Bài tập Đại số Lớp 8: Phân thức

Nội dung text: Bài tập Đại số Lớp 8: Phân thức

1. BÀI TẬP PHẦN PHÂN THỨC Bài 1: Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau : 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0. x y z a b c x2 y2 z2 b) Cho 1 và 0 . Chứng minh rằng : 1 . a b c x y z a2 b2 c2 a) 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0 (9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = 0 9(x - 1)2 + (y - 3)2 + 2 (z + 1)2 = 0 (*) Do : (x 1)2 0;(y 3)2 0;(z 1)2 0 Nên : (*) x = 1; y = 3; z = -1 Vậy (x,y,z) = (1,3,-1). a b c ayz+bxz+cxy b) Từ : 0 0 x y z xyz ayz + bxz + cxy = 0 x y z x y z Ta có : 1 ( )2 1 a b c a b c x2 y2 z2 xy xz yz 2( ) 1 a2 b2 c2 ab ac bc x2 y2 z2 cxy bxz ayz 2 1 a2 b2 c2 abc x2 y2 z2 1(dfcm) a2 b2 c2 1 1 1 Bài 2: Cho x, y, z đôi một khác nhau và 0 . x y z yz xz xy Tính giá trị của biểu thức: A x 2 2yz y 2 2xz z 2 2xy 1 1 1 xy yz xz 0 0 xy yz xz 0 yz = –xy–xz x y z xyz x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) yz xz xy Do đó: A (x y)(x z) (y x)(y z) (z x)(z y) Tính đúng A = 1 Bài 3: Tìm giá trị nguyên của x để phân thức có giá trị là số nguyên x3 3x2 11x 8 A x 5 x3 3x2 11x 8 3 3 A x2 2x 1 ; A   x 5 1; 3 x 5 x 5 x 5 *x 5 1 x 6;4 * x 5 3 x 8;2; x 2;4;6;8 3x2 3 x 1 1 2x2 5x 5 Bài 4: Cho biÓu thøc: A 3 2 : . x 1 x x 1 x 1 x 1
2. a) Rót gän A . b) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña A . 3x2 3 x2 2x 1 x2 x 1 x 1 §K: x 1 A . x3 1 2x2 5x 5 x2 x 1 x 1 1 A . = x3 1 2x2 5x 5 2x2 5x 5 1 1 1 Ta cã A = = 2 5 25 15 5 15 2x 5x 5 2(x2 2 x ) 2(x )2 4 16 8 4 8 5 15 15 1 8 V× 2(x )2  x nªn x (1) 5 15 4 8 8 2(x )2 15 4 8 5 8 DÊu “=” x¶y ra khi x 1 (2)Tõ (1) vµ (2) suy ra max A 4 15 Bài 5: Cho c¸c sè a,b lÇn lît tho¶ m·n c¸c hÖ thøc sau: a3 3a2 5a 2011 0 , b3 3b2 5b 2005 0 . H·y tÝnh a b . Tõ ®iÒu kiÖn ®· cho ta cã: a 1 3 2 a 1 2008 0(1), b 1 3 2 b 1 2008 0 (2) Céng theo vÕ cña (1) vµ (2) ta cã a 1 3 b 1 3 (a b 2) 0 (a b 2) (a 1)2 a 1 b 1 b 1 2 2(a b 2) 0 (a b 2) (a 1)2 a 1 b 1 b 1 2 2 0 V× (a 1)2 a 1 b 1 b 1 2 2 1 2 1 2 1 2 a b a 1 b 1 2 0 a,b 2 2 2 Nªn a b 2 0 a b 2 2 2 2 ab 1 Bài 7: Cho hai số a, b thoả mãn a + b ≠ 0. Chứng minh rằng: a + b + ≥ 2. a b 2 2 2 ab 1 Ta có a + b + ≥ 2 a b 2 2 2 2 ab 1 2 ab 1 a + 2ab+ b + ≥ 2 + 2ab a b 2(ab 1) a b a b 2 2 2 ab 1 ab 1 a b 2(ab 1) 0 a b 0 (ĐPCM) a b a b Bài 8: 1 2 5 x 1 2x Cho biểu thức A = 2 : 2 1 x x 1 1 x x 1 a) Rút gọn biểu thức A.
3. b) Tìm x để A > 0. 1 x 2 2x 5 x 1 2x 2 x2 1 2 a) KXĐ: x ≠ ± 1ta có A = : = . 1 x2 x2 1 x2 1 1 2x 1 2x 1 1 b)A > 0 1 – 2x > 0 x 1 – 2x Ư(2) 1 - 2x -2 -1 1 2 x 1,5 1 0 0,5 Loại Loại t/m Loại Vậy x = 0 2 1 c/ Tìm x để A A ; Ta có: A A A 0 0 1 2x 0 x Kết hợp điều kiện 1 2x 2 1 : 1 x 2 Bài 10: Cho a3 + b3 + c3 = 3abc với a,b,c 0. Tính giá trị của biểu thức a b c P 1 1 1 . b c a Ta có a3 b3 c3 3abc a b 3 3a2b 3ab2 3abc 0 => a b 3 c3 3ab a b c 0 a b c a b 2 c a b c2 3ab a b c 0 a b c a2 b2 c2 ab ac bc 0 1 2 2 2 a b c 0 => a b c (a b) (b c) (c a) 0 2 a b c TH1 : Với a + b + c = 0. a b c b a c b a c c a b abc Ta có : P 1 1 1 . . . . 1 b c a b c a b c a abc TH 2 : Với a = b = c . Ta có : P = 2.2.2 = 8 Vậy : P = - 1 hoặc P = 8 Bài 10: Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn : x + y + z = 1. 1 1 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : M . 16x 4y z Vì x + y + z = 1 nên :
4. 1 1 1 1 1 1 21 x y x z y z M x y z 16x 4y z 16x 4y z 16 4y 16x z 16x z 4y 2 2 x y 16x2 4y2 4x 2y 2.4x.2y 4x 2y 1 1 Ta có : . (x, y 0) 4y 16x 16x.4y 64xy 64xy 4 4 x z 1 y z Tương tự: ; 1 ( Với mọi x, y, z > 0) z 16x 2 z 4y 1 x 7 4x 2y z 21 1 1 49 2 Từ đó : M 1 . Dấu “=” xảy ra khi x y z 1 y 16 4 2 16 7 x, y, z 0 4 z 7 49 1 2 4 Vậy giá trị nhỏ nhất của M là khi x ; y ; z 16 7 7 7 1 6x 3 2 Bài 11: Cho biểu thức: Q : (x 2) . x 1 x 3 1 x 2 x 1 a) Tìm điều kiện xác định của Q, rút gọn Q. 1 b) Tìm x khi Q = . 3 c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q. x2 x 1 6x 3 2x 2 1 (x 2)(x 1) 1 a)Đk: x 1; x 2. Ta có: Q . x3 1 x 2 (x 1)(x 2)(x2 x 1) x2 x 1 1 1 b) x2 x 1 3 (x 1)(x 2) 0 x2 x 1 3 1 Suy ra x = -1 hoặc x = 2.So sánh với điều kiện suy ra x = 2 thì Q = 3 2 1 2 1 3 3 c) Q 2 ; Vì 1 > 0; x – x + 1 = x 0. x x 1 2 4 4 3 Q đạt GTLN x2 x 1 đạt GTNN x2 x 1 4 1 4 4 1 x= (t/m). Lúc đó Q = Vậy GTLN của Q là Q = khi x= . 2 3 3 2 Bài 13: Tìm x, y , z biết: x2 + 2y2 + z2 - 2xy - 2y - 4z + 5 = 0 rồi tính giá trị của A với 2017 2017 2017 A = (x-1) +(y-1) +(z-1) x2 + 2y2 + z2 - 2xy - 2y - 4z + 5 = 0 (x - y)2 + (y - 1)2 +(z - 2)2= 0 x y 0 y 1 0 z 2 0 x y 1 z 2 2017 2017 2017 Tính đúng A = (x-1) +(y-1) +(z-1) =1
5. Bài 14 x 4 x 3 2x 2 3x 3 Cho P(x)= x 4 2x 3 2x 2 6x 3 a) Rút gọn P(x) b)Xác định giá trị của x để P(x) có giá trị nhỏ nhất . Tìm giá trị nhỏ nhất đó. x 4 x 3 2x 2 3x 3 (x 2 x 1)(x 2 3) x 2 x 1 a)P(x)= = x 4 2x 3 2x 2 6x 3 (x 1)2 (x 2 3) (x 1)2 x 2 x 1 x 2 2x 1 x 1 1 (x 1)2 x 1 1 b)P (x 1)2 (x 1)2 (x 1)2 (x 1)2 (x 1)2 1 1 1 1 1 3 1 1 3 3 1 ( )2 x 1 (x 1)2 4 x 1 (x 1)2 4 2 x 1 4 4 1 1 1 1 Dấu = xảy ra 0 x 1 2 x 1 2 x 1 x 1 2 P(x) có giá trị nhỏ nhất là 3 khi x = 1 4 Bài 15 x y z Cho a + b + c = 1 , a2 + b2 + c2 = 1 và . Tính giá trị của xy + yz + xz a b c x y z x y z x y z (vì a b c 1) . a b c a b c x 2 y 2 z 2 x 2 y 2 z 2 Do đó:(x+y+z)2= x 2 y 2 z 2 ( vì a2 + b2 + c2 = 1) a 2 b 2 c 2 a 2 b 2 c 2 x2 + y2 + z2 + 2xy +2yz + 2xz = x2 + y2 + z2 2xy +2yz + 2xz = 0 xy + yz + xz = 0 x3 3 6 2x x 3 Bài 16: Cho biểu thức: A x2 2x 3 1 x 3 x 1. Tìm điều kiện xác định và rút gọn A. 2. Tìm x để A x 2 . 1. (2điểm) +) điều kiện xác định x 1 và x 3. Ta có x3 3 6 2x x 3 x 3 x 1 +) rút gọn A A x 1 x 3 x3 3x2 8x 24 x2 8 x2 8 A Vậy A x 1 x 3 x 1 x 1 x2 8 10 x A x 2 x 2 0 x 1 x 1 2. Vậy x > -1 hoặc x 10 và x 3 thì A x 2 x 10 0vàx 1 0 x 1 x 10 0vàx 1 0 x 10 Bài 17: Rút gọn với n là số nguyên dương
6. 1 1 1 1 22 32 43 (n 1) 2 1 . 1 . 1 1 . . 3 8 15 n 2 2n 1.3 2.4 3.5 n(n 2) 2 3 4 n 1 2. 3 4 n 1 2(n 1) . . . . . 1 2 3 n 3 4 5 n 2 n 2 x2 a (1 a) a2 x2 1 Bài 18: C/m không phụ thuộc vào biến x x2 a (1 a) a2 x2 1 2 2 2 x a (1 a) a x 1 x2 ax a a2 a2 x2 1 Phân thức: x2 a (1 a) a2 x2 1 x2 ax2 a a2 a2 x2 1 2 2 2 2 2 x a a 1 a a 1 x 1 a a 1 a2 a 1 Không phụ thuộc vào x x2 a2 a 1 a2 a 1 x2 1 a2 a 1 a2 a 1 Bài 19: Chứng minh rằng: Nếu c 2 2(ab ac bc) 0;b c;a b c a 2 (a c) 2 a c Thì: b 2 (b c) 2 b c c 2 2(ab ac bc) 0 a b c 2 a 2 b 2 Chứng minh:Ta có: b c b c 0 a b c a b c 0 Nên: a2 = (a+ b - c)2 – b2 = (a - c).(a + 2b - c) b2 = (a + b - c)2 – a2 = (b - c).(2a + b - c) a 2 (a c) 2 (a c)(a 2b c) (a c) 2 (a c)(2a 2b 2c) a c (dfcm) b 2 (b c) 2 (b c)(2a b c) (b c) 2 (b c)(2a 2b 2c) b c 4xy 1 1 Bài 20: Cho biểu thức A 2 2 : 2 2 2 2 y x y x y 2xy x a) Tìm điều kiện của x, y để giá trị của A được xác định. b) Rút gọn A. c) Nếu x; y là các số thực làm cho A xác định và thoả mãn: 3x2 + y2 + 2x – 2y = 1, hãy tìm tất cả các giá trị nguyên dương của A? a) Điều kiện: x y; y 0 b) A = 2x (x+y)
7. c) Cần chỉ ra giá trị lớn nhất của A, từ đó tìm được tất cả các giá trị nguyên dương của A Từ (gt): 3x2 + y2 + 2x – 2y = 1 2x2 + 2xy + x2 – 2xy + y2 + 2(x – y) =1 2x(x + y) + (x – y)2 + 2(x – y) + 1 = 2 A + (x – y + 1)2 = 2 A = 2 – (x – y + 1)2 2 (do (x – y + 1) 0 (với mọi x ; y) A 2. x y 1 0 1 x 2 + A = 2 khi 2x x y 2 3 x y;y 0 y 2 (x y 1)2 1 + A = 1 khi 2x x y 1 Từ đó, chỉ cần chỉ ra được một cặp giá trị của x và y, chẳng x y;y 0 2 1 x hạn: 2 + Vậy A chỉ có thể có 2 giá trị nguyên dương là: A = 1; A = 2 2 3 y 2 Bài 21: Cho a, b, c đôi một khác nhau thoả mãn: ab + bc + ca = 1. a b 2 b c 2 c a 2 Tính giá trị của biểu thức: A = 1 a2 1 b2 1 c2 Ta có: 1 + a2 = ab + bc + ca + a2 = a(a + b) + c(a + b) = (a + b)(c + a) Tương tự: 1 + b2 = (b + a)(b + c) và 1 + c2 = (c + a)(c + b) a b 2 (b c)2 (c a)2 Do đó: A = 1 (a b)(a c)(b a)(b c)(c a)(c b) x 2 1 10 x2 Bài 22: Cho biểu thức: A 2 : x 2 x 4 2 x x 2 x 2 1 a. Rút gọn biểu thức A. b. Tính giá trị của A , Biết x = . 2 c. Tìm giá trị của x để A < 0. d. Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên. x 2 1 10 x2 Biểu thức: A 2 : x 2 x 4 2 x x 2 x 2 1 a) Rút gọn được kết qủa: A (0,75 điểm) x 2 1 1 1 b) x x hoặc x (0,25 điểm) 2 2 2 2 2 A= hoặc A= (0,75 điểm) 3 5
8. c) A 0 x >2 (0,25 điểm) 1 d) A Z Z x-2 Ư(-1) x-2 { -1; 1} x {1; 3} (0,5 điểm) x 2 a b c Bài 23: Giả sử a, b, c là ba số đôi một khác nhau và 0 b c c a a b a b c Chứng minh rằng: 0 (b c)2 (c a)2 (a b)2 a b c a b c b2 ab + ac - c2 + 0 = b - c c - a a - b b - c a - c b - a (a - b)(c - a) a b2 ab + ac - c2 1 (1) (Nhaân hai veá vôùi ) (b - c)2 (a - b)(c - a)(b - c) b - c b c2 bc + ba - a 2 c a 2 ac + cb - b2 Töông töï, ta coù: (2) ; (3) (c - a)2 (a - b)(c - a)(b - c) (a - b)2 (a - b)(c - a)(b - c) Coäng töøng veá (1), (2) vaø (3) ta coù ñpcm Bài 24: ) Rút gọn biểu thức: bc ca ab a) A= + + (a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b) 6 3 b) B = 1 6 1 1 3 1 A= x x 6 2 : x x 3 x x x x bc ca ab (a b)(a c)(b c) = . = = 1 (a b)(a c) (b c)(a b) (a c)(b c) (a b)(a c)(b c) 6 2 2 2 1 3 1 1 6 1 3 2 1 3 1 b) Ta cã: x = (x 3 ) 3(x ) ; x 6 x 3 x 3 2 x x x x x x 6 2 2 1 6 1 3 1 1 3 1 Tö thøc: x x 6 2 = (x 3 ) 3(x ) - x 3 x x x x x 1 3 1 1 = 3 x 2 x 3 3 x x x x 3 1 3 1 3 1 1 MÉu thøc: x x 3 = 2 x 3 3 x x x x x 1 Rót gän ta cã: B = 3(x ) x Bài 25: xyz 1) a) Cho x3 +y3+z3 =3xyz. Hãy rút gọn phân thức P x y y z z x 14 4 54 4 94 4 174 4 b) Tìm tích: M=    34 4 74 4 114 4 194 4 2) a) Cho x = by +cz; y = ax +cz; z = ax+by và x +y + z 0; xyz 0. CMR: 1 1 1 2 1 a 1 b 1 c
9. 1 1 1 yz xz xy b) Cho 0 , tính giá trị của biểu thức: P x y z x2 y2 z2 x2 x x 1 1 2 x2 3) Cho biểu thức: P 2 : 2 x 2x 1 x 1 x x x a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm x để P 1. Từ x3 +y3+z3 =3xyz chỉ ra được x + y +z = 0 hoặc x=y=z 1.5 TH1: x + y +z =0=> x+y = -z; x+z= -y; y +z = -x. Khi đó P = -1 điểm a 1 TH2: x=y=z. Khi đó P = 8 3 Nhận xét được n4 +4 = [(n-1)2 +1][(n+1)2 +1]. Do đó: 1.5 2 2 2 2 2 1. 2 1 4 1 6 1 16 1 18 1 1 1 điểm b M =   22 1 42 1 62 1 82 1 182 1 202 1 202 1 401 Từ gt => 2cz+z = x +y => 2cz = x+y –z => 2 điểm x y z x y z 1 2z c c 1 2z 2z c 1 x y z a 1 2x 1 2y Tương tự ; Khi đó 1 a x y z 1 b x y z 1 1 1 4 2 1 a 1 b 1 c 1 1 1 1 1 1 3 2 điểm Từ 0 => x y z x3 y3 z3 xyz b Khi đó: yz xz xy xyz xyz xyz 1 1 1 3 P 2 2 2 3 3 3 xyz. 3 3 3 xyz. 3 x y z x y z x y z xyz ĐKXĐ: x 0 và x 1; x -1 1 điểm x2 a Với x 0 và x 1; x -1, rút gọn P ta có P = x 1 x2 1điểm P <1 5 x 1 2 1 3 2 2 x b x x x 1 2 4 1 0 0 0 x 1 x 1 x 1 x 1 0 x 1 Vậy với x<1 và x 0 và x -1, thì P<1
10. x2 x2 1 1 1 1 1 điểm Ta có : P = x 1 x 1 2 x 1 x 1 x 1 x 1 1 Khi x>1 thì x-1>0. Áp dụng bđt Cosi, ta có : x 1 2 , dấu c x 1 « = » xảy ra khi x =2. Vậy GTNN của P bằng 4 khi x = 2 Bài 26 2 2 2 2 2 y yz z x 3 y z 2 b). Rút gọn biểu thức A . x y z 1 1 1 1 1 x y z y z yz xy xz 2 2 2 2 2 y yz z x 3 y z 2 A . x y z 1 1 1 1 1 x y z y z yz xy xz 2 2 3 y z yz y z x 3xyz 2x y z 2 . x y z x y z x y z 3 2 2 2 2 3 3 2 y y z yz y z yz z x 3xyz 2 x y z x y z 3 3 3 2 x y z 3xyz 2 x y z x y z Mà x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx ) 3 2 2 2 2 3 3 2 y y z yz y z yz z x 3xyz 2 x y z x y z Do đó kết quả trên được viết thành : 2 2 2 2 x y z x y z xy yz zx 2 x y z x y z = 2x2 + 2y2 + 2z2 – 2xy – 2yz – 2zx + x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx = 3(x2 + y2 + z2) (xyz 0; y + z 0 và x + y + z 0). 2 1 4 1 x 2 x 4 Bài 27: a). Cho y x ; z x và x 1 . Hãy tính z theo y. 1 1 x2 x4 x2 x4 b).Cho xy + xz + yz = 1 và x,y,z khác 1 . Chứng minh rằng: x y z 4xyz . 1 x2 1 y2 1 z2 1 x2 1 y2 1 z2
11. 2 1 2 1 2 x 2 x 2 2x 2 2 a). Ta có: y 1 x 1 ; y 1 x 1 x 1 1 1 1 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 4 1 y 1 y 1 x 2 y 1 4 y 1 y 1 y 1 x4 z x 1 y 1 y 1 y 1 x4 2y x4 y 1 y 1 b). Ta có: x y z x(1 y2 )(1 z2 ) y(1 x2 )(1 z2 ) z(1 x2 )(1 y2 ) 1 x2 1 y2 1 z2 (1 x2 )(1 y2 )(1 z2 ) Phân tích tử thức của phân thức trên, ta có: x – xy2 – xz2 + xy2z2 + y – x2y – yz2 + x2yz2 + z – x2z – y2z + x2y2z = xyz(xy + xz + yz) + y(1 – xy – yz) + x(1 – xz – xy) + z(1 – xz – yz) (1) Theo giả thiết xy + yz + xz = 1, nên xz = 1 – xy – yz ; yz = 1 – xz – xy ; xy = 1 – xz – yz. Thay vào (1), ta được tử thức bằng 4xyz. Từ đó ta có được kết quả của bài toán. b2 c2 a2 a b c a c b Bài 28: Cho x ; y và b + c - a 0; bc 0; a + b + c 0. 2bc a b c b c a Tính giá trị của biểu thức P = (x + y + xy + 1 )3. b). Chứng minh rằng nếu a,b,c khác nhau thì : b c c a a b 2 2 2 a b a c b c b a c a c b a b b c c a a) Ta có (x + y + xy + 1)3 = [(x +1) + y(x + 1)]3 = [(x + 1)(y + 1)]3 b2 c2 a2 b c a b c a Vì x x 1 2bc 2bc a b c a c b a b c a c b a b c b c a y y 1 a b c b c a a b c b c a 2 2 a2 b c b c a2 4bc a b c b c a a b c b c a 3 3 P x y xy 1 x 1 y 1 3 vậy b c a b c a 4bc . 23 8 2bc b c a b c a ( bc 0, a + b + c 0 và b + c – a 0 ). Vậy P = 8. b c 1 1 b).Ta có: ; a b a c a b a c a b 1 1 c a 1 1 tương tự, ta có: ; c a c b c a c b b c b a b c b a Cộng theo từng kết quả tìm được, suy ra điều phải chứng minh.
12. Cho hai số không âm a và b thoả mãn a2 b2 a b . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: a b S a 1 b 1 + Ta có a2 1 2a;b2 1 2b a2 b2 2 2a 2b a b 2 1 1 4 + Chứng minh được với hai số dương x, y thì x y x y 1 1 4 + Do đó S 2 2 1 a 1 b 1 a 1 b 1 + Kết luận: GTLN của S là 1, đạt được khi a b 1 .