ( Trường THCS Lê Ngọc Hân-Năm học 1994-1995) Bài 1 : Tìm x : Gv: Nguyễn Văn Tú 51 Trường THCS Thanh Mỹ
  52. Tuyển tập đề thi HSG Toán 6 Năm học 2013-2014 1 2 7 3 3,75 : 2 1,25 0,8 1,2 : 4 5 2 2 64 1 1 0,75 x 2 Bài 2 : Tìm số có bốn chữ số xyzt biết xyzt . 10001 = 1a8bc9d7 ( Trong đó a; b ; c ; d là các chữ số) 2 3 1998 Bài 3 : Chứng minh rằng: A= ( 1999 + 1999 + 1999 + + 1999 )  2000 Bài 4 : Trên quãng đường AB, Hai ô tô đi ngược chiều nhau và cùng khởi hành thì sau 6 giờ sẽ gặp 1 1 1 nhau, biết vận tốc của xe đi từ A bằng 1 vận tốc xe đi từ3 B. Hỏi xe đi từ A phải khởi hành sau xe 3 đi từ B bao lâu để hai xe có thể gặp nhau ở chính giữa đường? Bài 5 : Trong số học sinh tham gia lao động ngày hôm qua có 40% là học sinh khối 6; 36% là họo sinh khối 7, còn lại là khối 8. Ngày hôm nay số học sinh khối 6 giảm 75%. Số học sinh khối 7 tăng 37,5%; Số học sinh khối 8 tăng 75%. Hỏi số học sinh tham gia lao động ngày hôm nay thay đổi thế nào so với số học sinh ngày hôm qua. ĐÁP ÁN Bài 1. 15 12 5 7 4 6 2 .4 . . . 4 5 4 2 5 5 3 9 1 64 16 64. x x 9 x 4 9 4 Bài 2 xyzt . 10001 =xyzt . 10000 +xyzt = xyztxyzt xyztxyzt = 1a8bc9d7 c=1 , a=9 , d=8 , b=7 xyzt =1987 Bài 3 A = 1999 (1 +1999) +19993 (1+1999) + .+19991997 (1+1999) 3 1997 = 2000 (1999 +1999 + + 1999 ) 2000 A  2000 Bài 4 Vì vận tốc xe đi từ A =4/3 vận tốc xe đi từ B nên nếu 2 xe cùng khởi hành thì đến khi gặp nhau, quãng đường xe đi từ A đi được bằng 4/3 quãng đường xe đi từ B đi được Xe đi từ A đi được 4/7 quãng đường AB, xe đi từ B đi 3/7 quãng đường AB hết 6 giờ. Thời gian xe đi từ A đi nửa quãng đường AB là 6: 4/7 :2 =21/4 (h) Thời gian xe đi từ B đi nửa quãng đường AB là 6: 3/7 :2 =7 (h) Để 2 xe gặp nhau ở chính giữa quãng đường AB thì xe đi từ B phải đi trước 7 – 21/4 = 7/4 (h) = 1h 45 phút Bài 5 So với tổng số học sinh hôm qua, số học sinh khối 6 hôm nay chiếm số phần: 40% . 25% = 10% So với tổng số học sinh hôm qua, số học sinh khối 7 hôm nay chiếm số phần 36% . 137,5%= 49,5% So với tổng số học sinh hôm qua, số học sinh khối 8 hôm nay chiếm số phần 24% . 175% = 42% So với tổng số học sinh hôm qua, tổng số học sinh hôm nay chiếm số phần Gv: Nguyễn Văn Tú 52 Trường THCS Thanh Mỹ