49 đề Toán Lớp 8 hay nhất dành cho học sinh giỏi (Kèm đáp án)

Nội dung text: 49 đề Toán Lớp 8 hay nhất dành cho học sinh giỏi (Kèm đáp án)

1. 49 đề Toán Lớp 8 hay nhất dành cho học sinh giỏi (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn y(y 16) 63 0 y2 16y 63 0 (y 7)(y 9) 0 0.25 = ―7 hoặc = ―9 Trường hợp 1 : y 7 9x2 18x 7 7 9x2 18x 0 0.25 = 0 hoặc = 2 Trường hợp 2: y 9 9x2 18x 7 9 9(x 1)2 7 3 7 3 7 x hoặc x 3 3 3 7 Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: = 0; = 2; x ; 0.25 3 3 7 x 3 f (x) chia cho x 2 dư 11 suy ra f (x) x 2 .P(x) 11 suy ra f (2) 11 f (x) chia cho x 2 dư 1 suy ra f (x) x 2 .Q(x) 1 suy ra f ( 2) 1 f (x) chia cho x2 4 được thương là 3x và còn dư suy ra f (x) x2 4 .3x ax b (1) Từ (1) suy ra f (2) 2a b, f ( 2) 2a b 2 2a b 11 0.25 suy ra 2a b 1 tìm được a 3, b 5 0.25 Suy ra f (x) x2 4 .3x 3x 5 3x3 9x 5 f (2025) f ( 2025) 3.20253 9.2025 5 3.( 2025)3 9.( 2025) 5 Suy ra f (2025) f ( 2025) 10 0.25 0.25 DeThi.edu.vn
2. 49 đề Toán Lớp 8 hay nhất dành cho học sinh giỏi (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn y2 2 x2 1 2y x 1 0.25 y2 2y x 1 2 x2 1 0 y2 2y x 1 x 1 2 x2 2x 1 0 0.25 y x 1 2 x 1 2 0 1 y x 1 0 x 1 0 0.25 x 1 y 2 Vậy (x; y) (1;2) 0.25 2 Ta có: n 2 8 36 n 4 16n 2 64 36 n 4 16n 2 100 3 2 n 4 20n 2 100 36n 2 n 2 10 36n 2 (n 2 10 6n)(n 2 10 6n) Vì n N nên n 2 6n 10 n 2 6n 10 2 0.25 để n 2 8 36 là số nguyên tố thì n 2 6n 10 1 hoặc n 2 6n 10 1 2 Mà n 2 6n 10 n 2 6n 10 nên n 2 6n 10 1 0.25 n 2 6n 9 0 n 3 2 0 n 3 0.25 2 2 Với n = 3 n 2 8 36 32 8 36 37 là số nguyên tố 2 Vậy với n = 3 thì n 2 8 36 là số nguyên tố 0.25 4 * Chứng minh tứ giác AMDN là hình vuông Xét tứ giác AMDN có: 1 ·AMD 900 ; ·AND 900 ;M· AN 900 0.25 Suy ra tứ giác AMDN là hình chữ nhật 0.25 DeThi.edu.vn
3. 49 đề Toán Lớp 8 hay nhất dành cho học sinh giỏi (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn Hình chữ nhật AMDN có AD là phân giác của M· AN nên tứ giác AMDN là hình vuông. * Chứng minh EF // BC. Vì ND//AB hay DF//MB áp dụng định lí Thalès ta có: FM DB (1) FC DC Vì MD//AC áp dụng định lý Thalès ta có: 0.25 DB MB (2) DC MA Tứ giác AMDN là hình vuông nên MB MB AM DN (3) MA DN 0.25 Chứng minh DNE đồng dạng với MBE ta có MB EM (4) DN ED Từ (1), (2), (3), (4) suy ra EM FM EF / /DC ED FC Hay EF // BC * Chứng minh ANB∽ NFA Vì AMDN là hình vuông nên AN = DN suy ra AN DN (5) 0.25 AB AB Vì DN //AB áp dụng hệ quả của định lí Thalès ta có 0.25 DN CN FN CN 2 (6) và (7) AB CA AM CA 0.25 Mà AMDN là hình vuông nên AM = AN suy ra FN FN (8) AM AN 0.25 AN FN Từ (5) (6) (7) (8) suy ra nên ANB∽ NFA AB AN Vì AN = AM ; PN = AQ AP = MQ. Ta có: 1 1 1 ) 푆 푃푄 = 2 푃. 푄 = 2푄 . 푄 = 2 푄( ― 푄 3 1 = ― ( 푄2 ― 푄. ) 2 DeThi.edu.vn
4. 49 đề Toán Lớp 8 hay nhất dành cho học sinh giỏi (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn 1 2 2 = ― 푄2 ― 2 푄 ⋅ + + 2 2 4 8 0.25 1 2 2 2 ― 푄 ― + ≤ 2 2 8 8 Suy ra: 1 2 1 2 3 2 SPQMN SAMN SAPQ AM AM AM 2 8 8 AM dấu “=” xảy ra khi AQ . 0.25 2 3 Vậy diện tích tứ giác PQMN có giá trị nhỏ nhất là AM 2 khi Q là 8 trung điểm của AM; P là trung điểm của AN. Hs chỉ ra được cách chia tam giác đều ban đầu thành 16 tam giác đều bằng nhau không có điểm chung trong. Vì 33 điểm nằm trong tam giác đều ban đầu nên theo nguyên lý Đirichlet tồn tại ít nhất 3 điểm trong 33 điểm đã cho nằm trong 1 tam 0.25 giác trong 16 tam giác trên Do trong 33 điểm không có ba điểm nào thẳng hàng nên tam giác tạo 5 bởi 3 điểm nói trên nằm trọn trong 1 tam giác trong 16 tam giác trên. 1 Mà diện tích của một tam giác trong 16 tam giác trên là 16 Vậy diện tích tam giác tạo bởi ba điểm nói trên có diện tích nhỏ hơn 0.25 1 16 Ta có: 1 b2 4 a 2 2 a 2 ab ab 2 a 2 4 1 b (a )2 (a )2 ab 2 ab 2 suyra ab 2suyra Q 2026 6 a 2 1 a 0 0.5 a a 1;b 2 Dấu “=” xảy ra khi suy ra b a 1;b 2 a 0 2 Ta lại có: 1 2 2 4 = ― + + ― + 2 ≥ ― + 2⇒ ≥ ―2 2 ⇒ Q ≥ 2022 DeThi.edu.vn
5. 49 đề Toán Lớp 8 hay nhất dành cho học sinh giỏi (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn 1 0.25 a 0 a a 1;b 2 Dấu “=”xảy ra khi và chỉ khi suyra b a 1;b 2 a 0 2 0.25 Vậy GTLN của Q là 2026 khi a 1;b 2 hoặc a 1;b 2 GTNN của Q là 2022 khi a 1;b 2 hoặc a 1;b 2 DeThi.edu.vn
6. 49 đề Toán Lớp 8 hay nhất dành cho học sinh giỏi (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 3 PHÒNG GD&ĐT SƠN ĐỘNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2023 – 2024 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán – Lớp 8 (Đề có 03 trang) Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (6,0 điểm) 5 y Câu 1: Điều kiện xác định của biểu thức A là x x2 4 A. x 0. B. x 2. C. x 0; x 2. D. x 0; x 1. 3x 1 a b a Câu 2: Cho a,b là các số thực sao cho . Giá trị biểu thức là x 1 x 2 x 1 x 2 b 2 7 14 14 A. . B. . C. . D. . 7 2 9 9 Câu 3: Gọi S là tổng các giá trị x thoả mãn 2x3 8x 0 . Giá trị của S là A. S = 4. B. S = 2. C. 0. D. -2. Câu 4: Cho x y 1. Giá trị biểu thức P 2(x3 y3 ) 3(x2 y2 ) là A. 1. B. -1. C. 2 D. -2. Câu 5: Đa thức A x5 y4 2x3 y2 x5 y4 2x2 y3 3xy 1 có bậc là A. 9. B. 6. C. 5. D. 2. Câu 6: Thống kê điểm kiểm tra cuối năm môn Toán của một nhóm 100 học sinh lớp 8 được chọn ngẫu nhiên tại ba lớp 8 của trường THCS X, thu được kết quả như bảng sau: Điểm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Số học sinh 7 9 11 11 12 12 13 9 8 8 Chọn ngẫu nhiên một học sinh lớp 8 của trường X. Kết quả ước lượng của biến cố “học sinh có điểm là một số nguyên tố” là 20 9 11 10 A. . B. . C. . D. . 9 20 20 11 Câu 7: Gọi a là số dư của phép chia đa thức 2023x2024 2x 1 cho x 1. Giá trị biểu thức 2a 1 là A. 4039. B. 4040. C. 4055. D. 4055. Câu 8: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q (x 3)2 (x 2)2 là 3 5 1 A. 0. B. . C. . D. . 2 2 2 Câu 9: Cho ABC có BC 10cm. Gọi E, F, M , N lần lượt là trung điểm AB, AC, AE, AF. Độ dài đoạn thẳng MN là A. 5cm. B. 10cm. C. 7,5cm. D. 2,5cm DeThi.edu.vn
7. 49 đề Toán Lớp 8 hay nhất dành cho học sinh giỏi (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn Câu 10: Cho ABC vuông tại A có AB 6cm; AC 8cm. Đường phân giác AD cắt BC tại D. Độ dài cạnh BD là 30 40 5 4 A. cm. B. cm. C. cm. D. cm. 7 7 7 7 Câu 11: Chóp inox đặt trên đỉnh núi Fansipan (Việt Nam) có dạng hình chóp tam đều với diện tích đáy khoảng 1560cm2 và chiều cao khoảng 90cm . Tính thể tích của chóp inox trên đỉnh núi Fansipan (Việt Nam). A. 4680cm3 . B. 140400cm3 . C. 46800cm3 . D. 48600cm3 . Câu 12: Kết quả phân tích đa thức (x y)2 x y thành nhân tử là A. (x y)(x y 1). B. (x y)(x y 1). C. (x y)(x y 1). D. (x y)(x y 1) . Câu 13: Giá trị của m để (x 1)(x2 mx 2) x3 4x2 3x 2 là A. 5. B. 1. C. - 5. D. -1. 2 2 Câu 14: Gọi (x0 ; y0 ) là nghiệm của phương trình 2x y 2xy 4x 4 0. Biểu thức 1 A x2 5y có giá trị bằng 2 0 0 A. -12. B. -8. C. 8. D. 12. Câu 15: Trong các dữ liệu sau dữ liệu là dữ liệu liên tục? A. Dữ liệu số bàn thắng ghi được của đội tuyển Việt Nam trong các trận đấu tại Seagame 31. B. Dữ liệu về tên các bạn học sinh lớp 8A. C. Dữ liệu về số thành viên trong mỗi gia đình của các bạn học sinh lớp 8A. D. Dữ liệu chiều cao của các bạn học sinh lớp 8A. Câu 16: Cho ABC có trọng tâm G. Vẽ đường thẳng d qua G và song song với AB, d cắt BC tại điểm M. Khẳng định nào sau đây đúng? 1 1 2 3 A. BM BC. B. BM BC. C. BM BC. D. BM BC. 2 3 3 2 Câu 17: Cho ABC vuông tại A , đường cao AH. Biết AB 12cm, BC 15cm. Độ dài đường cao AH là A. 9cm. B. 4,8cm. C. 7,2cm. D. 9,6cm. DeThi.edu.vn
8. 49 đề Toán Lớp 8 hay nhất dành cho học sinh giỏi (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn Câu 18: Cho hình thang ABCD ( AB // CD ) có µA Dµ 70 . Số đo µA và Dµ lần lượt bằng A. 1250 ;550. B. 550 ;1250. C. 1150 ;650. D. 650 ;1150. x 3 Câu 19: Số giá trị nguyên của x để biểu thức A có giá trị là một số nguyên. x2 2 A. 2. B. 1. C. 3. D. 4. 1 Câu 20: Cho đa thức f (x) thoả mãn f (x) 3 f ( ) 2x2 x 1. Khi đó giá trị f (2) bằng x 8 8 9 9 A. . B. . C. . D. . 9 9 8 8 II. PHẦN TỰ LUẬN (14,0 điểm) Bài 1: (5,0 điểm) 1) Phân tích các đa thức thành nhân tử: 2 2 a) x y 6x 9 . b) x3 6x2 11x 6 . 3 2 2 2) Tìm a, b sao f (x) ax bx 6x 8 chia hết cho đa thức g(x) 2x x 3 . 3 3 3 a b c 3) Cho a b c 3abc. Tính giá trị biểu thức: P 1 1 1 . b c a Bài 2: (4,0 điểm) x 1 2x x 1. 1) Rút gọn biểu thức: A 1 2 : 3 2 với x 1 x 1 x x x 1 2) Cho A n4 4. Tìm n để A có giá trị là một số nguyên tố. 3) Tìm cặp số (x; y) nguyên dương thoả mãn y2 x x 1 x 7 x 8 . Bài 3: (4,0 điểm) Cho ABC vuông tại A(AB AC). Đường trung tuyến AO, trên tia đối của tia OA lấy điểm D sao cho OD OA. Từ B kẻ BH vuông góc với AD tại H. Từ C kẻ CK vuông góc với AD tại K. Tia BH cắt CD tại M , tia CK cắt AB tại N. a) Chứng minh tứ giác ABDC là hình chữ nhật. b) Chứng minh ba điểm M ,O, N thẳng hàng. c) Trên tia đối của tia BH lấy điểm E sao cho BE AD. Chứng D· CE 450. Bài 4: (1,0 điểm) Cho a, b, c là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của: 1 1 1 P a b c . a b c ---------HẾT--------- DeThi.edu.vn
9. 49 đề Toán Lớp 8 hay nhất dành cho học sinh giỏi (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (6 điểm- Mỗi đáp án đúng được 0,3điểm) Câu Đáp án Câu Đáp án 1 C 11 C 2 A 12 D 3 C 13 A 4 B 14 B 5 C 15 D 6 B 16 B 7 A 17 C 8 D 18 A 9 D 19 B 10 A 20 D II. PHẦN TỰ LUẬN (14 điểm) Câu Hướng dẫn giải Điểm Câu 1 (5,0 điểm) 1) Phân tích các đa thức thành nhân tử : 2 2 1.a) a) x y 6x 9 . (1 điểm) b) x(x 2)(x 3)(x 5) 7 a) x2 y2 6x 9 0,25 (x2 6x 9) y2 0,25 (x 3)2 y2 0,5 (x 3 y)(x 3 y) 1.b) b) x3 6x2 11x 6 3 2 2 0,25 (1 điểm) x x 5x 5x 6x 6 2 0,25 x (x 1) 5x(x 1) 6(x 1) 0,25 (x 1)(x2 5x 6) 0,25 (x 1)(x 2)(x 3) Tìm a,b sao f (x) ax3 bx2 6x 8 chia hết cho đa thức g(x) 2x2 x 3 Ta có: 2x2 x 3 (x 1)(2x 3) 0,5 2) Vì f (x) ax3 bx2 6x 8 chia hết cho đa thức g(x) 2x2 x 3 (1,5 điểm) Nên tồn tại một đa thức q(x) sao cho f (x) g(x).q(x) ax3 bx2 6x 8 (x 1)(2x 3).q(x) 0,25 DeThi.edu.vn
10. 49 đề Toán Lớp 8 hay nhất dành cho học sinh giỏi (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn Với x 1 a b 2 (1) 0,5 3 27 9 Với x a b 17 0 (2) 0,25 2 8 4 20 38 Thay (1) vào (2), ta có: a ;b . 9 9 KL: . 3 3 3 a b c Cho a b c 3abc. Tính giá trị biểu thức: P 1 1 1 b c a Từ giả thiết ta có: a3 b3 c3 3abc a3 b3 c3 3abc 0 a b 3 3a2b 3ab2 c3 3abc 0 a b 3 c3 3ab a b c 0 2 2 0,25 a b c a b a b c c 3ab 0 0,5 3. 2 2 2 a b c a b c ab bc ca 0 0,25 (1,5 điểm) a b c a b 2 b c 2 c a 2 0 0,25 0,25 a b c 0 a b c Nếu a b c 0 thì: a b c b a c b a c c a b P 1 1 1 . . . . 1 b c a b c a b c a a b c Nếu a b c thì : P 1 1 1 1 1 1 1 1 1 8 b c a KL: . Câu 2 (4 điểm) x 1 2x x 1. Rút gọn biểu thức: A 1 2 : 3 2 với x 1 x 1 x x x 1 x2 x 1 1 2x A : 2 2 0,25 x 1 x 1 (x 1)(x 1) 0,25 1.a x2 x 1 x2 2x 1 A : 0,25 (1,25 điểm) x2 1 (x2 1)(x 1) x2 x 1 (x2 1)(x 1) A . x2 1 (x 1)2 x2 x 1 0,25 A x 1 0,25 DeThi.edu.vn