Chuyên đề Đại số Khối 11: Giới hạn dãy số

Nội dung text: Chuyên đề Đại số Khối 11: Giới hạn dãy số

1. GIỚI HẠN DÃY SỐ A. LÝ THUYẾT I. DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN 0 . 1. Định nghĩa Ta nói rằng dãy số un có giới hạn 0 ( hay có giới hạn là 0 ) nếu với mỗi số dương nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó. Kí hiệu: limun 0 . Nói một cách ngắn gọn, limun 0 nếu un có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi. Từ định nghĩa suy ra rằng: a) limun 0 lim un 0 . b) Dãy số không đổi un , với un 0 , có giới hạn là 0 . c) Dãy số un có giới hạn là 0 nếu un có thể gần 0 bao nhiêu cũng được, miễn là n đủ lớn. 2. Một số dãy số có giới hạn 0 Định lí 4.1 Cho hai dãy số un và vn . Nếu un vn với mọi n và limvn 0 thì limun 0 . STUDY TIP Định lí 4.1 thường được sử dụng để chứng minh một dãy số có giới hạn là 0 . Định lí 4.2 Nếu q 1 thì lim qn 0 . Người ta chứng mình được rằng 1 a)lim 0 . n 1 b) lim 0 3 n 1 c) lim 0với mọi số nguyên dương k cho trước. nk 1 Trường hợp đặc biệt : lim 0 . n nk d) lim 0với mọi k ¥ * và mọi a 1 cho trước. an STUDY TIP
2. Cách ghi nhớ các kết quả bên như sau: Khi tử số không đổi, mẫu số càng lớn (dần đến dương vô cực) thì phân số càng nhỏ (dần về 0 ) II. DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN HỮU HẠN. 1. Định nghĩa Ta nói rằng dãy số un có giới hạn là số thực L nếu lim un L 0 . Kí hiệu: limun L . Dãy số có giới hạn là một số thực gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn. STUDY TIP a) Dãy số không đổi un với un c , có giới hạn là c . b)limun L khi và chỉ khi khoảng cách un L trên trục số thực từ điểm un đến L trở nên nhỏ bao nhiêu cũng được miễn là n đủ lớn; nói một cách hình ảnh, khi n tăng thì các điểm un “ chụm lại” quanh điểm L . c) Không phải mọi dãy số đều có giới hạn hữu hạn. 2. Một số định lí Định lí 4.3 Giả sử limun L . Khi đó 3 3 a)lim un L và lim un L . b) Nếu un 0 với mọi n thì L 0 và lim un L . Định lí 4.4 Giả sử limun L ,limvn M và c là một hằng số. Khi đó a) lim un vn L M . b)lim un vn L M . c)lim unvn LM . D)lim cun cL . u L e) lim n (nếu M 0 ). vn M 3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn Định nghĩa Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân có công bội q thỏa q 1 . Công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: u S u u q u q2 1 1 1 1 1 q III. DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN VÔ CỰC. 1. Dãy số có giới hạn Ta nói rằng dãy số un có giới hạn nếu với mỗi số dương tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó.
3. Kí hiệu: limun . Nói một cách ngắn gọn, limun nếu un có thể lớn hơn một số dương lớn tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi. Người ta chứng minh được rằng: a) lim un . 3 b) lim un c) lim nk với một số nguyên dương k cho trước. Trường hợp đặc biệt : lim n . d)lim qn nếu q 1 . 2. Dãy số có giới hạn Ta nói rằng dãy số un có giới hạn nếu với mỗi số âm tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số âm đó. Kí hiệu: limun . Nói một cách ngắn gọn, limun nếu un có thể nhỏ hơn một số âm nhỏ tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi. Nhận xét: a)limun lim un . b) Nếu lim un thì un trở nên lớn bao nhiêu cũng được miễn n đủ lớn. Đo đó 1 1 trở nên nhỏ bao nhiêu cũng được, miễn n đủ lớn. Nói cách khác, nếu un un 1 lim un thì lim 0 . un STUDY TIP Các dãy số có giới hạn hoặc được gọi chung là các dãy số có giới hạn vô cực hay dần đến vô cực. Định lí 4.5 1 Nếu lim un thì lim 0 . un STUDY TIP Ta có thể diễn giải “nôm na” định lí 4.5 như sau cho dễ nhớ: Khi tử số không đổi, mẫu số có giá trị tuyệt đối càng lớn(dần đến vô cực) thì phân số càng nhỏ(dần về 0 ). 3. Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực Quy tắc 1 Nếu limun và limvn thì lim unvn được cho trong bảng sau:
4. limun limvn lim unvn STUDY TIP Vì và không phải là những số thực nên không áp dụng được các định lí về giới hạn hữu hạn cho các dãy số có giới hạn vô cực. Quy tắc 2 Nếu limun và limvn L 0 thì lim unvn được cho trong bảng sau: Dấu của L limun lim unvn Quy tắc 3 Nếu limun L 0 và limvn 0 và vn 0 hoặc vn 0 kể từ một số hạng nào đó trở đi u thì lim n được cho trong bảng sau: vn Dấu của L Dấu của u vn lim n vn STUDY TIP Ở cả ba quy tắc, về dấu, tương tự như quy tác về dấu của phép nhân hoặc phép chia hai số. Để cho dễ nhớ, ta diễn giải các quy tắc một cách “nôm na” như sau: - Quy tắc 1: Tích của hai đại lượng vô cùng lớn là một đại lượng vô cùng lớn. - Quy tắc 2: Tích của đại lượng vô cùng lớn với một đại lượng khác 0 là một đại lượng vô cùng lớn. - Quy tắc 3: Khi tử thức có giới hạn hữu hạn khác 0 , mẫu thức càng nhỏ(dần về 0 ) thì phân thức càng lớn(dần về vô cực).
5. B. CÁC DẠNG TOÁN VỀ GIỚI HẠN DÃY SỐ DẠNG 1. TÍNH GIỚI HẠN DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC Câu 1: bằnglim n3 2n 1 A. 0 .B. .C. .D. 1 . Đáp án D. Lời giải 3 3 2 1 Cách 1: Ta có:n 2n 1 n 1 2 3 . n n 3 2 1 3 Vì lim n vàlim 1 2 3 1 0 nên theo quy tắc 2, lim n 2n 1 n n Cách 2: Sử dụng MTCT tính giá trị của biểu thức n3 2n 1tại một giá trị lớn của n (do n ) như sau: Nhập vào màn hình biểu thức X 3 2X 1 . Bấm CALC . Máy hỏi X ? nhập 105 , ấn . Máy hiện kết quả như hình bên. Ta thấy kết quả tính toán với X 105 là một số dương rất lớn. Do đó chọn D. Câu 2: bằnglim 5n n2 1 A. . B. C. 5.D. . 1. Hướng dẫn giải Chọn B. 2 2 5 1 Cách 1: Ta có 5n n 1 n 1 2 . n n 2 5 1 2 Vì lim n và lim 1 2 1 0 nên lim 5n n 1 (theo quy tắc n n 2). Cách 2: Sử dụng MTCT tương tự như ví dụ trên. Ta thấy kết quả tính toán với X 105 là một số âm rất nhỏ. Do đó chọn đáp án có giới hạn bằng . Tổng quát: Cho k là một số nguyên dương. k k 1 a) lim ak n ak 1n a1 n a0 nếu ak 0. k k 1 b) lim ak n ak 1n a1 n a0 nếu ak 0. 3 2 Chẳng hạn: lim n 2n 1 vì a3 1 0 ; lim 5n n 1 vì a2 1 0 . STUDY TIP Cho un có dạng đa thức (bậc lớn hơn 0) của n . - Nếu hệ số của lũy thừa bậc cao nhất của n là một số dương thì limun .
6. - Nếu hệ số của lũy thừa bậc cao nhất của n là một số âm thì limun . 5n2 3n 7 Câu 3: limu , với u bằng: n n n2 A. 0. B. C. D. 5. 3. 7. Hướng dẫn giải Chọn B. 5n2 3n 7 3 7 Cách 1: Ta có: limun lim 2 2 2 lim 5 2 5 . n n n n n Cách 2: Sử dụng máy tính bỏ túi tương tự những ví dụ trên. Đây không phải là giá trị chính xác của giới hạn cần tìm, mà chỉ là giá trị gần đúng của một số hạng với n khá lớn, trong khi n dần ra vô cực. Tuy nhiên kết quả này cũng giúp ta lựa chọn đáp án đúng, đó là đáp án B. STUDY TIP 1500044 15 Một số dòng máy hiện kết quả là dạng phân số, chẳng hạn . Do 5 nên 300007 3 chọn B. 2n3 3n2 n 5 Câu 4: vớil imu , u bằng n n n3 n2 7 A. 3. B. C. D. 1. 2. 0. Hướng dẫn giải Chọn C. Cách 1: Chia cả tử và mẫu của phân thức cho n3 (n3 là lũy thừa bậc cao nhất của n 3 1 5 2 2 3 3 1 5 trong phân thức), ta được: u n n n . Vì lim 2 2 và n 1 7 2 3 1 n n n n n3 1 7 2n3 3n2 n 5 2 lim 1 3 1 0 nên lim 3 2 2 . n n n n 7 1 Cách 2: Sử dụng MTCT tương tự như các ví dụ trên. n3 2n 1 Ví dụ 5: Giới hạn của dãy số u , với u bằng n n n4 3n3 5n2 6 1 A. 1. B. C. D. 0. . . 3 Hướng dẫn giải Chọn B.
7. Cách 1: Chia cả tử và mẫu của phân thức cho n4 (n4 là bậc cao nhất của n trong phân thức), ta được 1 2 1 3 n 2n 1 3 4 0 limu lim lim n n n 0 . n 4 3 2 3 5 6 n 3n 5n 6 1 1 n n2 n3 Cách 2: Sử dụng MTCT tương tự như các ví dụ trên. 3n3 2n 1 Ví dụ 6: Giới hạn của dãy số u với u , bằng n n 2n2 n 3 A. . B. C. D. 0. . 1. 2 Hướng dẫn giải Chọn C. Cách 1: Chia cả tử và mẫu cho n2 (n2 là lũy thừa bậc cao nhất của n trong mẫu 2 1 3 3n 3n 2n 1 2 3n thức), ta được u n n . Vậy limu lim . n 2 1 n 2n n 2 2 n Cách 2: Chia cả tử và mẫu cho n3 (n3 là lũy thừa bậc cao nhất của n trong phân thức), ta được 2 1 3 2 3 2 1 2 1 2 1 limu lim n n . Vì lim 3 3 0 , lim 0 và 0 n 2 1 2 3 2 2 n n n n n n n n2 với mọi n nên theo quy tắc 3, limun . 3 2 1 2 1 n 3 2 3 3 n n n2 n3 Cách 3: Ta có limun lim lim n . Vì lim n và 2 1 1 n 2 2 n n 2 1 3 2 3 3 lim n n 0 nên theo quy tắc 2, limu . 1 n 2 2 n Cách 4: Sử dụng MTCT tương như các ví dụ trên. STUDY TIP Rõ ràng làm theo cách 1 (chia cả tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất của n trong mẫu thức) ít phải lập luận hơn cách 2 và cách 3. Tổng quát: i i 1 ain ai 1n a1n a0 Xét dãy số un với un k k 1 , trong đó ai ,bk 0 bk n bk 1n b1n b0
8. (dạng phân thức với tử số và mẫu số là các đa thức của n ). a) Nếu i k (bậc tử lớn hơn bậc mẫu) thì limun nếu aibk 0, limun nếu aibk 0. ai b) Nếu i k (bậc tử bằng bậc mẫu) thì limun . bk c) Nếu i k (bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu) thì limun 0 . STUDY TIP Cho un có dạng phân thức của n . - Nếu bậc tử cao hơn bậc mẫu thì un có giới hạn là vô cực - Nếu bậc tử bằng bậc mẫu thì limun bằng hệ số của lũy thừa cao nhất trên tử chia cho hệ số của lũy thừa cao nhất ở mẫu. - Nếu bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu thì limun 0 . sin n! Ví dụ 7: lim bằng n2 1 A. 0. B. C. D. 1. . 2. Hướng dẫn giải Chọn A. sin n! 1 1 Ta có mà lim 0 nên chọn đáp án A. n2 1 n2 1 n2 1 Lưu ý: Sử dụng MTCT. Với X 13 , máy tính cho kết quả như hình bên. Với X 13 , máy bào lỗi do việc tính toán vượt quá khả năng của máy. Do đó với bài này, MTCT sẽ cho kết quả chỉ mang tính chất tham khảo. Nhận xét: Hoàn toàn tương tự, ta có thể chứng minh được rằng: sink u cosk u a) lim n 0; b) lim n 0 . vn vn Trong đó limvn ,k nguyên dương. 2 n sin 3 5 cos 3n 1 cos 2n 1 Chẳng hạn: lim 0 ; lim n 0 ; lim 0 ; n3 2n 1 2 3 n2 5n3 n 1 STUDY TIP Khi sử dụng MTCT, với các bài toán liên quan đến lượng giác, trước khi tính toán ta cần chọn chế độ Rad (radian) hoặc Deg (degree) cho phù hợp với đề bài.
9. 1 n Ví dụ 8: bằnglim n n 1 A. 1. B. C. D. 1. . 0. Hướng dẫn giải Chọn D. n 1 1 1 1 1 Cách 1: Ta có mà lim 0 nên suy ra n n 1 n n 1 n.n n2 n2 1 n lim 0 n n 1 Cách 2: Sử dụng MTCT tương tự các ví dụ trên. n n 1 Nhận xét: Dãy 1 không có giới hạn nhưng mọi dãy , trong đó v n limvn thì có giới hạn bằng 0. Ví dụ 9: Tính giới hạn I lim n2 2n 3 n A. I 1. B. C. I D. 1. I 0. I . Hướng dẫn giải Chọn B. n2 2n 3 n n2 2n 3 n Cách 1: Ta có I lim n2 2n 3 n lim n2 2n 3 n 3 2 2 2 n 2n 3 n 2n 3 2 lim lim lim n 1. 2 2 2 3 1 1 n 2n 3 n n 2n 3 n 1 1 n n2 Cách 2: Sử dụng MTCT tương tự các ví dụ trên. STUDY TIP Hằng đẳng thức thứ ba: a b a b a2 b2. Hai biểu thức a b và a b được gọi là biểu thức liên hợp của nhau. Ví dụ: n2 2n 3 n và n2 2n 3 n là hai biểu thức liên hợp của nhau. Nhận xét: a) ở bước 3 ta đã chia cả tử và mẫu cho n . Lưu ý là n n2 . 2 3 b) Ta có n2 2n 3 n n 1 1 , Vì lim n và 2 n n 2 1 lim 1 1 0 nên không áp dụng được quy tắc 2 như trong ví dụ trước đó. 2 n n
10. Ví dụ 10: lbằng:im n 3 8n3 3n 2 A. . B. C. D. . 1. 0. Hướng dẫn giải Chọn B. 3 2 Cách 1: Ta có lim n 3 8n3 3n 2 lim n 1 3 8 . 2 3 n n 3 2 Vì lim n ,lim 1 3 8 1 3 8 1 0 nên 2 3 n n lim n 3 8n3 3n 2 . Cách 2: Sử dung MTCT như các ví dụ trên. Ví dụ 11: lbằng:im n2 n 4n 1 A. 1. B. C. D. 3. . . Hướng dẫn giải Chọn C. 4 1 Cách 1: Ta có n2 n 4n 1 n2 1 . 2 n n 4 1 Vì lim n2 và lim 1 1 0 nên theo quy tắc 2, 2 n n lim n2 n 4n 1 . Cách 2: Sử dụng MTCT tương tự như các ví dụ trên. Tổng quát: r i i 1 s k k 1 Xét dãy số un ain ai 1n a1n a0 bk n bk 1n b1n b0 , trong đó ai ,bk 0. i k - Nếu r a s b và : Giới hạn hữu hạn. i k r s + Nếu hai căn cùng bậc: Nhân chia với biểu thức liên hợp. r i + Nếu hai căn không cùng bậc: Thêm bớt với ain rồi nhân với biểu thức liên hợp. i k - Nếu r a s b hoặc : Đưa lũy thừa bậc cao nhất của n ra ngoài dấu căn. i k r s Trong trường hợp này un sẽ có giới hạn vô cực. Nhận xét: Trong chương trình lớp 12, các em sẽ được học về căn bậc s (s nguyên r dương) và lũy thừa với số mũ hữu tỉ. Người ta định nghĩa rằng a s s ar , trong đó a
11. là số thực dương, r là số nguyên dương, s là số nguyên dương, s 2. Các tính chất của lũy thừa với số mũ hữu tỉ tương tự lũy thừa với số mũ nguyên dương. 1 1 2 Chẳng hạn: n n 2 , 3 n n3 , 3 n2 n 3 Chẳng hạn: 2 2 2 a) Với un n 2n 3 n n 2n 3 n : nhân chia với biểu thức liên hợp của n2 2n 3 n là n2 2n 3 n . Dãy số có giới hạn hữu hạn bằng 1 . 3 3 3 3 3 3 3 b) Với un n 8n 3n 2 n 8n 3n 2 : đưa n ra ngoài dấu căn. Giới hạn của un . c) Với u n2 n 4n 1 n n2 4n 1 : đưa n2 ra ngoài dấu căn. n Giới hạn của un bằng . Ví dụ 12. bằnglim n: 3 n3 3n2 1 A. 1. B. .1 C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn A. Ta tiến hành nhân chia với biểu thức liên hợp (bậc ba) của n 3 n3 3n2 1 n3 n3 3n2 1 lim n 3 n3 3n2 1 lim 2 3 3 2 3 2 2 n n n 3n 1 3 n 3n 1 1 3 2 lim n 1. 3 1 3 1 2 3 3 1 1 3 1 3 n n n n STUDY TIP Hằng đẳng thức thứ bảy: a3 b3 a b a2 ab b2 . Hai biểu thức a b và a2 ab b2 cũng được gọi là hai biểu thức liên hợp (bậc ba) của nhau. Ví dụ 13. lim n2 n 1 3 n3 3n 2 bằng : 1 A. . B. .0 C. . D. . 2 Hướng dẫn giải Chọn A. 1 lim n2 n 1 3 n3 3n 2 lim n2 n 1 n n 3 n3 3n 2 2 Ví dụ 14. lim 5n 2n bằng :
12. 5 A. . B. 3 . C. . D. . 2 Hướng dẫn giải Chọn C. n 2 Ta có 5n 2n 5n 1 5 n 2 Vì lim5n và lim 1 1 0 nên theo quy tắc 2, lim 5n 2n 5 Ví dụ 15. lim 3.2n 1 5.3n 7n bằng : A. . B. . C. . 3 D. . 5 Hướng dẫn giải Chọn A. n 2 n lim 3.2n 1 5.3n 7n 3n 5 6 7 n 3 3 4.3n 7n 1 Ví dụ 16. lim bằng : 2.5n 7n 3 7 A. 1. B. 7 . C. . D. . 5 5 Hướng dẫn giải Chọn B. n 3 n n 1 4. 7 4.3 7 7 7 lim n n lim n 7 . 2.5 7 5 1 2. 1 7 Cách 2: Sử dụng máy tính bỏ túi. Nhập vào màn hình như hình dưới đây. Bấm CALC. Máy hỏi X? Nhập 100, ấn =. Máy hiện kết quả bằng 7. 4n 1 6n 2 Ví dụ 17. lim bằng : 5n 8n 6 4 A. 0 . B. . C. . 36 D. . 8 5 Hướng dẫn giải Chọn A.
13. n n 4 6 n 1 n 2 4. 36. 4 6 8 8 lim n n lim n 0 . 5 8 5 1 8